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三轮冲刺
安徽省2025年普通高等学校招生全国统一考试数学冲刺卷(二)(含详解)
文档属性
名称
安徽省2025年普通高等学校招生全国统一考试数学冲刺卷(二)(含详解)
格式
docx
文件大小
148.6KB
资源类型
教案
版本资源
人教A版(2019)
科目
数学
更新时间
2025-05-07 15:51:30
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文档简介
2025年安徽省普通高等学校招生全国统一考试
数学冲刺卷(二)
本试卷共150分 考试时间120分钟
注意事项:
1.答题前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.
2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号.回答非选择题时,将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.
一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.一组样本数据为2,2,3,3,4,6,7,8,9,9,则该组数据的第50百分位数为
A.3 B.4 C.5 D.6
2.若椭圆+=1的一个焦点的坐标是(0,2),则实数k的值为
A.1 B.9 C.3 D.7
3.如图所示,矩形ABCD的对角线相交于点O,E为AO的中点,若=λ+μ,则λ-μ=
A.1 B. C.- D.
4.若函数f(x)=loga(x2-ax+a)(a>0,且a≠1)在R上存在最小值,则实数a的取值范围是
A.1
5.花灯,又名“彩灯”“灯笼”,是中国传统的文化产物,兼具生活功能与艺术特色.如图,现有悬挂着的6盏不同的花灯需要取下,每次取1盏,而且只能从下往上取,则不同取法的种数为
A.180 B.120 C.60 D.90
6.若sinα+=3sinα-,则tan2α-=
A. B.2 C. D.
7.如图,已知M,N为双曲线G:-=1(a>0,b>0)上关于原点对称的两点,点M与点Q关于x轴对称,=,直线NE交双曲线G的右支于点P.若·=0,则双曲线G的离心率为
A. B. C. D.
8.如图,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,点O为底面ABCD的中心,点P在侧面BB1C1C的边界及其内部运动,若D1O⊥OP,则C1P的最小值为
A. B. C. D.
二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.
9.已知函数f(x)=2sin2x+,则下列结论正确的有
A.f(x)的图象关于点-,0中心对称
B.f(x)在上单调递增
C.fx-的图象关于y轴对称
D.将f(x)的图象上所有点的横坐标缩小为原来的,得到g(x)=2sin4x+的图象
10.已知复数z=-+i,则下列结论正确的有
A.z2= B.()2≠z C.= D.z3=1
11.已知函数f(x)对任意的x,y∈R,恒有f(x+y)+f(x-y)=f(x)·f(y),且f(1)=1,则下列结论正确的有
A.f(0)=2 B.f(x)为奇函数
C.[f(3)]2>f(6)+1 D.6是函数f(x)的一个周期
题序 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
答案
三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.
12.已知集合A={x|x>0},B={-2,0,a},( RA)∩B={-2,0},则实数a的取值范围是 .
13.如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=AA1=1,BC=2,AB⊥BC,则点B到平面AB1C1的距离为 ,若三棱锥A-A1B1C1的顶点都在同一个球面上,则该球的表面积为 .
14.已知正实数x,y满足xex=ln,则+ln y的最小值为 .
四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(13分)已知等差数列{an},a2=5,a5=14.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)若数列{bn}满足bn=(-1)nan+2n+1,求数列{bn}的前2n项和T2n.
16.(15分)小张家的消毒柜里装有5个型号相同的杯子,其中2个是玻璃杯,3个是纸杯.小张每次使用杯子时,从消毒柜中随机地取出1个杯子,若取出的是纸杯,则使用后直接放入垃圾袋中,若取出的是玻璃杯,则使用后经过清洗再次放入消毒柜中,以备下次取用.
(1)求在第2次取出的是玻璃杯的条件下,第1次取出的是纸杯的概率;
(2)若取了3次,取出的纸杯的个数为X,求X的分布列及数学期望.
17.(15分)如图,在四棱台ABCD-A1B1C1D1中,已知AB∥CD,DA=DC=2,AB=C1D1=1,∠BAD=60°,D1D⊥AD,AB⊥BD1,DD1=.
(1)证明:D1D⊥平面ABCD.
(2)求二面角B- CC1-D的余弦值.
18.(17分)已知函数f(x)=(x-1)e2x.
(1)求函数f(x)的图象在点(0,f(0))处的切线方程;
(2)求函数f(x)的单调区间;
(3)证明: m,n∈(1,+∞),f(m+n)>f(1+m)+f(n).
19.(17分)已知抛物线M:y2=ax(a>0)的焦点为A,0,P是抛物线M上一点.
(1)求抛物线M的方程;
(2)过点A且斜率为k的直线l与抛物线M交于B,C两点,若l∥OP(O为坐标原点)且直线OP与直线x=1交于Q点,求·的值.
参考答案
1.C 【命题意图】本题考查百分位数,要求考生理解百分位数的概念.
【解题分析】∵10×0.5=5,∴第50百分位数为=5.
2.B 【命题意图】本题考查椭圆,要求考生理解椭圆的概念和性质.
