浙江省湖州市长兴县南太湖联盟2024-2025学年高一下学期3月联考数学试题
1．（2025高一下·长兴月考）设集合，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】交、并、补集的混合运算
【解析】【解答】解：因为，
所以，.
故答案为：A.
【分析】根据已知条件和交集、补集的运算法则，从而得出集合.
2．（2025高一下·长兴月考）已知复数，则复数的虚部为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】复数的基本概念；复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】解：因为，所以复数的虚部为.
【分析】先利用复数的除法运算法则化简复数，再根据复数的虚部定义，从而得出复数z的虚部.
3．（2025高一下·长兴月考）已知a，b，c分别为三个内角A，B，C所对的边，若，则C=（ ）
A． B． C．或 D．
【答案】C
【知识点】正弦定理的应用
【解析】【解答】解：在中，由和正弦定理，
因为，
所以或.
故答案为：C.
【分析】根据已知条件和正弦定理，从而得出角C的值.
4．（2025高一下·长兴月考）已知向量，且，则（ ）
A．－1 B．0 C．1 D．2
【答案】B
【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示；平面向量垂直的坐标表示
【解析】【解答】解：因为向量，
由，得，解得，
由，得，
所以.
故答案为：B.
【分析】根据已知条件和向量垂直的坐标表示、共线向量的坐标表示，从而列式计算得出x，y的值，进而得出x+y的值.
5．（2025高一下·长兴月考）在中，已知，则的面积为（ ）
A． B． C． D．2
【答案】C
【知识点】平面向量数量积定义与物理意义；同角三角函数间的基本关系；三角形中的几何计算
【解析】【解答】解：因为，和，
所以，解得：，
又因为，
所以，
所以.
故答案为：C.
【分析】利用向量点积公式得出，利用同角三角函数关系式得出的值，再利用三角形面积公式得出的面积.
6．（2025高一下·长兴月考）已知向量，若与的夹角为锐角，则实数的取值范围为（ ）
A． B．且
C． D．且
【答案】D
【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示；数量积表示两个向量的夹角
【解析】【解答】解：因为向量，
则，
由与的夹角为锐角，
得，且与不共线，
因此，解得且，
所以实数的取值范围为且.
故答案为：D.
【分析】根据已知条件和数量积求向量的夹角公式，再结合共线向量的坐标表示得出实数的取值范围.
7．（2025高一下·长兴月考）为了测量某塔的高度，检测员在地面A处测得塔顶T处仰角为，从A处向正东方向走了70米到地面B处，测得塔顶T处仰角为，若，则铁塔OT的高度为（ ）米
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】解三角形的实际应用
【解析】【解答】解：设铁塔OT的高度为，
依题意，得：，
在中，由余弦定理得，
则，解得，
所以铁塔OT的高度为米.
故答案为：B.
【分析】根据已知条件，用铁塔的高度表示，再利用余弦定理得出铁塔OT的高度.
8．（2025高一下·长兴月考）已知单位向量，且向量的夹角为，若对任意的恒成立，则实数的值为（ ）
A． B． C． D．－1
【答案】C
【知识点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角；平面向量的数量积运算
【解析】【解答】解：由单位向量，且向量的夹角为，
得，
由，得，
则，
依题意，对任意的，恒成立，
因为，当且仅当时取等号，
所以，整理得，
所以.
故答案为：C.
【分析】根据已知条件和数量积的运算律，再结合不等式恒成立和二次函数求最值的方法，从而得出实数的值.
9．（2025高一下·长兴月考）下列函数中，既是偶函数又在区间上单调递增的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B,C
【知识点】函数单调性的判断与证明；函数的奇偶性
【解析】【解答】解：对于A，因为，故函数不是偶函数，故A错误；
对于B，由二次函数性质知，图象关于轴对称，且在区间上单调递增，故B正确；
对于C，因为的定义域为，且，
所以函数为偶函数，在区间上单调递增，故C正确；
对于D，因为，所以函数在区间上单调递减，故D错误.
故答案为：BC.
