云南省曲靖市师宗县平高中学（第四中学）2023-2024学年高二下学期5月月考数学试题
1．（2024高二下·师宗月考）已知集合，则中元素的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
2．（2024高二下·师宗月考） 已知命题，则为（ ）
A． B．
C． D．
3．（2024高二下·师宗月考）已知，则下列一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
4．（2024高二下·师宗月考）已知命题p：集合，命题q：集合，则p是q的（ ）条件
A．充分不必要 B．必要不充分
C．充分必要 D．既不充分也不必要
5．（2024高二下·师宗月考）不等式的解集是，则的值是（ ）
A． B． C． D．
6．（2024高二下·师宗月考）我国著名数学家华罗庚先生曾说：数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休．在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来分析函数的图象特征．则函数的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
7．（2024高二下·师宗月考）若函数为奇函数，则实数（ ）
A．1 B． C．2 D．
8．（2024高二下·师宗月考）已知函数为偶函数，且在上单调递增，，则不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
9．（2024高二下·师宗月考）已知，，，则（ ）
A．且 B． C． D．
10．（2024高二下·师宗月考）已知函数，则（ ）
A．为奇函数 B．在定义域内单调递增
C．有2个零点 D．的最小值为
11．（2024高二下·师宗月考）已知函数满足，则（ ）
A． B．
C．是偶函数 D．是奇函数
12．（2024高二下·师宗月考）已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则的值为 .
13．（2024高二下·师宗月考）已知且，则的最小值为 .
14．（2024高二下·师宗月考）设函数的定义域为，且为偶函数，为奇函数，当时，，则 .
15．（2024高二下·师宗月考）已知函数，当时，取得极值．
（1）求的解析式；
（2）求函数的单调区间；
（3）求在区间上的最值．
16．（2024高二下·师宗月考）某公司新研发了一款智能灯，此灯有拍照搜题功能，学生遇到疑难问题，通过拍照搜题后，会在显示屏上显示该题的解答过程以及该题考查的知识点与相应的解题方法该产品投入市场三个月后，公司对部分用户做了调研：抽取了200位使用者，每人填写一份评分表（满分为100分），现从200份评分表中，随机抽取40份（其中男 女使用者的评分表各20份）
作为样本，经统计得到如下的数据：
女生使用者评分：67，71，72，75，80，83，83，83，84，84，85，86，88，90，90，91，92，92，92，92
男生使用者评分：67，68，69，69，70，72，72，73，74，75，76，76，77，78，79，82，84，84，89，92
记该样本的中位数为，按评分情况将使用.都对该智能灯的态度分为两种类型：评分不小于的称为“满意型”，其余的都称为“不满意型”.
（1）求的值，填写如下列联表
女生评分 男生评分 合计
“满意型”人数
“不满意型”人数
合计
（2）能否有的把握认为满意与性别有关？
参考公式与数据：
0.1 0.05 0.025 0.01
2.706 3.841 5.024 6.635
17．（2024高二下·师宗月考）近日，一些高校陆续发布了关于在高考中数学或者物理取得优异成绩的学生可以在其强基计划中破格入围的相关政策，引得学生和老师们纷纷关注，成为高考前的一大热点．为此某中学对在校学生“是否热爱钻研数学压轴题”利用分层抽样的方式进行了调查，共调查了18名男同学和9名女同学，调查发现，男、女同学中分别有12人和4人热爱钻研数学压轴题，其余同学均不热爱钻研数学压轴题．
（1）根据以上数据完成以下列联表．
性别 是否热爱钻研数学压轴题 合计
热爱钻研数学压轴题 不热爱钻研数学压轴题
男同学
女同学
合计
并依据小概率值的独立性检验，判断性别与热爱钻研数学压轴题是否有关．
（2）从被调查的女生中随机抽取人，记其中热爱钻研数学压轴题的人数为，求的分布列及数学期望．
附：，其中．
0.15 0.10 0.025 0.01
2.072 2.706 5.024 6.635
18．（2024高二下·师宗月考） 袋子中有大小相同的2个白球 3个黑球，每次从袋子中随机摸出一个球.
