安徽省2025年普通高等学校招生全国统一考试 数学冲刺卷（三）（含详解）

2025年安徽省普通高等学校招生全国统一考试
数学冲刺卷（三）
本试卷共150分　考试时间120分钟
注意事项：
1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
　1.设集合A={x∈Z||x+1|≤2}，B={y|y=x2-1}，则A∩B=
A.{-1，0，1} B.{0，1} C.[-1，1] D.[0，1]
2.已知抛物线E：y2=2px上一点A的横坐标为4，F为抛物线E的焦点，且|AF|=7，则p=
A.3 B.6 C.12 D.
3.等比数列{an}的前n项和为Sn，且S6=18，S3=3，则S9=
A.54 B.72 C.93 D.108
4.已知函数f(x)=aln，其中a，b均为正数.若f(8b)-f(3b)=2，则=
A. B. C. D.
5.函数f(x)=cos(ωx+φ)(ω>0，-π<φ<0)的部分图象如图所示，则f=
A.- B. C.- D.
6.已知A(2，-1)，B(-2，-1)，圆(x-a)2+(y-2a+4)2=1上存在点P，使得·=0，则a的最大值为
A. B. C.3 D.4
7.在三棱锥S-ABC中，SA⊥平面ABC，SA=4，∠BAC=，BC=2，则三棱锥S-ABC的外接球半径R=
A.2 B.2 C. D.2
8.已知函数fx+是定义在R上的奇函数且在R上可导，若f(2-x)-f(2+x)+4x=0恒成立，则f'(2024)=
A.-2 B.0 C.1 D.2
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.已知复数z满足z-i=3-zi，其中i是虚数单位，则
A.z=1-2i B.z=2-i C.|z-3|=2 D.|z-3|=4
10.已知一组样本数据x1，x2，…，x50(x1A.这组样本数据的总和等于100
B.这组样本数据的中位数一定为2
C.数据3x1+1，3x2+1，…，3x50+1的标准差为3s
D.现有一组新的样本数据，，…，，，该组样本数据的极差比原样本数据的极差大
11.设α∈0，，β∈0，，则下列计算正确的是
A.cos(α+β)B.若sinα+cosα+=-，则tan α=2
C.若tan α+tan β=，则2β-α=
D.若+=0，则α+β=
题序 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
答案
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.已知圆台的上、下底面的直径分别为8和4，圆台的高为6，则圆台的体积为　　　　.
13.已知F1，F2分别为椭圆C：+=1的左、右焦点，P为椭圆上任意一点(不在x轴上)，△PF1F2内切圆的圆心为I，半径为r，A为椭圆C与y轴的一个交点，若△PF1F2的面积是△AF1F2的面积的一半，则r=　　　　.
14.某商家为举办抽奖活动，准备了n(n>2，n∈N*)个相同的盒子，里面均装有n张形状完全相同的卡片，一部分卡片为写有“谢谢惠顾”的无效卡，另一部分卡片为写有“100元”的代金券，第k(k=1，2，3，…，n)个盒子中有k张代金券，n-k张无效卡.现将这些盒子混合，任选1个盒子，并且依次从中不放回地取出2张卡片，若第二次取出无效卡的概率不超过，则n的最大值为　　　　.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(13分)已知首项不为1的正项数列{an}，其前n项和为Sn，且点an，在直线y=x+1上.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设bn=，求数列{bn}的前n项和.
16.(15分)已知函数f(x)=x-.
(1)求函数f(x)的单调递减区间；
(2)若h(x)=sin x-f(x)，证明：对任意的x>0，h(x)>0恒成立.
17.(15分)甲和乙两个箱子中各装有N个大小、质地均相同的小球，并且各箱中是红球，是白球.
(1)当N=5时，从甲箱中随机抽出2个球，求2个球的颜色不同的概率.
(2)由概率学知识可知，当总量N足够多而抽出的个体足够少时，超几何分布近似为二项分布.现从甲箱中不放回地取3个小球，恰有2个白球的概率记作P1；从乙箱中有放回地取3个小球，恰有2个白球的概率记作P2.那么当N至少为多少时，我们可以在误差不超过0.001(即P1-P2≤0.001)的前提下认为超几何分布近似为二项分布 (参考数据：≈24.04)
18.(17分)在矩形ABCD中，AD=2CD=4，E为边AD上的中点.将△ABE沿BE翻折，使得点A到点P的位置，且满足平面PBE⊥平面BCDE，连接PC，PD，EC.