【分析】根据函数的奇偶性和函数的单调性，从而逐项判断找出既是偶函数又在区间上单调递增的函数.
10．（2025高一下·长兴月考）已知复数为的共轭复数，则下列结论一定正确的是（ ）
A． B．一定是实数
C．若，则 D．
【答案】A,B,D
【知识点】复数的基本概念；复数代数形式的乘除运算；复数的模；共轭复数
【解析】【解答】解：对于A：设，则，
可得，故A正确；
对于B：令，由，故B正确；
对于C：设，则，，
满足，但，故C错误；
因为，故D正确.
故答案为：ABD.
【分析】由复数的模的定义判断出选项A；根据复数的加法运算法则判断出选项B；举反例判断出选项C；由复数的模的性质可判断选项D，从而找出结论一定正确的选项.
11．（2025高一下·长兴月考）已知平面向量满足，则下列说法正确的为（ ）
A． B．最小值为
C．最大值为 D．
【答案】A,B,D
【知识点】函数的最大（小）值；平面向量数量积的坐标表示、模、夹角；平面向量的数量积运算；利用数量积判断平面向量的垂直关系
【解析】【解答】解：由，
得，解得，
则.
对于A，因为，，
又因为是非零向量，所以，故A正确；
对于B，因为，
当且仅当时取等号，故B正确；
对于C，由，得，
则，即，
当且仅当同向共线时取等号，
又因为，得，故C错误；
对于D，由，得，
则，，
又因为，
所以，故D正确.
故答案为：ABD.
【分析】根据已知条件结合数量积的运算律可得和，再结合两向量垂直数量积为0的等价关系判断出选项A；利用数量积求向量的模的公式和数量积的运算律以及二次函数求最值方法，则判断出选项B；利用已知条件和数量积的运算律和数量积的定义以及一元二次不等式求解方法，则判断出选项C；利用判别式法和向量的夹角的取值范围以及同角三角函数基本关系式，从而得出的取值范围，则判断出选项D，从而找出正确的选项.
12．（2025高一下·长兴月考）已知的周长为，且，则 ．
【答案】
【知识点】正弦定理的应用；三角形中的几何计算
【解析】【解答】解：在中，令三角形中的角所对边分别为，
由，得，
又因为，
所以.
故答案为：.
【分析】利用正弦定理角化边，再结合三角形的周长公式得出AB的长.
13．（2025高一下·长兴月考）已知是方程的一个根，则 ．
【答案】0
【知识点】复数相等的充要条件；方程在复数范围内的解集
【解析】【解答】解：由是方程的一个根，得是该方程的另一根，
则，，
解得，
所以.
故答案为：0.
【分析】根据已知条件和实系数一元二次方程有虚数根的性质，再结合韦达定理得出b，c的值，从而得出b+c的值.
14．（2025高一下·长兴月考）已知正实数x，y满足，则的最大值为 ．
【答案】1
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】解：因为，
所以，则，
所以，
当且仅当时，即当时等号成立.
故答案为：1.
【分析】根据已知条件变形，则待求式转化为一元变量后，再利用基本不等式求最值的方法，从而得出的最大值.
15．（2025高一下·长兴月考）已知复数，其中是虚数单位，
（1）若z为纯虚数，求实数m的值；
（2）若z在复平面内所对应的点在第二象限，求实数m的取值范围．
【答案】（1）解：因为复数为纯虚数，
则，无解，
所以实数m的值的集合为空集.
（2）解：由复数z在复平面内所对应的点在第二象限，
得，解得，
所以实数m的取值范围是.
【知识点】复数的基本概念；复数在复平面中的表示
【解析】【分析】（1）利用复数为纯虚数的判断方法，从而列式求解得出实数m的值.
（2）先求出复数对应的点的坐标，再由点的位置确定所在的象限，从而列出不等式组求解得出实数m的取值范围.
（1）复数为纯虚数，则，无解，
所以实数m的值的集合为空集；
（2）由z在复平面内所对应的点在第二象限，得，解得，
所以实数m的取值范围是.
