2025年安徽省普通高等学校招生全国统一考试
数学冲刺卷(三)
本试卷共150分 考试时间120分钟
注意事项:
1.答题前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.
2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号.回答非选择题时,将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.
一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.设集合A={x∈Z||x+1|≤2},B={y|y=x2-1},则A∩B=
A.{-1,0,1} B.{0,1} C.[-1,1] D.[0,1]
2.已知抛物线E:y2=2px上一点A的横坐标为4,F为抛物线E的焦点,且|AF|=7,则p=
A.3 B.6 C.12 D.
3.等比数列{an}的前n项和为Sn,且S6=18,S3=3,则S9=
A.54 B.72 C.93 D.108
4.已知函数f(x)=aln,其中a,b均为正数.若f(8b)-f(3b)=2,则=
A. B. C. D.
5.函数f(x)=cos(ωx+φ)(ω>0,-π<φ<0)的部分图象如图所示,则f=
A.- B. C.- D.
6.已知A(2,-1),B(-2,-1),圆(x-a)2+(y-2a+4)2=1上存在点P,使得·=0,则a的最大值为
A. B. C.3 D.4
7.在三棱锥S-ABC中,SA⊥平面ABC,SA=4,∠BAC=,BC=2,则三棱锥S-ABC的外接球半径R=
A.2 B.2 C. D.2
8.已知函数fx+是定义在R上的奇函数且在R上可导,若f(2-x)-f(2+x)+4x=0恒成立,则f'(2024)=
A.-2 B.0 C.1 D.2
二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.
9.已知复数z满足z-i=3-zi,其中i是虚数单位,则
A.z=1-2i B.z=2-i C.|z-3|=2 D.|z-3|=4
10.已知一组样本数据x1,x2,…,x50(x1A.这组样本数据的总和等于100
B.这组样本数据的中位数一定为2
C.数据3x1+1,3x2+1,…,3x50+1的标准差为3s
D.现有一组新的样本数据,,…,,,该组样本数据的极差比原样本数据的极差大
11.设α∈0,,β∈0,,则下列计算正确的是
A.cos(α+β)B.若sinα+cosα+=-,则tan α=2
C.若tan α+tan β=,则2β-α=
D.若+=0,则α+β=
题序 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
答案
三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.
12.已知圆台的上、下底面的直径分别为8和4,圆台的高为6,则圆台的体积为 .
13.已知F1,F2分别为椭圆C:+=1的左、右焦点,P为椭圆上任意一点(不在x轴上),△PF1F2内切圆的圆心为I,半径为r,A为椭圆C与y轴的一个交点,若△PF1F2的面积是△AF1F2的面积的一半,则r= .
14.某商家为举办抽奖活动,准备了n(n>2,n∈N*)个相同的盒子,里面均装有n张形状完全相同的卡片,一部分卡片为写有“谢谢惠顾”的无效卡,另一部分卡片为写有“100元”的代金券,第k(k=1,2,3,…,n)个盒子中有k张代金券,n-k张无效卡.现将这些盒子混合,任选1个盒子,并且依次从中不放回地取出2张卡片,若第二次取出无效卡的概率不超过,则n的最大值为 .
四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(13分)已知首项不为1的正项数列{an},其前n项和为Sn,且点an,在直线y=x+1上.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)设bn=,求数列{bn}的前n项和.
16.(15分)已知函数f(x)=x-.
(1)求函数f(x)的单调递减区间;
(2)若h(x)=sin x-f(x),证明:对任意的x>0,h(x)>0恒成立.
17.(15分)甲和乙两个箱子中各装有N个大小、质地均相同的小球,并且各箱中是红球,是白球.
(1)当N=5时,从甲箱中随机抽出2个球,求2个球的颜色不同的概率.
(2)由概率学知识可知,当总量N足够多而抽出的个体足够少时,超几何分布近似为二项分布.现从甲箱中不放回地取3个小球,恰有2个白球的概率记作P1;从乙箱中有放回地取3个小球,恰有2个白球的概率记作P2.那么当N至少为多少时,我们可以在误差不超过0.001(即P1-P2≤0.001)的前提下认为超几何分布近似为二项分布 (参考数据:≈24.04)
18.(17分)在矩形ABCD中,AD=2CD=4,E为边AD上的中点.将△ABE沿BE翻折,使得点A到点P的位置,且满足平面PBE⊥平面BCDE,连接PC,PD,EC.
