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第五章 图形的轴对称
5.2 简单的轴对称图形
第2课时 线段垂直平分线的性质
郑州外国语教育集团朗悦校区 李亚男
一 学习目标
三 新知讲解
五 当堂检测
二 复习回顾
四 课堂总结
六 作业布置
一 学习目标
基础性目标
我能掌握线段的垂直平分线的概念及线段的对称性；
拓展性目标 我能理解并掌握线段垂直平分线的性质，能够运用线段垂直平分线的性质解决实际问题；
挑战性目标 我会利用直尺和圆规作线段的垂直平分线.
二 复习回顾
预备性知识
等腰三角形有哪些性质？等边三角形呢？
(1)等腰三角形是轴对称图形.
(2)等腰三角形顶角的角平分线、底边上的中线、底边上的高线重合(也称“三线合一”),它们所在的直线都是等腰三角形的对称轴.
(3)等腰三角形的两个底角相等.
(1)等边三角形是轴对称图形,有3条对称轴.
(2)等边三角形每条边都相等,每个角都相等,都等于60°.
(3)等边三角形每条边上的中线、高、该边所对角的平分线重合(“三线合一”).
三 新知讲解
活动1：（基础性目标)
线段是轴对称图形吗？如果是，请描述他的对称轴的特点.
1.线段的对称性
(1)对称性:线段是 图形;
(2)对称轴:垂直并且平分线段的 是它的一条对称轴.
轴对称
直线
三 新知讲解
活动1：（基础性目标)
2.线段垂直平分线的定义：
垂直于一条线段，并且平分这条线段的直线，叫作这条线段的垂直平分线.（简称”中垂线”）
几何语言:如图所示,
∵直线CD⊥AB于点O，且AO=BO，
∴直线CD垂直平分线段AB.
C
D
O
三 新知讲解
基础性练习
A
C
D
B
例1 如图所示，CD是线段AB的垂直平分线吗？AB是线段CD的垂直平分线吗？
是，不是
如图所示，直线l是线段AB的垂直平分线，点C是l上的任意一点。在线段AB上画出以直线l为对称轴的一组对应点D和D'，连接CD和CD'。
(1)你认为线段CD和CD'之间有什么关系 说说你的理由。
(2)特别地，当点D与点A重合时，点D'位于什么位置 此时，线段CD和CD'之间还有(1)中的关系吗 由此你能得到什么结论
解：(1)CD =CD'.
理由：∵点D和点D'是以直线l为对称轴的一组对应点，∴将△CDD'沿直线l折叠时，线段CD与CD'重合，∴CD =CD'.
(2)当点D与点A重合时，点D'和点B重合，此时还有CD =CD'.
活动2：（拓展性目标)
三 新知讲解
三 新知讲解
活动2：（拓展性目标)
线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等.
∵CO是线段AB的垂直平分线,
∴AC=BC.
线段垂直平分线的性质：
几何语言：
三 新知讲解
拓展性练习
C
A. B. C. D.
例2.如图，在中， ， 垂直
平分交于点.若的周长为，
则 ( )
三 新知讲解
活动3：（挑战性目标)
A
B
如图，已知线段 AB，如何作出它的垂直平分线？假设线段AB的垂直平分线已作出，那么
(1)这条直线有什么特征
解：解:(1)这条直线经过线段AB的中点，且垂直于线段AB，
直线上的点到线段AB的两个端点的距离相等.
三 新知讲解
活动3：（挑战性目标)
(2)如何确定这条直线上的两个点 用三角尺、量角器、圆规等工具试一试。
如果只用尺规呢 与同伴进行交流。
（2）方法不唯一。举例如下：
(方法一)用三角尺量出线段AB的中点O,用量角器画∠AOC=90°，则直线OC垂直平分线段AB。
(方法二）用量角器在线段AB的同侧作相等的两角∠MAB和∠NBA,AM与BN交于点C,再在线段AB的同侧作相等的两角∠EAB和∠FBA,AE与BF交于点D,点C与点 D不重合,作直线CD,则直线CD是线段AB的垂直平分线。
三 新知讲解
挑战性练习
例3.如图，已知线段AB，请用尺规作线段AB的垂直平分线.
