安徽省2025年普通高等学校招生全国统一考试 数学冲刺卷（一）（含详解）

2025年安徽省普通高等学校招生全国统一考试
数学冲刺卷（一）
本试卷共150分　考试时间120分钟
注意事项：
1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合M={0，1}，N={x|x2+x=0}，则M∪N=
A.{-1，0} B.{-1，0，1} C.{1，0} D.{-1，1}
2.已知函数f(x)=5sin(ωx+φ)ω>0，|φ|<的部分图象如图所示，则ω=
A.3 B.4 C. D.2
3.(x+y)6的展开式中x3y3项的系数为
A.120 B.15 C.20 D.45
4.已知数列{an}是公差为2的等差数列，数列{bn}为等比数列，且满足b2024=2b2023，b1=2a1，b4=a9-1，则使得b10>a1+a2+a3+…+an成立的n的最大值为
A.32 B.29 C.30 D.31
5.已知直线y=kx-e与曲线y=xln x相切，则k=
A.0 B.1 C.2 D.3
6.瓷器是由瓷石、高岭土、石英石、莫来石等烧制而成的，其外表施有玻璃质釉或彩绘.通过在窑内高温烧制，瓷器表面的釉色会因为温度的不同从而发生各种化学变化.某瓷器将它近似看作由一个圆柱和一个圆台构成的组合体，其直观图如图所示，该瓷器的体积为
A.450π B.448π C.446π D.444π
7.已知直线mx+ny=1与抛物线C：y2=4x相交于A，B两点，若直线OA与OB的斜率之和为4，O为坐标原点，则n=
A.1 B.2 C.3 D.4
8.如图，E，F，G，H四个开关控制着五盏灯，其中开关E控制着1，2，3号灯，开关F控制着2，3，4号灯，开关G控制着3，4，5号灯，开关H控制着1，4，5号灯.开始时，五盏灯均是亮的，现先后按动E，F，G，H这四个开关中两个不同的开关，则其中2号灯亮的概率为
A. B. C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.已知复数z=(2-ai)2+7i(a∈R)在复平面内对应的点在直线y=x上，则a的值可以为
A.3 B.1 C.-3 D.-1
10.若a=cos 15°-sin 15°，b=，c=sin 105°cos 15°-cos 75°sin 15°，则
A.c11.如图，月牙形是由两段圆弧围成的一个封闭图形，若两段圆弧所在圆的半径相同，两圆的圆心分别为坐标原点O和C，A(-1，-2)，B(2，1)，直线l：y=x+b与月牙形只有两个交点，则参考数据：cos≈
A.|OC|=
B.圆C的方程为(x-2)2+(y+2)2=5
C.b的取值范围为(-2，)∪{-1}
D.月牙形的面积约为+3
题序 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
答案
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.已知向量a=(2，2)，b=(λ，-4)，λ∈R，若a⊥b，则λ=　　　　.
13.已知双曲线C：-=1的右焦点为F，M，N是双曲线C右支上的两点，若G(0，2)，且F为△MNG的重心，则MN的中点坐标为　　　　，直线MN的方程为　　　　.
14.如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC⊥AB，AC=6，AB=8，AA1=3，则三棱锥A1- ABC1外接球的半径为　　　　.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(13分)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，(a+b-c)(b-a+c)-3ac=0.
(1)求B；
(2)若∠ABC的角平分线交AC于点D，且AD=2DC=，求BD.
16.(15分)如图，在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别为BB1，DD1的中点.
(1)证明：点F在平面AEC1内.
(2)若AA1=2AB，求平面A1EC1与平面AEC1夹角的余弦值.
17.(15分)已知椭圆C：+=1(a>b>0)的离心率为，直线x=ky+1过椭圆C的一个焦点，且与椭圆C相交于A，B两点，D(3，0)，直线AD，BD分别与直线x=4相交于E(x1，y1)，F(x2，y2)两点.
(1)求椭圆C的方程；
(2)求y1y2的值.
18.(17分)甲、乙两人进行游戏，且都有1个红色弹珠和1个黄色弹珠，每人每次独立地随机取出1个弹珠相互交换.