16．（2025高一下·长兴月考）已知a，b，c分别为三个内角A，B，C所对的边，若．
（1）求的值；
（2）若的面积为，求的值．
【答案】（1）解：由正弦定理可得，
因为，
所以，
又因为，
所以，即.
（2）解：由，又因为，
解得，
又因为，所以，
由余弦定理可得，
则.
【知识点】两角和与差的正弦公式；正弦定理的应用；余弦定理的应用；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）由正弦定理和两角和的正弦公式以及同角三角函数基本关系式，从而得出的值.
（2）由（1）中角A的正切值和三角形面积公式以及余弦定理，从而得出的值.
（1）由正弦定理可得，
又，
所以，
又，
所以，即；
（2）由，又，
解得，
因为，所以，
由余弦定理可得，
即.
17．（2025高一下·长兴月考）已知函数的最大值为1．
（1）求实数a的值；
（2）若在上单调递增，求的值；
（3）在（2）的条件下，若在上恰有2个零点，求实数m的取值范围．
【答案】（1）解：因为函数
，
又因为函数，
解得.
（2）解：当时，，
由在上单调递增，得，解得，
又因为，则.
（3）解：由（1）（2）知，，
由，得，
当时，，
又因为函数在上恰有2个零点，
得，解得.
【知识点】三角函数中的恒等变换应用；含三角函数的复合函数的单调性；含三角函数的复合函数的值域与最值
【解析】【分析】（1）利用两角和与差的正弦公式以及辅助角公式，从而化简函数，再结合正弦型函数求最值的方法和函数f(x)的最大值为1，从而得出的值.
（2）先求出相位所在区间，再由正弦型函数的单调递增区间列出不等式，从而求出的取值范围.
（3）由函数零点可得，结合相位所在区间和零点个数，从而建立不等式求解得出实数m的取值范围.
（1）函数
，
函数，解得，
所以的值是.
（2）当时，，由在上单调递增，得，
解得，而，则，
所以的值是1.
（3）由（1）（2）知，，由，得，
当时，，又函数在上恰有2个零点，
得，解得，
所以实数m的取值范围是.
18．（2025高一下·长兴月考）如图，在中，，线段与线段交于点F．
（1）求的值；
（2）求的值：
（3）若O为内一动点，求的最小值．
【答案】（1）解：由，可得，
在中，由，可知，
由余弦定理得：，
又因为，
由勾股定理得：，
则以为坐标原点，如图建立平面直角坐标系，
则，
由，可得，
所以，
则.
（2）解：由图可得：
（3）解：
设中点为，
同理可得
所以，
在如图所示的直角坐标系中，设，，
则
此时，
过点作轴垂线垂足为，过点作轴垂线垂足为，
则为的八等分点，为的四等分点，
显然此时点在内部，满足题意，
所以取到最小值.
【知识点】平面向量数量积的坐标表示；平面向量的数量积运算；数量积表示两个向量的夹角；余弦定理的应用
【解析】【分析】（1）利用数量积求向量夹角公式和余弦定理，从而得出BD的长，由勾股定理证出为直角，从而建立直角坐标系，则根据向量共线的坐标表示，从而得出点的坐标和向量的坐标，再结合数量积的坐标表示得出的值.
（2）利用已知条件和数量积求向量夹角公式，从而得出的值.
（3）利用极化恒等式把数量积转化为中线与边的关系，再利用向量的坐标运算来表示，最后由几何法得出的最小值.
（1）由可得，，
在中，由可知：，
由余弦定理得：，又因为，
所以由勾股定理可得：，
则以为坐标原点，如图建立平面直角坐标系，
有：，由可得：，
所以，
则；
（2）由图可得：；
（3）由，
设中点为，
同理可得，
所以，
在如图坐标系中，可设，，
则
，
此时，
即点作轴垂线垂足为，点作轴垂线垂足为，
则为的八等分点，为的四等分点，显然此时点在内部，满足题意.所以取到最小值.
