江西省景德镇市七中2024-2025年普通高中学业水平选择性考试冲刺数学试卷（含详解）

2025年普通高等学校招生全国统一考试
数学样卷（一）
本试卷共150分　考试时间120分钟
注意事项：
1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知有800名同学参加数学测试，其中成绩高于118分的同学有240名，若118为本次数学测试成绩的第p百分位数，则p的值可以为
A.20 B.30 C.70 D.80
2.在复平面内，复数z对应的点的坐标为(-1，-1)，则-=
A.-- B.- C.-+ D.+
3.已知椭圆E：+=1(a>0)，则“a=4”是“椭圆E的离心率为”的
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
4.记Sn为数列{an}的前n项和，且点列(n，an)(n∈N*)均匀分布在直线y=2x+b上，若Sk+3-Sk=30+S3，则k=
A.8 B.7 C.6 D.5
5.已知圆锥OO'的底面圆周在球O的球面上，顶点在球心O处.若圆锥OO'的侧面展开图是圆心角为216°的扇形，则圆锥OO'的体积与球O的体积的比值为
A. B. C. D.
6.已知x，y∈{0，1，2，3，4，5，6}，且<，则不同数对(x，y)的个数为
A.21 B.18 C.15 D.12
7.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a=2b，3b2+c2=ac，则cos+cos=
A. B. C. D.
8.已知函数f(x)=x+eax，若x=x0是y=f(x)的极值点，则x0的最大值为
A. B. C. D.e
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.如图，平行六面体ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是菱形，CD=CC1，且∠C1CB=∠C1CD=∠BCD=60°，M，N，P分别为BC1，A1B1，DA的中点，则
A.MN∥平面CAA1C1 B.MN与CP共面
C.MN⊥平面BC1D D.CP=MN
10.已知P为圆C：(x-3)2+y2=4上的动点，A(1，3)，O为坐标原点，则
A.满足∠OPA=90°的点P有且仅有1个
B.过点O且与圆C相切的直线方程为y=±x
C.|+|的最小值为3
D.当·=0时，tan∠CAP=
11.已知函数f(x)的定义域为R，且f(x2-2x)是奇函数，g(x)=f(x2-1)，则
A.g(1)=0 B.f(8)=1
C.g(x+2)是偶函数 D.当f(3)=-1时，g(i)=-1
题序 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
答案
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.已知集合A={x∈Z|(x-1)(x+a)<0}，B={x|y=ln x}，若集合A∩( RB)中恰有3个元素，则实数a的取值范围为　　　　.
13.若抛物线y=ax2(a>0)的焦点关于其准线的对称点为0，-，则a=　　　　.
14.已知函数f(x)=2sin(ωx+φ)(ω>0)，如图，直线y=1与曲线y=f(x)相交于A，B两点，设A，B两点的横坐标分别为x1，x2，则f(x2-x1)=　　　　，设函数f(x)在t，t+上的最大值为Mt，最小值为mt，则Mt-mt的最小值为　　　　.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(13分)已知函数f(x)=aln x-x(a≠0).
(1)当a=2时，求曲线y=f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；
(2)设A={x|f(x)>0}，若A≠ ，且A (1，10)，求实数a的取值范围.
16.(15分)如图，在多面体ABC-DEF中，△ABC是等边三角形，AD⊥平面ABC，AD∥BE，AD∥CF，且AD=AC=2BE=2CF，P为FD上靠近点F的三等分点.
(1)证明：AP⊥DE.
(2)求平面APB与平面DEF夹角的余弦值.
17.(15分)有5个相同的箱子，其中4个箱子中各装有5个红球和5个黑球，第5个箱子甲箱中装有8个红球和2个黑球，现从5个箱子中任选3个，再从这3个箱子中分别随机摸出1个球.
(1)若选中的3个箱子中包含甲箱，记摸出的红球的个数为X，求随机变量X的分布列与期望；
(2)若摸出的3个球均为红球，求其中1个球来自甲箱的概率.
18.(17分)已知双曲线E：-=1(a>0，b>0)的焦距为4，一条渐近线的倾斜角为120°.
(1)求E的方程.
(2)过E的左焦点F的直线l与E的左支交于A，B两点，过点F与l垂直的直线交E于C，D两点，其中点A在x轴上方，点D在E的右支上，M，N分别为AB，CD的中点.
(i)证明：直线MN过定点.
(ii)设Q为E的右顶点，若△ABQ和△CDQ相似，求直线l的方程.
19.(17分)若存在常数t，使得数列{an}满足an+1-a1a2a3…an=t(n∈N*)，则称数列{an}为“H(t)数列”.
(1)已知i=1，2，3，4，5，数列{ai}为“H(1)数列”，且ai∈{1，2，3，…，99}，求a5-a2的值.