(1)若只交换1次，求甲的弹珠的颜色相同的概率；
(2)若只交换1次，记甲有红色弹珠的个数为X，求X的分布列及期望；
(3)若一共交换3次，最后甲的2个弹珠颜色相同，则甲获胜，否则乙获胜，试问这个游戏是否公平
19.(17分)已知函数f(x)=x2-axln x(a∈R).
(1)讨论函数f(x)极值点的个数；
(2)若x0是方程f(x)=x在(1，+∞)上的一个根，证明：x0参考答案
1.B　【命题意图】本题考查集合的基本运算，要求考生理解两个集合的并集的含义.
【解题分析】由题意得，N={-1，0}，因为M={0，1}，所以M∪N={-1，0，1}.
2.A　【命题意图】本题考查三角函数的图象及性质，要求考生掌握三角函数的周期性.
【解题分析】由题图知=-=，所以T==，解得ω=3.
3.C　【命题意图】本题考查二项式定理，要求考生会用二项式定理解决简单的问题.
【解题分析】(x+y)6的展开式中x3y3项的系数为=20.
4.D　【命题意图】本题考查等差及等比数列，要求考生理解等差与等比数列的通项公式及前n项和.
【解题分析】因为b2024=2b2023，所以数列{bn}的公比为2，因为b4=a9-1，所以23b1=a1+16-1，因为b1=2a1，所以15a1=15，解得a1=1，b1=2，所以an=2n-1，bn=2n，所以a1+a2+a3+…+an=n2，b10=210=1024，由1024>n2，且n∈N*，得n的最大值为31.
5.C　【命题意图】本题考查导数的几何意义，要求考生掌握导数的几何意义.
【解题分析】设切点坐标为(x0，x0ln x0)，y'=1+ln x，所以y'=1+ln x0，所以切线方程为y-x0ln x0=(1+ln x0)(x-x0)，即y=(1+ln x0)x-x0，所以解得k=2.
6.D　【命题意图】本题考查几何体的体积，要求考生知道圆台、圆柱体积的计算公式.
【解题分析】由直观图知，圆柱的底面半径为6，高为8，圆台的上底面半径为2，下底面半径为6，高为9，所以该瓷器的体积为π×62×8+(62+22+)×9=444π.
7.A　【命题意图】本题考查直线与抛物线的位置关系，要求考生了解抛物线的简单几何性质.
【解题分析】(方法一)由得y2=4x(mx+ny)，所以-4n·-4m=0，因为直线OA与OB的斜率之和为4，所以4n=4，即n=1.
(方法二)设A点的坐标为，y1，B点的坐标为，y2，因为直线OA与OB的斜率之和为4，所以+=4，即+=1，所以y1+y2=y1y2.由得y2+y-=0，所以y1+y2=-，y1y2=-，所以-=-，解得n=1.
8.B　【命题意图】本题考查古典概型，要求考生理解古典概型.
【解题分析】先后按动E，F，G，H这四个开关中两个不同的开关，有=12种方法.
2号灯亮有两类情形.第一类，按第一个开关时，2号灯灭，按第二个开关时，2号灯亮，此时对应的方法有=2种(E，F两个开关进行全排列)；
第二类，按第一个开关和第二个开关均与2号灯无关，此时对应的方法有=2种(G，H两个开关进行全排列).故所求事件的概率为=.
9.AB　【命题意图】本题考查复数的运算及几何意义，要求考生能进行复数代数表示式的四则运算并理解复数的几何意义.
【解题分析】因为z=(2-ai)2+7i=4-a2+(7-4a)i，所以4-a2=7-4a，解得a=3或a=1.
10.BCD　【命题意图】本题考查三角恒等变换，要求考生掌握两角和与差的正、余弦公式.
【解题分析】a=cos 15°-sin 15°=sin(45°-15°)=，c=sin 105°cos 15°-cos 75°sin 15°=sin 75°cos 15°-cos 75°sin 15°=sin(75°-15°)=sin 60°=，所以b11.ACD　【命题意图】本题考查直线与圆的位置关系，要求考生能根据直线、圆的方程判断直线与圆的位置关系.
