2025届重庆市南开中学高三5月质检数学试题(pdf版,含详解)

重庆市高 2025届高三第八次质量检测
数学试题
★祝大家学习生活愉快★
注意事项：
1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号，试室号，座位号填写在答题
卡上。用 2B铅笔将试卷类型和考生号填涂在答题卡相应位置上。
2．选择题每小题选出答案后，用 2B铅笔把答题卡上对应的题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用
橡皮擦干净后，再填涂其他答案。答案不能答在试卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置
上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案，不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答
案无效。
一、单选题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分，每小题只有一个选项符合要求
1. 设集合 A={x ∣ x= 2k+ 1,k∈ Z},B={x ∣ x= k+ 2,k∈ Z} ,则
A. A B B. B A C. A=B D. A∩B=
2. 已知 p:m= 2,q:复数 z=m2- 4+ m+2 i m∈R 为纯虚数,则 p是 q的
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
3. e , a 已知 为单位向量 向量 = 3,1 ,若 cosa ,e = 12 ,则 a
a -e =
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
4. 已知 α∈ 0, π2 ,2sin2α= cos2α+ 1 ,则 cosα=
A. 3 B. 53 5 C.
2
2 D.
2 5
5
5. 鬼工球,又称同心球,要求制作者使用一整块完整的材料,将其雕成每层均同球心的数层空心球,已知鬼
工球最内层的空心球上有 2个雕孔,且向外每层雕孔数依次增加 2. 个. 现制作两个这样的鬼工球,层数
分别为 k层和 5层 (k∈N 且 k> 5) ,若 k层鬼工球与 5层鬼工球的雕孔总数的比值为 3 ,则 k=
A. 6 B. 7 C. 8 D. 9
6. 已知定义域为 R的连续函数 f x 满足:① f x+6 为偶函数;② x∈R,f 2+x + f 4-x = 0 ;③
f x - f
, ∈ 1
x
x1 x
2
2 0,3 , x -x > 0 .则 f 2 ,f 5 ,f 121 的大小顺序为1 2
A. f 2 < f 5 < f 121 B. f 2 < f 121 < f 5
C. f 121 < f 2 < f 5 D. f 5 < f 2 < f 121
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7. 正三棱台上、下底面的边长分别为 3、6、侧棱长为 6 ,则其外接球的表面积为
A. 15π B. 30 3π C. 60π D. 60 3π
2 y2
8. x已知双曲线 C : 2 - 2 = 1 a>0,b>0 ,
π
倾斜角为 3 的直线 l与 C 的渐近线交于 A,B 两点 (A在第a b
一象限 , B 在第四象限),线段 AB 的中点为 M ,O 为坐标原点 ,直线 OM 与 C 的一个交点为
N - 3,-2 .则双曲线 C 的离心率为
A. 2 B. 3 C. 2 2 D. 3
二、多选题：本题共 3小题，每小题 6分，共 18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全
部选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0分。
9. π已知函数 f x = sin ωx- 3 ω>0 与函数 g x = sin 2x+φ 0<φ<π 的图象有相同的对称轴,则
A. ω= 2
B. φ= 2π3
C. 将 f x 的图象向左平移 π个单位可得到 g x 的图象
D. 函数 y= f x - g x 在 0,2π 内有 4个零点

10. 设 A,B为一次随机试验中的两个事件,若 P 1 1 A = 3 ,P B∣A =P A∣B = 2 ,则

A. P AB = 1 . B. P AB = 2 C. P B = 13 3 3 D. A与 B相互独立
11. 已知 x,y∈R ,若 e2x- ey= x2- 2y ,则下列关系式能成立的是
A. x< y< 0 B. y< 0< x C. x< 0< y D. 0< y< x
三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分
12. 2x- 1
6
x 的展开式的常数项是 (用数字作答).
13. 若圆 x2+ y2= 4与圆 x2+ y2+ 2ay- 6= 0 a>0 的公共弦长为 2 3 ,则 a= .
14. 数列 an 满足 an+1+ -1 n an= 3n+ 1 ,则 an 的前 100项和 S100= .
四、解答题：本题共 5小题，共 77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
15. (13分)
记 △ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c ,已知 asinB= bcos A- π6 .
(1)求 A；
(2)若 a= 7 ,2b= 3c ,点 D在边 BC 上,且 ∠BAD=∠CAD ,求 AD的长.
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16. (15分)
如图,在四面体 ABCD 中, AB=AC=AD=BD= 4,CB=CD= 2 2 ,E、F 分别为 AB、AD 的中点,
过 EF 的平面 α分别交棱 BC、CD (不含端点)于 P、Q两点.
(1)证明: PQ BD ;

(2)若 BP= 3PC ,求二面角 C-EF-P的正弦值.
17. (15分)
在平面直角坐标系 xOy中,已知动点M 与定点 F 2,0 的距离和M 到定直线 x= 4的距离的比是常数
2
2 .记M 的轨迹为 C .
(1)求 C 的方程；
(2)设点 P 0,1 ,过点 P的直线 l交 C 于 A,B两点,连接 AF,BF ,若 AF BF = 8 ,求直线 l的方程.
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18. (17分)
1 1
已知函数 f x = x33 - 2 ax
2+ x+ 1 a∈R .
(1)讨论函数 f x 的单调性；
(2)已知函数 g x = ax- f x a>0且a≠1 .
(i)若 a≥ e ,求证:当 x∈ 0,1 时, g x > 0 ;
(ii)若 a≥ 2 ,函数 g x 在区间 (0,1)上存在唯一零点,求 a的取值范围.
19. (17分)
在一款冒险游戏中,共有编号为从 1到 n+ 1 n≥4,n∈N 的 n+ 1个平台从前至后排列,玩家从平台 1
出发. 玩家需投掷一个质地均匀的骰子 (6个面上的数字分别为 1,2,3,4,5,6):若骰子向上的面的点数小
于 3 . 则移动到相邻的前一个平台；若骰子向上的面的点数不小于 3 , 则移动到相邻的后一平台 投掷机
会耗尽时到达的平台编号数即为其最终得分;在挑战过程中,当他处于平台 1而需要移动到前一平台时,
游戏立刻结束,得分为 0 .玩家在投掷机会耗尽前 (或因规则被迫结束挑战)不会停止挑战.
(1)若玩家拥有 3次投掷机会,求在他的最终得分为 0分的条件下,抛掷结果中有且仅有两次点数小于 3
的概率;
(2)设玩家拥有m 1≤m≤n，且m∈N 次投掷机会,其最终得分为 Xm .
(i)求 E X4 ;
(ii) p设 P 1 Xn-1=0 = p ,证明:当 n为偶数时, E Xn =E Xn-1 + 3 - 3 .
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