吉林省吉林市松花江中学2023-2024学年高一下学期5月月考数学试题
1．（2024高一下·吉林月考）在复平面内，复数对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．（2024高一下·吉林月考）下列说法正确的是
A．互相垂直的两条直线的直观图仍然是互相垂直的两条直线
B．梯形的直观图可能是平行四边形
C．矩形的直观图可能是梯形
D．正方形的直观图可能是平行四边形
3．（2024高一下·吉林月考）某地举办“喜迎二十大，奋进新时代”主题摄影比赛，9名评委对某摄影作品的评分如下： ，去掉一个最高分和一个最低分后，该摄影作品的平均分为91分，后来有1个数据模糊，无法辨认，以表示，则（ ）
A．84 B．86 C．89 D．98
4．（2024高一下·吉林月考）已知矩形中，，，，，则（ ）
A．6 B．10 C．14 D．38
5．（2024高一下·吉林月考）要考察某种品牌的850颗种子的发芽率，从中抽取50颗种子进行实验，利用随机数表法抽取种子，先将850颗种子按001，002，…，850进行编号，如果从随机数表第3行第6列的数开始向右读，请依次写出最先检验的4颗种子的编号： .
注：下面抽取了随机数表第1行至第5行.
03474373863696473661469863716233261680456011141095
97742467624281145720425332373227073607512451798973
16766227665650267107329079785313553858598897541410
12568599269696682731050372931557121014218826498176
55595635643854824622316243099006184432532383013030
6．（2024高一下·吉林月考）某商场推出抽奖活动，在甲抽奖箱中有四张有奖奖票.六张无奖奖票；乙抽奖箱中有三张有奖奖票，七张无奖奖票.每人能在甲乙两箱中各抽一次，以A表示在甲抽奖箱中中奖的事件，B表示在乙抽奖箱中中奖的事件，C表示两次抽奖均末中奖的事件.下列结论中不正确的是（ ）
A． B．事件A与事件相互独立
C．与和为 D．事件A与事件B互斥
7．（2024高一下·吉林月考）如图，正三棱柱的所有棱长都为2，则平面ABC与平面夹角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
8．（2024高一下·吉林月考）材料一：已知三角形三边长分别为，则三角形的面积为，其中.这个公式被称为海伦一秦九韶公式.材料二：阿波罗尼奥斯（Apollonius）在《圆锥曲线论》中提出椭圆定义：我们把平面内与两个定点的距离的和等于常数(大于的点的轨迹叫做椭圆.根据材料一或材料二解答：已知中，，则面积的最大值为（ ）
A．6 B．10 C．12 D．20
9．（2024高一下·吉林月考）设是非零复数，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
10．（2024高一下·吉林月考）某公司生产三种型号的轿车，年产量分别为1500辆、6000辆和2000辆．为检验产品质量，公司质检部门要抽取57辆进行检验，则下列说法正确的是（ ）
A．应采用分层随机抽样抽取
B．应采用抽签法抽取
C．三种型号的轿车依次应抽取9辆、36辆、12辆
D．这三种型号的轿车，每一辆被抽到的可能性相同
11．（2024高一下·吉林月考）北京时间2022年9月30日，女篮世界杯半决赛，中国队61：59澳大利亚队，时隔28年再次在半决赛中战胜澳大利亚队挺进决赛．中国队在10名上场球员中，3人得分上双．韩旭拿下全场最高的19分，10投8中，得到11个篮板和5次盖帽；队长杨力维得到18分，送出4次助攻；王思雨得到14分．根据以上信息判断，下列说法中正确的是（ ）
A．中国队上场的10名球员存在都有得分的可能
B．中国队上场的10名球员得分的极差不可能为17分
C．中国队上场的10名球员得分的中位数一定小于其平均数
D．3不可能是中国队上场的10名球员得分的众数
12．（2024高一下·吉林月考）将一枚质地均匀且四个面上分别标有1、2、3、4的正四面体先后抛掷两次，其底面落于桌面上，记第一次朝下面的数字为x，第二次朝下面的数字为y．用表示一个样本点，则满足条件“为整数”这一事件包含的基本事件的个数为 ．
13．（2024高一下·吉林月考）已知一组数据，的平均数和方差均为4，则的方差为 ．
14．（2024高一下·吉林月考）在中，内角，，所对的边分别为，，，满足，则的最大值为 ，此时内角A的值为
15．（2024高一下·吉林月考）设向量
（1）若与垂直，求的值；
（2）求的最大值；
（3）若，求证：∥.