【解题分析】由题易知，圆O的半径为，设圆心C的坐标为(a，-a)，且a≠0，所以(a-2)2+(1+a)2=5，解得a=1，所以圆C的方程为(x-1)2+(y+1)2=5，|OC|=，故选项A正确，选项B错误.
设直线l1：y=x+t，当直线l1过点B(2，1)时，t=-1，
当直线l1与圆O相切时，=，解得t=±，
当直线l1与圆C相切时，=，
解得t=-2或t=--2，
因为直线l：y=x+b与月牙形只有两个交点，所以b的取值范围为(-2，)∪{-1}，故选项C正确.
连接AC，BC，AB(图略)，易求得△ABC的面积为，
设∠ACB=θ，=(-2，-1)，=(1，2)，所以cos θ==-，所以θ≈π-=，所以月牙形的面积约为5π-2××()2×-=+3，故选项D正确.
12.4　【命题意图】本题考查向量的运算，要求考生掌握平面向量数量积的坐标运算.
【解题分析】因为a=(2，2)，b=(λ，-4)，且a⊥b，所以2×λ+2×(-4)=0，解得λ=4.
13.(6，-1)　2x+y-11=0　【命题意图】本题考查直线与双曲线的位置关系，要求考生了解双曲线的简单几何性质.
【解题分析】由题知，F(4，0)，设M点的坐标为(x1，y1)，N点的坐标为(x2，y2)，因为F为△MNG的重心，所以=4，=0，即x1+x2=12，y1+y2=-2，所以MN的中点坐标为(6，-1).因为M，N是双曲线C右支上的两点，所以两式相减并化简得=×=-2，所以直线MN的方程为y+1=-2×(x-6)，即2x+y-11=0.
14.　【命题意图】本题考查立体几何的综合应用，要求考生了解几何体的外接球.
【解题分析】设G，H分别为AC1，A1B的中点，过点G，H分别作平面AA1C1，平面AA1B的垂线，交点为O，连接GH，由题知，GH=BC=5，OG2+OH2=GH2，设三棱锥A1- ABC1外接球的半径为R，所以OG2=R2-AG2，OH2=R2-AH2，所以OG2+OH2=2R2-AG2-AH2，即2R2=GH2+AG2+AH2，所以2R2=25++，解得R=.
15.【命题意图】本题考查解三角形，要求考生理解正、余弦定理.
【解题分析】(1)因为(a+b-c)(b-a+c)-3ac=0，所以b2-(a-c)2-3ac=0，
所以-ac=a2+c2-b2，所以cos B==-，因为B∈(0，π)，所以B=. 6分
(2)因为AD=2DC=，所以b=，因为BD平分∠ABC，所以=，即c=2a，
由(1)知，-ac=a2+c2-b2，解得a=1，c=2，因为S△ABC=S△ABD+S△DBC，所以acsin B=a·BDsin+c·BDsin，解得BD==. 13分
16.【命题意图】本题考查点面关系及平面与平面的夹角，要求考生能用向量解决平面与平面的夹角问题.
【解题分析】(1)设G为CC1的中点，连接GF，AF，BG(图略).
由题易知GF CD，BA CD，所以GF BA，所以四边形ABGF为平行四边形，所以AF∥BG，易知BG∥EC1，所以AF∥EC1，故点F在平面AEC1内. 6分
(2)不妨设AB=1，则AA1=2，以BC，BA，BB1所在的直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图所示，则A(0，1，0)，A1(0，1，2)，E(0，0，1)，C1(1，0，2)，
所以=(1，0，1)，=(0，1，1)，=(0，1，-1).
设m=(x1，y1，z1)为平面A1EC1的法向量，
所以即令x1=1，得y1=1，z1=-1，
所以平面A1EC1的一个法向量为m=(1，1，-1).
设n=(x2，y2，z2)为平面AEC1的法向量，
所以即令x2=1，得y2=z2=-1，
所以平面AEC1的一个法向量为n=(1，-1，-1).