(1)求证：平面PBE⊥平面PCE.
(2)在线段PC上是否存在点Q，使得二面角P-BE-Q的余弦值为 若存在，求出Q点位置；若不存在，说明理由.
19.(17分)已知双曲线C：-=1(a>0，b>0)过点(-，)，(2，3).
(1)求双曲线C的渐近线方程.
(2)若过双曲线C上的动点P(x0，y0)作一条切线l，证明：直线l的方程为-=1.
(3)若双曲线C在动点Q处的切线交C的两条渐近线于A，B两点，O为坐标原点，求△AOB的面积.
参考答案
1.A　【命题意图】本题考查集合的交集运算，要求考生理解集合的概念和运算性质.
【解题分析】因为A={x∈Z||x+1|≤2}={-3，-2，-1，0，1}，B={y|y≥-1}，所以A∩B={-1，0，1}.
2.B　【命题意图】本题考查抛物线，要求考生了解抛物线的概念和性质.
【解题分析】由点A的横坐标为4，|AF|=7，知4+=7，即p=6.
3.C　【命题意图】本题考查等比数列的性质，要求考生理解数列的概念.
【解题分析】由(S6-S3)2=(S9-S6)·S3，知S9=93.
4.C　【命题意图】本题考查对数运算，要求考生了解对数的四则运算.
【解题分析】由题知aln-aln=a(ln 9-ln 4)=2a(ln 3-ln 2)=2，则a=loe，则=.
5.C　【命题意图】本题考查三角函数，要求考生理解三角函数的图象与性质.
【解题分析】由题图可知T=-，得T=2π，所以ω==1，所以f(x)=cos(x+φ).
因为函数图象过点，所以cos=1，所以+φ=2kπ，k∈Z，得φ=2kπ-，k∈Z.
因为-π<φ<0，所以φ=-，所以f(x)=cos，故f=cosπ=-.
6.B　【命题意图】本题考查圆，要求考生了解圆的方程，会判断圆与圆的位置关系.
【解题分析】由·=0，知点P在以AB为直径的圆上，即点P在圆x2+(y+1)2=4上.
又由点P在圆(x-a)2+(y-2a+4)2=1上，可知圆(x-a)2+(y-2a+4)2=1与圆x2+(y+1)2=4有公共点，则2-1≤≤2+1，即1≤5a2-12a+9≤9，解得0≤a≤，所以a的最大值为.
7.B　【命题意图】本题考查立体几何的综合运用，要求考生了解三棱锥的外接球.
【解题分析】设三棱锥S-ABC的外接球为球O，根据题意，将三棱锥S-ABC放入直三棱柱SB1C1-ABC，两者外接球相同，取底面ABC，SB1C1的外心分别为O1，O2，连接O1O2，取其中点，则该中点即为球心O.设△ABC的外接圆半径为r，由∠BAC=，BC=2，知=2r，即r=2，又SA=4，则O1O2=4，故R2=r2+22=8，即R=2.
8.D　【命题意图】本题考查函数的性质，要求考生了解函数的对称性和周期性.
【解题分析】设g(x)=f(x)-2x，由f(2-x)-f(2+x)+4x=0，得f(2-x)-2(2-x)=f(2+x)-2(2+x)，
即g(2-x)=g(2+x)，等号两边同时求导，得-g'(2-x)=g'(2+x)，令x=0，得g'(2)=0.
又gx+=fx+-2x-1，
因为fx+为奇函数，所以g-x+=f-x++2x-1=-fx++2x-1，
于是gx++g-x+=-2，则g(2-x)+g(x-1)=-2，
将g(2-x)=g(2+x)代入，可得g(2+x)+g(x-1)=-2，所以g(5+x)+g(x+2)=-2，
得g(5+x)=g(x-1)，等号两边同时求导，得g'(5+x)=g'(x-1)，可得g'(x)的周期为6，
所以g'(2024)=g'(2)=0.
由g(x)=f(x)-2x，可得f(x)=g(x)+2x，所以f'(x)=g'(x)+2，得f'(2024)=g'(2024)+2=2.
9.BD　【命题意图】本题考查复数，要求考生理解复数的模，了解共轭复数的概念.
【解题分析】由z-i=3-zi，可得(1+i)z=3+i，所以z====2-i，则=2+i，故|z-3|=|-4-4i|=4.
10.AC　【命题意图】本题考查数据的数字特征，要求考生理解极差、中位数、平均数和标准差的定义以及方差的计算.
