2.3 平行线的性质 同步练习题(含详解)北师大版（2024）数学七年级下册

《平行线的性质》同步练习题
一．选择题
1．一把直尺与一块直角三角板按如图方式摆放，若∠1＝28°，则∠2＝（　　）
A．62° B．58° C．52° D．48°
2．如图，把三角板的直角顶点放在直尺的一边上，已知直尺的对边平行，若∠1＝25°，则∠2的度数为（　　）
A．25° B．55° C．65° D．75°
3．如图，直线AB∥CD，点E在AC上，若∠A＝130°，∠D＝20°，则∠AED＝（　　）
A．70° B．75° C．80° D．85°
4．如图，AD∥BC，∠C＝30°，∠ADB：∠BDC＝1：2，∠EAB＝72°，以下四个说法：
①∠CDF＝30°；②∠ADB＝50°；③∠ABD＝22°；④∠CBN＝108°；其中正确说法的个数是（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5．如图，在△DEF中，点C在DF的延长线上，点B在EF上，且AB∥CD，∠EBA＝60°，则∠E+∠D的度数为（　　）
A．60° B．30° C．90° D．80°
6．如图，将一张长方形纸带沿EF折叠，点C、D的对应点分别为C'、D'．若∠DEF＝α，用含α的式子可以将∠C'FG表示为（　　）
A．2α B．90°+α C．180°﹣α D．180°﹣2α
7．如图，AB∥CD，∠FGB＝155°，FG平分∠EFD，则∠AEF的大小为（　　）
A．25° B．50° C．70° D．77.5°
8．如图，一条公路经过两次转弯后又回到原来的方向，如果第一次的拐角为150°，则第二次的拐角为（　　）
A．40° B．50° C．140° D．150°
二．填空题
9．如图，∠AOB内有一点P，过点P画PC∥OB，PD∥OA，∠AOB＝60°，则∠CPD的度数为 　 　度．
10．如图，DE∥BC，CD平分∠ACB，∠ACB＝58°，则∠EDC＝　 　．
11．如图，a∥b，∠1＝30°，∠2＝90°，则∠3的度数是 　 　．
12．如图，将长方形纸条ABCD沿EF折叠，使得点A落在点G处，点B落在点H处，已知∠1＝70°，则∠2＝　 　．
13．如图，把一条两边边沿互相平行的纸带折叠，若∠β＝56°，则∠α＝　 　．
三．解答题
14．完成下面的证明．
如图，直线a⊥b，b∥c．求证a⊥c．
证明：∵a⊥b（已知），
∴∠1＝　 　（ 　 　）．
∵b∥c（ 　 　），
∴∠1＝　 　（ 　 　）．
∴∠2＝∠1＝　 　（ 　 　）．
∴a⊥c（ 　 　）．
15．如图，已知AB∥DC，AC⊥BC，AC平分∠DAB，∠B＝50°，求∠D的大小．
阅读下面的解答过程，并填括号里的空白（理由或数学式）．
解：∵AB∥DC（ 　 　），
∴∠B+∠DCB＝180°（ 　 　）．
∵∠B＝　 　（已知），
∴∠DCB＝180°﹣∠B＝180°﹣50°＝130°．
∵AC⊥BC（已知），
∴∠ACB＝　 　（垂直的定义）．
∴∠2＝　 　．
∵AB∥DC（已知），
∴∠1＝　 　（ 　 　）．
∵AC平分∠DAB（已知），
∴∠DAB＝2∠1＝　 　（角平分线的定义）．
∵AB∥DC（已知），
∴　 　+∠DAB＝180°（两条直线平行，同旁内角互补）．
∴∠D＝180°﹣∠DAB＝　 　．
16．如图，AB∥CD，∠BAC 的角平分线AP与∠ACD的角平分线CP相交于点P．
求证：AP⊥CP．
17．平面内的两条直线有相交和平行两种位置关系．
（1）如图1，若AB∥CD，点P在AB、CD内部，∠B＝50°，∠D＝30°，求∠BPD的度数；
（2）如图2，在AB∥CD的前提下，将点P移到AB、CD外部，则∠BPD、∠B、∠D之间有何数量关系？请证明你的结论；
（3）如图3，写出∠BPD、∠B、∠D、∠BQD之间的数量关系？（不需证明）；
（4）如图4，计算∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数是 　 　．
18．当光线经过镜面反射时，入射光线、反射光线与镜面所夹的角对应相等．例如：在图①、图②中，都有∠1＝∠2，∠3＝∠4．设镜子AB与BC的夹角∠ABC＝α．
