《5.2.2线段垂直平分线的性质及画法》自主学习单
—— 郑州外国语教育集团朗悦校区 李亚男
预备性知识：
等腰三角形有哪些性质？等边三角形呢？
(1)等腰三角形是轴对称图形.
(2)等腰三角形顶角的角平分线、底边上的中线、底边上的高线重合(也称“三线合一”),它们所在的直线都是等腰三角形的对称轴.
(3)等腰三角形的两个底角相等.
(1)等边三角形是轴对称图形,有3条对称轴.
(2)等边三角形每条边都相等,每个角都相等,都等于60°.
(3)等边三角形每条边上的中线、高、该边所对角的平分线重合(“三线合一”).
活动1：基础性知识
如图所示，线段是轴对称图形吗？如果是，请描述他的对称轴的特点.
1.线段的对称性
(1)对称性:线段是轴对称图形;
(2)对称轴:垂直并且平分线段的直线是它的一条对称轴.
2.线段垂直平分线的定义：
垂直于一条线段，并且平分这条线段的直线，叫作这条线段的垂直平分线.（简称”中垂线”）
几何语言:如图所示,∵直线CD⊥AB于点O，且AO=BO，
∴直线CD垂直平分线段AB.
【基础性练习】
例1 如图所示，CD是线段AB的垂直平分线吗？AB是线段CD的垂直平分线吗？
是，不是
活动2：拓展性知识
如图，直线l是线段AB的垂直平分线，点C是 l上的任意一点.在线段AB上画出以直线l为对称轴的一组对应点D和D′,连接CD和CD′.
(1)你认为线段CD和CD′之间有什么关系 说说你的理由.
(2)特别地，当点D与点A重合时，点D′位于什么位置 此时，线段CD和CD′之间还有(1)中的关系吗？由此你能想到什么结论？
解：(1)CD =CD'.
理由：∵点D和点D'是以直线l为对称轴的一组对应点，∴将△CDD'沿直线l折叠时，线段CD与CD'重合，∴CD =CD'.
(2)当点D与点A重合时，点D'和点B重合，此时还有CD =CD'.
线段垂直平分线的性质：
线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等.
几何语言：
∵CO是线段AB的垂直平分线,
∴AC=BC.
【拓展性练习】
例2 .如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90^ ，DE 垂直平分AB交BC于点D.若△ACD的周长为50 cm，
则AC+BC= ( C )
A. 25 cm B. 45 cm C. 50 cm D. 55 cm
活动3：挑战性知识
如图，已知线段 AB，如何作出它的垂直平分线？假设线段AB的垂直平分线已作出，那么
(1)这条直线有什么特征
(2)如何确定这条直线上的两个点 用三角尺、量角器、圆规等工具试一试。
解：（1）这条直线经过线段AB的中点，且垂直于线段AB，
直线上的点到线段AB的两个端点的距离相等.
（2）方法不唯一。举例如下：
(方法一)用三角尺量出线段AB的中点O,用量角器画∠AOC=90°，则直线OC垂直平分线段AB。
(方法二）用量角器在线段AB的同侧作相等的两角∠MAB和∠NBA,AM与BN交于点C,再在线段AB的同侧作相等的两角∠EAB和∠FBA,AE与BF交于点D,点C与点 D不重合,作直线CD,则直线CD是线段AB的垂直平分线。
如果只用尺规呢 与同伴进行交流。
【挑战性练习】
例3.如图，已知线段AB，请用尺规作线段AB的垂直平分线.
作法：
1.分别以点A和点B为圆心，以大于1/2AB的长为半径作弧，两弧相交于点C和D；
2.作直线CD.
直线CD就是线段AB的垂直平分线．
请你说说这样作的道理.
理由详解：
如图所示，连接AC，BC，AD，BD，
由作图知AC=BC，AD=BD，
又∵CD=CD，
∴△ACD≌△BCD（SSS），
∴∠ACD=∠BCD.