（1）若摸出的球不再放回，求在第一次摸到白球的条件下，第二次摸到白球的概率；
（2）若对摸出的球看完颜色后就放回，这样连续摸了3次，求3次摸球中摸到白球的次数的分布列和均值.
19．（2024高二下·师宗月考）近年来，我国众多新能源汽车制造企业迅速崛起．某企业着力推进技术革新，利润稳步提高．统计该企业2019年至2023年的利润（单位：亿元），得到如图所示的散点图．其中2019年至2023年对应的年份代码依次为1，2，3，4，5．
（1）根据散点图判断，和哪一个适宜作为企业利润y（单位：亿元）关于年份代码x的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）
（2）根据（1）中的判断结果，建立y关于x的回归方程；
（3）根据（2）的结果，估计2024年的企业利润．
参考公式及数据；
，，
，，，，
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】交集及其运算；其他不等式的解法
【解析】【解答】解：不等式等价于且，解得，
则集合，因为集合，所以，
则中有2个元素.
故答案为：B.
【分析】解分式不等式求得集合B，再根据集合的交集运算求解，判断元素个数即可.
2．【答案】B
【知识点】命题的否定
【解析】【解答】解：命题，则为“”.
故答案为：B.
【分析】全称量词命题的否定为存在量词命题直接判断即可.
3．【答案】D
【知识点】不等关系与不等式；利用不等式的性质比较数（式）的大小
【解析】【解答】解：A、当时，满足，但，故A错误；
B、当时，满足，但，故B错误；
C、当时，满足，但，故C错误；
D、因为，，所以，故D正确.
故答案为：D.
【分析】根据不等式的性质，结合特殊值比较大小判断即可.
4．【答案】B
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；一元二次不等式及其解法
【解析】【解答】解：解不等式，可得或，则集合，解不等式，可得或，则集合，
因为是的真子集，所以是的必要不充分条件.
故答案为：B.
【分析】解不等式求得集合、，再利用集合的包含关系，结合充分必要条件的定义判断即可.
5．【答案】D
【知识点】二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系
【解析】【解答】解：不等式的解集是，
则，且和是方程的根，
由韦达定理可得，解得，，则．
故答案为：D．
【分析】由题意可得，和是方程的根，利用韦达定理求得a，b，再求的值即可．
6．【答案】C
【知识点】函数的奇偶性
【解析】【解答】解：函数的定义域为，且满足，
则函数为奇函数，当时，.
故答案为：C.
【分析】先求函数的定义域，再判断函数的奇偶性，结合特殊值判断即可.
7．【答案】B
【知识点】奇函数与偶函数的性质
【解析】【解答】解：由题意可得，，，
，
整理可得，对任意都成立，
，
.
故答案为：B.
【分析】由奇函数的性质得到，再分别代入列出关于的方程，解方程求出的值.
8．【答案】D
【知识点】函数单调性的性质；函数的奇偶性
【解析】【解答】解： 因为函数为偶函数，且在上单调递增，，
所以在上单调递减，，
不等式，则或，解得，或，
即不等式的解集为.
故答案为：D.
【分析】由题意，不等式转化为或求解即可.
9．【答案】A,B,D
【知识点】利用不等式的性质比较数（式）的大小；基本不等式
【解析】【解答】解：对于A，因为，，，
则，故，同理可得，故A正确；
对于B，因为，，，
当且仅当时取等号，故B正确；
对于C，因为，，，则，
则，
当且仅当时，即当时取等号，故C错误；
对于D，由于，故，
当且仅当时取等号，又因为，则，故D正确，
故答案为：ABD.
【分析】由可得，即可判断，同理判断，则判断选项A；利用基本不等式可判断选项B、选项C和选项D，从而找出正确的选项.
10．【答案】A,C
【知识点】函数的最大（小）值；函数的奇偶性；利用导数研究函数的单调性；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】解：A、函数定义域为，定义域关于原点对称，
满足，则函数为奇函数，故A正确；
B、，易知，则函数在，单调递增，再定义域内不具有单调性，故B错误；
C、令，可得，解得，故C正确；
D、当时，，故D错误.
故答案为：AC.
【分析】求函数的定义域，利用函数的奇偶性，导数与函数的单调性的关系，以及零点的求法逐项求解判断即可.