（1）如图①，若α＝90°，∠1＝50°，则∠4＝　 　°；
（2）如图②，若α＝115°，入射光线EF与反射光线GH的夹角∠FMH＝β．求β的度数；
（3）如图③，若90°＜α＜180°，设镜子CD与BC的夹角∠BCD＝γ（90°＜γ＜180°），入射光线EF与镜面AB的夹角∠1＝m（0°＜m＜90°），已知入射光线EF从镜面AB反射到镜面BC，再反射到镜面CD，最后经镜面CD反射后，当反射光线与入射光线EF平行时，探索m与γ的数量关系，并说明理由．
19．如图，∠AOB＝40°，OC平分∠AOB，点D，E在射线OA，OC上，点P是射线OB上的一个动点，连接DP交射线OC于点F，设∠ODP＝x°．
（1）如图1，若DE∥OB．
①∠DEO的度数是　 　°，当DP⊥OE时，x＝　 　；
②若∠EDF＝∠EFD，求x的值；
（2）如图2，若DE⊥OA，是否存在这样的x的值，使得∠EFD＝4∠EDF？若存在，求出x的值；若不存在，说明理由．
参考答案
一．选择题
1．解：过直角的顶点C作CM∥AB，如图所示：
由题意可得：AB∥DE，∠FCG＝90°，
∵CM∥AB，∠1＝28°，
∴CM∥DE，∠1＝∠MCG＝28°，
∴∠2＝∠FCM，∠FCM＝90°﹣∠MCG＝62°，
∴∠2＝62°．
故选：A．
2．解：如图，
∵∠CAD＝90°，∠1＝25°，
∴∠BAC＝180°﹣∠CAD﹣∠1＝65°，
∵EF∥AB，
∴∠2＝∠BAC＝65°．
故选：C．
3．解：∵AB∥CD，
∴∠A+∠C＝180°，
∵∠A＝130°，
∴∠C＝180°﹣∠A＝50°，
∵∠AED是△CDE的外角，∠D＝20°，
∴∠AED＝∠C+∠D＝70°．
故选：A．
4．解：∵AD∥BC，∠C＝30，
∴∠CDF＝30°，①正确；
∴∠ADC＝180°﹣∠C＝180°﹣30°＝150°，
∵∠ADB：∠BDC＝1：2，
∴∠ADB＝∠ADC＝50°，②正确；
∵AD∥BC，∠EAB＝72°，
∴∠ABC＝72°，∠DAB＝180°﹣∠EAB＝108°，
∴∠CBN＝180°﹣∠ABC＝108°，④正确；
∴∠ABD＝180°﹣∠DAB﹣∠ADB＝22°，③正确．
故选：D．
5．解：∵AB∥CD，∠EBA＝60°，
∴∠CFE＝∠EBA＝60°，
∵∠EBA是△DEF的外角，
∴∠E+∠D＝∠EBA＝60°．
故选：A．
6．解：由长方形纸带ABCD及折叠性质可得：∠D'EF＝∠DEF＝α，C'F∥D'E，
∴∠DEG＝2∠DEF＝2α，∠C'FG＝180°﹣∠D'GF，
∵AD∥BC，
∴∠D'GF＝∠DEG＝2α，
∴∠C'FG＝180°﹣2α．
故选：D．
7．解：∵AB∥CD，
∴∠FGB+∠GFD＝180°，∠FGB＝155°，
∴∠GFD＝180°﹣∠FGB＝25°，
∵FG平分∠EFD，
∴∠EFD＝2∠GFD＝50°，
∵AB∥CD，
∴∠AEF＝∠EFD＝50°．
故选：B．
8．解：∵AB∥CD，∠B＝150°，
∴∠C＝∠B＝150°．
故选：D．
二．填空题
9．解：根据题意作图如下：
由图知，当C点和D点在P点同侧时∠CPD＝∠AOB＝60°，
当C点和D点分别在P点两侧时∠CPD＝180°﹣∠AOB＝180°﹣60°＝120°，
故答案为：60或120．
10．解：∵CD平分∠ACB，∠ACB＝58°，
∴∠ECD＝∠ACB＝29°，
∵DE∥BC，
∴∠EDC＝∠ECD＝29°．
故答案为：29°．
11．解：如图，反向延长∠2的边与a交于一点，
∵∠2＝90°，
∴∠4＝90°+∠1＝120°，
∵a∥b，
∴∠3＝∠4＝120°，
故答案为：120°．
12．解：由折叠可得∠FEG＝∠1＝70°，
∴∠DEG＝180°﹣∠1﹣∠FEG＝40°，
∵AD∥BC，
∴∠2＝∠DEG＝40°，
故答案为：40°．
13．解：如图所示：
∵纸片两边平行，
∴∠1＝∠β＝56°，
由折叠的性质得：2∠α+∠1＝180°，
∴2∠α+56°＝180°，
解得：∠α＝62°．
故答案为：62°．
三．解答题
14．证明：①∵a⊥b（已知），
∴∠1＝90°（垂直的定义），
②又∵b∥c（已知），
∴∠1＝∠2（两直线平行，同位角相等），
③∴∠2＝∠1＝90°（等量代换），
