安徽省2025年普通高等学校招生全国统一考试数学冲刺卷（二）（含详解）

2025年安徽省普通高等学校招生全国统一考试
数学冲刺卷（二）
本试卷共150分　考试时间120分钟
注意事项：
1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.一组样本数据为2，2，3，3，4，6，7，8，9，9，则该组数据的第50百分位数为
A.3 B.4 C.5 D.6
2.若椭圆+=1的一个焦点的坐标是(0，2)，则实数k的值为
A.1 B.9 C.3 D.7
3.如图所示，矩形ABCD的对角线相交于点O，E为AO的中点，若=λ+μ，则λ-μ=
A.1 B. C.- D.
4.若函数f(x)=loga(x2-ax+a)(a>0，且a≠1)在R上存在最小值，则实数a的取值范围是
A.15.花灯，又名“彩灯”“灯笼”，是中国传统的文化产物，兼具生活功能与艺术特色.如图，现有悬挂着的6盏不同的花灯需要取下，每次取1盏，而且只能从下往上取，则不同取法的种数为
A.180 B.120 C.60 D.90
6.若sinα+=3sinα-，则tan2α-=
A. B.2 C. D.
7.如图，已知M，N为双曲线G：-=1(a>0，b>0)上关于原点对称的两点，点M与点Q关于x轴对称，=，直线NE交双曲线G的右支于点P.若·=0，则双曲线G的离心率为
A. B. C. D.
8.如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，点O为底面ABCD的中心，点P在侧面BB1C1C的边界及其内部运动，若D1O⊥OP，则C1P的最小值为
A. B. C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.已知函数f(x)=2sin2x+，则下列结论正确的有
A.f(x)的图象关于点-，0中心对称
B.f(x)在上单调递增
C.fx-的图象关于y轴对称
D.将f(x)的图象上所有点的横坐标缩小为原来的，得到g(x)=2sin4x+的图象
10.已知复数z=-+i，则下列结论正确的有
A.z2= B.()2≠z C.= D.z3=1
11.已知函数f(x)对任意的x，y∈R，恒有f(x+y)+f(x-y)=f(x)·f(y)，且f(1)=1，则下列结论正确的有
A.f(0)=2 B.f(x)为奇函数
C.[f(3)]2>f(6)+1 D.6是函数f(x)的一个周期
题序 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
答案
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.已知集合A={x|x>0}，B={-2，0，a}，( RA)∩B={-2，0}，则实数a的取值范围是　　　　　.
13.如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=AA1=1，BC=2，AB⊥BC，则点B到平面AB1C1的距离为　　　　，若三棱锥A-A1B1C1的顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为　　　　.
14.已知正实数x，y满足xex=ln，则+ln y的最小值为　　　　.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(13分)已知等差数列{an}，a2=5，a5=14.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)若数列{bn}满足bn=(-1)nan+2n+1，求数列{bn}的前2n项和T2n.
16.(15分)小张家的消毒柜里装有5个型号相同的杯子，其中2个是玻璃杯，3个是纸杯.小张每次使用杯子时，从消毒柜中随机地取出1个杯子，若取出的是纸杯，则使用后直接放入垃圾袋中，若取出的是玻璃杯，则使用后经过清洗再次放入消毒柜中，以备下次取用.
(1)求在第2次取出的是玻璃杯的条件下，第1次取出的是纸杯的概率；
(2)若取了3次，取出的纸杯的个数为X，求X的分布列及数学期望.
17.(15分)如图，在四棱台ABCD-A1B1C1D1中，已知AB∥CD，DA=DC=2，AB=C1D1=1，∠BAD=60°，D1D⊥AD，AB⊥BD1，DD1=.
(1)证明：D1D⊥平面ABCD.
(2)求二面角B- CC1-D的余弦值.
18.(17分)已知函数f(x)=(x-1)e2x.
(1)求函数f(x)的图象在点(0，f(0))处的切线方程；
(2)求函数f(x)的单调区间；
(3)证明： m，n∈(1，+∞)，f(m+n)>f(1+m)+f(n).
19.(17分)已知抛物线M：y2=ax(a>0)的焦点为A，0，P是抛物线M上一点.
(1)求抛物线M的方程；
(2)过点A且斜率为k的直线l与抛物线M交于B，C两点，若l∥OP(O为坐标原点)且直线OP与直线x=1交于Q点，求·的值.
参考答案
1.C　【命题意图】本题考查百分位数，要求考生理解百分位数的概念.
【解题分析】∵10×0.5=5，∴第50百分位数为=5.
2.B　【命题意图】本题考查椭圆，要求考生理解椭圆的概念和性质.
【解题分析】∵椭圆的一个焦点坐标是(0，2)，∴k-5=22=4，∴解得k=9.
3.A　【命题意图】本题考查平面向量，要求考生理解平面向量的定理和性质.
【解题分析】∵=+=+=-+(+)=-，
∴λ=，μ=-，∴λ-μ=1.