11．【答案】A,C
【知识点】函数的奇偶性；抽象函数及其应用；函数的值
【解析】【解答】解：令，则，
令，则，解得或，
若，则恒成立，不合题意，故，所以A正确；
因为，则，，所以B错误；
因为函数，定义域为R，，
所以函数为偶函数，所以C正确，D错误.
故答案为：AC.
【分析】利用已知条件和赋值法求得，，，可判断出选项A和选项B；利用奇函数的偶函数的定义，则判断出选项C和选项D，从而找出正确的选项.
12．【答案】4
【知识点】奇函数与偶函数的性质
【解析】【解答】解：由题意可得，解得，
所以，当时，，
所以.
故答案为：4.
【分析】由奇函数性质可求得的值，再结合得出的值.
13．【答案】
【知识点】基本不等式
【解析】【解答】解：由题意可得：，
则
，
当且仅当，即，时等号成立，
故的最小值为.
故答案为：.
【分析】由题意可得，再利用基本不等式求最值即可.
14．【答案】
【知识点】奇偶函数图象的对称性；函数的周期性
【解析】【解答】解：因为函数的定义域为，且为偶函数，为奇函数，
则，，
所以，函数的图象关于直线对称，也关于点对称，
所以，，，
所以，，则，
所以，函数是周期为的周期函数，
当时，，则，，，
，，，
，，
所以，，
又因为，所以，.
故答案为：.
【分析】利用奇函数的和偶函数的性质和函数的图象的对称性，从而得出函数是周期为的周期函数，再根据题中条件求出的值，则结合函数的周期性可求得的值.
15．【答案】（1）解：函数的定义域为，，
由题意可得：，即，解得，
则，，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
则在单调递增，在单调递减，
当时，取得极小值，极小值为，符合题意，
故；
（2）解：由（1）可知：，，
令，解得或；令，解得，
则函数的单调递增区间为，单调递减区间为；
（3）解：由（2）可知：函数在上单调递增，在上单调递减，
因为，所以在区间最大值为1，
又因为，所以在区间最小值为.
则在区间上的最大值为1，最小值为.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】（1）求函数的定义域，再求导，根据极值定义和函数值，求得的值，即可得函数的解析式；
（2）利用导数判断函数的单调性，求单调区间即可；
（3）根据在区间上单调性，求得最值即可.
（1）依题意可得，
又当时，取得极值，
所以，即，解得，
所以.
此时，，
时，，单调递增；
时，，单调递减；
时，，单调递增，
所以在单调递增，在单调递减.
所以时，取得极小值，极小值为，符合题意，
所以.
（2）由（1）可知，.
令，解得或；令，解得.
所以的单调递增区间为，单调递减区间为
（3）由（2）可知在上单调递增，在上单调递减，
因为，所以在区间最大值为1，
因为，所以在区间最小值为.
所以在区间上的最大值为1，最小值为.
16．【答案】（1）解：将40份评分按从小到大的顺序排列，，，
，中位数是第20个数80与第21个数82的平均值，
即中位数等于，所以，
列联表 如下：
女生 男生 合计
“满意型”人数 15 5 20
“不满意型”人数 5 15 20
合计 20 20 40
（2）解：由（1）可得，则有的把握认为满意与性别有关.
【知识点】众数、中位数、平均数；独立性检验的应用；2×2列联表
【解析】【分析】（1）先将数据从小到大排序，再求中位数，结合题意完善列联表即可；
（2）根据（1）中数据求，并与临界值对比分析即可.
（1）将40份评分按从小到大的顺序排列，，，
中位数是第20个数80与第21个数82的平均值，
即中位数等于，所以，
女生 男生 合计
“满意型”人数 15 5 20
“不满意型”人数 5 15 20
合计 20 20 40
（2）由（1）可得
所以有的把握认为满意与性别有关.
17．【答案】（1）解：由题意得，列联表如下：
性别 是否热爱钻研数学压轴题 合计
热爱钻研数学压轴题 不热爱钻研数学压轴题
男同学 12 6 18
女同学 4 5 9
合计 16 11 27
零假设为：性别与热爱钻研数学压轴题无关，
，
故依据小概率值的独立性检验，可以认为成立，即性别与是否热爱钻研数学压轴题无关；
（2）解：由题意可得：随机变量的可能取值为，，，
，，，
则的分布列为：
0 1 2
.