【解题分析】由s2=(xi-2)2，得=2，所以这组样本数据的总和为50×2=100，平均数为2，中位数不能确定，由标准差的性质可知，每个数据都加1对标准差无影响，每个数据都乘以3，标准差变为原来的3倍，故A，C正确，B不正确；原样本数据的极差为x50-x1，新样本数据的极差为-，而--(x50-x1)=<0，即极差变小了，故D不正确.
11.AD　【命题意图】本题考查三角恒等变换，要求考生会用三角函数的和差公式以及二倍角公式.
【解题分析】因为cos(α+β)-cos(α-β)=cos αcos β-sin αsin β-(cos αcos β+sin αsin β)=-2sin αsin β，0<α<，0<β<，所以-2sin αsin β<0，得到cos(α+β)-cos(α-β)<0，
即cos(α+β)由×2sinα+cosα+=sin2α+=cos 2α=-，解得cos 2α=-，
又由cos 2α=2cos2α-1=-，解得cos2α=，因此sin2α=1-cos2α=，可得tan2α=2，
因为α∈0，，所以tan α=，故选项B错误；
由tan α+tan β=，得+=，
于是sin αcos β+cos αsin β=cos β，即sin(α+β)=sin-β，
由α∈0，，β∈0，，得0<α+β<π，0<-β<，
则α+β=-β或α+β+-β=π，即2β+α=或α=(不符合题意，舍去)，
所以2β+α=，故选项C错误；
因为+=0，所以=-，
所以=-，
则=-，整理得-tan α-tan β=1-tan αtan β，
所以tan(α+β)==-1，
又α，β均为锐角，所以α+β∈(0，π)，所以α+β=，故选项D正确.
12.56π　【命题意图】本题考查圆台，要求考生了解圆台体积公式.
【解题分析】根据题意得，圆台的上底面半径为4，下底面半径为2，圆台的高为6，
则圆台的体积为π(22+42+2×4)×6=56π.
13.　【命题意图】本题考查椭圆，要求考生理解椭圆的概念与性质.
【解题分析】由题意知=++=(|F1F2|+|PF1|+|PF2|)r=(2a+2c)r=4r，又由△PF1F2的面积是△AF1F2的面积的一半，知4r==，故r=.
14.5　【命题意图】本题考查概率，要求考生掌握古典概型的运算，会用全概率公式.
【解题分析】设选出的是第k个盒子，根据全概率公式，第二次取出的卡片是无效卡的概率Pk=·+·=.
因为选取第k个盒子的概率为，所以任选一个盒子并且第二次取出无效卡的概率P=Pk·=·=(n-k)==，
根据题意得≤，解得n≤5，即n的最大值为5.
15.【命题意图】本题考查数列，要求考生掌握等差数列的通项公式与求和公式，会用裂项相消法求和.
【解题分析】(1)由点an，在直线y=x+1上，可得=an+1，
即6Sn=(an+2)(an+1)，可得6Sn+1=(an+1+2)(an+1+1)， 1分
两式相减可得6an+1=(an+1+1)(an+1+2)-(an+1)(an+2)，
化简可得(an+1+an)(an+1-an-3)=0.
由正项数列{an}知an+1+an>0，所以an+1-an=3. 4分
又6S1=(a1+2)(a1+1)，解得a1=2或a1=1(舍去)，
所以{an}是以2为首项，3为公差的等差数列，
故an=2+3(n-1)=3n-1. 6分
(2)由(1)可得Sn===，
所以bn====-， 9分
因此{bn}的前n项和为b1+b2+…+bn=++…+=1-+-+…+-=×1-=. 13分
16.【命题意图】本题考查函数与导数，要求考生了解函数的极值点，利用导数研究函数单调性，利用导数证明不等式.
【解题分析】(1)f'(x)=1-， 2分
令f'(x)<0，解得x<-或x>，
故函数f(x)的单调递减区间为和. 4分
(2)由h(x)=sin x-，x>0，知h'(x)=cos x-. 6分
记p(x)=cos x-，x>0，则p'(x)=-sin x+x. 8分
令m(x)=-sin x+x，x>0，则m'(x)=-cos x+1≥0恒成立， 10分
所以m(x)在(0，+∞)上单调递增，所以m(x)>m(0)=0，
所以p'(x)>0，所以p(x)在(0，+∞)上单调递增， 12分
而p(x)>p(0)=cos 0-=0，所以h'(x)>0， 13分
所以h(x)在(0，+∞)上单调递增，所以h(x)>h(0)=0，
故对任意的x>0，h(x)>0恒成立. 15分
17.【命题意图】本题考查分布列，要求考生了解二项分布和超几何分布.