4.A　【命题意图】本题考查对数函数，要求考生理解对数函数的性质.
【解题分析】∵函数f(x)=loga(x2-ax+a)在R上存在最小值，
∴∴解得15.D　【命题意图】本题考查排列组合问题，要求考生理解排列组合的性质.
【解题分析】∵取花灯每次只取一盏，而且只能从下往上取，
∴必须除去重复的排列顺序，即先取上方的顺序，
∴不同取法的种数为=90.
6.A　【命题意图】本题考查三角恒等变换，要求考生理解三角恒等变换的公式和性质.
【解题分析】∵sinα+=3sinα-，∴sin=3sinα-，
∴cosα-=3sinα-，∴tanα-==，
∴tan2α-===.
7.B　【命题意图】本题考查双曲线，要求考生理解双曲线的性质.
【解题分析】设M(x1，y1)，P(x2，y2)，则N(-x1，-y1)，Q(x1，-y1).
由=，得E(x1，-2y1)，∴kMN=，kPN=kEN=-.
∵·=0，∴∠NMP=90°，又kMN=，∴kMP=-，
∵ (x1+x2)(x1-x2)=(y1+y2)(y1-y2)，
∴kPM·kPN=，∴kPM·kPN=-·-==，∴e==.
8.B　【命题意图】本题考查立体几何，要求考生理解线面垂直的判定定理和性质定理.
【解题分析】如图所示，当点P在C处时，D1O⊥OC，当点P在B1B的中点P1处时，∵OP2=()2+12=3，D1O2=()2+22=6，D1=(2)2+12=9，∴OP2+D1O2=D1，∴D1O⊥OP1，又OP1∩OC=O，∴D1O⊥平面OP1C，∴点P的轨迹是线段P1C，∴当C1P⊥P1C时，C1P取得最小值，
∴C1P的最小值为==.
9.ABD　【命题意图】本题考查三角函数，要求考生理解三角函数的性质.
【解题分析】对于A，∵f-=2sin-+=0，
∴f(x)的图象关于点-，0中心对称，∴A项正确；
对于B，∵当x∈时，2x+∈ ，
∴f(x)在上单调递增，∴B项正确；
对于C，∵fx-=2sin2x-的图象不关于y轴对称，∴C项错误；
对于D，∵将f(x)的图象上所有点的横坐标缩小为原来的，得到g(x)=2sin4x+的图象，∴D项正确.
10.ACD　【命题意图】本题考查复数，要求考生理解复数的性质.
【解题分析】∵z=-+i，∴z2=-+i2=--i=，∴A项正确；
∵()2=--i2=-+i=z，∴B项错误；
∵z·=|z|2=1，∴=，∴C项正确；
∵z2=，∴z3=z·z2=z·=1，∴D项正确.
11.ACD　【命题意图】本题考查函数的性质，要求考生理解函数的奇偶性和周期性等.
【解题分析】对于A，令x=1，y=0，则f(1)+f(1)=f(1)f(0)，∵f(1)=1，∴f(0)=2，∴A项正确；
对于B，令x=0，则f(y)+f(-y)=2f(y)，∴f(-y)=f(y)，∴f(x)为偶函数，∴B项错误；
对于C，令x=y，则f(2x)+f(0)=[f(x)]2，∴[f(x)]2=f(2x)+2>f(2x)+1，∴[f(3)]2>f(6)+1，∴C项正确；
对于D，令y=1，则f(x+1)+f(x-1)=f(x)·f(1)=f(x)，∴f(x+2)+f(x)=f(x+1)，∴f(x+2)+f(x-1)=0，
∴f(x+3)=-f(x)，∴f(x+6)=-f(x+3)=-[-f(x)]=f(x)，
∴6是函数f(x)的一个周期，∴D项正确.
12.(0，+∞)　【命题意图】本题考查集合的补集和交集，要求考生了解集合的概念和运算性质.
【解题分析】∵ RA={x|x≤0}，( RA)∩B={-2，0}，∴a>0.
13.　6π　【命题意图】本题考查立体几何，要求考生理解立体几何的定理和性质.
【解题分析】∵点B和点A1关于平面AB1C1对称，
∴点B和点A1到平面AB1C1的距离相等.设三棱锥A1-AB1C1的高为d，
∵AA1⊥平面A1B1C1，∴=AA1×=×1××1×2=.
∵AC1==，AB1=，B1C1=2，∴A=A+B1，
∴∠AB1C1=90°，∴=d×=d××2×==，
∴解得d=，∴点B到平面AB1C1的距离为.
∵将直三棱柱ABC-A1B1C1补全为以BA，BC，BB1为三条相邻棱的长方体，可知长方体的外接球即为直三棱柱ABC-A1B1C1的外接球，即为三棱锥A-A1B1C1的外接球，
∴其外接球的半径为R==，∴该球的表面积为S=4πR2=6π.
14.2e-1　【命题意图】本题考查函数和导数，要求考生理解函数和导数的性质.