【知识点】离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差；超几何分布；2×2列联表
【解析】【分析】（1）由题意完善列联表，计算出卡方值，判断即可；
（2）依题意的可能取值为，，，根据超几何分布的概率公式求出所对应的概率，列分布列，并求期望即可.
（1）由题意得，列联表如下：
性别 是否热爱钻研数学压轴题 合计
热爱钻研数学压轴题 不热爱钻研数学压轴题
男同学 12 6 18
女同学 4 5 9
合计 16 11 27
零假设为：性别与热爱钻研数学压轴题无关，
因为，
故依据小概率值的独立性检验，可以认为成立，即性别与是否热爱钻研数学压轴题无关．
（2）依题意的可能取值为，，，
则，，，
故的分布列为
0 1 2
故．
18．【答案】（1）解：角度一：第一次摸到白球，第二次摸球时袋子中有1个白球，3个黑球，所求概率.
角度二：设“第一次摸到白球”，“第二次摸到白球”，
则，
所求概率；
（2）解：的所有可能取值为.
，，
，，
的分布列为：
0 1 2 3
，的均值.
【知识点】离散型随机变量的期望与方差；条件概率乘法公式
【解析】【分析】（1）根据条件概率公式即可得解；
（2）先写出随机变量的可能取值，再求出概率，即可求出分布列和期望.
19．【答案】（1）解：由散点图的变化趋势，知适宜作为企业利润y（单位：亿元）关于年份代码x的回归方程类型；
（2）解：，，
，
，
则 y关于x的回归方程为：；
（3）解：令，，则估计2024年的企业利润为99.25亿元．
【知识点】回归分析的初步应用
【解析】【分析】（1）利用散点图的变化趋势判断即可；
（2）利用最小二乘法求出即可得回归方程；
（3）由（2）的回归方程，令，求解即可.
（1）由散点图的变化趋势，知适宜作为企业利润y（单位：亿元）关于年份代码x的回归方程类型；
（2）由题意得：，，
，
，
所以；
（3）令，，
估计2024年的企业利润为99.25亿元．
1 / 1云南省曲靖市师宗县平高中学（第四中学）2023-2024学年高二下学期5月月考数学试题
1．（2024高二下·师宗月考）已知集合，则中元素的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【知识点】交集及其运算；其他不等式的解法
【解析】【解答】解：不等式等价于且，解得，
则集合，因为集合，所以，
则中有2个元素.
故答案为：B.
【分析】解分式不等式求得集合B，再根据集合的交集运算求解，判断元素个数即可.
2．（2024高二下·师宗月考） 已知命题，则为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】命题的否定
【解析】【解答】解：命题，则为“”.
故答案为：B.
【分析】全称量词命题的否定为存在量词命题直接判断即可.
3．（2024高二下·师宗月考）已知，则下列一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】不等关系与不等式；利用不等式的性质比较数（式）的大小
【解析】【解答】解：A、当时，满足，但，故A错误；
B、当时，满足，但，故B错误；
C、当时，满足，但，故C错误；
D、因为，，所以，故D正确.
故答案为：D.
【分析】根据不等式的性质，结合特殊值比较大小判断即可.
4．（2024高二下·师宗月考）已知命题p：集合，命题q：集合，则p是q的（ ）条件
A．充分不必要 B．必要不充分
C．充分必要 D．既不充分也不必要
【答案】B
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；一元二次不等式及其解法
【解析】【解答】解：解不等式，可得或，则集合，解不等式，可得或，则集合，
因为是的真子集，所以是的必要不充分条件.
故答案为：B.
【分析】解不等式求得集合、，再利用集合的包含关系，结合充分必要条件的定义判断即可.
5．（2024高二下·师宗月考）不等式的解集是，则的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系
【解析】【解答】解：不等式的解集是，
则，且和是方程的根，
由韦达定理可得，解得，，则．
故答案为：D．
【分析】由题意可得，和是方程的根，利用韦达定理求得a，b，再求的值即可．
6．（2024高二下·师宗月考）我国著名数学家华罗庚先生曾说：数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休．在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来分析函数的图象特征．则函数的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】函数的奇偶性
【解析】【解答】解：函数的定义域为，且满足，
则函数为奇函数，当时，.