16．（2024高一下·吉林月考）某“双一流A类”大学就业部从该校2020年已就业的大学本科毕业生中随机抽取了100人进行问卷调查，其中一项是他们的月薪收入情况，调查发现，他们的月薪收入在1.65万元到2.35万元之间，根据统计数据分组，得到如下的频率直方图，同一组数据用该区间的中点值作代表.
（1）求这100人月薪收入的样本平均数和样本方差；
（2）该校在某地区就业的2018届本科毕业生共50人，决定于2019年国庆长假期间举办一次同学联谊会，并收取一定的活动费用，有两种收费方案：
方案一：设，月薪落在区间Ω左侧的每人收取400元，月薪落在区间Ω内的每人收取600元，月薪落在区间Ω右侧的每人收取800元；
方案二：按每人个月薪水的3%收取.
用该校就业部统计的这100人月薪收入的样本频率进行估算，哪一种收费方案能收到更多的费用.
参考数据：.
17．（2024高一下·吉林月考）在中，角的对边分别为.
（1）求角；
（2）若的外接圆半径为2，求面积的最大值.
18．（2024高一下·吉林月考）某服务电话，打进的电话响第1声时被接的概率是0.1；响第2声时被接的概率是0.2；响第3声时被接的概率是0.3；响第4声时被接的概率是0.35.
（1）打进的电话在响5声之前被接的概率是多少？
（2）打进的电话响4声而不被接的概率是多少？
19．（2024高一下·吉林月考）已知三棱锥中，，为等边三角形，平面平面.
（1）求证：；
（2）若三棱锥的体积为，求a的值.
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】复数在复平面中的表示；复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】解：，在复平面内对应的点为，
位于第一象限.
故答案为：A.
【分析】利用复数代数形式的乘除、加法运算化简复数z，再根据复数在复平面内的表示判断即可.
2．【答案】D
【知识点】斜二测画法直观图
【解析】【解答】解：A、根据斜二测画法可知：原图形相互垂直的两条直线在直观图中不一定相互垂直，故A错误；
B、原图形中平行的两条线段仍然平行，不平行的两条线段也不会平行，则梯形的直观图不可能为平行四边形，故B错误；
C、原图形相互垂直的两条直线在直观图中不一定相互垂直，但是原图形相互平行的两条线段在直观图中仍然互相平行，则矩形的直观图可能为平行四边形，故C错误；
D、原图形相互垂直的两条直线在直观图中不一定仍然相互垂直，但是原图形相互平行的两条线段在直观图中仍然互相平行，所以正方形中垂直的两边不一定仍然垂直，但是对边仍然平行，所以正方形的直观图可能是平行四边形，故D正确．
故答案为：D.
【分析】根据斜二测画法的规则逐项分析判断即可．
3．【答案】C
【知识点】众数、中位数、平均数
【解析】【解答】解：当时，平均分为，则不符合题意；
当时，平均分为，则不符合题意；
当时，平均分为，解得.
故答案为：C.
【分析】分别计算，和时的平均分判断即可.
4．【答案】C
【知识点】平面向量数量积的坐标表示
【解析】【解答】解：以为原点，建立平面直角坐标系，如图所示：
则，
因为，所以为的中点，且，
又因为，所以，
则，，
故.
故答案为：C.
【分析】以为原点，建立平面直角坐标系，由题意求出点的坐标，以及向量的坐标，利用向量数量积的坐标运算求解即可.
5．【答案】227，665，650，267.
【知识点】随机数法
【解析】【解答】解：由题意可知： 最先检验的4颗种子的编号分别为：227，665，650，267.
故答案为：227，665，650，267.