【解题分析】∵椭圆的一个焦点坐标是(0,2),∴k-5=22=4,∴解得k=9.
3.A 【命题意图】本题考查平面向量,要求考生理解平面向量的定理和性质.
【解题分析】∵=+=+=-+(+)=-,
∴λ=,μ=-,∴λ-μ=1.
4.A 【命题意图】本题考查对数函数,要求考生理解对数函数的性质.
【解题分析】∵函数f(x)=loga(x2-ax+a)在R上存在最小值,
∴∴解得1
5.D 【命题意图】本题考查排列组合问题,要求考生理解排列组合的性质.
【解题分析】∵取花灯每次只取一盏,而且只能从下往上取,
∴必须除去重复的排列顺序,即先取上方的顺序,
∴不同取法的种数为=90.
6.A 【命题意图】本题考查三角恒等变换,要求考生理解三角恒等变换的公式和性质.
【解题分析】∵sinα+=3sinα-,∴sin=3sinα-,
∴cosα-=3sinα-,∴tanα-==,
∴tan2α-===.
7.B 【命题意图】本题考查双曲线,要求考生理解双曲线的性质.
【解题分析】设M(x1,y1),P(x2,y2),则N(-x1,-y1),Q(x1,-y1).
由=,得E(x1,-2y1),∴kMN=,kPN=kEN=-.
∵·=0,∴∠NMP=90°,又kMN=,∴kMP=-,
∵ (x1+x2)(x1-x2)=(y1+y2)(y1-y2),
∴kPM·kPN=,∴kPM·kPN=-·-==,∴e==.
8.B 【命题意图】本题考查立体几何,要求考生理解线面垂直的判定定理和性质定理.
【解题分析】如图所示,当点P在C处时,D1O⊥OC,当点P在B1B的中点P1处时,∵OP2=()2+12=3,D1O2=()2+22=6,D1=(2)2+12=9,∴OP2+D1O2=D1,∴D1O⊥OP1,又OP1∩OC=O,∴D1O⊥平面OP1C,∴点P的轨迹是线段P1C,∴当C1P⊥P1C时,C1P取得最小值,
∴C1P的最小值为==.
9.ABD 【命题意图】本题考查三角函数,要求考生理解三角函数的性质.
【解题分析】对于A,∵f-=2sin-+=0,
∴f(x)的图象关于点-,0中心对称,∴A项正确;
对于B,∵当x∈时,2x+∈ ,
∴f(x)在上单调递增,∴B项正确;
对于C,∵fx-=2sin2x-的图象不关于y轴对称,∴C项错误;
对于D,∵将f(x)的图象上所有点的横坐标缩小为原来的,得到g(x)=2sin4x+的图象,∴D项正确.
10.ACD 【命题意图】本题考查复数,要求考生理解复数的性质.
【解题分析】∵z=-+i,∴z2=-+i2=--i=,∴A项正确;
∵()2=--i2=-+i=z,∴B项错误;
∵z·=|z|2=1,∴=,∴C项正确;
∵z2=,∴z3=z·z2=z·=1,∴D项正确.
11.ACD 【命题意图】本题考查函数的性质,要求考生理解函数的奇偶性和周期性等.
【解题分析】对于A,令x=1,y=0,则f(1)+f(1)=f(1)f(0),∵f(1)=1,∴f(0)=2,∴A项正确;
对于B,令x=0,则f(y)+f(-y)=2f(y),∴f(-y)=f(y),∴f(x)为偶函数,∴B项错误;
对于C,令x=y,则f(2x)+f(0)=[f(x)]2,∴[f(x)]2=f(2x)+2>f(2x)+1,∴[f(3)]2>f(6)+1,∴C项正确;
对于D,令y=1,则f(x+1)+f(x-1)=f(x)·f(1)=f(x),∴f(x+2)+f(x)=f(x+1),∴f(x+2)+f(x-1)=0,
∴f(x+3)=-f(x),∴f(x+6)=-f(x+3)=-[-f(x)]=f(x),
∴6是函数f(x)的一个周期,∴D项正确.
12.(0,+∞) 【命题意图】本题考查集合的补集和交集,要求考生了解集合的概念和运算性质.
【解题分析】∵ RA={x|x≤0},( RA)∩B={-2,0},∴a>0.
13. 6π 【命题意图】本题考查立体几何,要求考生理解立体几何的定理和性质.
【解题分析】∵点B和点A1关于平面AB1C1对称,
∴点B和点A1到平面AB1C1的距离相等.设三棱锥A1-AB1C1的高为d,
∵AA1⊥平面A1B1C1,∴=AA1×=×1××1×2=.
∵AC1==,AB1=,B1C1=2,∴A=A+B1,
∴∠AB1C1=90°,∴=d×=d××2×==,
∴解得d=,∴点B到平面AB1C1的距离为.
∵将直三棱柱ABC-A1B1C1补全为以BA,BC,BB1为三条相邻棱的长方体,可知长方体的外接球即为直三棱柱ABC-A1B1C1的外接球,即为三棱锥A-A1B1C1的外接球,
∴其外接球的半径为R==,∴该球的表面积为S=4πR2=6π.
