24.2.2 直线和圆的位置关系 教学设计 （表格式） 人教版数学九年级上册

课题 直线和圆的位置关系
教材 人教版义务教育教科书九年级上册数学第二十四章第二节
课型 新授课 课时安排 一课时
一、教材分析
简述教材内容：《直线与圆的位置关系》是人教版义务教育教科书九年级上册数学第二十四章第二节内容。本节包括直线与圆相交、相切、相离的三种位置关系介绍，以及各种位置关系下所表现出来的公共点的个数情况和圆心到直线的距离与半径的大小关系。展示了从定性和定量两个方面刻画位置关系这一主题。 从知识结构分析：学生在七年级已学习了直线与直线的位置关系，并且用距离与角的大小来刻画，在本单元前一节还学习了点与圆的位置关系，并用点到圆心的距离与圆的半径的大小关系来刻画他们的位置关系，这些都是学生学习直线与圆的位置关系的宝贵经验。同时本节内容也是点与圆位置关系的延续，为今后学习《切线的判定和性质》与《圆与圆的位置关系》等知识打下坚实的基础。因此，本节内容在教学中占有重要的地位，起着承上启下的作用。 从方法论的角度分析：运用运动变化的生活实例揭示知识的发生过程，抽象出数学问题；从定性和定量两个角度展开，拓宽学生的思维广度；采取分类讨论、分析、比较的方法探讨直线和圆的位置关系的定性刻画，在定量刻画上渗透联想、类比、转化、数形结合的思想方法。
二、学情分析
1.认知基础 （1）学生的知识储备：已学习直线和圆，知道直线由点构成，具有无限延伸性和圆的封闭性；已学习“点和圆的位置关系”，能从定性、定量两个角度描述点与圆的三种位置关系；已学习“点到直线的距离”，知道其定义和垂线段最短的性质；已学习反证法，了解用反证法证明命题的一般步骤。 （2）学生的学习特点：九年级学生活泼好动，好奇心和求知欲都非常强，有一定的分析力，归纳力；接触了一定数量的数学思想方法，熟悉常用的思想方法，具有一定的逻辑推理能力；形象思维发展水平较高，思维的独立性和批判性明显发展，但容易产生片面性和表面性特点。
2.认知困难 （1）对反证法的证明思路仍不熟悉； （2）不易找到定量刻画直线和圆的位置关系的思路来源； （3）对论证刻画直线和圆的位置关系的数量关系的互推出发点存在困惑。
三、教学目标
1.知识与技能 （1）理解直线和圆相交、相切、相离的概念。 （2）通过画图，归纳出定性判断（根据公共点个数）直线与圆的位置关系的方法。 （3）能利用圆心到直线的距离与圆的半径之间的数量关系判断直线与圆的位置关系。
2.过程与方法 （1）体验动画、动手操作探究，抽象出具体情境的几何要素，并经历分类讨论的方法归纳三种位置关系。 （2）经历独立和合作探索定量刻画直线和圆位置关系的过程，感悟数形结合、运动变化、类比、转化的数学思想，发展辨析、决策和创新能力。
3.情感态度与价值观 （1）体会用运动变化的观点看待生活和数学的联系，体会量变到质变的辩证唯物主义观点。 （2）感受人类理性思维的作用与现实世界的联系，形成正确的数学观； （3）在探索知识的过程中发现、体会“数学美”。
四、教学重点、难点
重点 探索直线和圆的三种位置关系，以及位置关系的性质与判定。
难点 找到圆心到直线的距离和半径的数量关系与直线和圆的位置关系的联系。
五、教学用具
黑板，多媒体，PPT，小蜜蜂、直尺、圆规、板书卡
六、教学流程
七、教学过程
教学环节 教学内容 教师活动 学生活动 设计意图
(一) 温 故 知 新 铺 设 台 阶 【问题1】点与圆的位置关系有几种？ 预设回答：三种：点在圆内、点在圆上、点在圆外。 【问题2】判定点与圆的位置关系的方法是什么？ 预设回答：（定量判断）比较点到圆心O的距离 d与半径 r的大小。当d>r,点在圆外；当d=r，点在圆上；当d(二) 探 究 学 习 引 出 概 念 情境导入 初步探索直线和圆的位置关系 同学们看过日出或者日落吗 日出和日落过程中也蕴藏着数学知识。我们一起来欣赏一段日出的景象，看看你能发现哪些数学知识。 【问题1】将太阳看作圆，地平线看作直线，在日出过程中，你能获取多少直线和圆的位置情况？在纸上画一条直线，用钥匙环进行模拟移动，画出各种情况的简笔画。 预设学生会提出两种、三种和无数种三种回答。 【追问】这么多的简笔画，你能否将它们分分类？说说，你的分类依据是什么？ 预设回答：根据交点的个数可以分为三类，分别是两个交点、一个交点、没有交点这三种情况。 教师揭示结果，进行分别介绍。 【问题2】根据公共点个数划分，你确信只有这三种情况吗 直线和圆会不会有第三个公共点？ （反证法）假设有第三个公共点。 设三个交点为A、B、C，则有AB、BC在一条直线上且它们都是直线。而三个交点又同时在一个圆上，但圆上没有直线。所以矛盾。因此，直线和圆最多有两个公共点。 【问题3】这个证明给你什么启发？ 预设有多种回答，教师着重强调公共点既在圆上，又在直线上。 【小结】 根据公共点个数划分，直线和圆有三种位置关系： 相交（2个公共点）、相切（1个公共点）、相离（无公共点） 教师抛出问题后播放情境视频，引导学生模拟操作，发现新知。 教师板书，用生动性语言进行讲解。 教师提问，之后进行分析讲解。 学生带着问题观看视频，动手操作实践，探索新知，在教师引导下思考作答。 学生认真听讲。 学生思考，尝试作答，之后认真听讲，回答问题。 基于生活经验，激发学生的 学习兴趣；操作性的回答，比口头描述、眼睛观看更能使学生快速地集中注意力；初步让学生了解三种位置关系以及它们的区别。 引导学生反思，促使学生从直观感知上升为理性思维。同时，帮助发展水平低的学生理清公共点的定义，跟上教学。
