2024-2025学年上海中学高一下学期数学期中试卷（含详解）

上海中学2024学年第二学期高一年级数学期中（B卷）
2025.05
一、填空题（12题共54分，1~6题每题4分，7~12题每题5分）
1．1小时内秒针转过了________．（用弧度制表示）
2．已知，则________．
3．已知函数的图象的一部分如下图所示，则函数的初相为________．
4．函数的图象的对称中心的坐标是________．
5．已知函数，其中，若在区间上恰有2个零点，则的取值范围是________．
6．已知函数在区间上是严格增函数，则的取值范围
是________．
7．已知函数，，若函数在区间内单调递增，且函数的图像关于直线对称，则的值为________．
8．已知函数，若满足（、、互不相等），则的取值范围是________．
9．设函数的图象与直线相交的连续的三个公共点从左到右依次记为，，，若，则正实数的值为________．
10．定义：余割。已知为正实数，且对任意的实数均成立，则的取值范围为________．
11．已知，顺次连接函数与的任意三个相邻的交点都构成一个等腰直角三角形，则________．
12．设集合
有________个真子集．
二、选择题（4题共18分，13~14每题4分，15~16每题5分）
13．函数的最大值为（ ）
A．1 B． C．2 D．3
14．已知函数，则函数的部分图象可以为（ ）
A． B．
C． D．
15．在中，三个角、、所对的边分别为、、，下列四个条件中有几个是为直角三角形的充分条件（ ）
①； ②；
③； ④．
A．1 B．2 C．3 D．4
16．已知函数，给出下列结论：
①是周期函数；
②在区间上是增函数；
③若，则；
④函数在区间上有且仅有1个零点．
则上述结论中正确的序号为（ ）
A．① B．①③ C．①②③ D．②③④
三．解答题（共78分，17~19每题14分，20~21每题18分）
17．（本题共14分，每小问均为7分）
记的内角，，所对的边分别为，，，且．
（1）求；
（2）若，求外接圆面积的最小值．
18．（本题共14分，每小问均为7分）
幂函数的图像关于轴对称，且在区间上是严格增函数．
（1）求的表达式；
（2）对任意实数，不等式恒成立，求实数的取值范围．
19．（本题共14分，（1）小问为4分，（2）（3）小问为5分）
如图，游客从某旅游景区的景点处下上至处有两种路径．一种是从沿直线步行到，另一种是先从沿索道乘缆车到，然后从沿直线步行到．现有甲、乙两位游客从处下山，甲沿匀速步行，速度为．在甲出发后，乙从乘缆车到，在处停留后，再从匀速步行到，假设缆车匀速直线运动的速度为，山路长为，经测量，．
（1）求索道的长；
（2）问：乙出发多少后，乙在缆车上与甲的距离最短？
（3）为使两位游客在处互相等待的时间不超过，乙步行的速度应控制在什么范围内？
20．（本题共18分，每小问均为6分）
已知函数
（1）求函数的最小正周期
（2）当时，求函数的最大值和最小值
（3）已知函数，若对任意的，，当时，恒成立，求实数的取值范围
21．（本题共18分，每小问均为6分）
已知函数的定义域为且满足：对任意的，有恒成立，则称为“LP”函数．
（1）分别判断和是否为“LP”函数
（2）若函数是“LP”函数，求：的取值范围
（3）若为上的“LP”函数，且是以4为周期的周期函数，证明：对任意的，，都有：．
参考答案
一、填空题（12题共54分，1~6题每题4分，7~12题每题5分）
1．1小时内秒针转过了________．（用弧度制表示）
【答案】
2．已知，则________．
【答案】
3．已知函数的图象的一部分如下图所示，则函数的初相为________．
【答案】
4．函数的图象的对称中心的坐标是________．
【答案】，
5．已知函数，其中，若在区间上恰有2个零点，则的取值范围是________．
【答案】
【解析】∵函数，其中，在区间上恰有2个零点，
，∴．求得，则的取值范围为．
6．已知函数在区间上是严格增函数，则的取值范围
是________．
【答案】
【解析】由，则，
由题意在上单调递增，且，
所以，则，故，
综上，，则，故．
7．已知函数，，若函数在区间内单调递增，且函数的图像关于直线对称，则的值为________．
【答案】
【解析】由在区间内单调递增，且的图像关于直线对称，
可得，且，所以．
8．已知函数，若满足（、、互不相等），则的取值范围是________．
【答案】
【解析】不妨设，画出的图象如下图所示，
，所以，．
令，解得，所以，所以．
故答案为：
9．设函数的图象与直线相交的连续的三个公共点从左到右依次记为，，，若，则正实数的值为________．
【答案】
【解析】作出函数，的大致图象，如图，
令，，解得，，
则函数的图象与直线连续的三个公共点，，，（可以同时往左或往右移动正整数倍周期长度）
即，关于直线，对称，，
由于，故，而，关于直线，对称，
故点横坐标为，
将点横坐标代入，得．
10．定义：余割。已知为正实数，且对任意的实数均成立，则的取值范围为________．
【答案】
【解析】由已知可得，即．
因为，所以，
则
，
当且仅当时等号成立，故
11．已知，顺次连接函数与的任意三个相邻的交点都构成一个等腰直角三角形，则________．
【答案】
【解析】如图所示，在函数与的交点中，
，令，即，
不妨取，，即，
因为三个相邻的交点构成一个等腰直角三角形，
当正弦值等于余弦值时，函数值为，
故等腰直角三角形斜边上的高为，即，
所以，所以
12．设集合
有________个真子集．
【答案】
二、选择题（4题共18分，13~14每题4分，15~16每题5分）
13．函数的最大值为（ ）
A．1 B． C．2 D．3
【答案】A
14．已知函数，则函数的部分图象可以为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】因为的定义域为，且，
所以为奇函数，故BD错误；
当时，令，易得，解得，
故易知的图象在轴右侧的第一个交点为，
又，故C错误，A正确；
15．在中，三个角、、所对的边分别为、、，下列四个条件中有几个是为直角三角形的充分条件（ ）
①； ②；
③； ④．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
16．已知函数，给出下列结论：
①是周期函数；
②在区间上是增函数；
③若，则；
④函数在区间上有且仅有1个零点．
则上述结论中正确的序号为（ ）
A．① B．①③ C．①②③ D．②③④
【答案】B
【解析】函数，
对于①：由所以函数的最小正周期为，故①正确；
对于②：由于，，，，
故函数在上不是单调增函数，故②错误；
对于③：函数）的最大值为1，若，则，
所以，，，故则；故③正确；
对于④：当时，，
由于，即，解得或，
所以函数有两个零点，故④错误．
三．解答题（共78分，17~19每题14分，20~21每题18分）
17．（本题共14分，每小问均为7分）
记的内角，，所对的边分别为，，，且．
（1）求；
（2）若，求外接圆面积的最小值．
【答案】（1）;（2）
【解析】（1）由整理得：，
由正弦定理，可得
即，因为，所以，即，
又因为，所以
（2）由正弦定理，外接圆的半径，
要使外接圆的半径最小，只需最小，
由余弦定理，，
当且仅当时取等号，此时，则
故外接圆面积的最小值为．
18．（1）;（2）
19．（1）；（2）；（3）（单位：）
20．（1）；（2）最大值为，最小值为；（3）
21．（1）不是，是；（2）；（3）证明略