19．（2025高一下·长兴月考）若三角形内一点P满足，则称P为三角形的布洛卡点，为三角形的布洛卡角．已知a，b，c分别为三角形三个内角A，B，C所对的边，点P为三角形的布洛卡点，为三角形的布洛卡角．
（1）若，且，求三角形的布洛卡角的余弦值；
（2）若三角形的面积为S．
①证明：；
②当时，求面积S的大小．
【答案】（1）解：如图，设，
因为，
则，
由题意可得，
则，
由余弦定理可得：
，注意到，
则，
则.
（2）①证明：由图可得，
则要证等式右边等于，
由余弦定理得：，
同理可得：，，
则等式右边等于左边，
即.
②解：先证：在三角形中，，
当且仅当三角形为等边三角形取等号，
由海伦公式得，，其中，
则，
故所证不等式等价于证明：
，
即证：，
即证：
注意到，
则
，
注意到
，
则，即，
当且仅当三角形为等边三角形时取等号，
当时，由①得，，
由以上证明不等式取等条件可得，此时三角形为等边三角形，
则.
【知识点】余弦定理的应用；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）设，由题意和余弦定理以及，从而可得，再由余弦定理可得三角形的布洛卡角的余弦值.
（2）①注意到，则可得需证等式右边为，再利用余弦定理证出.
②由海伦公式和恒等变形，则在三角形中，，当且仅当三角形为等边三角形取等号，再结合题意得出面积S的大小.
（1）如图设，因，
则，由题可得，
则，由余弦定理，可得：
，注意到.
则.
则；
（2）①由图可得，
则要证等式右边等于，
由余弦定理，，
同理可得：，.
则要证等式右边等于左边；
②先证：在三角形中，，当且仅当三角形为等边三角形取等号.
由海伦公式，，其中.
则.
故所证不等式等价于证明：
，
即证：，
即证：，
注意到，
.
则
.
注意到
，则，
即，当且仅当三角形为等边三角形时取等号.
当时，由①，，由以上证明不等式取等条件可得，
此时三角形为等边三角形，则.
1 / 1浙江省湖州市长兴县南太湖联盟2024-2025学年高一下学期3月联考数学试题
1．（2025高一下·长兴月考）设集合，则（ ）
A． B． C． D．
2．（2025高一下·长兴月考）已知复数，则复数的虚部为（ ）
A． B． C． D．
3．（2025高一下·长兴月考）已知a，b，c分别为三个内角A，B，C所对的边，若，则C=（ ）
A． B． C．或 D．
4．（2025高一下·长兴月考）已知向量，且，则（ ）
A．－1 B．0 C．1 D．2
5．（2025高一下·长兴月考）在中，已知，则的面积为（ ）
A． B． C． D．2
6．（2025高一下·长兴月考）已知向量，若与的夹角为锐角，则实数的取值范围为（ ）
A． B．且
C． D．且
7．（2025高一下·长兴月考）为了测量某塔的高度，检测员在地面A处测得塔顶T处仰角为，从A处向正东方向走了70米到地面B处，测得塔顶T处仰角为，若，则铁塔OT的高度为（ ）米
A． B． C． D．
8．（2025高一下·长兴月考）已知单位向量，且向量的夹角为，若对任意的恒成立，则实数的值为（ ）
A． B． C． D．－1
9．（2025高一下·长兴月考）下列函数中，既是偶函数又在区间上单调递增的是（ ）
A． B． C． D．
10．（2025高一下·长兴月考）已知复数为的共轭复数，则下列结论一定正确的是（ ）
A． B．一定是实数
C．若，则 D．
11．（2025高一下·长兴月考）已知平面向量满足，则下列说法正确的为（ ）
A． B．最小值为
C．最大值为 D．
12．（2025高一下·长兴月考）已知的周长为，且，则 ．
13．（2025高一下·长兴月考）已知是方程的一个根，则 ．
14．（2025高一下·长兴月考）已知正实数x，y满足，则的最大值为 ．
15．（2025高一下·长兴月考）已知复数，其中是虚数单位，
（1）若z为纯虚数，求实数m的值；
（2）若z在复平面内所对应的点在第二象限，求实数m的取值范围．
16．（2025高一下·长兴月考）已知a，b，c分别为三个内角A，B，C所对的边，若．
（1）求的值；
（2）若的面积为，求的值．
17．（2025高一下·长兴月考）已知函数的最大值为1．
（1）求实数a的值；
（2）若在上单调递增，求的值；
（3）在（2）的条件下，若在上恰有2个零点，求实数m的取值范围．
18．（2025高一下·长兴月考）如图，在中，，线段与线段交于点F．
（1）求的值；
（2）求的值：
（3）若O为内一动点，求的最小值．
19．（2025高一下·长兴月考）若三角形内一点P满足，则称P为三角形的布洛卡点，为三角形的布洛卡角．已知a，b，c分别为三角形三个内角A，B，C所对的边，点P为三角形的布洛卡点，为三角形的布洛卡角．
（1）若，且，求三角形的布洛卡角的余弦值；
（2）若三角形的面积为S．
①证明：；
②当时，求面积S的大小．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】交、并、补集的混合运算
【解析】【解答】解：因为，
所以，.