【分析】根据随机数表法选取即可.
6．【答案】D
【知识点】互斥事件的概率加法公式；相互独立事件；相互独立事件的概率乘法公式
【解析】【解答】解：A、，，则，故A正确；
B、在甲抽、乙抽奖箱抽奖互不影响，则事件A和事件B相互独立，故B正确；
C、，，故C正确；
D、事件A与事件B相互独立而非互斥，故D错误.
故答案为：D.
【分析】由题意，分别求出，，再求与，即可判断AC；在甲、乙抽奖箱抽奖互不影响，则事件A和事件B相互独立即可判断BD.
7．【答案】C
【知识点】二面角及二面角的平面角
【解析】【解答】解：易知平面与平面平行，
则平面与平面的夹角，即为平面与平面的夹角，
取的中点O，连接，如图所示：
因为正三棱柱的所有棱长都为2，所以，，
同理可得：，则，
又因为，所以，
所以（或其补角）为平面ABC与平面的夹角，
又因为，所以，
因为，所以.
故答案为：C．
【分析】由题意，问题转化为求平面与平面的夹角，分别向交线作垂线，即可得到面面夹角或其补角，构造三角形，求出各边，利用余弦定理求夹角余弦值即可.
8．【答案】C
【知识点】函数单调性的性质；函数的最大（小）值
【解析】【解答】解：在 中，， 令，，
则，解得，
因为，所以面积为：，
当时，.
故答案为：C.
【分析】由题意，令，根据海伦公式写出面积，利用二次函数性质求面积最大值即可.
9．【答案】A,B,D
【知识点】虚数单位i及其性质；复数的基本概念；复数的模
【解析】【解答】解：A、若，，则，故A正确；
B、若，则，即，故B正确；
C、若，则z为纯虚数，即，故C不正确；
D、若，则，即，故D正确.
故答案为：ABD.
【分析】根据复数的运算性质逐项判断即可.
10．【答案】A,C,D
【知识点】分层抽样方法
【解析】【解答】解：A、三种型号的轿车，个体差异明显，则选择分层随机抽样，故A正确；
B、个体数目多，用抽签法制签难，搅拌不均匀，抽出的样本不具有代表性，故B错误；
C、根据分层抽样可得抽样比为：，则（辆），（辆），（辆），即三种型号的轿车分别抽取9辆、36辆、12辆，故C正确；
D、分层随机抽样中，每一个个体被抽到的可能性相同，故D正确．
故答案为：ACD．
【分析】根据分层抽样的概念及计算方法逐项判定即可．
11．【答案】A,B,C
【知识点】进行简单的演绎推理
【解析】【解答】解：A、由题意可知：中国队总得分为分，，中国队除3人外，剩余7人得到10分，存在10名球员存在都有得分的可能，故A正确；
B、中国队除3人外，剩余7人得到10分，若极差为17，则剩余7人最低得分为2分或最高得分为31分，这两种情况都不存在，即上场的10名球员得分的极差不可能为17分，故B正确；
C、中国队得分的平均数为，按照分数从小到大排序，则8到10位分数一定是14、18、19，要使中位数大于或等于平均数，则5、6位两队员得分之和应不小于13分，这与7人得到10分不符，故C正确；
D、由题意可得：上场的10名球员得分情况可能为：0，0，1，1，2，3，3，14，18，19.即3可能是中国队上场的10名球员得分的众数，故D错误.
故答案为：ABC.
【分析】由题意，逐项推理即可.
12．【答案】8
【知识点】随机事件；样本点与有限样本空间
【解析】【解答】解：记事件A=“表示满足条件“为整数””，
由题意，试验的样本空间，，，，，，，，，，，，，，，，共16个基本事件；，，，，，，共8个基本事件．
故答案为：.
【分析】记事件A=“表示满足条件“为整数””，利用列举法求得试验的样本空间，结合““为整数”，求得所求事件中所包含的基本事件的个数即可.
13．【答案】1
【知识点】众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差
【解析】【解答】由题意得：，
解得：，，
且，
解得：，
故的平均数为，
故方差为.