(2)若数列{an}是首项为2的“H(t)数列”，数列{bn}是正项等比数列，且=a1a2a3…an+log3bn，证明：当n≥2时，<++…+<.
(3)若数列{an}是“H(t)数列”，Sn为数列{an}的前n项和，a1>1，t>0，试比较an+1与t+的大小.
参考答案
1.C　【命题意图】本题考查百分位数，要求考生理解百分位数的统计含义.
【解题分析】由题意知，有800-240=560名同学的数学测试成绩不高于118分，×100%=70%，故p的值可以为70.
2.C　【命题意图】本题考查复数的有关概念及运算，要求考生理解复数的有关概念和掌握复数的四则运算.
【解题分析】由题意知z=-1-i，-===-+.
3.A　【命题意图】本题考查椭圆和充要条件，要求考生理解椭圆的几何性质与充要条件的意义.
【解题分析】当a=4时，半焦距c=2，e==，充分性成立；当e=时，若04.D　【命题意图】本题考查等差数列，要求考生了解等差数列的通项公式及前n项和公式.
【解题分析】由题意知，an+1-an=2(n+1)+b-(2n+b)=2，数列{an}是公差d=2的等差数列，Sk+3-Sk=ak+1+ak+2+ak+3=3kd+a1+a2+a3=30+S3，即6k=30，解得k=5.
5.B　【命题意图】本题考查圆锥与球，要求考生了解圆锥与球的结构特征，理解圆锥与球的体积公式.
【解题分析】由题意，设圆锥的底面半径为r，高为h，球O的半径为R，
因为216°=π，又R=2πr，所以R=r，h==r，
故圆锥OO'的体积与球O的体积的比值为=.
6.B　【命题意图】本题考查计数原理，要求考生利用计数原理解决计数问题.
【解题分析】因为=<=<=<，所以当x=0，6时，y=1，2，3，4，5，
当x=1，5时，y=2，3，4，当x=2，4时，y=3，所以共有×+×+×1=18个.
7.C　【命题意图】本题考查解三角形与三角恒等变换，要求考生能正确地运用三角恒等变换公式，理解正弦定理与余弦定理.
【解题分析】由题意知a2-b2+c2=ac，得cos B=，sin B=，sin A=.
cos+cos=cos+sin=coscos+sinsin+sincos+cossin=cos+sincos+sin，cos+sin2=1+sin B=，
同理cos+sin2=，则cos+cos=.
8.A　【命题意图】本题考查导数的应用，要求考生体会导数与函数单调性、极值的关系.
【解题分析】f'(x)=1+aeax，若a≥0，则f'(x)>0，f(x)是增函数，无极值，故a<0，
易知f'(x)是增函数，当x→-∞时，f'(x)<0，当x→+∞时，f'(x)>0.
令1+aeax=0，得x0=ln-，易知x=x0是y=f(x)唯一的极值点.
设g(x)=-xln x，则g'(x)=-ln x-1，易知g(x)在0，上单调递增，在，+∞上单调递减，可得g(x)≤g=，即x0≤.
9.AC　【命题意图】本题考查空间点、线、面的位置关系，要求考生了解空间点、线、面的位置关系及平行六面体的结构特征.
【解题分析】如图，连接CB1，CA1，M，N分别为BC1，A1B1的中点，易知MN∥CA1，则MN∥平面CAA1C1，A项正确；易知该平行六面体所有的棱长相等，记=a，=b，=c，且两两夹角相等，易知=a+b+c，=a-b，·=a2-b2+a·c-b·c=0，即CA1⊥BD，同理CA1⊥DC1，BD∩DC1=D，则CA1⊥平面BC1D，MN⊥平面BC1D，C项正确；显然MN与CP不平行，若MN与CP有交点，则CP 平面CDA1B1，不成立，B项不正确；连接A1P，易知A1P=CP，CP+A1P=2CP>CA1=2MN，D项不正确.
10.BCD　【命题意图】本题考查直线与圆，要求考生了解直线与圆的位置关系.
【解题分析】如图，易知以OA为直径的圆的圆心为，，半径R=，显然和圆C相交，满足条件的点P有2个，A项不正确；已知圆心C(3，0)，半径r=2，设切线方程为y=kx，则=2，解得k=±，B项正确；设Q为AP的中点，Q(x，y)，P(m，n)，则m=2x-1，n=2y-3，代入圆C方程可得Q的轨迹方程为(x-2)2+y-2=1，则|OQ|min=，即|+|的最小值为3(或设P(3+2cos θ，2sin θ)，通过三角函数求解)，C项正确；若·=0，即(m，n)·(2，-3)=0，则点P在直线l：2x-3y=0上，设M是AC与OP的交点，|CM|=，|PM|=，|AM|=，则tan∠CAP==，D项正确.
