江苏省淮安市2024-2025学年高一下学期4月期中联考模拟考试数学试题（含详解）

江苏省淮安市2024-2025学年高一下学期4月期中联考模拟考试数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知向量，向量，则实数等于( )
A. B. C. D.
2.已知为虚数单位，若，则( )
A. B. C. D.
3.已知、均为单位向量，且，则与的夹角大小为( )
A. B. C. D.
4.在中，，，满足条件的三角形有两个，则的取值范围为( )
A. B. C. D.
5.在中，是中点，，，则( )
A. B. C. D.
6.已知，且，则( )
A. B. C. D.
7.过的重心作一直线分别交于点若，，则
A. B. C. D.
8.在中，角，，所对的边分别为，，，，，是边上一点，且满足，是中点，则的最小值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知，，则下列说法中正确的是( )
A. 若，则 B. 若，则，互为共轭复数
C. 若，则 D.
10.已知向量，，下列结论正确的是( )
A. 若，则 B. 若，则
C. 若，则 D. 若，则在上的投影向量为
11.在中，角，，所对的边分别为，，，已知，，则( )
A. 若，则 B. 若，则
C. 面积的最大值为 D. 周长的最大值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知为虚数单位．若且复数对应的点在第三象限，求复数的虚部 ．
13.已知，，则的值为 ．
14.在中，已知，，，和边上的两条中线，相交于点，则的余弦值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知平行四边形的三个顶点分别为，，．
求顶点的坐标
求平行四边形的面积．
16.本小题分
在锐角中，内角的对边分别为．
求角；
若的面积为，求的周长．
17.本小题分
已知，，，．
求；
求．
18.本小题分
已知向量，，
若，求的值
记，
(ⅰ)若对于任意，，而恒成立，求实数的最小值
(ⅱ)关于的不等式有解，求实数的取值范围．
19.本小题分
如图，在平面四边形中，，，
，．
Ⅰ求；
Ⅱ若，，，求四边形的面积．
答案和解析
1.【答案】
【解析】，又，则，故，所以，故选A．
2.【答案】
【解析】因为，
所以，
则．
故选B．
3.【答案】
【解析】因为，所以，即．
，
则，
因为，所以与的夹角大小为．
故选：．
4.【答案】
【解析】根据题意画图如图所示，
，，过作于，
，若满足条件的三角形有两个，则以为圆心，以长为半径的弧与射线有两个交点，
，即，
的范围是，
故选C．
5.【答案】
【解析】，
，
，则，
，
则，
故选：
6.【答案】
【解析】因为，
所以，
则，
因为，所以，
则，
则，
所以．
故选：
7.【答案】
【解析】设点为中点，因为三点共线，所以可设，
因为，
所以，
因为为的重心，
所以，
又，
故可得，
整理得，
消去得，，
故选B．
8.【答案】
【解析】因为，所以，
而由是三角形内角得：，因此，即，
在中，因为，所以，
因为是中点，所以，
因为是边上一点，且满足，所以，
在中，由余弦定理得：
，
因为，，，
所以
，
因为，所以，
因此当，即时，取得最小值，
所以的最小值为，
因此的最小值为．
故选B．
9.【答案】
【解析】对，不妨设，则，若，则，则，，故A选项正确
对于，取，满足条件，但结论不成立，故B选项错误；
对于， ， ，若，则， ，故C选项正确；
对于，当时，结论不成立，故D选项错误，
故选AC．
10.【答案】
【解析】对于：若，则，
解得，故 A正确；
对于：若，
则，
解得，故 B正确；
对于：若，则，
又，，
所以，故 C错误；
对于：若，则在上的投影向量为
，故 D正确．
故选：．
11.【答案】
【解析】对于，若，又，，由正弦定理得，故 A错误；
对于，由题意，，，由正弦定理得，故 B正确；
对于，由余弦定理得，，
所以，当且仅当时取等号，
所以，
所以面积的最大值为，故 C正确；
对于，由，，及余弦定理得，
，所以，
当且仅当时取等号，
所以的周长，
所以周长的最大值为，故 D正确．
12.【答案】
【解析】设，
则由，
得，
，
即或，
又复数对应的点在第三象限，，
故复数的虚部为．
故答案为．
13.【答案】
【解析】，，则，
所以，．
故答案为：
14.【答案】
【解析】中，，，，由余弦定理可得，
由余弦定理可得，
因为，可得
，所以，
，可得，所以，
又因为，，，
在中，由余弦定理可得．
故答案为：．
15.【解析】设，则，，
因为四边形为平行四边形，所以，
则，解得
所以．
因为，，
所以，，
则，
又，
所以，
所以．
16.【解析】因为，
所以，
因为，所以，
因为是锐角三角形，所以，
所以，则，因为为锐角，所以．
因为的面积为，
所以，即，
由余弦定理得，即，
所以，即，
故的周长为．
17.【解析】，
，
，，
，
又，
，
，
，
，
；
由可知，
，
．
18.【解析】由，则，
所以，即，
因为，故．
，
由得，
所以，因为恒成立，
所以，
从而，即．
因为，
即有解，只需要，
由得，
所以，当且仅当时，等号成立
所以．
19.【解析】Ⅰ因为，
由正弦定理可得，
由余弦定理可得．
因为，所以；
Ⅱ在中，由余弦定理可得，
即．
由，
根据正弦定理，可得，
再结合余弦定理可得，
得．
由联立，可得或舍去，
所以，．
故的面积为．
在中，由余弦定理可得，
即，
解得负值舍去．
所以，，
所以的面积为．
所以四边形的面积为．
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