14.2e-1 【命题意图】本题考查函数和导数,要求考生理解函数和导数的性质.
【解题分析】∵xex=ln=ln·,
∴设f(t)=tet,则f(x)=fln,f'(t)=et(t+1),
∵当t>-1时,f'(t)>0,∴f(t)在(-1,+∞)上单调递增.
∵x,y均为正实数,∴yex=ln>0,
由f(x)=fln,可得x=ln,即y=(x>0).
由y'=,知当0
0,y=在(0,1)上单调递增,
当x>1时,y'<0,y=在(1,+∞)上单调递减,∴y=∈0,,
则+ln y=+ln y,0
则g'(u)=-+=<0,∴g(u)在0,上单调递减,
∴g(u)min=g=2e-1,∴+ln y≥2e-1,∴+ln y的最小值为2e-1.
15.【命题意图】本题考查数列问题,要求考生理解数列的性质.
【解题分析】(1)设等差数列{an}的公差为d,∵d==3,
∴an=a2+(n-2)d=5+3(n-2)=3n-1,n∈N*. 5分
(2)∵bn=(-1)nan+2n+1,n∈N*,
∴T2n=(a2-a1)+(a4-a3)+…+(a2n-a2n-1)+(22+23+…+22n+1)
=3×n+=3n+22n+2-4=3n+4n+1-4. 13分
16.【命题意图】本题考查概率和数学期望,要求考生理解概率和数学期望的性质.
【解题分析】(1)设“第1次取出的是纸杯”为事件A,“第2次取出的是玻璃杯”为事件B,则P(B)=×+×=,P(AB)=P(A)P(B|A)=×=,
∴在第2次取出的是玻璃杯的条件下,第1次取出的是纸杯的概率为P(A|B)==. 7分
(2)X=0,1,2,3,
P(X=0)=3=,P(X=1)=×2+××+2×=,
P(X=3)=××=,P(X=2)=1---=,
X的分布列为
X 0 1 2 3
P
E(X)=+2×+3×=. 15分
17.【命题意图】本题考查立体几何,要求考生理解立体几何的定理和性质.
【解题分析】(1)在四边形ABCD中,∵AD=2,AB=1,∠BAD=60°,
∴BD==,∴AB2+BD2=AD2,∴AB⊥BD.
又∵AB⊥BD1,BD∩BD1=B,BD 平面BDD1,BD1 平面BDD1,
∴AB⊥平面BD1D,而DD1 平面BD1D,∴AB⊥DD1.
又∵D1D⊥AD,AB∩AD=A,AB 平面ABCD,AD 平面ABCD,∴DD1⊥平面ABCD. 7分
(2)建立如图所示的空间直角坐标系,
∵B(,0,0),C(0,2,0),C1(0,1,),D(0,0,0),
∴=(-,2,0),=(0,-1,).
设平面BCC1的法向量为n1=(x,y,z),
则 取z=1,则n1=(2,,1).
平面CC1D的一个法向量为n2=(1,0,0),设二面角B-CC1-D的平面角为θ,
显然θ为锐角,∴cos θ===. 15分
18.【命题意图】本题考查函数与导数,要求考生理解函数与导数的性质.
【解题分析】(1)∵f'(x)=(2x-1)e2x,∴f'(0)=(0-1)e0=-1,
f(0)=(0-1)e0=-1,∴其切线方程为x+y+1=0. 4分
(2)∵f'(x)=(2x-1)e2x,当x<时,f'(x)<0,当x>时,f'(x)>0,
∴函数f(x)的单调递减区间为-∞,,单调递增区间为,+∞. 7分
(3)∵函数f(x)在(1,+∞)上单调递增,设g(x)=f(x+m)-f(x),x∈(1,+∞),
则g'(x)=f'(x+m)-f'(x),∵m∈(1,+∞),∴x+m>x>1,∴f'(x+m)>f'(x),
∴g'(x)>0,∴函数g(x)=f(x+m)-f(x)在(1,+∞)上单调递增.
又∵n∈(1,+∞),∴g(n)>g(1),∴f(n+m)-f(n)>f(1+m)-f(1),
∵f(1)=0,∴f(m+n)>f(1+m)+f(n). 17分
19.【命题意图】本题考查抛物线,要求考生理解抛物线的性质.
【解题分析】(1)∵抛物线M:y2=ax(a>0)的焦点为A,0,∴=,
∴解得a=2,∴抛物线M的方程为y2=2x. 5分
(2)直线l的方程为y=kx-,联立
消去y得k2x2-(k2+2)x+k2=0,∴∴k≠0.
设B(x1,y1),C(x2,y2),∴x1+x2=,x1x2=,∵|AB|=x1+,|AC|=x2+,
∴|AB|·|AC|=x1+x2+=x1x2+(x1+x2)+=+·+=.
∵l∥OP,∴直线OP的方程为y=kx,联立消去y得k2x2-2x=0,
∴xP=,∴P,,∴|OP|==.
令x=1,则yQ=k,∴Q(1,k),∴|OQ|=,
∴·==,故·的值为. 17分
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