故答案为：1
【分析】由题意得：，，从而求出的平均数和方差.
14．【答案】；
【知识点】正弦定理；余弦定理；解三角形的实际应用；辅助角公式
【解析】【解答】解：，可得，
由正弦定理可得，由余弦定理得，则，
则，
当时，取得最大值1，即取得最大值．
故答案为：；.
【分析】利用正弦定理可得，结合余弦定理和辅助角公式、正弦函数的最值求解即可．
15．【答案】解：（1）易知，若与垂直，则，
即，故；
（2），则，
当且仅当时等号成立，则的最大值为；
（3）若，则，即∥.
【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示；平面向量数量积的坐标表示、模、夹角；二倍角的正弦公式；平面向量垂直的坐标表示
【解析】【分析】（1）根据向量垂直的坐标表示，结合三角函数恒等变换求解即可；
（2）根据向量模的坐标表示列式求解即可；
（3）结合验证比例关系成立即可.
16．【答案】（1）解：根据频率分布直方图可得：（万元），
（万元2）；
（2）解：方案一：（万元），，
月薪落在区间Ω左侧收取费用约为（万元）；
月薪落在区间Ω内收取费用约为（万元）；
月薪落在区间Ω右侧收取费用约为（万元），
因此这50人共收取费用约为（万元），
方案二：这50人共收取费用约为（万元），
故方案一能收到更多的费用.
【知识点】频率分布直方图；众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差
【解析】【分析】（1）根据频率分布直方图求平均数，再根据方差公式计算即可；
（2）根据题意分别计算两种方案的费用，再判断即可.
（1）样本平均数（万元），
样本方差（万元2）.
（2）方案一：（万元），.
月薪落在区间Ω左侧收取费用约为（万元）；
月薪落在区间Ω内收取费用约为（万元）；
月薪落在区间Ω右侧收取费用约为（万元）.
因此这50人共收取费用约为（万元）.
方案二：这50人共收取费用约为（万元）.
故方案一能收到更多的费用.
17．【答案】（1）解：，由正弦定理结合诱导公式可得：，
因为，所以，则，即，；
（2）解：由，的外接圆半径为2 ，可得，解得，
由余弦定理可得：，则，解得，
当且仅当时等号成立，，则面积的最大值为.
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；正弦定理；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）利用正弦定理结合诱导公式化简求解即可；
（2）由题意，利用正余弦定理，结合基本不等式、三角形面积公式求解即可.
（1）由正弦定理得，因为，所以，故.
.因为.所以，
（2）根据正弦定理得，解得
根据余弦定理得.
由基本不等式得，即，解得，当且仅当时等号成立，
此时，所以面积的最大值为.
18．【答案】解；（1）记事件=“电话响第声时被接”，那么事件彼此互斥，事件=“打进的电话在响5声之前被接”，
；
（2）事件=“打进的电话响4声而不被接”，事件=“打进的电话在响5声之前被接”，
根据对立事件的概率公式可得：.
【知识点】互斥事件与对立事件；互斥事件的概率加法公式
【解析】【分析】（1）由题意，利用互斥事件概率加法公式求解即可；
（2）利用对立事件的概率公式求解即可.
19．【答案】（1）证明：设中点为M，连接，如图所示：
因为为等边三角形，所以，
又因为平面平面，平面平面，所以平面，
又因为平面，所以，
由，可得，则，
又因为，平面，所以平面，
又因为平面，所以；
（2）解：因为平面，为等边三角形，，
所以，所以.
【知识点】平面与平面垂直的性质；锥体的体积公式及应用
【解析】【分析】（1）设中点为M，连结，则由等边三角形的性质可得，由面面垂直的性质可得平面，则，再由可得，则可得平面，利用线面垂直的性质证明即可；
（2）由（1）可知平面，利用三棱锥的体积公式列方程求a的值即可.
（1）证明：设中点为M，连接，
因为为等边三角形，所以，
因为平面平面，平面平面，
所以平面，
因为平面
所以，
因为
所以，
所以，
因为，平面，
所以平面，
因为平面，
所以.