(1)求证:平面PBE⊥平面PCE.
(2)在线段PC上是否存在点Q,使得二面角P-BE-Q的余弦值为 若存在,求出Q点位置;若不存在,说明理由.
19.(17分)已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)过点(-,),(2,3).
(1)求双曲线C的渐近线方程.
(2)若过双曲线C上的动点P(x0,y0)作一条切线l,证明:直线l的方程为-=1.
(3)若双曲线C在动点Q处的切线交C的两条渐近线于A,B两点,O为坐标原点,求△AOB的面积.
参考答案
1.A 【命题意图】本题考查集合的交集运算,要求考生理解集合的概念和运算性质.
【解题分析】因为A={x∈Z||x+1|≤2}={-3,-2,-1,0,1},B={y|y≥-1},所以A∩B={-1,0,1}.
2.B 【命题意图】本题考查抛物线,要求考生了解抛物线的概念和性质.
【解题分析】由点A的横坐标为4,|AF|=7,知4+=7,即p=6.
3.C 【命题意图】本题考查等比数列的性质,要求考生理解数列的概念.
【解题分析】由(S6-S3)2=(S9-S6)·S3,知S9=93.
4.C 【命题意图】本题考查对数运算,要求考生了解对数的四则运算.
【解题分析】由题知aln-aln=a(ln 9-ln 4)=2a(ln 3-ln 2)=2,则a=loe,则=.
5.C 【命题意图】本题考查三角函数,要求考生理解三角函数的图象与性质.
【解题分析】由题图可知T=-,得T=2π,所以ω==1,所以f(x)=cos(x+φ).
因为函数图象过点,所以cos=1,所以+φ=2kπ,k∈Z,得φ=2kπ-,k∈Z.
因为-π<φ<0,所以φ=-,所以f(x)=cos,故f=cosπ=-.
6.B 【命题意图】本题考查圆,要求考生了解圆的方程,会判断圆与圆的位置关系.
【解题分析】由·=0,知点P在以AB为直径的圆上,即点P在圆x2+(y+1)2=4上.
又由点P在圆(x-a)2+(y-2a+4)2=1上,可知圆(x-a)2+(y-2a+4)2=1与圆x2+(y+1)2=4有公共点,则2-1≤≤2+1,即1≤5a2-12a+9≤9,解得0≤a≤,所以a的最大值为.
7.B 【命题意图】本题考查立体几何的综合运用,要求考生了解三棱锥的外接球.
【解题分析】设三棱锥S-ABC的外接球为球O,根据题意,将三棱锥S-ABC放入直三棱柱SB1C1-ABC,两者外接球相同,取底面ABC,SB1C1的外心分别为O1,O2,连接O1O2,取其中点,则该中点即为球心O.设△ABC的外接圆半径为r,由∠BAC=,BC=2,知=2r,即r=2,又SA=4,则O1O2=4,故R2=r2+22=8,即R=2.
8.D 【命题意图】本题考查函数的性质,要求考生了解函数的对称性和周期性.
【解题分析】设g(x)=f(x)-2x,由f(2-x)-f(2+x)+4x=0,得f(2-x)-2(2-x)=f(2+x)-2(2+x),
即g(2-x)=g(2+x),等号两边同时求导,得-g'(2-x)=g'(2+x),令x=0,得g'(2)=0.
又gx+=fx+-2x-1,
因为fx+为奇函数,所以g-x+=f-x++2x-1=-fx++2x-1,
于是gx++g-x+=-2,则g(2-x)+g(x-1)=-2,
将g(2-x)=g(2+x)代入,可得g(2+x)+g(x-1)=-2,所以g(5+x)+g(x+2)=-2,
得g(5+x)=g(x-1),等号两边同时求导,得g'(5+x)=g'(x-1),可得g'(x)的周期为6,
所以g'(2024)=g'(2)=0.
由g(x)=f(x)-2x,可得f(x)=g(x)+2x,所以f'(x)=g'(x)+2,得f'(2024)=g'(2024)+2=2.
9.BD 【命题意图】本题考查复数,要求考生理解复数的模,了解共轭复数的概念.
【解题分析】由z-i=3-zi,可得(1+i)z=3+i,所以z====2-i,则=2+i,故|z-3|=|-4-4i|=4.
10.AC 【命题意图】本题考查数据的数字特征,要求考生理解极差、中位数、平均数和标准差的定义以及方差的计算.