A
B
作法：
1.分别以点A和点B为圆心，以大于AB的长为半径作弧，两弧相交于点C和D；
2.作直线CD.
直线CD就是线段AB的垂直平分线．
C
D
请你说说这样作的道理.
三 新知讲解
挑战性练习
A
B
C
D
理由详解：
如图所示，连接AC，BC，AD，BD，
由作图知AC=BC，AD=BD，
又∵CD=CD，
∴△ACD≌△BCD（SSS），
∴∠ACD=∠BCD.
∵AC=BC，
∴CD垂直平分线段AB（等腰三角形“三线合一”）
挑战性练习
例4.如图所示，已知直线l和l上的一点P，如何用尺规作l的垂线，使它
经过点P 能说明你的作法的道理吗
作法：
1.以点P为圆心，以任意长为半径作弧，交直线l于点A，B.
3.作直线CP.
直线CP就是直线l的垂线．
2.分别以点A，B为圆心，以大于AB的长为半径作弧，两弧交于点C；
A
B
C
三 新知讲解
四 课堂总结
对照本节课的学习目标，说说本节课你的收获
基础性目标
我能掌握线段的垂直平分线的概念及线段的对称性；
拓展性目标 我能理解并掌握线段垂直平分线的性质，能够运用线段垂直平分线的性质解决实际问题；
挑战性目标 我会利用直尺和圆规作线段的垂直平分线.
五 当堂检测
（必做题）
1.如图，在中， ， ，分别以点和点 为圆
心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点，，作直线 ，交
于点，连接，则 的度数为_____.
五 当堂检测
（必做题）
2.如图，直线是线段 的垂直平分线，为
直线上的一点，已知线段 ，则线段
的长为( )
C
A. 3 B. 4 C. 6 D. 7
五 当堂检测
（选做题）
3.如图，在中，边的垂直平分线交 于点，交于
点，边的垂直平分线交于点，交于点 .若
，则 的度数为______.
五 当堂检测
（综合拓展题）
4.如图，在中， 于点，垂直平分边，交于点，交 于点，且，连接 .
（1）若 ，求 的度数.
（2）若的周长为，，则的长为___ .
4
解：， ，
是 的垂直平分线.
.
，
.
.
垂直平分边 ，
.
.
六 作业布置
基础性练习(必做题)：
13
1.如图，在中，是 的垂直平分线.若
，，则 的周长是____.
六 作业布置
基础性练习(必做题)：
2.如图，的边的垂直平分线交于点 ，连接.若
，，则 ___.
3
六 作业布置
拓展性练习(选做题)：
3.如图，在中，是的垂直平分线，且分别交，
于点,， ，则 __50°___.
4.如图所示,在暑假期间,某学校对其校内的高中楼(图中的点A),临建楼(图中的点B)和图书馆(图中的点C)进行装修,装修工人小明需要放置一批装修物资,使得装修物资到点A,B, C的距离相等,则装修物资应该放置在( D )
A.AC,BC两边高线的交点处 B.AC,BC两边中线的交点处
C.∠BAC,∠ABC两内角平分线的交点处 D.AC,BC两边垂直平分线的交点处
六 作业布置
拓展性练习(选做题)：
六 作业布置
拓展性练习(选做题)：
5.（教材新增习题变式）按要求利用直尺和圆规作图：
（1）如图1，已知线段，作线段 的中点.
图1
解：如图，点 即为所求.
（2）如图2，已知直线，为直线上一点，作直线垂直于直线 .
图2
解：如图，直线 即为所求.