（2）因为平面，为等边三角形，
所以，
所以.
1 / 1吉林省吉林市松花江中学2023-2024学年高一下学期5月月考数学试题
1．（2024高一下·吉林月考）在复平面内，复数对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】A
【知识点】复数在复平面中的表示；复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】解：，在复平面内对应的点为，
位于第一象限.
故答案为：A.
【分析】利用复数代数形式的乘除、加法运算化简复数z，再根据复数在复平面内的表示判断即可.
2．（2024高一下·吉林月考）下列说法正确的是
A．互相垂直的两条直线的直观图仍然是互相垂直的两条直线
B．梯形的直观图可能是平行四边形
C．矩形的直观图可能是梯形
D．正方形的直观图可能是平行四边形
【答案】D
【知识点】斜二测画法直观图
【解析】【解答】解：A、根据斜二测画法可知：原图形相互垂直的两条直线在直观图中不一定相互垂直，故A错误；
B、原图形中平行的两条线段仍然平行，不平行的两条线段也不会平行，则梯形的直观图不可能为平行四边形，故B错误；
C、原图形相互垂直的两条直线在直观图中不一定相互垂直，但是原图形相互平行的两条线段在直观图中仍然互相平行，则矩形的直观图可能为平行四边形，故C错误；
D、原图形相互垂直的两条直线在直观图中不一定仍然相互垂直，但是原图形相互平行的两条线段在直观图中仍然互相平行，所以正方形中垂直的两边不一定仍然垂直，但是对边仍然平行，所以正方形的直观图可能是平行四边形，故D正确．
故答案为：D.
【分析】根据斜二测画法的规则逐项分析判断即可．
3．（2024高一下·吉林月考）某地举办“喜迎二十大，奋进新时代”主题摄影比赛，9名评委对某摄影作品的评分如下： ，去掉一个最高分和一个最低分后，该摄影作品的平均分为91分，后来有1个数据模糊，无法辨认，以表示，则（ ）
A．84 B．86 C．89 D．98
【答案】C
【知识点】众数、中位数、平均数
【解析】【解答】解：当时，平均分为，则不符合题意；
当时，平均分为，则不符合题意；
当时，平均分为，解得.
故答案为：C.
【分析】分别计算，和时的平均分判断即可.
4．（2024高一下·吉林月考）已知矩形中，，，，，则（ ）
A．6 B．10 C．14 D．38
【答案】C
【知识点】平面向量数量积的坐标表示
【解析】【解答】解：以为原点，建立平面直角坐标系，如图所示：
则，
因为，所以为的中点，且，
又因为，所以，
则，，
故.
故答案为：C.
【分析】以为原点，建立平面直角坐标系，由题意求出点的坐标，以及向量的坐标，利用向量数量积的坐标运算求解即可.
5．（2024高一下·吉林月考）要考察某种品牌的850颗种子的发芽率，从中抽取50颗种子进行实验，利用随机数表法抽取种子，先将850颗种子按001，002，…，850进行编号，如果从随机数表第3行第6列的数开始向右读，请依次写出最先检验的4颗种子的编号： .
注：下面抽取了随机数表第1行至第5行.
03474373863696473661469863716233261680456011141095
97742467624281145720425332373227073607512451798973
16766227665650267107329079785313553858598897541410
12568599269696682731050372931557121014218826498176
55595635643854824622316243099006184432532383013030
【答案】227，665，650，267.
【知识点】随机数法
【解析】【解答】解：由题意可知： 最先检验的4颗种子的编号分别为：227，665，650，267.
故答案为：227，665，650，267.
【分析】根据随机数表法选取即可.
6．（2024高一下·吉林月考）某商场推出抽奖活动，在甲抽奖箱中有四张有奖奖票.六张无奖奖票；乙抽奖箱中有三张有奖奖票，七张无奖奖票.每人能在甲乙两箱中各抽一次，以A表示在甲抽奖箱中中奖的事件，B表示在乙抽奖箱中中奖的事件，C表示两次抽奖均末中奖的事件.下列结论中不正确的是（ ）
A． B．事件A与事件相互独立
C．与和为 D．事件A与事件B互斥
【答案】D
【知识点】互斥事件的概率加法公式；相互独立事件；相互独立事件的概率乘法公式
【解析】【解答】解：A、，，则，故A正确；
B、在甲抽、乙抽奖箱抽奖互不影响，则事件A和事件B相互独立，故B正确；
C、，，故C正确；
D、事件A与事件B相互独立而非互斥，故D错误.