故答案为：A.
【分析】根据已知条件和交集、补集的运算法则，从而得出集合.
2．【答案】A
【知识点】复数的基本概念；复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】解：因为，所以复数的虚部为.
【分析】先利用复数的除法运算法则化简复数，再根据复数的虚部定义，从而得出复数z的虚部.
3．【答案】C
【知识点】正弦定理的应用
【解析】【解答】解：在中，由和正弦定理，
因为，
所以或.
故答案为：C.
【分析】根据已知条件和正弦定理，从而得出角C的值.
4．【答案】B
【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示；平面向量垂直的坐标表示
【解析】【解答】解：因为向量，
由，得，解得，
由，得，
所以.
故答案为：B.
【分析】根据已知条件和向量垂直的坐标表示、共线向量的坐标表示，从而列式计算得出x，y的值，进而得出x+y的值.
5．【答案】C
【知识点】平面向量数量积定义与物理意义；同角三角函数间的基本关系；三角形中的几何计算
【解析】【解答】解：因为，和，
所以，解得：，
又因为，
所以，
所以.
故答案为：C.
【分析】利用向量点积公式得出，利用同角三角函数关系式得出的值，再利用三角形面积公式得出的面积.
6．【答案】D
【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示；数量积表示两个向量的夹角
【解析】【解答】解：因为向量，
则，
由与的夹角为锐角，
得，且与不共线，
因此，解得且，
所以实数的取值范围为且.
故答案为：D.
【分析】根据已知条件和数量积求向量的夹角公式，再结合共线向量的坐标表示得出实数的取值范围.
7．【答案】B
【知识点】解三角形的实际应用
【解析】【解答】解：设铁塔OT的高度为，
依题意，得：，
在中，由余弦定理得，
则，解得，
所以铁塔OT的高度为米.
故答案为：B.
【分析】根据已知条件，用铁塔的高度表示，再利用余弦定理得出铁塔OT的高度.
8．【答案】C
【知识点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角；平面向量的数量积运算
【解析】【解答】解：由单位向量，且向量的夹角为，
得，
由，得，
则，
依题意，对任意的，恒成立，
因为，当且仅当时取等号，
所以，整理得，
所以.
故答案为：C.
【分析】根据已知条件和数量积的运算律，再结合不等式恒成立和二次函数求最值的方法，从而得出实数的值.
9．【答案】B,C
【知识点】函数单调性的判断与证明；函数的奇偶性
【解析】【解答】解：对于A，因为，故函数不是偶函数，故A错误；
对于B，由二次函数性质知，图象关于轴对称，且在区间上单调递增，故B正确；
对于C，因为的定义域为，且，
所以函数为偶函数，在区间上单调递增，故C正确；
对于D，因为，所以函数在区间上单调递减，故D错误.
故答案为：BC.
【分析】根据函数的奇偶性和函数的单调性，从而逐项判断找出既是偶函数又在区间上单调递增的函数.
