《5.2.1等腰三角形的性质》自主学习单
—— 郑州外国语教育集团朗悦校区 李亚男
预备性知识：
什么叫轴对称图形？什么叫成轴对称？轴对称有哪些性质？
.
活动1：基础性知识
观察下列图片，它们有什么共同的特征？
等腰三角形是比较常见的图形，你有什么办法可以得到一个等腰三角形？与同伴进行交流.
(1)等腰三角形是轴对称图形吗 如果是,沿它的对称轴折叠，你能发现哪些相等的线段和相等的角？
。
等腰三角形的对称轴是一条怎样的直线 你是如何描述的？
。
(3)你认为等腰三角形有哪些特征 与同伴进行交流
。
等腰三角形的性质
。
。
。
【基础性练习】
例1.已知一个等腰三角形的底角是顶角的2倍，求它的各个内角的度数.
活动2：拓展性知识
如图 ，△ABC是一个等腰三角形，直线l 是它的对称轴.请在△ABC中画出以直线 l 为对称轴的一组对应点、一组对应线段、一组对应角，你能发现哪些相等的线段、相等的角，以及形状、大小完全相同的图形
等边三角形有几条对称轴
.
(2)你能发现它的哪些特征
.
等边三角形的性质：
.
.
.
【拓展性练习】
例2.如图所示,△ABC是等边三角形,D是BC的中点,点E在AC上,且AE=AD,求∠EDC的度数.
活动3：挑战性知识
请你运用本节课知识，改编或创编一道等腰或等边三角形题目并解答.
【挑战性练习】
例3.如图,在△ABC中，AB=AC，AD是边BC上的中线，BE⊥AC于点E .试说明：∠CBE=∠BAD .
课堂小结
对照本节课的学习目标，说说本节课你的收获
当堂检测
（必做题）
1.下列说法中错误的是( )
A.等腰三角形的两个底角相等
B.等边三角形有一条对称轴
C.等腰三角形底边上的中线平分顶角
D.等边三角形每个内角都等于60°
2.如图所示,小艾同学坐在秋千上,秋千旋转了80°,小艾同学的位置也从A点运动到了A'点,则∠OAA'的度数为 .
3.如图，直线a//b，等边三角形ABC的顶点C 在直线b上，∠2=40^ ，则∠1 的度数为( )
A. 80° B. 70° C. 60° D. 50°
4.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90° ，∠A=52° ，以点B 为圆心，BC的长为半径画弧，交AB于点D，连接CD，则∠ADC 的度数为_____.
（选做题）
5.如图，AB=AC=AD，且AD//BC，∠BAC=28^ ，求∠D 的度数.
课后作业（可根据自身情况选做）
基础性作业（必做题）
1.等腰三角形的两边长分别为6和2，则第三边长为___.
2.如图，△ABC是等边三角形，AB=6，BD是∠ABC 的平分线，延长BC至点E，使CE=CD，则BE= _ _.
3.如图，在三角测平架中，AB=AC.在BC的中点D 处挂一重锤，让它自然下垂.如果调整架身，使重锤线正好经过点A，那么就能确认BC 处于水平位置.这是因为 .（填写依据）
4.若等腰三角形的一个内角是34°，则它的顶角的度数是________.
5.在△ABC中，AB=AC，∠B=70° ，在直线BC 上取一点P，使CP=CA，连接AP，则∠BAP 的度数为_________.
拓展性作业（必做题）
6.（2024·长沙）如图，点C在线段AD 上，AB=AD，∠B=∠D，BC=DE .
（1）试说明：△ABC≌△ADE .
（2）若∠BAC=60° ，求∠ACE 的度数.
挑战性作业（选做题）
7.在△ABC中,AB=AC .
（1）如图1，若∠BAD=30° ,AD是BC上的高,AD=AE ,则∠EDC=_ _ ° .
（2）如图2,若∠BAD=40° ,AD是BC上的高,AD=AE,则∠EDC= _ ___ .
（3）思考:通过以上两题,你发现∠BAD与∠EDC 之间有什么关系 请用式子表示:_ _____ .
（4）如图3，若AD不是BC上的高,AD=AE ,上述关系是否仍成立 请说明理由.