故答案为：D.
【分析】由题意，分别求出，，再求与，即可判断AC；在甲、乙抽奖箱抽奖互不影响，则事件A和事件B相互独立即可判断BD.
7．（2024高一下·吉林月考）如图，正三棱柱的所有棱长都为2，则平面ABC与平面夹角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】二面角及二面角的平面角
【解析】【解答】解：易知平面与平面平行，
则平面与平面的夹角，即为平面与平面的夹角，
取的中点O，连接，如图所示：
因为正三棱柱的所有棱长都为2，所以，，
同理可得：，则，
又因为，所以，
所以（或其补角）为平面ABC与平面的夹角，
又因为，所以，
因为，所以.
故答案为：C．
【分析】由题意，问题转化为求平面与平面的夹角，分别向交线作垂线，即可得到面面夹角或其补角，构造三角形，求出各边，利用余弦定理求夹角余弦值即可.
8．（2024高一下·吉林月考）材料一：已知三角形三边长分别为，则三角形的面积为，其中.这个公式被称为海伦一秦九韶公式.材料二：阿波罗尼奥斯（Apollonius）在《圆锥曲线论》中提出椭圆定义：我们把平面内与两个定点的距离的和等于常数(大于的点的轨迹叫做椭圆.根据材料一或材料二解答：已知中，，则面积的最大值为（ ）
A．6 B．10 C．12 D．20
【答案】C
【知识点】函数单调性的性质；函数的最大（小）值
【解析】【解答】解：在 中，， 令，，
则，解得，
因为，所以面积为：，
当时，.
故答案为：C.
【分析】由题意，令，根据海伦公式写出面积，利用二次函数性质求面积最大值即可.
9．（2024高一下·吉林月考）设是非零复数，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【答案】A,B,D
【知识点】虚数单位i及其性质；复数的基本概念；复数的模
【解析】【解答】解：A、若，，则，故A正确；
B、若，则，即，故B正确；
C、若，则z为纯虚数，即，故C不正确；
D、若，则，即，故D正确.
故答案为：ABD.
【分析】根据复数的运算性质逐项判断即可.
10．（2024高一下·吉林月考）某公司生产三种型号的轿车，年产量分别为1500辆、6000辆和2000辆．为检验产品质量，公司质检部门要抽取57辆进行检验，则下列说法正确的是（ ）
A．应采用分层随机抽样抽取
B．应采用抽签法抽取
C．三种型号的轿车依次应抽取9辆、36辆、12辆
D．这三种型号的轿车，每一辆被抽到的可能性相同
【答案】A,C,D
【知识点】分层抽样方法
【解析】【解答】解：A、三种型号的轿车，个体差异明显，则选择分层随机抽样，故A正确；
B、个体数目多，用抽签法制签难，搅拌不均匀，抽出的样本不具有代表性，故B错误；
C、根据分层抽样可得抽样比为：，则（辆），（辆），（辆），即三种型号的轿车分别抽取9辆、36辆、12辆，故C正确；
D、分层随机抽样中，每一个个体被抽到的可能性相同，故D正确．
故答案为：ACD．
【分析】根据分层抽样的概念及计算方法逐项判定即可．
11．（2024高一下·吉林月考）北京时间2022年9月30日，女篮世界杯半决赛，中国队61：59澳大利亚队，时隔28年再次在半决赛中战胜澳大利亚队挺进决赛．中国队在10名上场球员中，3人得分上双．韩旭拿下全场最高的19分，10投8中，得到11个篮板和5次盖帽；队长杨力维得到18分，送出4次助攻；王思雨得到14分．根据以上信息判断，下列说法中正确的是（ ）
A．中国队上场的10名球员存在都有得分的可能
B．中国队上场的10名球员得分的极差不可能为17分
C．中国队上场的10名球员得分的中位数一定小于其平均数
D．3不可能是中国队上场的10名球员得分的众数
【答案】A,B,C
【知识点】进行简单的演绎推理
【解析】【解答】解：A、由题意可知：中国队总得分为分，，中国队除3人外，剩余7人得到10分，存在10名球员存在都有得分的可能，故A正确；
B、中国队除3人外，剩余7人得到10分，若极差为17，则剩余7人最低得分为2分或最高得分为31分，这两种情况都不存在，即上场的10名球员得分的极差不可能为17分，故B正确；
C、中国队得分的平均数为，按照分数从小到大排序，则8到10位分数一定是14、18、19，要使中位数大于或等于平均数，则5、6位两队员得分之和应不小于13分，这与7人得到10分不符，故C正确；
D、由题意可得：上场的10名球员得分情况可能为：0，0，1，1，2，3，3，14，18，19.即3可能是中国队上场的10名球员得分的众数，故D错误.