11.ACD　【命题意图】本题考查函数，要求考生理解函数的概念，了解函数的奇偶性、周期性、单调性的意义.
【解题分析】g(-x)=f((-x)2-1)=f(x2-1)=g(x)，所以g(x)是偶函数，
由题意知f(x2-2x)+f(x2+2x)=0，因为g(x)=f(x2-1)，所以g(1-x)+g(1+x)=0，即g(x)=-g(2-x)，易知g(1)=0，A项正确；
又g(x)=g(-x)，得g(x)=-g(2+x)，即g(2+x)=g(2-x)，所以g(x+2)是偶函数，C项正确；
g(x+2)=-g(x+4)，得g(x)=g(x+4)，所以4是g(x)的一个周期，
f(3)=g(2)=-1，g(i)=50×0+g(1)+g(2)=-1，D项正确；
f(8)=g(3)=-g(1)=0，B项不正确.设f(x)=cos，满足条件
12.(2，3]　【命题意图】本题考查集合，要求考生能进行集合的运算.
【解题分析】易知B={x|x>0}， RB={x|x≤0}，由题意易得A∩( RB)={-2，-1，0}，
即-2∈A，-3 A，解得213.　【命题意图】本题考查抛物线，要求考生了解抛物线的几何性质.
【解题分析】设x2=2py(p>0)，则p=，由题意知+=2×p，即+=2×，解得a=.
14.-2　2-　【命题意图】本题考查三角函数，要求考生理解三角函数的图象与性质.
【解题分析】由图象的对称性知==，得ω=，f(0)=2sin φ=1，由图象特点可得φ=+2kπ，k∈Z，f(x)=2sinx++2kπ，k∈Z.
不妨设g(x)=2sinx+，可知x1+=，x2+=，(x2-x1)=，g(x2-x1)=2sin=-2，即f(x2-x1)=-2.若Mt-mt取得最小值，则f(x)在t，t+上的图象关于某条对称轴对称.不妨令x0+=，x0=，Mt=f(x0)=2，mt=fx0+=，即Mt-mt的最小值为2-.
15.【命题意图】本题考查导数，要求考生理解导数的几何意义，体会导数与函数单调性、最值的关系.
【解题分析】(1)当a=2时，f(x)=2ln x-x，f(1)=-1， 2分
f'(x)=-1，f'(1)=1， 3分
所求的切线方程为y=x-2. 5分
(2)由题意知f'(x)=-1，
当a<0时，f'(x)<0，f(x)在(0，+∞)上单调递减，f(1)<0，x→0，f(x)→+∞，不合题意. 7分
当a>0时，令f'(x)=0，得x=a， 8分
易知f(x)在(0，a)上单调递增，在(a，+∞)上单调递减， 9分
由题意 ，f(a)>0，即aln a-a>0，解得a>e， 10分
又f(1)=-1<0，则f(10)≤0，解得a≤. 12分
综上，e16.【命题意图】本题考查空间向量与立体几何，要求考生了解空间中的平行和垂直的关系，能用向量方法解决简单的夹角问题，体会向量方法在研究几何问题中的作用.
【解题分析】(1)由题意易知BE⊥平面ABC，CF⊥平面ABC. 1分
不妨设AD=2，以A为原点建立空间直角坐标系A-xyz如图所示，
则A(0，0，0)，D(0，0，2)，E(，1，1)，F(0，2，1). 3分
设P(x，y，z)，∵=，即(x，y-2，z-1)=(0，-2，1)，
∴P0，，， 5分
∴·=0，，·(，1，-1)=0，即AP⊥DE. 6分
(2)设平面DEF的法向量为n=(x，y，z)，
由(1)得=(，1，-1)，=(-，1，0)，
则即令x=1，则n=(1，，2). 9分
设平面APB的法向量为m=(a，b，c)，
由(1)得B(，1，0)，=0，，，=(，1，0)，
即令a=1，则m=(1，-，). 12分
设平面APB与平面DEF的夹角为θ，
则cos θ=|cos|===， 14分
故平面APB与平面DEF夹角的余弦值为. 15分
17.【命题意图】本题考查概率，要求考生理解条件概率与随机变量的分布列及期望.
【解题分析】(1)易知甲箱中随机摸出1个球，该球是红球的概率为，其余箱中随机摸出1个球，该球是红球的概率为. 2分
X所有可能的取值为0，1，2，3， 3分
P(X=0)=×2=，P(X=1)=×2+××2=，
P(X=2)=××2+×2=，P(X=3)=×2=. 5分
随机变量X的分布列为
X 0 1 2 3
P
数学期望E(X)=0×+1×+2×+3×=. 7分
(2)设事件A表示“摸出的3个球均为红球”，事件B表示“选中的3个箱子中包含甲箱”， 8分
P(B)==，P()=1-P(B)=， 10分
P(AB)=P(B)P(A|B)=××2=， 12分
P(A)=P(B)P(A|B)+P()P(A|)=+×3=， 14分
P(B|A)==. 15分
18.【命题意图】本题考查双曲线，要求考生掌握双曲线的定义、标准方程及简单的几何性质.
