22.3《二次函数与图形面积问题》专项练习（含答案）人教版数学九年级上册

人教版九年级上册
《二次函数与图形面积问题》专项练习
1.如图，在平面角坐标系中，抛物线y＝x2＋bx＋c经过点(﹣1，8)并与x轴交于点A，B两点，且点B坐标为(3，0)．
(1)求抛物线的解析式；
(2)若抛物线与y轴交于点C，顶点为点P，求△BCP的面积．
2.如图，经过原点O的抛物线y＝ax2＋bx(a≠0)与x轴交于另一点(，0)，在第一象限内与直线y＝x交于点B(2，t).
(1)求抛物线的解析式;
(2)在第四象限内的抛物线上有一点C，满足以B，O，C为顶点的三角形的面积为2，求点C的坐标.
3.如图所示，抛物线y＝ax2＋bx＋c与两坐标轴分别交于点A(﹣1，0)，B(3，0)，C(0，3)，D是抛物线的顶点．
(1)求抛物线的解析式，并写出点D的坐标；
(2)F(x，y)是抛物线上的动点，当x>1，y>0时，求△BDF面积的最大值．
4.如图，抛物线y=x2﹣x﹣2与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点D与点C关于x轴对称.
(1)求点A，B，C的坐标;
(2)求直线BD的解析式;
(3)在直线BD下方的抛物线上是否存在一点P，使△PBD的面积最大 若存在，求出点P的坐标;若不存在，请说明理由.
5.如图，抛物线经过A(4，0)，B(1，0)，C(0，﹣2)三点．
(1)求此抛物线的解析式
(2)在直线AC上方的抛物线上有一点D，使得△DCA的面积最大，求出点D的坐标．
6.如图，抛物线过轴上两点A(9,0)，C(﹣3,0)，且与y轴交于点B(0,﹣12)．
(1)求抛物线的解析式；
(2)若M为线段AB上一个动点，过点M作MN平行于y轴交抛物线于点N．
①是否存在这样的点M，使得四边形OMNB恰为平行四边形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
②当点M运动到何处时，四边形CBNA的面积最大？求出此时点M的坐标及四边形CBNA面积的最大值．
7.如图，已知抛物线的顶点为A(1，4)，抛物线与y轴交于点B(0，3)，与x轴交于C、D两点.点P是x轴上的一个动点.
(1)求此抛物线的解析式；
(2)求C、D两点坐标及△BCD的面积；
(3)若点P在x轴上方的抛物线上，满足2S△PCD=S△BCD，求点P的坐标.
8.如图，抛物线y＝ax2＋bx(a＜0)过点E(10，0)，矩形ABCD的边AB在线段OE上(点A在点B的左边)，点C，D在抛物线上．设A(t，0)，当t＝2时，AD＝4.
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)当t为何值时，矩形ABCD的周长有最大值？最大值是多少？
(3)保持t＝2时的矩形ABCD不动，向右平移抛物线．当平移后的抛物线与矩形的边有两个交点G，H，且直线GH平分矩形的面积时，求抛物线平移的距离．
　
9.如图，已知抛物线经过点A(﹣1，0)，B(3，0)，C(0，3)三点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点M是线段BC上的点(不与B，C重合)，过M作NM∥y轴交抛物线于N，若点M的横坐标为m，请用含m的代数式表示MN的长；
(3)在(2)的条件下，连接NB，NC，是否存在点m，使△BNC的面积最大？若存在，求m的值；若不存在，说明理由．
10.如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于A、B两点， A点在原点的左侧，B点的坐标为（3，0），与y轴交于C（0，-3）点，点P是直线BC下方的抛物线上一动点.
（1）求b,c的值．
（2）连结PO、PC，并把△POC沿CO翻折，得到四边形， 那么是否存在点P，使四边形为菱形？若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）当点P运动到什么位置时，四边形 ABPC的面积最大，并求出此时P点的坐标和四边形ABPC的最大面积.
11.如图，抛物线y=ax2＋bx(a≠0)交x轴正半轴于点A，直线y=2x经过抛物线的顶点M.已知该抛物线的对称轴为直线x=2，交x轴于点B.
(1)求a，b的值.
(2)P是第一象限内抛物线上的一点，且在对称轴的右侧，连接OP，BP.设点P的横坐标为m，
△OBP的面积为S，记K=.求K关于m的函数表达式及K的范围.
12.如图，已知抛物线y＝﹣x2﹣2x＋a(a≠0)与y轴相交于A点，顶点为M，直线y＝x﹣a分别与x轴、y轴相交于B，C两点，并且与直线MA相交于N点．
(1)若直线BC和抛物线有两个不同交点，求a的取值范围，并用a表示点M，A的坐标．
(2)将△NAC沿着y轴翻折，若点N的对称点P恰好落在抛物线上，AP与抛物线的对称轴相交于点D，连接CD，求a的值及△PCD的面积．
(3)在抛物线y＝﹣x2﹣2x＋a(a＞0)上是否存在点Q，使得以Q，A，C，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
答案
1.解：(1)抛物线经过点与点，
解得：
抛物线的解析式为：
(2)，
过点作轴于点，过点作轴交直线于点，过点作轴叫直线于点，如图所示：
2.解：(1)因为B(2，t)在直线y＝x上，所以t＝2.所以点B的坐标为(2，2).