故答案为：ABC.
【分析】由题意，逐项推理即可.
12．（2024高一下·吉林月考）将一枚质地均匀且四个面上分别标有1、2、3、4的正四面体先后抛掷两次，其底面落于桌面上，记第一次朝下面的数字为x，第二次朝下面的数字为y．用表示一个样本点，则满足条件“为整数”这一事件包含的基本事件的个数为 ．
【答案】8
【知识点】随机事件；样本点与有限样本空间
【解析】【解答】解：记事件A=“表示满足条件“为整数””，
由题意，试验的样本空间，，，，，，，，，，，，，，，，共16个基本事件；，，，，，，共8个基本事件．
故答案为：.
【分析】记事件A=“表示满足条件“为整数””，利用列举法求得试验的样本空间，结合““为整数”，求得所求事件中所包含的基本事件的个数即可.
13．（2024高一下·吉林月考）已知一组数据，的平均数和方差均为4，则的方差为 ．
【答案】1
【知识点】众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差
【解析】【解答】由题意得：，
解得：，，
且，
解得：，
故的平均数为，
故方差为.
故答案为：1
【分析】由题意得：，，从而求出的平均数和方差.
14．（2024高一下·吉林月考）在中，内角，，所对的边分别为，，，满足，则的最大值为 ，此时内角A的值为
【答案】；
【知识点】正弦定理；余弦定理；解三角形的实际应用；辅助角公式
【解析】【解答】解：，可得，
由正弦定理可得，由余弦定理得，则，
则，
当时，取得最大值1，即取得最大值．
故答案为：；.
【分析】利用正弦定理可得，结合余弦定理和辅助角公式、正弦函数的最值求解即可．
15．（2024高一下·吉林月考）设向量
（1）若与垂直，求的值；
（2）求的最大值；
（3）若，求证：∥.
【答案】解：（1）易知，若与垂直，则，
即，故；
（2），则，
当且仅当时等号成立，则的最大值为；
（3）若，则，即∥.
【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示；平面向量数量积的坐标表示、模、夹角；二倍角的正弦公式；平面向量垂直的坐标表示
【解析】【分析】（1）根据向量垂直的坐标表示，结合三角函数恒等变换求解即可；
（2）根据向量模的坐标表示列式求解即可；
（3）结合验证比例关系成立即可.
16．（2024高一下·吉林月考）某“双一流A类”大学就业部从该校2020年已就业的大学本科毕业生中随机抽取了100人进行问卷调查，其中一项是他们的月薪收入情况，调查发现，他们的月薪收入在1.65万元到2.35万元之间，根据统计数据分组，得到如下的频率直方图，同一组数据用该区间的中点值作代表.
（1）求这100人月薪收入的样本平均数和样本方差；
（2）该校在某地区就业的2018届本科毕业生共50人，决定于2019年国庆长假期间举办一次同学联谊会，并收取一定的活动费用，有两种收费方案：
方案一：设，月薪落在区间Ω左侧的每人收取400元，月薪落在区间Ω内的每人收取600元，月薪落在区间Ω右侧的每人收取800元；
方案二：按每人个月薪水的3%收取.