10．【答案】A,B,D
【知识点】复数的基本概念；复数代数形式的乘除运算；复数的模；共轭复数
【解析】【解答】解：对于A：设，则，
可得，故A正确；
对于B：令，由，故B正确；
对于C：设，则，，
满足，但，故C错误；
因为，故D正确.
故答案为：ABD.
【分析】由复数的模的定义判断出选项A；根据复数的加法运算法则判断出选项B；举反例判断出选项C；由复数的模的性质可判断选项D，从而找出结论一定正确的选项.
11．【答案】A,B,D
【知识点】函数的最大（小）值；平面向量数量积的坐标表示、模、夹角；平面向量的数量积运算；利用数量积判断平面向量的垂直关系
【解析】【解答】解：由，
得，解得，
则.
对于A，因为，，
又因为是非零向量，所以，故A正确；
对于B，因为，
当且仅当时取等号，故B正确；
对于C，由，得，
则，即，
当且仅当同向共线时取等号，
又因为，得，故C错误；
对于D，由，得，
则，，
又因为，
所以，故D正确.
故答案为：ABD.
【分析】根据已知条件结合数量积的运算律可得和，再结合两向量垂直数量积为0的等价关系判断出选项A；利用数量积求向量的模的公式和数量积的运算律以及二次函数求最值方法，则判断出选项B；利用已知条件和数量积的运算律和数量积的定义以及一元二次不等式求解方法，则判断出选项C；利用判别式法和向量的夹角的取值范围以及同角三角函数基本关系式，从而得出的取值范围，则判断出选项D，从而找出正确的选项.
12．【答案】
【知识点】正弦定理的应用；三角形中的几何计算
【解析】【解答】解：在中，令三角形中的角所对边分别为，
由，得，
又因为，
所以.
故答案为：.
【分析】利用正弦定理角化边，再结合三角形的周长公式得出AB的长.
13．【答案】0
【知识点】复数相等的充要条件；方程在复数范围内的解集
【解析】【解答】解：由是方程的一个根，得是该方程的另一根，
则，，
解得，
所以.
故答案为：0.
【分析】根据已知条件和实系数一元二次方程有虚数根的性质，再结合韦达定理得出b，c的值，从而得出b+c的值.
14．【答案】1
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】解：因为，
所以，则，
所以，
当且仅当时，即当时等号成立.
故答案为：1.
【分析】根据已知条件变形，则待求式转化为一元变量后，再利用基本不等式求最值的方法，从而得出的最大值.
15．【答案】（1）解：因为复数为纯虚数，
则，无解，
所以实数m的值的集合为空集.
（2）解：由复数z在复平面内所对应的点在第二象限，
得，解得，
所以实数m的取值范围是.
【知识点】复数的基本概念；复数在复平面中的表示
【解析】【分析】（1）利用复数为纯虚数的判断方法，从而列式求解得出实数m的值.
（2）先求出复数对应的点的坐标，再由点的位置确定所在的象限，从而列出不等式组求解得出实数m的取值范围.
（1）复数为纯虚数，则，无解，
所以实数m的值的集合为空集；
（2）由z在复平面内所对应的点在第二象限，得，解得，
所以实数m的取值范围是.
16．【答案】（1）解：由正弦定理可得，
因为，
所以，
又因为，
所以，即.
（2）解：由，又因为，
解得，
又因为，所以，
由余弦定理可得，
则.
【知识点】两角和与差的正弦公式；正弦定理的应用；余弦定理的应用；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）由正弦定理和两角和的正弦公式以及同角三角函数基本关系式，从而得出的值.
（2）由（1）中角A的正切值和三角形面积公式以及余弦定理，从而得出的值.
（1）由正弦定理可得，
又，
所以，
又，
所以，即；
（2）由，又，
解得，
因为，所以，
由余弦定理可得，
即.
17．【答案】（1）解：因为函数
，
又因为函数，
解得.
（2）解：当时，，
由在上单调递增，得，解得，
又因为，则.
（3）解：由（1）（2）知，，
由，得，
当时，，
又因为函数在上恰有2个零点，
得，解得.