六 作业布置
综合拓展题：
6.如图，已知中， ，为内一点，过点
的直线分别交,于点,.若点在的垂直平分线上，点在
的垂直平分线上，则 的度数为___115°___.
Thanks!
https://www.21cnjy.com/recruitment/home/fine《 5.2.2线段垂直平分线的性质及画法》教学设计
—— 郑州外国语教育集团朗悦校区 李亚男
一、课型
新授课
二、内容分析
（一）课标要求
《义务教育数学课程标准（2022 年版）》指出，对于线段垂直平分线的性质及画法，学生需探索并证明线段垂直平分线的性质定理，即线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等；同时理解其逆定理，到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。要求学生掌握线段垂直平分线的尺规作图方法，并能运用这些知识进行简单的推理、计算以及解决实际问题。在此过程中，着重培养学生的几何直观、逻辑推理以及动手实践能力，引导学生经历观察、猜想、验证、归纳等数学活动，体会数学知识的形成与应用，增强学生对数学知识的理解与运用能力，感受数学与生活的紧密联系。
本节课的学业要求为学生能清晰阐述线段垂直平分线的性质定理及其逆定理，熟练掌握定理的证明过程，明确证明思路与依据。能准确运用性质定理和逆定理，在不同的几何图形情境中，判断点与线段垂直平分线的位置关系，进行线段长度的求解、图形的判定等。学生需熟练且规范地运用尺规完成线段垂直平分线的绘制，并能准确说明每一步作图的原理与依据。通过实际问题的解决，培养学生将实际问题抽象为数学问题，运用数学知识解决问题的能力，提升学生综合运用知识的水平和创新思维能力。
在教学实施时，可引入生活中的场景，如在规划新小区的中心花园位置时，希望花园到小区两个大门的距离相等，如何确定花园位置，以此引出线段垂直平分线性质的探究。以问题驱动教学，如 “怎样通过实验操作发现线段垂直平分线的性质？”“怎样运用所学知识严谨证明这些性质？”“尺规作图绘制线段垂直平分线的关键步骤和原理是什么？” 等，激发学生的探究兴趣，促使学生在自主探究与合作交流中深入理解线段垂直平分线的性质及画法。
（二）教材解读
《线段垂直平分线的性质及画法》是北师大版七年级下册第五章 “生活中的轴对称” 的重要组成部分。从知识架构而言，它建立在学生已学习三角形全等、等腰三角形性质以及轴对称图形等知识的基础之上。线段垂直平分线作为轴对称图形的重要元素，其性质及画法的学习，不仅加深了学生对轴对称图形特征的认识，而且为后续学习三角形的外心、平面图形的对称性等知识做了铺垫，进一步完善了学生的几何知识体系。
线段垂直平分线性质定理及其逆定理的探究、证明以及尺规作图的方法是本节课的重点。学生要通过观察、测量、折纸等实践活动，猜想出线段垂直平分线的性质，再利用三角形全等、轴对称的知识进行严格证明。而如何引导学生从直观感知上升到理性证明，如何让学生在复杂的几何图形中准确识别并运用线段垂直平分线的相关知识，以及掌握尺规作图的规范与技巧，是本节课的难点所在。
教材在内容编排上，从生活实例出发，如建筑桥梁时确定桥柱到两岸的等距离位置，引发学生对线段垂直平分线的思考。通过让学生动手操作，如测量线段垂直平分线上的点到线段两端的距离，探究其规律，进而得出性质猜想并进行证明。教材还详细介绍了线段垂直平分线的尺规作图步骤，并配备了丰富多样的例题和练习题，从基础的性质应用到复杂的综合问题，逐步提升学生对线段垂直平分线性质及画法的理解与运用能力，培养学生知识迁移和应用创新的能力。
三、学情分析