因为cos===，
所以平面A1EC1与平面AEC1夹角的余弦值为. 15分
17.【命题意图】本题考查直线与椭圆的位置关系，要求考生掌握椭圆的标准方程及简单几何性质.
【解题分析】(1)设c=，因为椭圆C的离心率为，所以=，因为直线x=ky+1过定点(1，0)，且过椭圆C的焦点，所以c=1，所以a=3，解得b2=8，所以椭圆C的方程为+=1. 6分
(2)设A(x3，y3)，B(x4，y4)，由得(8k2+9)y2+16ky-64=0，
易知Δ>0，所以y3+y4=，y3y4=，
直线AD的方程为y=(x-3)，令x=4得y1==，
同理可得y2=， 12分
所以y1y2====-. 15分
18.【命题意图】本题考查离散型随机变量，要求考生理解离散型随机变量的概念及分布列.
【解题分析】(1)由题知，交换1次，甲的弹珠的颜色相同的概率为×+×=. 3分
(2)由题知，若只交换1次，则甲、乙两人取红色弹珠和黄色弹珠的概率均为，X的所有可能取值为0，1，2，
P(X=0)=×=，P(X=1)=×+×=，P(X=2)=×=，
所以X的分布列为
X 0 1 2
P
所以X的期望E(X)=0×+1×+2×=1. 9分
(3)用A1，A2，A3分别表示甲第1次、第2次、第3次交换后，甲的2个弹珠颜色相同，
用B1，B2，B3分别表示甲第1次、第2次、第3次交换后，甲的2个弹珠颜色不相同.
由(1)知，P(A1)=P(B1)=P(B3|B2)=P(B2|B1)=P(A3|B2)=P(A2|B1)=，
易知P(A3|A2)=P(A2|A1)=0，由全概率公式知，
P(A3)=P(A2)P(A3|A2)+P(B2)P(A3|B2)=P(B2)P(A3|B2)=P(B2)=[1-P(A2)]，
同理可得P(A2)=[1-P(A1)]=，所以P(A3)=1-=<.
故这个游戏不公平. 17分
19.【命题意图】本题考查函数与导数的综合，要求考生理解用导数讨论函数的单调性及函数的零点.
【解题分析】(1)f'(x)=2x-a(1+ln x)=2x-aln x-a，
令φ(x)=f'(x)=2x-aln x-a，则φ'(x)=2-. 1分
当a<0时，φ'(x)>0，φ(x)在(0，+∞)上单调递增，当x→0时，φ(x)→-∞，且φ(1)=2-a>0，故存在x1∈(0，1)，使得φ(x1)=0，且当0x1时，φ(x)>0，所以函数f(x)有一个极值点； 3分
当a=0时，f(x)=x2在(0，+∞)上无极值点； 4分
当a>0时，若0，则φ'(x)>0，所以函数φ(x)在0，上单调递减，在，+∞上单调递增，φ=-aln.
当0当a>2时，φ<0且当x→0时，φ(x)→+∞，当x→+∞时，φ(x)→+∞，此时函数f(x)有两个极值点. 6分
综上所述，当a<0时，函数f(x)有一个极值点；当0≤a≤2时，函数f(x)无极值点；当a>2时，函数f(x)有两个极值点. 7分
(2)f(x)=x，即x2-axln x=x，所以x-1-aln x=0， 8分
令G(x)=x-1-aln x，则G'(x)=1-=. 9分
当a≤1时，G(x)在(1，+∞)上单调递增，G(x)>G(1)=0，方程f(x)=x无解， 10分
当a>1时，易知G(x)在(1，a)上单调递减，在(a，+∞)上单调递增，
所以G(a)令g(x)=x2-2xln x-1(x>1)，则g'(x)=2x-2(1+ln x)(x>1)，
设h(x)=x-1-ln x(x>1)，则h'(x)=1-=>0，
所以h(x)在区间(1，+∞)上单调递增，所以h(x)>h(1)=0，即g'(x)>0， 15分
所以g(x)在区间(1，+∞)上单调递增，所以g(a)>g(1)=0，即G(a2)>0， 16分
因为G(x0)=0，所以x0