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—— 郑州外国语教育集团朗悦校区 李亚男
预备性知识：
什么叫轴对称图形？什么叫成轴对称？轴对称有哪些性质？
如果一个平面图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫作轴对称图形，这条直线叫作对称轴.
如果两个平面图形沿一条直线折叠后能够完全重合，那么称这两个图形成轴对称,这条直线叫作这两个图形的对称轴.
在轴对称图形或两个成轴对称的图形中，对应点所连的线段被对称轴垂直平分，对应线段相等，对应角相等.
活动1：基础性知识
观察下列图片，它们有什么共同的特征？
等腰三角形是比较常见的图形，你有什么办法可以得到一个等腰三角形？与同伴进行交流.
方法不唯一。
例如：①两个完全相同的直角三角形，以它们对应的一条直角边为公共边可以拼成一个等腰三角形；
②把一张正方形纸片沿对角线剪开可得到两个等腰三角形.
(1)等腰三角形是轴对称图形吗 如果是,沿它的对称轴折叠，你能发现哪些相等的线段和相等的角？
解:(1)解:（1）等腰三角形是轴对称图形.
如图，将等腰三角形沿过顶点的直线折叠,使得两底角重合,折痕所在的直线即为等腰三角形的对称轴.
如图，相等的线段有：AB=AC，BD=CD；
相等的角有：∠B=∠C，∠BAD=∠CAD，∠ADB=∠ADC.
等腰三角形的对称轴是一条怎样的直线 你是如何描述的？
(2)等腰三角形顶角平分线所在的直线是它的对称轴.
(3)你认为等腰三角形有哪些特征 与同伴进行交流
(3)等腰三角形的两个底角相等.
等腰三角形的性质
(1)等腰三角形是轴对称图形.
(2)等腰三角形顶角的角平分线、底边上的高线、底边上的中线重合(也称“三线合一”),它们所在的直线都是等腰三角形的对称轴.
(3)等腰三角形的两个底角相等.
【基础性练习】
例1.已知一个等腰三角形的底角是顶角的2倍，求它的各个内角的度数.
解:设这个等腰三角形顶角的度数为 x°，则底角的度数为 2x°.根据“三角形三个内角的和等于 180°”，得x+2x+2x=180.
解得 x=36.
2×36=72.
所以，这个三角形的三个内角分别是 36°，72°，72°.
活动2：拓展性知识
如图 ，△ABC是一个等腰三角形，直线l 是它的对称轴.请在△ABC中画出以直线 l 为对称轴的一组对应点、一组对应线段、一组对应角，你能发现哪些相等的线段、相等的角，以及形状、大小完全相同的图形
如图所示，设直线l与BC交于点D，点B与C，线段BD与CD，
∠BAD与∠CAD为所作。
相等的线段有：AB=AC，BD=CD；
相等的角有：∠B=∠C，∠BAD=∠CAD，∠ADB=∠ADC。
形状、大小完全相同的图形为△BAD和△CAD。
等边三角形有几条对称轴
解:(1)等边三角形有3条对称轴.
(2)你能发现它的哪些特征
(2)等边三角形是轴对称图形,三个内角都为60°,三条边都相等.
等边三角形的性质：
(1)等边三角形是轴对称图形,有三条对称轴.
(2)等边三角形每条边都相等,每个角都相等,都等于60°.
(3)等边三角形每条边上的中线、高、该边所对角的平分线重合(“三线合一”).
【拓展性练习】
例2.如图所示,△ABC是等边三角形,D是BC的中点,点E在AC上,且AE=AD,求∠EDC的度数.
解: 因为△ABC是等边三角形,D是BC的中点,
所以AD⊥BC,∠DAC=30°,
所以∠ADC=90°.
因为AE=AD,
所以∠ADE=180° ∠DAC/2=75°,
所以∠EDC=∠ADC-∠ADE=90°-75°=15°.
活动3：挑战性知识
请你运用本节课知识，改编或创编一道等腰或等边三角形题目并解答.
【挑战性练习】
例3.如图,在△ABC中，AB=AC，AD是边BC上的中线，BE⊥AC于点E .试说明：∠CBE=∠BAD .