∵AC=BC，
∴CD垂直平分线段AB（等腰三角形“三线合一”）
例4.如图所示，已知直线l和l上的一点P，如何用尺规作l的垂线，使它
经过点P 能说明你的作法的道理吗
作法：
1.以点P为圆心，以任意长为半径作弧，交直线l于点A，B.
2.分别以点A，B为圆心，以大于1/2AB的长为半径作弧，两弧交于点C；
3.作直线CP.
直线CP就是直线l的垂线．
课堂小结
对照本节课的学习目标，说说本节课你的收获
当堂检测
（必做题）
1.如图，在△ABC中，∠B=55^ ，∠C=28^ ，分别以点A和点C 为圆心，大于1/2AC的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线MN ，交BC于点D，连接AD，则∠BAD 的度数为__69°___.
2.如图，直线CD是线段AB 的垂直平分线，P为直线CD上的一点，已知线段PA=6 ，则线段PB的长为( C )
A. 3 B. 4 C. 6 D. 7
3.如图，在△ABC中，AB边的垂直平分线交AB 于点M，交BC于点P，边AC的垂直平分线交AC于点N，交BC于点Q .若∠PAQ=36 ，则∠BAC 的度数为___109°___.
4.如图，在△ABC中，AD⊥BC 于点D，EF垂直平分边AC，交AC于点F，交BC 于点E，且BD=DE，连接AE .
（1）若∠BAE=40 ，求∠C 的度数.
（2）若△ABC的周长为14 cm，AC=6 cm，则DC的长为_4__cm .
解：∵AD⊥BC，BD=DE ，
∴AD是BE 的垂直平分线.
∴AB=AE .
∵∠BAE=40 ，
∴∠B=∠AEB=1/2(180 ∠BAE)=70 .
∴∠AEC=110 .
∵EF垂直平分边AC ，
∴EA=EC .
∴∠C=∠EAC=1/2(180 ∠AEC)=35 .
课后作业（可根据自身情况选做）
基础性作业（必做题）
1.如图，在△ABC中，DE是BC 的垂直平分线.若AB=5，AC=8，则△ABD 的周长是__13__.
2.如图，△ABC的边AB的垂直平分线交AC于点D ，连接BD.若AC=8，CD=5，则BD= _3__.
拓展性作业（必做题）
3.如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，且分别交BC，AC 于点D,E，∠C=25°，则∠ADB= __50°___.
4.如图所示,在暑假期间,某学校对其校内的高中楼(图中的点A),临建楼(图中的点B)和图书馆(图中的点C)进行装修,装修工人小明需要放置一批装修物资,使得装修物资到点A,B, C的距离相等,则装修物资应该放置在( D )
A.AC,BC两边高线的交点处 B.AC,BC两边中线的交点处
C.∠BAC,∠ABC两内角平分线的交点处 D.AC,BC两边垂直平分线的交点处
5.（教材新增习题变式）按要求利用直尺和圆规作图：
（1）如图1，已知线段AB，作线段AB 的中点.
（2）如图2，已知直线l，C为直线l上一点，作直线CE垂直于直线l .
解：（1）如图，点D 即为所求. （2）如图，直线CE 即为所求.
挑战性作业（选做题）
6.如图，已知△ABC中，∠ABC=50°，P为△ABC内一点，过点P 的直线分别交AB,BC于点M,N.若点M在PA的垂直平分线上，点N在PC 的垂直平分线上，则∠APC 的度数为115°.
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—— 郑州外国语教育集团朗悦校区 李亚男
预备性知识：
等腰三角形有哪些性质？等边三角形呢？
.
活动1：基础性知识
如图所示，线段是轴对称图形吗？如果是，请描述他的对称轴的特点.
1.线段的对称性
(1)对称性:线段是 图形;
(2)对称轴:垂直并且平分线段的 是它的一条对称轴.