1. 基础知识
学生此前已经系统学习了三角形全等的判定方法、等腰三角形的性质以及轴对称图形的概念和性质，掌握了一定的几何推理和证明技巧。他们能够利用三角形全等证明线段相等、角相等，理解轴对称图形中对应点的连线被对称轴垂直平分等知识。这些知识储备为学生学习线段垂直平分线的性质及画法提供了有力支撑。学生可以借助已有的知识经验，通过观察、分析图形，尝试探究线段垂直平分线的相关性质，并理解尺规作图的原理。
2. 行为习惯
在日常数学学习中，部分学生已养成积极思考、主动参与课堂讨论的良好习惯，能按时完成作业并尝试总结解题方法。然而，仍有一些学生学习主动性不足，过于依赖教师的讲解，自主探究和独立思考能力有待提高。在解决问题时，部分学生存在思维局限，难以灵活运用所学知识，知识迁移能力较弱。在团队合作学习中，部分学生合作意识淡薄，沟通与协作能力欠佳，影响学习效果。此外，学生在书写几何推理过程和描述尺规作图步骤时，规范性和准确性有待加强。这些行为习惯方面的问题需要在本节课的教学中加以引导和纠正。
3. 关键能力
七年级学生好奇心强，动手操作能力较为突出，对直观、有趣的数学活动充满热情。在课堂上，他们能够积极参与制作线段垂直平分线、测量距离等实践活动，通过直观观察发现一些线段垂直平分线的特征。但他们的逻辑思维能力尚处于发展阶段，在将直观发现转化为严谨的数学证明时，可能会面临困难。在分析较为复杂的几何问题时，学生容易出现思路混乱、考虑不周全的情况，需要教师引导他们逐步梳理思路，提高逻辑推理和分析问题的能力。通过本节课的学习，期望进一步培养学生的自主探究能力、逻辑推理能力和团队合作能力，提升学生运用数学知识解决实际问题的能力，促进学生数学核心素养的全面发展。
四、学习目标
基础性目标 1.我能掌握线段的垂直平分线的概念及线段的对称性；
拓展性目标 2.我能理解并掌握线段垂直平分线的性质，能够运用线段垂直平分线的性质解决实际问题；
挑战性目标 3.我会利用直尺和圆规作线段的垂直平分线.
五、实现路径
基础性目标 实现路径 课前：自主完成基础性目标
课堂：学生展示基础性目标活动，学生互相补充，教师点评
拓展性目标 实现路径 课前：阅读拓展性目标材料
课堂：自主完成拓展性目标，展示分享，学生相互补充，学生互评，教师点评
挑战性目标 实现路径 课前：阅读挑战性目标材料，尝试总结
课堂：学生独立思考后，小组合作总结形式，完成挑战性目标，展示分享，教师点评
课后：补充完善，形成设计作品
六、课堂流程
流程 时间 教师活动 学生活动
明确目标 拉齐基础 2分钟 展示本节课的三层学习目标向学生交待本节课的学习任务 明确本节课的学习任务
主动探究 基础过关 5分钟 提出基础性知识及练习，及时点拨 自主探究问题，回答基础性目标问题
自主探讨 个人展评 10分钟 组织学生探究拓展性知识及练习并进行及时指导，帮助汇报学生规范数学语言 自主探究拓展性知识及练习，指定汇报者汇报，其他同学互相补充
合作探讨 挑战突破 11分钟 指导学生完成挑战性目标，指定学生进行展讲，及时点拨，并对表现优异的学生进行表扬 学生完成挑战性目标，重点如何理清思路，互相补充，并记录不懂的问题
对照目标 检测效果 2分钟 再次展示本节课的三层学习目标 对照本节课的基础目标和拓展性目标，检测自己的学习效果，分享目标达成度
自我小结 挑战点拨 2分钟 请学生分享课堂收获体会、点评、肯定、补充 分享课堂收获，互相补充
答疑解惑 拓展能力 8分钟 组织学生展示不懂的问题，对当堂练习进行点拨 学生展示不懂的问题，完成当堂练习
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