【解题分析】∵xex=ln=ln·，
∴设f(t)=tet，则f(x)=fln，f'(t)=et(t+1)，
∵当t>-1时，f'(t)>0，∴f(t)在(-1，+∞)上单调递增.
∵x，y均为正实数，∴yex=ln>0，
由f(x)=fln，可得x=ln，即y=(x>0).
由y'=，知当00，y=在(0，1)上单调递增，
当x>1时，y'<0，y=在(1，+∞)上单调递减，∴y=∈0，，
则+ln y=+ln y，0则g'(u)=-+=<0，∴g(u)在0，上单调递减，
∴g(u)min=g=2e-1，∴+ln y≥2e-1，∴+ln y的最小值为2e-1.
15.【命题意图】本题考查数列问题，要求考生理解数列的性质.
【解题分析】(1)设等差数列{an}的公差为d，∵d==3，
∴an=a2+(n-2)d=5+3(n-2)=3n-1，n∈N*. 5分
(2)∵bn=(-1)nan+2n+1，n∈N*，
∴T2n=(a2-a1)+(a4-a3)+…+(a2n-a2n-1)+(22+23+…+22n+1)
=3×n+=3n+22n+2-4=3n+4n+1-4. 13分
16.【命题意图】本题考查概率和数学期望，要求考生理解概率和数学期望的性质.
【解题分析】(1)设“第1次取出的是纸杯”为事件A，“第2次取出的是玻璃杯”为事件B，则P(B)=×+×=，P(AB)=P(A)P(B|A)=×=，
∴在第2次取出的是玻璃杯的条件下，第1次取出的是纸杯的概率为P(A|B)==. 7分
(2)X=0，1，2，3，
P(X=0)=3=，P(X=1)=×2+××+2×=，
P(X=3)=××=，P(X=2)=1---=，
X的分布列为
X 0 1 2 3
P
E(X)=+2×+3×=. 15分
17.【命题意图】本题考查立体几何，要求考生理解立体几何的定理和性质.
【解题分析】(1)在四边形ABCD中，∵AD=2，AB=1，∠BAD=60°，
∴BD==，∴AB2+BD2=AD2，∴AB⊥BD.
又∵AB⊥BD1，BD∩BD1=B，BD 平面BDD1，BD1 平面BDD1，
∴AB⊥平面BD1D，而DD1 平面BD1D，∴AB⊥DD1.
又∵D1D⊥AD，AB∩AD=A，AB 平面ABCD，AD 平面ABCD，∴DD1⊥平面ABCD. 7分
(2)建立如图所示的空间直角坐标系，
∵B(，0，0)，C(0，2，0)，C1(0，1，)，D(0，0，0)，
∴=(-，2，0)，=(0，-1，).
设平面BCC1的法向量为n1=(x，y，z)，
则 取z=1，则n1=(2，，1).
平面CC1D的一个法向量为n2=(1，0，0)，设二面角B-CC1-D的平面角为θ，
显然θ为锐角，∴cos θ===. 15分
18.【命题意图】本题考查函数与导数，要求考生理解函数与导数的性质.
【解题分析】(1)∵f'(x)=(2x-1)e2x，∴f'(0)=(0-1)e0=-1，
f(0)=(0-1)e0=-1，∴其切线方程为x+y+1=0. 4分
(2)∵f'(x)=(2x-1)e2x，当x<时，f'(x)<0，当x>时，f'(x)>0，
∴函数f(x)的单调递减区间为-∞，，单调递增区间为，+∞. 7分
(3)∵函数f(x)在(1，+∞)上单调递增，设g(x)=f(x+m)-f(x)，x∈(1，+∞)，
则g'(x)=f'(x+m)-f'(x)，∵m∈(1，+∞)，∴x+m>x>1，∴f'(x+m)>f'(x)，
∴g'(x)>0，∴函数g(x)=f(x+m)-f(x)在(1，+∞)上单调递增.
又∵n∈(1，+∞)，∴g(n)>g(1)，∴f(n+m)-f(n)>f(1+m)-f(1)，
∵f(1)=0，∴f(m+n)>f(1+m)+f(n). 17分
19.【命题意图】本题考查抛物线，要求考生理解抛物线的性质.
【解题分析】(1)∵抛物线M：y2=ax(a>0)的焦点为A，0，∴=，
∴解得a=2，∴抛物线M的方程为y2=2x. 5分
(2)直线l的方程为y=kx-，联立
消去y得k2x2-(k2+2)x+k2=0，∴∴k≠0.
设B(x1，y1)，C(x2，y2)，∴x1+x2=，x1x2=，∵|AB|=x1+，|AC|=x2+，
∴|AB|·|AC|=x1+x2+=x1x2+(x1+x2)+=+·+=.
∵l∥OP，∴直线OP的方程为y=kx，联立消去y得k2x2-2x=0，
∴xP=，∴P，，∴|OP|==.
令x=1，则yQ=k，∴Q(1，k)，∴|OQ|=，
∴·==，故·的值为. 17分