故答案为：C.
【分析】先求函数的定义域，再判断函数的奇偶性，结合特殊值判断即可.
7．（2024高二下·师宗月考）若函数为奇函数，则实数（ ）
A．1 B． C．2 D．
【答案】B
【知识点】奇函数与偶函数的性质
【解析】【解答】解：由题意可得，，，
，
整理可得，对任意都成立，
，
.
故答案为：B.
【分析】由奇函数的性质得到，再分别代入列出关于的方程，解方程求出的值.
8．（2024高二下·师宗月考）已知函数为偶函数，且在上单调递增，，则不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】函数单调性的性质；函数的奇偶性
【解析】【解答】解： 因为函数为偶函数，且在上单调递增，，
所以在上单调递减，，
不等式，则或，解得，或，
即不等式的解集为.
故答案为：D.
【分析】由题意，不等式转化为或求解即可.
9．（2024高二下·师宗月考）已知，，，则（ ）
A．且 B． C． D．
【答案】A,B,D
【知识点】利用不等式的性质比较数（式）的大小；基本不等式
【解析】【解答】解：对于A，因为，，，
则，故，同理可得，故A正确；
对于B，因为，，，
当且仅当时取等号，故B正确；
对于C，因为，，，则，
则，
当且仅当时，即当时取等号，故C错误；
对于D，由于，故，
当且仅当时取等号，又因为，则，故D正确，
故答案为：ABD.
【分析】由可得，即可判断，同理判断，则判断选项A；利用基本不等式可判断选项B、选项C和选项D，从而找出正确的选项.
10．（2024高二下·师宗月考）已知函数，则（ ）
A．为奇函数 B．在定义域内单调递增
C．有2个零点 D．的最小值为
【答案】A,C
【知识点】函数的最大（小）值；函数的奇偶性；利用导数研究函数的单调性；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】解：A、函数定义域为，定义域关于原点对称，
满足，则函数为奇函数，故A正确；
B、，易知，则函数在，单调递增，再定义域内不具有单调性，故B错误；
C、令，可得，解得，故C正确；
D、当时，，故D错误.
故答案为：AC.
【分析】求函数的定义域，利用函数的奇偶性，导数与函数的单调性的关系，以及零点的求法逐项求解判断即可.
11．（2024高二下·师宗月考）已知函数满足，则（ ）
A． B．
C．是偶函数 D．是奇函数
【答案】A,C
【知识点】函数的奇偶性；抽象函数及其应用；函数的值
【解析】【解答】解：令，则，
令，则，解得或，
若，则恒成立，不合题意，故，所以A正确；
因为，则，，所以B错误；
因为函数，定义域为R，，
所以函数为偶函数，所以C正确，D错误.
故答案为：AC.
【分析】利用已知条件和赋值法求得，，，可判断出选项A和选项B；利用奇函数的偶函数的定义，则判断出选项C和选项D，从而找出正确的选项.
12．（2024高二下·师宗月考）已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则的值为 .
【答案】4
【知识点】奇函数与偶函数的性质
【解析】【解答】解：由题意可得，解得，
所以，当时，，
所以.
故答案为：4.
【分析】由奇函数性质可求得的值，再结合得出的值.
13．（2024高二下·师宗月考）已知且，则的最小值为 .
【答案】
【知识点】基本不等式
【解析】【解答】解：由题意可得：，
则
，
当且仅当，即，时等号成立，
故的最小值为.
故答案为：.
【分析】由题意可得，再利用基本不等式求最值即可.
14．（2024高二下·师宗月考）设函数的定义域为，且为偶函数，为奇函数，当时，，则 .
【答案】
【知识点】奇偶函数图象的对称性；函数的周期性
【解析】【解答】解：因为函数的定义域为，且为偶函数，为奇函数，
则，，
所以，函数的图象关于直线对称，也关于点对称，
所以，，，
所以，，则，
所以，函数是周期为的周期函数，
当时，，则，，，
，，，
，，
所以，，
又因为，所以，.