用该校就业部统计的这100人月薪收入的样本频率进行估算，哪一种收费方案能收到更多的费用.
参考数据：.
【答案】（1）解：根据频率分布直方图可得：（万元），
（万元2）；
（2）解：方案一：（万元），，
月薪落在区间Ω左侧收取费用约为（万元）；
月薪落在区间Ω内收取费用约为（万元）；
月薪落在区间Ω右侧收取费用约为（万元），
因此这50人共收取费用约为（万元），
方案二：这50人共收取费用约为（万元），
故方案一能收到更多的费用.
【知识点】频率分布直方图；众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差
【解析】【分析】（1）根据频率分布直方图求平均数，再根据方差公式计算即可；
（2）根据题意分别计算两种方案的费用，再判断即可.
（1）样本平均数（万元），
样本方差（万元2）.
（2）方案一：（万元），.
月薪落在区间Ω左侧收取费用约为（万元）；
月薪落在区间Ω内收取费用约为（万元）；
月薪落在区间Ω右侧收取费用约为（万元）.
因此这50人共收取费用约为（万元）.
方案二：这50人共收取费用约为（万元）.
故方案一能收到更多的费用.
17．（2024高一下·吉林月考）在中，角的对边分别为.
（1）求角；
（2）若的外接圆半径为2，求面积的最大值.
【答案】（1）解：，由正弦定理结合诱导公式可得：，
因为，所以，则，即，；
（2）解：由，的外接圆半径为2 ，可得，解得，
由余弦定理可得：，则，解得，
当且仅当时等号成立，，则面积的最大值为.
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；正弦定理；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）利用正弦定理结合诱导公式化简求解即可；
（2）由题意，利用正余弦定理，结合基本不等式、三角形面积公式求解即可.
（1）由正弦定理得，因为，所以，故.
.因为.所以，
（2）根据正弦定理得，解得
根据余弦定理得.
由基本不等式得，即，解得，当且仅当时等号成立，
此时，所以面积的最大值为.
18．（2024高一下·吉林月考）某服务电话，打进的电话响第1声时被接的概率是0.1；响第2声时被接的概率是0.2；响第3声时被接的概率是0.3；响第4声时被接的概率是0.35.
（1）打进的电话在响5声之前被接的概率是多少？
（2）打进的电话响4声而不被接的概率是多少？
【答案】解；（1）记事件=“电话响第声时被接”，那么事件彼此互斥，事件=“打进的电话在响5声之前被接”，
；
（2）事件=“打进的电话响4声而不被接”，事件=“打进的电话在响5声之前被接”，
根据对立事件的概率公式可得：.
【知识点】互斥事件与对立事件；互斥事件的概率加法公式
【解析】【分析】（1）由题意，利用互斥事件概率加法公式求解即可；
（2）利用对立事件的概率公式求解即可.
19．（2024高一下·吉林月考）已知三棱锥中，，为等边三角形，平面平面.
（1）求证：；
（2）若三棱锥的体积为，求a的值.
【答案】（1）证明：设中点为M，连接，如图所示：
因为为等边三角形，所以，
又因为平面平面，平面平面，所以平面，
又因为平面，所以，
由，可得，则，
又因为，平面，所以平面，
又因为平面，所以；
（2）解：因为平面，为等边三角形，，
所以，所以.
【知识点】平面与平面垂直的性质；锥体的体积公式及应用
【解析】【分析】（1）设中点为M，连结，则由等边三角形的性质可得，由面面垂直的性质可得平面，则，再由可得，则可得平面，利用线面垂直的性质证明即可；
（2）由（1）可知平面，利用三棱锥的体积公式列方程求a的值即可.
（1）证明：设中点为M，连接，
因为为等边三角形，所以，
因为平面平面，平面平面，
所以平面，
因为平面
所以，
因为
所以，
所以，
因为，平面，
所以平面，
因为平面，
所以.
（2）因为平面，为等边三角形，
所以，
所以.
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