湖南省常德市临澧县第一中学2025届高三考前模拟 数学试卷（含详解）

2025届高三 数学 考前模拟（1）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．“”是“”的　　
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
2．已知，，则的值为　　
A．3 B．5 C． D．
3．已知函数的导函数为，且满足，则的值为　　
A． B． C． D．
4．已知抛物线的焦点是双曲线的一个焦点，则双曲线的离心率为　　
A．2 B．4 C． D．
5．某医学院计划从4名男生和3名女生中选派2人分别到甲、乙两地参加义诊活动，则在派往甲地是男生的条件下，派往乙地是女生的概率是　　
A． B． C． D．
6．两个圆锥有等长的母线，它们的侧面展开图恰好拼成一个圆，若它们的侧面积之比为，则它们的体积比是　　
A． B． C． D．
7．设函数且，则下列说法正确的是　　
A．为上的奇函数 B．若，则
C．若，则 D．若为上的增函数，则
8．已知圆，过点的直线与圆交于，两点，且，则　　
A．2 B． C． D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．下列说法正确的有　　
A．若样本数据，，，的平均数为，则数据，，，，的平均数为
B．若随机变量，且，则
C．若随机变量，则
D．若随机变量，设，则
10．如图，矩形中，，为边的中点．将△沿直线翻折成△平面，若在线段上（点与，不重合），
则在翻折△过程中，下列判断正确的有　　
A．当为线中点时，为定值；
B．存在某个位置，使；
C．当四棱锥体积最大时，点到平面的距离为；
D．当二面角的大小为时，异面直线与所成角的余弦值为，
11．已知点为△所在平面内一点，则　　
A．若，则
B．若，且，则△为等边三角形
C．若，则
D．若，且，则△的面积是△面积的
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．已知，则 ．
13．幻方是一种中国传统游戏，其规则是将数字填在正方形格子中，使每行、每列和对角线上的数字的和都相等．如图， 已知一个三阶幻方由1至9这9个不同的数组成，则 ， ．
14．已知函数若关于的方程恰有两个不同的实数根，
则实数的取值范围为 ．
四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
15．（本小题满分13分）
在△中，角，，的对边分别为，，，若．
（1）求．
（2）若，，，边上的两条中线，相交于点，
（i）求； （ii）求．
16．（本小题满分15分）
已知抛物线的焦点为，，分别为上的点（点在点上方）．过点，分别作的切线，，交于点．点为坐标原点，当△为正三角形时，其面积为．
（1）求抛物线的方程；
（2）若直线经过点，求动点的轨迹以及点到直线的距离的最小值．
17．（本小题满分15分）
如图，是的直径，垂直于所在的平面，，是圆周上不同于，的两点．
（1）求证：平面平面；
（2）若，，直线与平面所成的角的正弦值为，求．
18．（本小题满分17分） 第22届世界杯于2022年11月21日到12月18日在卡塔尔举办．在决赛中，阿根廷队通过点球战胜法国队获得冠军．
（1）扑点球的难度一般比较大．假设罚点球的球员会等可能地随机选择球门的左、中、右三个方向射门，门将也会等可能地随机选择球门的左、中、右三个方向来扑点球，而且门将即使方向判断正
确也有的可能性扑不到球．不考虑其它因素，在一次点球大战中，求门将在前三次扑到点球的
个数的分布列和期望；
（2）好成绩的取得离不开平时的努力训练，甲、乙、丙三名前锋队员在某次传接球的训练中，球从甲脚下开始，等可能地随机传向另外2人中的1人，接球者接到球后再等可能地随机传向另外2人中的1人，如此不停地传下去，假设传出的球都能接住，记第次传球之前球在甲脚下的概率为，易知，．
（i）证明：为等比数列；
（ii）设第次传球之前球在乙脚下的概率为，比较与的大小．
19．（本小题满分17分） 已知函数，设曲线在点，处的切线与轴的交点为，，其中为正实数．
（1）用表示；
（2）若，记，证明数列成等比数列，并求数列的通项公式；
（3）若，，是数列的前项和，证明．
2025届高三 数学 考前模拟（1） 参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
答案 A B A D B A D D AB AC BCD 3；16
11．【解答】对于，若，则，
整理得，即，
可得，所以，故项不正确；
对于，由，得，
可知的平分线与垂直，所以△中，．
由，可知单位向量、的夹角余弦值等于，
即，结合为三角形的内角，可得．
因此，△是等边三角形，可知项正确；
对于，若，则，
可得，
即，得，
即，可得，故项正确；
对于，若，且，延长到，使，
则，满足，所以点在上．
由，可知点到的距离等于点到距离的，
所以，故项正确．
故选：．
14．【解答】作出图象，如图所示：令，则原方程即为，
记方程的两根为，，可知，，
①当△时，，
当时，，此时方程恰有两个不同的实数根，满足题意；
当时，，此时方程仅有一个实数根，不满足题意；
②当△时，或，此时，不妨设，
当时，，
则有三个不同的实数根， 有一个实数根，不满足题意；
当时，，此时和各有一个实数根且两根不相等，满足题意；
综上可知，实数的取值范围为．
15．（1）因为，所以由正弦定理得：，
因为，
所以，因为，所以，
所以，又因为，所以，所以，解得；
（2）（i）因为是的中点，所以，两边平方得：
，所以；
（ii）因为，分别是，的中点，所以，．
因为
，
，
又由（i）知，，所以与的夹角等于，
所以．
16．（1）因为△为正三角形时，其面积为，可得△的边长．
根据正三角形以及抛物线的对称性，可知此时点，关于轴对称，如图，
则 ．将点代入抛物线的方程可得，解得，所以的方程为．
（2）由抛物线方程可得，显然直线的斜率不为0，则设直线的方程为，
联立，消去得，△，
设点，的坐标分别为，，则，．
设直线的方程为．
因为是抛物线的切线，所以与仅有一个交点．
联立，消去得，
，所以，
所以直线的方程为，同理可得直线的方程为．
联立与的方程可得，即可得，
即点的横坐标为，所以动点的轨迹为直线．
将点的横坐标代入直线及，可得其纵坐标为以及，
两者相加可得，代入上述韦达定理可得，所以的坐标为，
所以点到直线的距离，当且仅当时等号成立，
所以点到直线的距离的最小值为2．
17．（1）证明：平面，平面，，
是直径所对的圆周角，，，
，，平面，平面，
平面，平面平面；
（2）以为坐标原点，，所在直线分别为轴，轴，过作平面的垂线为轴，建立空间直角坐标系，由，，，得，
则，0，，，1，，，0，，，1，，，，，
设，，，得，，，，0，，，1，，
设平面的法向量为，，，则，取，得，2，，
直线与平面所成的角的正弦值为，，
，由，得，
当时，代入，得：，
即，解得或，
当时，，
当时，，，
经检验，当时，，重合，不符合题意，
综上，的长为1．
18．（1）的所有可能取值为0，1，2，3，在一次扑球中，扑到点球的概率，
所以，，
，，
0 1 2 3
所以的分布列如下：
．
（2）证明：①第次传球之前球在甲脚下的概率为，
则当时，第次传球之前球在甲脚下的概率为，
第次传球之前球不在甲脚下的概率为，
则，即，又，
所以是以为首项，公比为的等比数列．
②由①可知，所以，
所以， 故．
19．（1）由题可得．所以在点，处的切线方程是：．
即．令，得．即．
显然，．
（2）由，知，
同理，故．
从而，即．所以，数列成等比数列．
故．即．从而所以
（3）由（2）知，
当时，显然．
当时，
．
综上，．