故答案为：.
【分析】利用奇函数的和偶函数的性质和函数的图象的对称性，从而得出函数是周期为的周期函数，再根据题中条件求出的值，则结合函数的周期性可求得的值.
15．（2024高二下·师宗月考）已知函数，当时，取得极值．
（1）求的解析式；
（2）求函数的单调区间；
（3）求在区间上的最值．
【答案】（1）解：函数的定义域为，，
由题意可得：，即，解得，
则，，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
则在单调递增，在单调递减，
当时，取得极小值，极小值为，符合题意，
故；
（2）解：由（1）可知：，，
令，解得或；令，解得，
则函数的单调递增区间为，单调递减区间为；
（3）解：由（2）可知：函数在上单调递增，在上单调递减，
因为，所以在区间最大值为1，
又因为，所以在区间最小值为.
则在区间上的最大值为1，最小值为.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】（1）求函数的定义域，再求导，根据极值定义和函数值，求得的值，即可得函数的解析式；
（2）利用导数判断函数的单调性，求单调区间即可；
（3）根据在区间上单调性，求得最值即可.
（1）依题意可得，
又当时，取得极值，
所以，即，解得，
所以.
此时，，
时，，单调递增；
时，，单调递减；
时，，单调递增，
所以在单调递增，在单调递减.
所以时，取得极小值，极小值为，符合题意，
所以.
（2）由（1）可知，.
令，解得或；令，解得.
所以的单调递增区间为，单调递减区间为
（3）由（2）可知在上单调递增，在上单调递减，
因为，所以在区间最大值为1，
因为，所以在区间最小值为.
所以在区间上的最大值为1，最小值为.
16．（2024高二下·师宗月考）某公司新研发了一款智能灯，此灯有拍照搜题功能，学生遇到疑难问题，通过拍照搜题后，会在显示屏上显示该题的解答过程以及该题考查的知识点与相应的解题方法该产品投入市场三个月后，公司对部分用户做了调研：抽取了200位使用者，每人填写一份评分表（满分为100分），现从200份评分表中，随机抽取40份（其中男 女使用者的评分表各20份）
作为样本，经统计得到如下的数据：
女生使用者评分：67，71，72，75，80，83，83，83，84，84，85，86，88，90，90，91，92，92，92，92
男生使用者评分：67，68，69，69，70，72，72，73，74，75，76，76，77，78，79，82，84，84，89，92
记该样本的中位数为，按评分情况将使用.都对该智能灯的态度分为两种类型：评分不小于的称为“满意型”，其余的都称为“不满意型”.
（1）求的值，填写如下列联表
女生评分 男生评分 合计
“满意型”人数
“不满意型”人数
合计
（2）能否有的把握认为满意与性别有关？
参考公式与数据：
0.1 0.05 0.025 0.01
2.706 3.841 5.024 6.635
【答案】（1）解：将40份评分按从小到大的顺序排列，，，
，中位数是第20个数80与第21个数82的平均值，
即中位数等于，所以，
列联表 如下：
女生 男生 合计
“满意型”人数 15 5 20
“不满意型”人数 5 15 20
合计 20 20 40
（2）解：由（1）可得，则有的把握认为满意与性别有关.
【知识点】众数、中位数、平均数；独立性检验的应用；2×2列联表
【解析】【分析】（1）先将数据从小到大排序，再求中位数，结合题意完善列联表即可；
（2）根据（1）中数据求，并与临界值对比分析即可.
（1）将40份评分按从小到大的顺序排列，，，
中位数是第20个数80与第21个数82的平均值，
即中位数等于，所以，
女生 男生 合计
“满意型”人数 15 5 20
“不满意型”人数 5 15 20
合计 20 20 40
（2）由（1）可得
所以有的把握认为满意与性别有关.