解:∵AB=AC,AD是边BC 上的中线,
∴AD⊥BC,∠BAD=∠CAD .
∵BE⊥AC ,
∴∠BEC=∠ADC=90° .
∴∠CBE=90° ∠C,∠CAD=90° ∠C .
∴∠CBE=∠CAD .
∴∠CBE=∠BAD .
课堂小结
对照本节课的学习目标，说说本节课你的收获
当堂检测
（必做题）
1.下列说法中错误的是( B )
A.等腰三角形的两个底角相等
B.等边三角形有一条对称轴
C.等腰三角形底边上的中线平分顶角
D.等边三角形每个内角都等于60°
2.如图所示,小艾同学坐在秋千上,秋千旋转了80°,小艾同学的位置也从A点运动到了A'点,则∠OAA'的度数为50° .
3.如图，直线a//b，等边三角形ABC的顶点C 在直线b上，∠2=40^ ，则∠1 的度数为( A )
A. 80° B. 70° C. 60° D. 50°
4.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90° ，∠A=52° ，以点B 为圆心，BC的长为半径画弧，交AB于点D，连接CD，则∠ADC 的度数为___109°___.
（选做题）
5.如图，AB=AC=AD，且AD//BC，∠BAC=28^ ，求∠D 的度数.
解：∵AB=AC ，
∴∠ABC=∠C ,
即∠ABD+∠DBC=∠C .
∵AB=AD ，
∴∠ABD=∠D .
∵AD//BC ，
∴∠DBC=∠D .
∴∠C=2∠D .
∵∠BAC=28° ，
∴∠ABC=∠C=1/2×(180° ∠BAC)=76° .
∴∠D=1/2∠ABC=38° .
课后作业（可根据自身情况选做）
基础性作业（必做题）
1.等腰三角形的两边长分别为6和2，则第三边长为_6__.
2.如图，△ABC是等边三角形，AB=6，BD是∠ABC 的平分线，延长BC至点E，使CE=CD，则BE= _9__.
3.如图，在三角测平架中，AB=AC.在BC的中点D 处挂一重锤，让它自然下垂.如果调整架身，使重锤线正好经过点A，那么就能确认BC 处于水平位置.这是因为等腰三角形底边上的中线就是底边上的高
（合理即可） .（填写依据）
4.若等腰三角形的一个内角是34°，则它的顶角的度数是___34°或112°______.
5.在△ABC中，AB=AC，∠B=70° ，在直线BC 上取一点P，使CP=CA，连接AP，则∠BAP 的度数为___15°或75°________.
拓展性作业（必做题）
6.（2024·长沙）如图，点C在线段AD 上，AB=AD，∠B=∠D，BC=DE .
（1）试说明：△ABC≌△ADE .
（2）若∠BAC=60° ，求∠ACE 的度数.
解：（1）在△ABC和△ADE 中，
{BC=DE,∠B=∠D,AB=AD,
∴△ABC≌△ADE(SAS) .
（2）由（1）得，△ABC≌△ADE ，
∴AC=AE，∠BAC=∠DAE=60° .
∴∠AEC=∠ACE .
∵∠AEC+∠ACE=180° ∠DAE=120° ，
∴∠ACE=60° .
挑战性作业（选做题）
7.在△ABC中,AB=AC .
（1）如图1，若∠BAD=30° ,AD是BC上的高,AD=AE ,则∠EDC=___15_ ° .
（2）如图2,若∠BAD=40° ,AD是BC上的高,AD=AE,则∠EDC= _20°__ .
（3）思考:通过以上两题,你发现∠BAD与∠EDC 之间有什么关系 请用式子表示:_ _____∠BAD=2∠EDC（或∠EDC=1/2∠BAD）_.
（4）如图3，若AD不是BC上的高,AD=AE ,上述关系是否仍成立 请说明理由.
解:上述关系仍成立,理由如下:
∵AD=AE ,∴∠ADE=∠AED .
∴∠BAD+∠B=180° ∠ADB=∠ADC
=∠ADE+∠EDC=∠AED+∠EDC .
∵∠DEC=180° ∠AED=180° ∠C ∠EDC ,
∴∠AED=∠C+∠EDC .
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