江苏省南通市如皋市2024-2025学年高一下学期教学质量调研（一）数学试卷（4月份）(pdf版,含答案)

2024-2025 学年江苏省南通市如皋市高一下学期教学质量调研（一）
数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求
的。
1.已知 = (3, 1), = (1, )，若 ⊥ ，则实数 的值为( )
A. 3 B. 3 C. 1 13 D. 3
2.若0 < < 1 1 1 cos ，则 = ( )2 2 2 + 2

A. sin4 B. sin4 C. cos4 D. cos4
3.已知 , ∈ 4(0, )，且tan = 17,cos = 5，则 + = ( )

A. B. 3

4 4 C. 6 D.
2
3
4.在 中， = 2 , 为 上一点，且 = + 12 ，则实数 值为( )
A. 1 B. 12 3 C.
1
4 D.
3
4
5 .已知cos + sin + = 1，则sin + = ( )6 3
A. 1 2 3 22 B. 3 C. 3 D. 2
6.在直角梯形 中， // , ⊥ , = = 2, = 1，点 分别为 ， 的中点，则
= ( )
A. 0 B. 12 C. 1 D.
3
2
cos 7.已知 ∈ 0, ,tan2 = 2 2 sin ，则sin + = ( )2 3
A. 15+ 3 B. 15 38 8 C.
1 3 5 D. 1+3 58 8
8.在 中， = = , = 3, = 6，则 + = ( )
A. 9 B. 9 C. 6 D. 6
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列命题正确的是( )
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A. 在 中，若| | = 1,| | = 2,∠ = 3，则 = 1
B. 已知向量 , , 满足条件 + + = 0,| | = | | = | |，则 为等边三角形
C. 在 中，若| | = | + |，则 为直角三角形
D. 在 中，若 + = 0，则 为等腰三角形| | | |
10.下列计算正确的是( )
A. cos80
cos55 cos10 cos35 = 2
2
B. 415 415 = 12

C. sin15 +cos15 sin15 cos15 = 3
D. 4cos50 tan40 = 3

11.已知0 < < < 22,cos( + ) = ,tan tan =
3
10 2，则下列结论正确的是( )
A. sin sin = 2 cos = 25 B. ( ) 2
C. tan + tan = 72 D. tan tan =
1
2
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12 1.已知向量 在向量 上的投影向量为2 ，且| | = | |，则向量 与向量 的夹角为 ．
13.若sin = 3 + 5，则cos 2
= ．
3 3
14.已知cos = 2cos(2 + )，则tan( + )tan = ．
四、解答题：本题共 5 小题，共 60 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题12分)
已知| | = 3,| | = 1, = (1, 3)．
(1)求| + 2 |；
(2)若 + 与 +2 的夹角为锐角，求实数 的取值范围．
16.(本小题12分)
sin2
已知1+sin2 cos2 = 4．
(1)求tan 的值；
(2) tan( ) = 2
sin
若 11，求cos + 的值．
17.(本小题12分)
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已知向量 = (cos , 3sin ), = ( 3sin ,cos + 2sin )．
(1)若 3 与 共线， ∈ , ，求sin2 的值；2
(2)设函数 ( ) = , ∈ 0, ，求 ( )的值域．2
18.(本小题12分)
在等腰梯形 中， // , = 2 = 2 = 4,∠ = 60 , 为线段 中点， 与 交于点 ．
(1)求 的值；
(2)求∠ 的余弦值；
(3)求 与 △ 的面积之比．
19.(本小题12分)

在 中， 为钝角，∠ = 6，点 为 所在平面内一点，满足 + ⊥ ， + ⊥
，线段 交线段 于点 ．
(1)若 = 12，求| |；
(2)在(1)的条件下，求| + 2 + |的最大值；
| |
(3)设 = (0 < < 1)，求 | 的最小值． |
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参考答案
1.
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3.
4.
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6.
7.
8.
9.
10.
11.
12. 3/60