【解题分析】(1)当N=5时，甲箱中有3个红球，2个白球，
记事件A表示“抽出的两个球的颜色不同”，
则P(A)==. 4分
(2)P1===·， 6分
P2=2×==0.288， 7分
由于P1-P2≤0.001，故·-0.288≤0.001，
即·≤0.289=，
即≤×=. 9分
由题意易知(N-1)(N-2)>0，
从而720NN-1≤289(N-1)(N-2)，
化简得N2-147N+578≥0.
又N>0，于是N+≥147.
易知函数y=x+(x>0)在x=≈24.04处取得最小值，
从而y=N+在N≥25时单调递增. 11分
又142+≈146.07<147，143+≈147.04>147， 13分
因此当N≥143时，符合题意，
而又考虑到N和N都是整数，则N一定是5的整数倍，于是N=145，
又当N≤20时，N+<147，
故当N至少为145时，我们可以在误差不超过0.001(即P1-P2≤0.001)的前提下认为超几何分布近似为二项分布. 15分
18.【命题意图】本题考查面面垂直与二面角问题，要求考生理解面面垂直的性质和判定定理，了解利用空间向量求二面角.
【解题分析】(1)取BC的中点F，连接EF，
∵DE∥BC，DE=CF，∴四边形CDEF为正方形，
∴CD=EF.
又CD=BC，∴EF=BC，∴EC⊥BE. 3分
∵平面PBE⊥平面BCDE，平面PBE∩平面BCDE=BE，CE 平面BCDE，∴CE⊥平面PBE. 5分
∵EC 平面PCE，∴平面PBE⊥平面PCE. 6分
(2)取BE的中点H，连接PH，
∵PB=PE，∴PH⊥BE.
∵平面PBE⊥平面BCDE，平面PBE∩平面BCDE=BE，PH 平面PBE，
∴PH⊥平面BCDE. 8分
以E为坐标原点，，的正方向分别为x，y轴的正方向，过点E作z轴平行于直线PH，可建立如图所示的空间直角坐标系，
则C0，2，0，P，0，，E(0，0，0)，B2，0，0， 9分
∴=(-，2，-)，=(2，0，0)，=(，0，)，
设=λ=(-λ，2λ，-λ)(0≤λ≤1)，
∴=+=-λ，2λ，-λ. 11分
设平面BEQ的法向量n=(x，y，z)，
则令y=λ-1，解得x=0，z=2λ，
∴n=(0，λ-1，2λ). 14分
∵平面PBE⊥y轴，∴平面PBE的一个法向量m=(0，1，0)，
∴|cos|===，解得λ=，满足0≤λ≤1，
此时，Q为PC的中点. 17分
19.【命题意图】本题考查双曲线，要求考生了解双曲线方程和双曲线的切线问题.
【解题分析】(1)设双曲线C的方程为sx2-ty2=1(s，t>0).
因为双曲线C过点(-，)，(2，3)，
所以解得 3分
所以双曲线C的标准方程为x2-=1， 4分
故双曲线C的渐近线方程为y=±x. 5分
(2)当切线方程的斜率存在时，
设过点(x0，y0)的切线的方程为y-y0=k(x-x0)，与x2-=1联立，得
x2+x+=0， 6分
由Δ=-4··=0，
化简得(kx0-y0)2=k2-3，
即k2·(-1)-2kx0y0++3=0， 8分
Δ=4·-4(-1)·(+3)=4-12+12=0，
则k==，
故y-y0=(x-x0)，
整理得x0x-=1. 11分
当切线斜率不存在时，此时切点坐标为(±1，0)，切线方程为x=±1，满足x0x-=1.
综上，双曲线C：x2-=1在点P(x0，y0)处的切线方程为x0x-=1. 12分
(3)设Q(m，n)，则双曲线C：x2-=1在点Q(m，n)处的切线的方程为mx-=1，
双曲线的两条渐近线的方程为y=±x，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
联立mx-=1与y=x，解得
联立mx-=1与y=-x，解得
直线AB的方程为=，即(y-y1)(x2-x1)-(y2-y1)(x-x1)=0，
故点O到直线AB的距离为=，
且|AB|=， 15分
故△AOB的面积为·=|x1y2-x2y1|====. 17分