17．（2024高二下·师宗月考）近日，一些高校陆续发布了关于在高考中数学或者物理取得优异成绩的学生可以在其强基计划中破格入围的相关政策，引得学生和老师们纷纷关注，成为高考前的一大热点．为此某中学对在校学生“是否热爱钻研数学压轴题”利用分层抽样的方式进行了调查，共调查了18名男同学和9名女同学，调查发现，男、女同学中分别有12人和4人热爱钻研数学压轴题，其余同学均不热爱钻研数学压轴题．
（1）根据以上数据完成以下列联表．
性别 是否热爱钻研数学压轴题 合计
热爱钻研数学压轴题 不热爱钻研数学压轴题
男同学
女同学
合计
并依据小概率值的独立性检验，判断性别与热爱钻研数学压轴题是否有关．
（2）从被调查的女生中随机抽取人，记其中热爱钻研数学压轴题的人数为，求的分布列及数学期望．
附：，其中．
0.15 0.10 0.025 0.01
2.072 2.706 5.024 6.635
【答案】（1）解：由题意得，列联表如下：
性别 是否热爱钻研数学压轴题 合计
热爱钻研数学压轴题 不热爱钻研数学压轴题
男同学 12 6 18
女同学 4 5 9
合计 16 11 27
零假设为：性别与热爱钻研数学压轴题无关，
，
故依据小概率值的独立性检验，可以认为成立，即性别与是否热爱钻研数学压轴题无关；
（2）解：由题意可得：随机变量的可能取值为，，，
，，，
则的分布列为：
0 1 2
.
【知识点】离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差；超几何分布；2×2列联表
【解析】【分析】（1）由题意完善列联表，计算出卡方值，判断即可；
（2）依题意的可能取值为，，，根据超几何分布的概率公式求出所对应的概率，列分布列，并求期望即可.
（1）由题意得，列联表如下：
性别 是否热爱钻研数学压轴题 合计
热爱钻研数学压轴题 不热爱钻研数学压轴题
男同学 12 6 18
女同学 4 5 9
合计 16 11 27
零假设为：性别与热爱钻研数学压轴题无关，
因为，
故依据小概率值的独立性检验，可以认为成立，即性别与是否热爱钻研数学压轴题无关．
（2）依题意的可能取值为，，，
则，，，
故的分布列为
0 1 2
故．
18．（2024高二下·师宗月考） 袋子中有大小相同的2个白球 3个黑球，每次从袋子中随机摸出一个球.
（1）若摸出的球不再放回，求在第一次摸到白球的条件下，第二次摸到白球的概率；
（2）若对摸出的球看完颜色后就放回，这样连续摸了3次，求3次摸球中摸到白球的次数的分布列和均值.
【答案】（1）解：角度一：第一次摸到白球，第二次摸球时袋子中有1个白球，3个黑球，所求概率.
角度二：设“第一次摸到白球”，“第二次摸到白球”，
则，
所求概率；
（2）解：的所有可能取值为.
，，
，，
的分布列为：
0 1 2 3
，的均值.
【知识点】离散型随机变量的期望与方差；条件概率乘法公式
【解析】【分析】（1）根据条件概率公式即可得解；
（2）先写出随机变量的可能取值，再求出概率，即可求出分布列和期望.
19．（2024高二下·师宗月考）近年来，我国众多新能源汽车制造企业迅速崛起．某企业着力推进技术革新，利润稳步提高．统计该企业2019年至2023年的利润（单位：亿元），得到如图所示的散点图．其中2019年至2023年对应的年份代码依次为1，2，3，4，5．
（1）根据散点图判断，和哪一个适宜作为企业利润y（单位：亿元）关于年份代码x的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）
（2）根据（1）中的判断结果，建立y关于x的回归方程；
（3）根据（2）的结果，估计2024年的企业利润．
参考公式及数据；
，，
，，，，
【答案】（1）解：由散点图的变化趋势，知适宜作为企业利润y（单位：亿元）关于年份代码x的回归方程类型；
（2）解：，，
，
，
则 y关于x的回归方程为：；
（3）解：令，，则估计2024年的企业利润为99.25亿元．
【知识点】回归分析的初步应用
【解析】【分析】（1）利用散点图的变化趋势判断即可；
（2）利用最小二乘法求出即可得回归方程；
（3）由（2）的回归方程，令，求解即可.
（1）由散点图的变化趋势，知适宜作为企业利润y（单位：亿元）关于年份代码x的回归方程类型；
（2）由题意得：，，
，
，
所以；
（3）令，，
估计2024年的企业利润为99.25亿元．
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