13. 725/ 0.28
14.13
2
15. 2(1) ∵ = (1, 3)， ∴ = | |2 = ( 1 + 3) = 4，
2 2
又 ∵ ( )2 = 2 + = 3 2 +1 = 4 2 ，
∴ 4 2 = 4， ∴ = 0，
∴ | + 2 | = ( + 2 )2 = 2 + 4 + 4 2 = 7．
(2) ∵ + 与 +2 的夹角为锐角，
2 2
∴ + + 2 > 0， ∴ +2 + (2 + ) > 0，
∵ = 0，| | = 3，| | = 1， ∴ | |2 + 2 | |2 > 0， ∴ 3 + 2 > 0， ∴ > 32．
又 + 与 +2 不共线， ∴ 1 × 2 ≠ ， ∴ ≠ 2，
∴ > 32且 ≠ 2．
16.(1) ∵ sin2 2sin cos cos 1+sin2 cos2 = 2 2 +2sin cos = sin +cos = 4
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∴ 3cos + 4sin = 0 3，tan = 4．
3+ 2
(2) tan tan 因为tan = tan[ ( )] = = 4 113 2 =
1
1+tan tan 1+ × 2，4 11
sin = sin cos cos sin = tan tan 2所以 = cos + cos cos sin sin 1 tan tan 5．
17.(1) ∵ = (cos , 3sin ), = ( 3sin ,cos + 2sin )
∴ 3 = ( 3cos 3sin ,sin cos )
∵ 3 与 共线
∴ ( 3cos 3sin ) (cos + 2sin ) = 3sin (sin cos )

∵ ∈ 2 , ∴ sin cos ≠ 0
∴ 3sin = cos
1
即tan = 3
2sin cos 2tan 3
∴ sin2 = 2 + 2 = 2 + 1 = 5
(2) ( ) = = 3sin cos + 3sin (cos + 2sin )

= 2 3sin cos + 2 3 2 = 3sin2 + 3(1 cos2 ) = 6sin 2 4 +
3
3
∵ ∈ 0, 2 ∴ 2 4 ∈ 4 , 4

所以当2 4 ∈ , 时 ( )单调递增，当2 4 ∈

4 2 2 ,
3
时 单调递减，
4 ( )
所以 ( ) 0, 3 3 在 上单调递增，在8 8 , 上单调递减2

又 (0) = 0, (3 8 ) = 6 + 3, (2) = 2 3
所以函数 ( )的值域为[0, 6 + 3]
18.(1)取线段 的中点 ，连接 ，
因 // , = 2 = 2 = 4，则四边形 为边长为2的菱形，
又∠ = 60 ，则 为等边三角形．
则 = + + = 12 +
1
2
1 2 3 1 2 1 3 1 1
= 2 4 2 = 2 × 4 4 × 2 × 4 × 2 2 × 16 = 9
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(2)| 1 | = ( )2 = 16 2 × 4 × 1 × + 1 = 2 13
| | = ( )2 = 4 2 × 4 × 2 × 12 + 16 = 2
3，
9 3 39
所以cos∠ = | || = = ． | 2 3 13 26
(3) 1 1设 = ，因为 为线段 的中点，所以 = 2 + 2
1
= = 2 + 2 = 2 + 2 + 2
3
= 4 + 2
3 4
因为 , , 三点共线，所以 4 + 2 = 1即 = 5
因为 = 45

，所以 = 4，
又因为 = 35 +
2
5

，所以 =
3
2
3 1
因为 = 2, = 4，所以 = 6
19.(1)因为 + ⊥ = 0 | | = | |，
| 同理 | = | |所以 为 的外心，∠ = 2∠ = 3，
2 2
因为 = = 12， cos3 =
1
2，所以| | = 1．
(2)设∠ = , ∈ 0, 2 ，3
| + 2 + | = 2 + 4 2 + 2 + 4 + 4 + 2
= 7 + 4cos + 4cos + = 3 7 + 4
3sin + ．3

所以当 = 6时，最大值为2 +
3．
(3)设 = (0 < < 1)， = ， = ， = + ( 1) ，
2
两边同时平方得， 2 = 2 +( 1)2 +2 ( 1)， = +12 ，
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2
令2 = ∈ (1,2) = 3 +3 3， = + 3 ≥ 2 3 3，
当且仅当 = 3即 = 2 3时，等号成立．
| |
所以 | |的最小值为2 3 3．
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