探究 定量刻画直线和圆的位置关系 【问题1】如图，在矩形ABCD中，AB=3cm，AD=4cm. 现以点A为圆心，2.5cm为半径画圆。所画圆与AB、CD的位置关系如何？为什么？圆与BD的关系如何？ 预设回答：（1）圆与AB相交。延长AB，直线与圆有两个公共点。 （2）圆与CD相离。延长CD，直线与圆永远没有公共点。 （3）圆与BD的位置关系存在争议。 【问题2】仅通过公共点个数定性判断直线和圆的位置关系直线与圆的位置关系并不精确。你有更精确的方法吗？ 预设回答：类比点和圆的位置关系的刻画方式，对直线和圆的位置关系也进行定量刻画。 【小组讨论】 固定一个圆，让一条直线做平移运动。再观察直线与圆相交、相切、相离的不同运动状态，你能发现什么数量关系？对于用它们来刻画直线与圆的位置关系，你有什么依据？ 生汇报：如果圆的半径是r，圆心到直线的距离表示为d，若圆心到直线的距离小于半径，即dr，则直线和圆相离。 【问题3】非常棒，你是怎么想到用这种方法的呢？ 师引导生进行积极联想，理清思路来源： 【问题4】对于你所推得的刻画直线和圆的位置关系的数量关系，你能举例说说你的依据吗？（小问题引导eg：为什么直线和圆相离，d就大于r？反过来，d>r能推出直线和圆相离吗？） 生尝试回答后师举例子推理说明。 以直线和圆相离为例： 正推： 逆推： 同样地，我们可以采取这种推理思路论证直线和圆相交、相切时与其数量关系的情况。 【小结】 【问题4】刚才我们利用了垂线段和垂足来表述直线与圆的关系，那么在这三种关系中，垂足和圆有什么关系呢？ 预设回答：当直线与圆相交时，垂足在圆内；当直线与圆相切时，垂足在圆上；当直线与圆相离时，垂足在圆外。刚好对应点与圆的三种位置关系！ 教师操作多媒体呈现题目，引导学生思考作答。适当指名学生回答。 教师提问，指定小组汇报。 教师提问，引导学生有条理地梳理思路来源，点明探究新知的方法。 教师举例，用启发性问题引导学生进行逻辑推理。 学生思考后根据教师的指示集体或单独回答。 学生进行小组讨论后被指名小组派代表成员汇报成果。 代表学生跟随教师指引尝试作答，其他学生边思考边认真听讲。 学生带着思考结果在教师引导下正确作答，感悟推理过程。 用练习引进更深入的探究，目的有三：一是熟悉、优化三种位置关系的定义；二是有争议、有困惑的问题，激发进一步学习的兴趣，体会用数量关系来刻画位置关系的必要 性；三是发展学生的合情推理能力，增强学生 分析问题、解决问题的能力。 验证规律的正确性，并证明出双向推出符号的正确性；三个分类中，选取一个进行重点讲解，理清推理思路，启发学生自主进行其他两个规律的推理。 教师在讲解过程中通过引导性问题促使学生正确作答，使学生能较为容易地掌握；将“直线与圆的位置关系” 转化成“点与圆的位置关系”，点明图形间的位置关系与数量刻画之间的内在联系，有利于学生数学思维的发展。
(四)学 以 致 用 巩 固 新 知 练习1 已知☉Ｏ的半径r为1，圆心Ｏ到直线l的距离为ｄ，若ｄ＝2，则直线ｌ与☉Ｏ的位置关系为______. 练习2 已知☉Ｏ的半径r为１，圆心Ｏ到直线ｌ的距离为ｄ，若点Ａ在直线ｌ上,OA＝1，则直线ｌ与☉Ｏ的位置关系为______． 练习3 直线ｌ与半径为ｒ的☉Ｏ相交，圆心Ｏ到直线ｌ的距离为2，则ｒ的取值范围为_______． 练习4 如图,点P在∠AOB的角平分线上，☉Ｐ与OB相切，证明：☉Ｐ与OA相切． 教师通过多媒体呈现题目，适当分析题目引导学生往正确的方向思考作答。 学生通过头脑回忆、打草稿等方式认真思考作答。 通过分层练习，使学生从正、逆方向体会知识点的灵活应用。
(五)归 纳 小 结 优 化 认 知 课堂小结 【问题1】本节课学习了哪些新的知识？直线与圆的三种位置关系是什么？有哪些刻画方式？ 【问题2】 对于定性刻画，我们是按照什么标准进行分类？如何刻画？涉及到什么数学思想方法？ 【问题3】对于定量刻画，我们用了什么研究思路？涉及到什么数学思想方法？ 教师边引导学生尝试脱离课本和多媒体进行本节课的内容复习，边操作ppt呈现思维导图。 学生回忆并集体回答，整体巩固本节课内容。 通过具体的问题，引导学生 从整体到局部把握新知，对本节课进行概括提升，形成“结构化的总结”。
(六) 课 后 作 业 深 化 提 高 课后练习 【基础练习】教科书24.2.2课后练习。 【课后思考】反思本节课的研究方法，你能否利用它们来研究其他图形的位置关系？（例如圆与圆的位置关系） 教师布置作业。 学生在课本记下作业。 通过课后练习加强对知识点的巩固；反思方法梳理消化，尝试举一反三，灵活运用。
八、板书设计