因为抛物线经过A(，0)，B(2，2)两点，
所以解得
所以抛物线的解析式是y＝2x2﹣3x.
(2)如图，过点C作CD∥y轴，交x轴于点E，交OB于点D，
过点B作BF⊥CD于点F，
因为点C是抛物线上第四象限的点，所以设C(m，2m2﹣3m)，
则E(m，0)，D(m，m)，
所以OE＝m，BF＝2﹣m，CD＝m﹣(2m2﹣3m)＝﹣2m2＋4m.
所以S△OBC＝S△CDO＋S△CDB＝CD·OE＋CD·BF＝CD·(OE＋BF)
＝(﹣2m2＋4m)(m＋2﹣m)＝﹣2m2＋4m.
因为△OBC的面积为2，
所以﹣2m2＋4m＝2，解得m1＝m2＝1.
所以点C的坐标为(1，﹣1).
3.解：(1)将A(﹣1，0)，B(3，0)，C(0，3)分别代入y＝ax2＋bx＋c，
得解得
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2＋2x＋3.
∵y＝﹣x2＋2x＋3＝﹣(x﹣1)2＋4，
∴顶点D的坐标为(1，4)．
(2)过点F作FF1∥y轴，交BD于点F1，如图所示．
设直线BD的解析式为y＝mx＋n(m≠0)，将(3，0)，(1，4)分别代入y＝mx＋n，
得解得
∴直线BD的解析式为y＝﹣2x＋6.
∵点F的坐标为(x，﹣x2＋2x＋3)，
∴点F1的坐标为(x，﹣2x＋6)，
∴FF1＝﹣x2＋2x＋3﹣(﹣2x＋6)＝﹣x2＋4x﹣3，
∴S△BDF＝FF1·(xB﹣xD)＝﹣x2＋4x﹣3＝﹣(x﹣2)2＋1.
∵﹣1＜0，
∴当x＝2时，S△BDF取得最大值，最大值为1.
4.解：(1)解方程x2﹣x﹣2＝0，得x1＝﹣1，x2＝4.
所以点A的坐标为(﹣1，0)，点B的坐标为(4，0).
当x＝0时，y＝﹣2，
所以点C的坐标为(0，﹣2).
(2)因为点D与点C关于x轴对称，所以点D的坐标为(0，2).
设直线BD的解析式为y＝kx＋b，
则解得
所以直线BD的解析式为y＝﹣x＋2.
(3)存在.理由如下：
如图，作PE∥y轴交BD于E，
设P(m，m2﹣m﹣2)，则E(m，﹣m＋2)，
所以PE＝﹣m＋2﹣(m2﹣m﹣2)＝﹣m2＋m＋4.
所以S△PBD＝PE·(xB﹣xD)＝×(﹣m2＋m＋4)×4＝﹣m2＋2m＋8＝﹣(m﹣1)2＋9.
因为﹣1<0，所以m＝1时，△PBD的面积最大，面积的最大值为9.
所以点P的坐标为(1，﹣3).
5.解.(1)∵该抛物线过点C(0，﹣2)，
设该抛物线的解析式为y＝ax2＋bx﹣2.将A(4，0)，B(1，0)代入，
得解得
∴此抛物线的解析式为y＝﹣x2＋x﹣2.
(2)设D点的横坐标为t(0过D作y轴的平行线交AC于E.
由题意可求得直线AC的解析式为y＝x﹣2.
∴E点的坐标为(t，t﹣2)．
∴DE＝﹣t2＋t﹣2﹣(t﹣2)＝﹣t2＋2t.
∴S△DCA＝×(﹣t2＋2t)×4＝﹣t2＋4t＝﹣(t﹣2)2＋4.
∴当t＝2时，△DCA面积最大．
∴D(2，1)．　
6.解：(1)因抛物线过轴上两点，
故设抛物线解析式为：．
又
；
(2)如图2，设直线的解析式为．
，，，解得，，
则直线的函数关系式为．
设点的横坐标为，则，．
①若四边形为平行四边形，则
即
△，此方程无实数根，
不存在这样的点，使得四边形恰为平行四边形．
②
，，
当时， 最大值此时，，．
7.解：(1)∵抛物线的顶点为A(1，4)，
∴设抛物线的解析式y=a(x﹣1)2＋4，
把点B(0，3)代入得，a＋4=3，解得a=﹣1，
∴抛物线的解析式为y=﹣(x﹣1)2＋4；
(2)由(1)知，抛物线的解析式为y=﹣(x﹣1)2＋4；
令y=0，则0=﹣(x﹣1)2＋4，
∴x=﹣1或x=3，
∴C(﹣1，0)，D(3，0)；
∴CD=4，
∴S△BCD=CD×|yB|=×4×3=6；
(3)由(2)知，S△BCD=CD×|yB|=×4×3=6；CD=4，
∵S△PCD=S△BCD，∴S△PCD=CD×|yP|=×4×|yP|=3，∴|yP|=，
∵点P在x轴上方的抛物线上，
∴yP＞0，∴yP=，
∵抛物线的解析式为y=﹣(x﹣1)2＋4；
∴=﹣(x﹣1)2＋4，∴x=1±，
∴P(1＋，)，或P(1﹣，).