【解题分析】(1)由题意知c=2，=，又c2=a2+b2， 2分
解得a=1，b=，E的方程为x2-=1. 4分
(2)(i)由题意知F(-2，0)，
当l的斜率存在时，设l：y=k(x+2)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由消去y，得(3-k2)x2-4k2x-4k2-3=0，
易知k2>3，x1+x2=，x1x2=-. 6分
M是AB的中点，则xM=，yM=k(xM+2)=，
即M，，设直线CD的斜率为m，同理N，，
kMN===， 7分
因为km=-1，所以kMN=，
直线MN：y=x-+=(x-1)，
直线MN过点(1，0). 8分
当直线l的斜率不存在时，显然直线MN过点(1，0). 9分
综上，直线MN过定点(1，0). 10分
(ii)Q(1，0)，显然直线l的斜率存在，不妨设k>.
由(2)知，·=(x1-1，y1)·(x2-1，y2)=x1x2-(x1+x2)+1+y1y2，
其中y1y2=k2(x1+2)(x2+2)=k2[x1x2+2(x1+x2)+4]，
计算得·=0，即QA⊥QB，同理QC⊥QD.
设∠ABQ=∠DCQ=β，则∠ABQ=∠MQB=β=∠DCQ=∠CQN，
得2β=∠CNM=∠QND=∠QMA，在△MFN中，解得2β=. 13分
设直线AB的方向向量为a=(1，k)，直线CD的方向向量为b=1，-，
直线MN的方向向量为n=1，.
则cos 45°==，即=，
=，即k(k2-3)=3k2-1，
即k3+1-3k(k+1)=(k+1)(k2-4k+1)=0，
则k2-4k+1=0，解得k=2+或k=2-(舍去)， 15分
由对称性，知可取k=-(2+)， 16分
所求直线l的方程为y=±(2+)(x+2). 17分
(另解一：设直线AB的倾斜角为θ，直线MN的倾斜角为φ，结合图象，
有tan=tan(θ-φ)=1=，化简得k(k2-3)=3k2-1，以下同，
或同理有-1=.
另解二：分别作QT，QR垂直于CD，AB，垂足分别为T，R，
|QM|==，|QR|=，
由|QM|=|QR|，得=，(k2+1)=k(k2-3)，
又N，-，直线CD：x+ky+2=0，|QN|=|QT|，
同理得(k2+1)=(3k2-1)，则k(k2-3)=3k2-1，以下同.)
好的思路：==，又=，化简后通过韦达定理求解.
19.【命题意图】本题考查数列新定义，要求考生具有较好的数学素养.
【解题分析】(1)因为t=1，a1>0，a2=a1+1>1，所以aj若a1=1，则a2-a1=1，a2=2，a3-a1a2=1，a3=3，a4-a1a2a3=1，a4=7，
a5-a1a2a3a4=1，a5=43，满足题意； 3分
若a1≥2，则a5≥42×43+1>99，不合题意.综上，a5-a2=41. 4分
(2)由数列{an}是首项为2的“H(t)数列”，得a2=2+t，a3=3t+4，
数列{bn}是等比数列，设公比为q，
由=a1a2a3…an+log3bn，则=a1a2a3…anan+1+log3bn+1，
两式作差可得=a1a2a3…an(an+1-1)+log3bn+1-log3bn，
即=a1a2a3…an(an+1-1)+log3q. 6分
又an+1-a1a2a3…an=t，得=(an+1-t)(an+1-1)+log3q，即(t+1)an+1=t+log3q对于n∈N*恒成立，
则即
由(t+1)(2+t)=(t+1)(3t+4)，解得t=-1，则q=3.
又a1=2，=a1+log3b1，则b1=9，即bn=3n+1， 8分
++…+=++…+=1-<， 9分
当n≥2时，3n=(1+2)n=1+×2+…+×2n>1+2n，
则1->1-=.
综上，当n≥2时，<++…+<. 10分
(3)设函数f(x)=ln x-x+1(x>1)，则f'(x)=-1<0，
函数f(x)在(1，+∞)上单调递减. 12分
因为a1>1，t>0，数列{an}是“H(t)数列”，所以a2>a1，a3>a2，…，an>an-1，
累加得an>a1>1，则f(an)即ln an-an+1<0，ln anln a1累加得ln a1+ln a2+…+ln an即ln(a1a2…an)