8.6 空间距离问题 课件(共14张PPT)2024-2025学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

(共14张PPT)
第八章 立体几何初步
空间距离问题
了解感知
1.点到平面的距离？
如图，过P点向平面α作垂线，垂足为A，线段PA的长称为点P到平面α的距离.
2.直线到平面的距离？
一条直线与一个平面平行时，这条直线上任意一点到这个平面的距离，叫做这条直线到这个平面的距离.
a
l
A
B
3.平面到平面的距离？
如果两个平面平行，则其中一个平面内的任意一点到另一个平面的距离叫做这两个平行平面间的距离.
类比平面内点与点的距离和点到直线的距离，思考下列问题。
探究未知
例1.如图，在棱长为的正方体中求出下列距离：
（1）点到平面的距离；
（2）点到平面的距离；
（3）到平面的距离；
（4）平面到平面的距离.
作高求高
（1)连接AC，交BD于点O,由题可知，AO⊥BD,AO⊥
∵ ,BD 平面,且交于点B
∴AO⊥平面
∵ AO 平面=点O
∴AO为点到平面的距离
AO=AC==
所以点A到平面BB,D,D的距离为
o
探究未知
例1.如图，在棱长为1的正方体中求出下列距离：
（2）点到平面的距离；等体积求高
h
解：（2）设点C到平面BDC的距离为h,三棱锥的体积为V
V==== h
解得：h=
所以点C到平面BDC的距离为a
探究未知
例1.如图，在棱长为1的正方体中求出下列距离：
（3）到平面的距离；
由题可知：
∴
到平面的距离为点A到平面的距离
由（2）的方法，三棱锥
V==== h
解得：h=
所以点到平面BDC的距离为
例1.如图，在棱长为的正方体中求出下列距离：
（4）平面到平面的距离.
由题易知：
平面,平面
,，且交于点A
∴平面
∴平面到平面的距离为点A到平面的距离
由（2）可知
∴平面到平面的距离为
探究未知
例2.已知在长方体中，棱=3，AB=4．求：
(1)点到平面的距离；
(2)到平面的距离．
探究未知
【详解】
（1）如图，过点作E⊥于点E．
由题意知BC⊥平面，且 平面
∴⊥平面
∴长即为所求
在Rt△中，===
∴点到平面的距离为．
例2.已知在长方体中，棱=3，AB=4．求：
(1)点到平面的距离；
(2)到平面的距离．
探究未知
（2）∵，且 平面
∴∥平面
∴点到平面的距离即为所求
∴ 点到平面的距离为．
方法总结
空间中的距离
①点到平面的距离
②直线到平面的距离
a
l
A
B
③平面到平面的距离
空间中的距离问题，一般都可以转化成点到直线的距离，常用方法：等体积法。
知识迁移
1.如图，在底面是直角梯形的四棱锥中，侧棱底面，，，，求到平面的距离.
解：由题可知，
∴到平面的距离为点A到平面的距离
设点A到平面的距离为h
三棱锥的体积为V
∵PA⊥底面
∴PA⊥AC
AC==
= , =
V= = = = h
解得：h=
∴到平面的距离为
知识迁移
2．如图，已知四棱锥P-ABCD的底面是正方形，PA⊥底面ABCD，AP=AB=AD=2，E是侧棱PB的中点.
(1)证明：AE⊥平面PBC；
(2)求异面直线AE与PD所成的角；
(3)求直线AB到平面PCD的距离.
知识迁移
2．如图，已知四棱锥P-ABCD的底面是正方形，PA⊥底面ABCD，AP=AB=AD=2，E是侧棱PB的中点.
(2)求异面直线AE与PD所成的角；
知识迁移
2．如图，已知四棱锥P-ABCD的底面是正方形，PA⊥底面ABCD，AP=AB=AD=2，E是侧棱PB的中点.
(3)求直线AB到平面PCD的距离.
本节课到此结束