8.解：(1)抛物线的函数表达式为y＝－x2＋x；
(2)由抛物线的对称性得BE＝OA＝t，
∴AB＝10－2t，当x＝t时，AD＝－t2＋t，
∴矩形ABCD的周长＝2(AB＋AD)
＝2[(10－2t)＋(－t2＋t)]
＝－t2＋t＋20＝－(t－1)2＋，
∵－＜0，
∴当t＝1时，矩形ABCD的周长有最大值，最大值为；
(3)如图，当t＝2时，点A，B，C，D的坐标分别为(2，0)，(8，0)，(8，4)，(2，4)，
∴矩形ABCD对角线的交点P的坐标为(5，2)，
∵直线GH平分矩形的面积，
∴点P是GH和BD的中点，
∴DP＝PB，由平移知，PQ∥OB，
∴PQ是△ODB的中位线，
∴PQ＝OB＝4，
所以抛物线向右平移的距离是4个单位．
9.解：(1)y=﹣x2＋2x＋3
(2)易求直线BC的解析式为y=﹣x＋3，
∴M(m，﹣m＋3)，
又∵MN⊥x轴，
∴N(m，﹣m2＋2m＋3)，
∴MN=(﹣m2＋2m＋3)﹣(﹣m＋3)＝﹣m2＋3m(0＜m＜3)
(3)S△BNC=S△CMN＋S△MNB=|MN|·|OB|，
∴当|MN|最大时，△BNC的面积最大，
MN=﹣m2＋3m=﹣(m﹣)2＋，
所以当m＝时，△BNC的面积最大为.
10.解：（1）将B、C两点的坐标代入得 解得：
所以二次函数的表达式为：
（2）存在点P,使四边形为菱形.设P点坐标为（x,）,交CO于E
若四边形是菱形，则有PC＝PO．连结， 则PE⊥CO于E，∴OE=EC=∴=．
∴= 解得=，=（不合题意，舍去）
∴P点的坐标为（，）
（3）过点P作轴的平行线与BC交于点Q，与OB交于点F，设P（x，），
易得，直线BC的解析式为则Q点的坐标为（x，x－3）.
=
当时，四边形ABPC的面积最大
此时P点的坐标为，四边形ABPC的面积．
11.解：(1)将x=2代入y=2x，得：y=4，
∴点M(2，4)，
由题意，得：，∴；
(2)如图，过点P作PH⊥x轴于点H，
∵点P的横坐标为m，抛物线的解析式为y=﹣x2＋4x，
∴PH=﹣m2＋4m，
∵B(2，0)，
∴OB=2，
∴S=OB PH=×2×(﹣m2＋4m)=﹣m2＋4m，
∴K==﹣m＋4，
由题意得A(4，0)，
∵M(2，4)，
∴2＜m＜4，
∵K随着m的增大而减小，
∴0＜K＜2.
12.解：(1)由题意联立整理得2x2＋5x﹣4a＝0，
由Δ＝25＋32a＞0，解得a＞﹣.
∵a≠0，
∴a＞﹣且a≠0.令x＝0， 得y＝a，
∴A(0，a)．
由y＝﹣(x＋1)2＋1＋a，得M(﹣1，1＋a)．
(2)设直线MA为y＝kx＋b，代入A(0，a)、M(﹣1，1＋a)，
得解得故直线MA为y＝﹣x＋a.
联立解得
∴N(a,﹣).由于P点是N点关于y轴的对称点，
因此P(﹣a,﹣)，代入y＝﹣x2﹣2x＋a，得﹣＝﹣a2＋a＋a，解得a＝或a＝0(舍去)．
∴A(0,)，C(0,﹣)，M(﹣1,)，∴AC＝.
∴S△PCD＝S△PAC﹣S△DAC＝AC.|xP|﹣AC.|xD|＝××(3﹣1)＝.
(3)①当点Q1在y轴左侧时，由四边形AQ1CN为平行四边形，得AC与Q1N相互平分，则点Q1与N关于原点(0，0)中心对称，而N(a,﹣)，
故Q1(﹣a,﹣)代入y＝﹣x2﹣2x＋a，
得＝﹣a2＋a＋a，解得a＝或a＝0(舍去)，∴Q1(﹣,).
②当点Q2在y轴右侧时，由四边形ACQ2N为平行四边形，得NQ2∥AC且NQ2＝AC，
而N(a,﹣)，A(0，a)，C(0，﹣a)，故Q2(a,﹣).
代入y＝﹣x2﹣2x＋a，得﹣＝﹣a2﹣a＋a，解得a＝或a＝0(舍去)，
∴Q2(,﹣).
∴当点Q的坐标为(﹣,)或(,﹣)时，Q，A，C，N四点能构成平行四边形．