【知识点】三角函数中的恒等变换应用；含三角函数的复合函数的单调性；含三角函数的复合函数的值域与最值
【解析】【分析】（1）利用两角和与差的正弦公式以及辅助角公式，从而化简函数，再结合正弦型函数求最值的方法和函数f(x)的最大值为1，从而得出的值.
（2）先求出相位所在区间，再由正弦型函数的单调递增区间列出不等式，从而求出的取值范围.
（3）由函数零点可得，结合相位所在区间和零点个数，从而建立不等式求解得出实数m的取值范围.
（1）函数
，
函数，解得，
所以的值是.
（2）当时，，由在上单调递增，得，
解得，而，则，
所以的值是1.
（3）由（1）（2）知，，由，得，
当时，，又函数在上恰有2个零点，
得，解得，
所以实数m的取值范围是.
18．【答案】（1）解：由，可得，
在中，由，可知，
由余弦定理得：，
又因为，
由勾股定理得：，
则以为坐标原点，如图建立平面直角坐标系，
则，
由，可得，
所以，
则.
（2）解：由图可得：
（3）解：
设中点为，
同理可得
所以，
在如图所示的直角坐标系中，设，，
则
此时，
过点作轴垂线垂足为，过点作轴垂线垂足为，
则为的八等分点，为的四等分点，
显然此时点在内部，满足题意，
所以取到最小值.
【知识点】平面向量数量积的坐标表示；平面向量的数量积运算；数量积表示两个向量的夹角；余弦定理的应用
【解析】【分析】（1）利用数量积求向量夹角公式和余弦定理，从而得出BD的长，由勾股定理证出为直角，从而建立直角坐标系，则根据向量共线的坐标表示，从而得出点的坐标和向量的坐标，再结合数量积的坐标表示得出的值.
（2）利用已知条件和数量积求向量夹角公式，从而得出的值.
（3）利用极化恒等式把数量积转化为中线与边的关系，再利用向量的坐标运算来表示，最后由几何法得出的最小值.
（1）由可得，，
在中，由可知：，
由余弦定理得：，又因为，
所以由勾股定理可得：，
则以为坐标原点，如图建立平面直角坐标系，
有：，由可得：，
所以，
则；
（2）由图可得：；
（3）由，
设中点为，
同理可得，
所以，
在如图坐标系中，可设，，
则
，
此时，
即点作轴垂线垂足为，点作轴垂线垂足为，
则为的八等分点，为的四等分点，显然此时点在内部，满足题意.所以取到最小值.
19．【答案】（1）解：如图，设，
因为，
则，
由题意可得，
则，
由余弦定理可得：
，注意到，
则，
则.
（2）①证明：由图可得，
则要证等式右边等于，
由余弦定理得：，
同理可得：，，
则等式右边等于左边，
即.
②解：先证：在三角形中，，
当且仅当三角形为等边三角形取等号，
由海伦公式得，，其中，
则，
故所证不等式等价于证明：
，
即证：，
即证：
注意到，
则
，
注意到
，
则，即，
当且仅当三角形为等边三角形时取等号，
当时，由①得，，
由以上证明不等式取等条件可得，此时三角形为等边三角形，
则.
【知识点】余弦定理的应用；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）设，由题意和余弦定理以及，从而可得，再由余弦定理可得三角形的布洛卡角的余弦值.
（2）①注意到，则可得需证等式右边为，再利用余弦定理证出.
②由海伦公式和恒等变形，则在三角形中，，当且仅当三角形为等边三角形取等号，再结合题意得出面积S的大小.
（1）如图设，因，
则，由题可得，
则，由余弦定理，可得：
，注意到.
则.
则；
（2）①由图可得，
则要证等式右边等于，
由余弦定理，，
同理可得：，.
则要证等式右边等于左边；
②先证：在三角形中，，当且仅当三角形为等边三角形取等号.
由海伦公式，，其中.
则.
故所证不等式等价于证明：
，
即证：，
即证：，
注意到，
.
则
.
注意到
，则，
即，当且仅当三角形为等边三角形时取等号.
当时，由①，，由以上证明不等式取等条件可得，
此时三角形为等边三角形，则.
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