【解题分析】由s2=(xi-2)2,得=2,所以这组样本数据的总和为50×2=100,平均数为2,中位数不能确定,由标准差的性质可知,每个数据都加1对标准差无影响,每个数据都乘以3,标准差变为原来的3倍,故A,C正确,B不正确;原样本数据的极差为x50-x1,新样本数据的极差为-,而--(x50-x1)=<0,即极差变小了,故D不正确.
11.AD 【命题意图】本题考查三角恒等变换,要求考生会用三角函数的和差公式以及二倍角公式.
【解题分析】因为cos(α+β)-cos(α-β)=cos αcos β-sin αsin β-(cos αcos β+sin αsin β)=-2sin αsin β,0<α<,0<β<,所以-2sin αsin β<0,得到cos(α+β)-cos(α-β)<0,
即cos(α+β)由×2sinα+cosα+=sin2α+=cos 2α=-,解得cos 2α=-,
又由cos 2α=2cos2α-1=-,解得cos2α=,因此sin2α=1-cos2α=,可得tan2α=2,
因为α∈0,,所以tan α=,故选项B错误;
由tan α+tan β=,得+=,
于是sin αcos β+cos αsin β=cos β,即sin(α+β)=sin-β,
由α∈0,,β∈0,,得0<α+β<π,0<-β<,
则α+β=-β或α+β+-β=π,即2β+α=或α=(不符合题意,舍去),
所以2β+α=,故选项C错误;
因为+=0,所以=-,
所以=-,
则=-,整理得-tan α-tan β=1-tan αtan β,
所以tan(α+β)==-1,
又α,β均为锐角,所以α+β∈(0,π),所以α+β=,故选项D正确.
12.56π 【命题意图】本题考查圆台,要求考生了解圆台体积公式.
【解题分析】根据题意得,圆台的上底面半径为4,下底面半径为2,圆台的高为6,
则圆台的体积为π(22+42+2×4)×6=56π.
13. 【命题意图】本题考查椭圆,要求考生理解椭圆的概念与性质.
【解题分析】由题意知=++=(|F1F2|+|PF1|+|PF2|)r=(2a+2c)r=4r,又由△PF1F2的面积是△AF1F2的面积的一半,知4r==,故r=.
14.5 【命题意图】本题考查概率,要求考生掌握古典概型的运算,会用全概率公式.
【解题分析】设选出的是第k个盒子,根据全概率公式,第二次取出的卡片是无效卡的概率Pk=·+·=.
因为选取第k个盒子的概率为,所以任选一个盒子并且第二次取出无效卡的概率P=Pk·=·=(n-k)==,
根据题意得≤,解得n≤5,即n的最大值为5.
15.【命题意图】本题考查数列,要求考生掌握等差数列的通项公式与求和公式,会用裂项相消法求和.
【解题分析】(1)由点an,在直线y=x+1上,可得=an+1,
即6Sn=(an+2)(an+1),可得6Sn+1=(an+1+2)(an+1+1), 1分
两式相减可得6an+1=(an+1+1)(an+1+2)-(an+1)(an+2),
化简可得(an+1+an)(an+1-an-3)=0.
由正项数列{an}知an+1+an>0,所以an+1-an=3. 4分
又6S1=(a1+2)(a1+1),解得a1=2或a1=1(舍去),
所以{an}是以2为首项,3为公差的等差数列,
故an=2+3(n-1)=3n-1. 6分
(2)由(1)可得Sn===,
所以bn====-, 9分
因此{bn}的前n项和为b1+b2+…+bn=++…+=1-+-+…+-=×1-=. 13分
16.【命题意图】本题考查函数与导数,要求考生了解函数的极值点,利用导数研究函数单调性,利用导数证明不等式.
【解题分析】(1)f'(x)=1-, 2分
令f'(x)<0,解得x<-或x>,
故函数f(x)的单调递减区间为和. 4分
(2)由h(x)=sin x-,x>0,知h'(x)=cos x-. 6分
记p(x)=cos x-,x>0,则p'(x)=-sin x+x. 8分
令m(x)=-sin x+x,x>0,则m'(x)=-cos x+1≥0恒成立, 10分
所以m(x)在(0,+∞)上单调递增,所以m(x)>m(0)=0,
所以p'(x)>0,所以p(x)在(0,+∞)上单调递增, 12分
而p(x)>p(0)=cos 0-=0,所以h'(x)>0, 13分
所以h(x)在(0,+∞)上单调递增,所以h(x)>h(0)=0,
故对任意的x>0,h(x)>0恒成立. 15分
17.【命题意图】本题考查分布列,要求考生了解二项分布和超几何分布.