2.线段垂直平分线的定义：
于一条线段，并且 这条线段的直线，叫作这条线段的 .（简称” ”）
符号语言：
【基础性练习】
例1 如图所示，CD是线段AB的垂直平分线吗？AB是线段CD的垂直平分线吗？
.
活动2：拓展性知识
如图，直线l是线段AB的垂直平分线，点C是 l上的任意一点.在线段AB上画出以直线l为对称轴的一组对应点D和D′,连接CD和CD′.
(1)你认为线段CD和CD′之间有什么关系 说说你的理由.
(2)特别地，当点D与点A重合时，点D′位于什么位置 此时，线段CD和CD′之间还有(1)中的关系吗？由此你能想到什么结论？
解： .
线段垂直平分线的性质：
.
几何语言：
.
【拓展性练习】
例2 .如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90^ ，DE 垂直平分AB交BC于点D.若△ACD的周长为50 cm，
则AC+BC= ( )
A. 25 cm B. 45 cm C. 50 cm D. 55 cm
活动3：挑战性知识
如图，已知线段 AB，如何作出它的垂直平分线？假设线段AB的垂直平分线已作出，那么
(1)这条直线有什么特征
(2)如何确定这条直线上的两个点 用三角尺、量角器、圆规等工具试一试。
如果只用尺规呢 与同伴进行交流。
【挑战性练习】
例3.如图，已知线段AB，请用尺规作线段AB的垂直平分线.
请你说说这样作的道理.
例4.如图所示，已知直线l和l上的一点P，如何用尺规作l的垂线，使它
经过点P 能说明你的作法的道理吗
课堂小结
对照本节课的学习目标，说说本节课你的收获
当堂检测
（必做题）
1.如图，在△ABC中，∠B=55^ ，∠C=28^ ，分别以点A和点C 为圆心，大于1/2AC的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线MN ，交BC于点D，连接AD，则∠BAD 的度数为_____.
2.如图，直线CD是线段AB 的垂直平分线，P为直线CD上的一点，已知线段PA=6 ，则线段PB的长为( )
A. 3 B. 4 C. 6 D. 7
3.如图，在△ABC中，AB边的垂直平分线交AB 于点M，交BC于点P，边AC的垂直平分线交AC于点N，交BC于点Q .若∠PAQ=36 ，则∠BAC 的度数为______.
4.如图，在△ABC中，AD⊥BC 于点D，EF垂直平分边AC，交AC于点F，交BC 于点E，且BD=DE，连接AE .
（1）若∠BAE=40 ，求∠C 的度数.
（2）若△ABC的周长为14 cm，AC=6 cm，则DC的长为__cm .
课后作业（可根据自身情况选做）
基础性作业（必做题）
1.如图，在△ABC中，DE是BC 的垂直平分线.若AB=5，AC=8，则△ABD 的周长是___.
2.如图，△ABC的边AB的垂直平分线交AC于点D ，连接BD.若AC=8，CD=5，则BD= ___.
3.如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，且分别交BC，AC 于点D,E，∠C=25°，则∠ADB= _____.
拓展性作业（必做题）
4.如图所示,在暑假期间,某学校对其校内的高中楼(图中的点A),临建楼(图中的点B)和图书馆(图中的点C)进行装修,装修工人小明需要放置一批装修物资,使得装修物资到点A,B, C的距离相等,则装修物资应该放置在( )
A.AC,BC两边高线的交点处 B.AC,BC两边中线的交点处
C.∠BAC,∠ABC两内角平分线的交点处 D.AC,BC两边垂直平分线的交点处
5.（教材新增习题变式）按要求利用直尺和圆规作图：
（1）如图1，已知线段AB，作线段AB 的中点.
（2）如图2，已知直线l，C为直线l上一点，作直线CE垂直于直线l .
挑战性作业（选做题）
6.如图，已知△ABC中，∠ABC=50°，P为△ABC内一点，过点P 的直线分别交AB,BC于点M,N.若点M在PA的垂直平分线上，点N在PC 的垂直平分线上，则∠APC 的度数为 .
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