∴a⊥c（垂直的定义）．
故答案为：90°；垂直的定义；已知；；两直线平行，同位角相等；90°；等量代换；垂直的定义．
15．解：∵AB∥DC（ 已知），
∴∠B+∠DCB＝180°（ 两直线平行，同旁内角互补）．
∵∠B＝50°（已知），
∴∠DCB＝180°﹣∠B＝180°﹣50°＝130°．
∵AC⊥BC（已知），
∴∠ACB＝90°（垂直的定义）．
∴∠2＝40°．
∵AB∥DC（已知），
∴∠1＝40°（ 两直线平行，内错角相等）．
∵AC平分∠DAB（已知），
∴∠DAB＝2∠1＝80°（角平分线的定义）．
∵AB∥DC（已知），
∴∠ADC+∠DAB＝180°（两条直线平行，同旁内角互补）．
∴∠D＝180°﹣∠DAB＝100°．
故答案为：已知；两直线平行，同旁内角互补；50°；90°；40°；40°；两直线平行，内错角相等；80°；∠ADC；100°．
16．证明：∵AB∥CD，
∴∠BAC+∠ACD＝180°，
∵AP、CP分别平分∠BAC、∠ACD，
∴∠CAP＝∠BAC，∠ACP＝∠ACD，
∴∠CAP+∠ACP＝∠BAC+∠ACD＝（∠BAC+∠ACD）＝90°，
又∵∠CAP+∠ACP+∠P＝180°，
∴∠P＝90°，
∴AP⊥CP．
17．解：（1）如图1，过P点作PO∥AB，
∵AB∥CD，
∴CD∥PO∥AB，
∴∠BPO＝∠B，∠OPD＝∠D，
∵∠BPD＝∠BPO+∠OPD，
∴∠BPD＝∠B+∠D．
∵∠B＝50°，∠D＝30°，
∴∠BPD＝∠B+∠D＝50°+30°＝80°；
（2）∠B＝∠D+∠BPD，
∵AB∥CD，
∴∠B＝∠BOD，
∵∠BOD＝∠D+∠BPD，
∴∠B＝∠D+∠BPD；
（3）∠BPD＝∠B+∠D+∠BQD．
证明：如图3，连接QP并延长，
∵∠BPE＝∠B+∠BQE，∠DPE＝∠D+∠DQE，
∴∠BPE+DPE＝∠B+∠BQE+∠D+∠DQE，即∠BPD＝∠B+∠D+∠BQD．
（4）∵∠CMN＝∠A+∠E，∠DNB＝∠B+∠F，
又∵∠C+∠D+∠CMN+∠DNM＝360°，
∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝360°．
故答案为：360°．
18．解：（1）∵∠1＝50°，
∴∠2＝∠1＝50°，
∵∠α＝90°，
∴∠3＝180°﹣90°﹣50°＝40°，
∴∠4＝∠3＝40°，
故答案为：40；
（2）∵∠α＝115°，
∴∠2+∠3＝180°﹣115°＝65°，
∴∠1+∠4＝65°，
∵∠1＝∠MEB，∠4＝∠MGB，
∴∠MEG+∠MGE＝∠1+∠2+∠3+∠4＝130°，
∴∠EMG＝∠β＝180°﹣130°＝50°；
（3）如下图所示，延长NM和FE，交点为G，
由（2）的思路可得，∠G＝180°﹣2m﹣2∠3＝180°﹣2（m+∠4），
∠MNH＝180°﹣2∠5，
∵EF∥NH，
∴∠G+∠MNH＝180°，即180°﹣2（m+∠4）+180°﹣2∠5＝180°，
整理得，m+∠4+∠5＝90°，
m+（180°﹣γ）＝90°，
即γ﹣m＝90°．
19．解：（1）①∵∠AOB＝40°，OC平分∠AOB，
∴∠BOE＝20°，
∵DE∥OB，
∴∠DEO＝∠BOE＝20°；
∵∠DOE＝∠DEO＝20°，
∴DO＝DE，∠ODE＝140°，
当DP⊥OE时，∠ODP＝∠ODE＝70°，
即x＝70，
故答案为：20，70；
②∵∠DEO＝20°，∠EDF＝∠EFD，
∴∠EDF＝80°，
又∵∠ODE＝140°，
∴∠ODP＝140°﹣80°＝60°，
∴x＝60；
（2）存在这样的x的值，使得∠EFD＝4∠EDF．
分两种情况：
①如图2，若DP在DE左侧，
∵DE⊥OA，
∴∠EDF＝90°﹣x°，
∵∠AOC＝20°，
∴∠EFD＝20°+x°，
当∠EFD＝4∠EDF时，20°+x°＝4（90°﹣x°），
解得x＝68；
②如图3，若DP在DE右侧，
∵∠EDF＝x°﹣90°，∠EFD＝180°﹣20°﹣x°＝160°﹣x°，
∴当∠EFD＝4∠EDF时，160°﹣x°＝4（x°﹣90°），
解得x＝104；
综上所述，当x＝68或104时，∠EFD＝4∠EDF．