【解题分析】(1)当N=5时,甲箱中有3个红球,2个白球,
记事件A表示“抽出的两个球的颜色不同”,
则P(A)==. 4分
(2)P1===·, 6分
P2=2×==0.288, 7分
由于P1-P2≤0.001,故·-0.288≤0.001,
即·≤0.289=,
即≤×=. 9分
由题意易知(N-1)(N-2)>0,
从而720NN-1≤289(N-1)(N-2),
化简得N2-147N+578≥0.
又N>0,于是N+≥147.
易知函数y=x+(x>0)在x=≈24.04处取得最小值,
从而y=N+在N≥25时单调递增. 11分
又142+≈146.07<147,143+≈147.04>147, 13分
因此当N≥143时,符合题意,
而又考虑到N和N都是整数,则N一定是5的整数倍,于是N=145,
又当N≤20时,N+<147,
故当N至少为145时,我们可以在误差不超过0.001(即P1-P2≤0.001)的前提下认为超几何分布近似为二项分布. 15分
18.【命题意图】本题考查面面垂直与二面角问题,要求考生理解面面垂直的性质和判定定理,了解利用空间向量求二面角.
【解题分析】(1)取BC的中点F,连接EF,
∵DE∥BC,DE=CF,∴四边形CDEF为正方形,
∴CD=EF.
又CD=BC,∴EF=BC,∴EC⊥BE. 3分
∵平面PBE⊥平面BCDE,平面PBE∩平面BCDE=BE,CE 平面BCDE,∴CE⊥平面PBE. 5分
∵EC 平面PCE,∴平面PBE⊥平面PCE. 6分
(2)取BE的中点H,连接PH,
∵PB=PE,∴PH⊥BE.
∵平面PBE⊥平面BCDE,平面PBE∩平面BCDE=BE,PH 平面PBE,
∴PH⊥平面BCDE. 8分
以E为坐标原点,,的正方向分别为x,y轴的正方向,过点E作z轴平行于直线PH,可建立如图所示的空间直角坐标系,
则C0,2,0,P,0,,E(0,0,0),B2,0,0, 9分
∴=(-,2,-),=(2,0,0),=(,0,),
设=λ=(-λ,2λ,-λ)(0≤λ≤1),
∴=+=-λ,2λ,-λ. 11分
设平面BEQ的法向量n=(x,y,z),
则令y=λ-1,解得x=0,z=2λ,
∴n=(0,λ-1,2λ). 14分
∵平面PBE⊥y轴,∴平面PBE的一个法向量m=(0,1,0),
∴|cos|===,解得λ=,满足0≤λ≤1,
此时,Q为PC的中点. 17分
19.【命题意图】本题考查双曲线,要求考生了解双曲线方程和双曲线的切线问题.
【解题分析】(1)设双曲线C的方程为sx2-ty2=1(s,t>0).
因为双曲线C过点(-,),(2,3),
所以解得 3分
所以双曲线C的标准方程为x2-=1, 4分
故双曲线C的渐近线方程为y=±x. 5分
(2)当切线方程的斜率存在时,
设过点(x0,y0)的切线的方程为y-y0=k(x-x0),与x2-=1联立,得
x2+x+=0, 6分
由Δ=-4··=0,
化简得(kx0-y0)2=k2-3,
即k2·(-1)-2kx0y0++3=0, 8分
Δ=4·-4(-1)·(+3)=4-12+12=0,
则k==,
故y-y0=(x-x0),
整理得x0x-=1. 11分
当切线斜率不存在时,此时切点坐标为(±1,0),切线方程为x=±1,满足x0x-=1.
综上,双曲线C:x2-=1在点P(x0,y0)处的切线方程为x0x-=1. 12分
(3)设Q(m,n),则双曲线C:x2-=1在点Q(m,n)处的切线的方程为mx-=1,
双曲线的两条渐近线的方程为y=±x,设A(x1,y1),B(x2,y2),
联立mx-=1与y=x,解得
联立mx-=1与y=-x,解得
直线AB的方程为=,即(y-y1)(x2-x1)-(y2-y1)(x-x1)=0,
故点O到直线AB的距离为=,
且|AB|=, 15分
故△AOB的面积为·=|x1y2-x2y1|====. 17分