第12章二次根式同步练习卷（含解析）-2024-2025学年数学八年级下册苏科版

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第12章二次根式同步练习卷-2024-2025学年数学八年级下册苏科版
一、单选题
1．下列二次根式中，属于最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
2．比较大小：与的结果是（ ）
A．前者大 B．一样大 C．后者大 D．无法确定
3．下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
4．已知，则m的值所在的范围是（ ）
A． B． C． D．
5．规定一种新运算：．例如：．则的计算结果是（ ）
A．10 B． C． D．
6．若式子在实数范围内有意义，则a，b的取值范围分别是（ ）
A．， B．， C．， D．，
7．若实数a、b、c在数轴上的对应点如图所示，则的结果是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
8．化简：
9．计算： ．
10．若最简二次根式与是可以合并的二次根式，则 ．
11．已知：表示、两个实数的点在数轴上的位置如图所示，化简 ．
12．菱形的周长为，一个内角等于，则这个菱形的面积为 ．
13．直角三角形的三边长分别为a，b，c，其中为斜边，为斜边上的高，有以下表述：
（1）以，，的长为边，能构成三角形；
（2）以，，的长为边，能构成三角形；
（3）以，，的长为边，能构成直角三角形；
（4）等式成立．
其中正确的表述序号为 ．
14．如图，用一个面积为的正方形（图中阴影部分）和四个相同的长方形拼成一个面积为的正方形图案，这个长方形的周长为 cm．
三、解答题
15．计算：
(1)．
(2)．
16．座钟的摆针摆动一个来回所需的时间称为一个周期，以字母表示周期（单位：），表示摆长（单位：），则计算公式为，其中．若一台座钟的摆长为，求摆针摆动一个来回所需的时间．（取3）
17．先化简，再求值：，其中．
18．已知：，分别求下列代数式的值：
(1)
(2)
19．数学老师在课堂上提出一个问题：“通过探究知道：……，它是个无限不循环小数，也叫无理数，它的整数部分是1，那么有谁能说出它的小数部分是多少”，小明举手回答：它的小数部分我们无法全部写出来，但可以用来表示它的小数部分，吴老师夸奖小明真聪明，肯定了他的说法：现请你根据小明的说法解答：
(1)的整数部分是__________，小数部分是__________．
(2)a为的小数部分，b为的整数部分，求的值．
(3)已知，其中x是一个正整数，，求的值．
20．观察下列各式：
，
，
；
请根据以上三个等式提供的信息解答下列问题：
(1)猜想__________；
(2)归纳：根据猜想写出一个用（表示正整数）表示的等式__________；
(3)应用计算．；
(4)拓展应用：化简下列式子；
21．在正方形中，点，，分别是，边上一动点（不与A，B，D点重合），连接，的延长线交的延长线于点．
(1)如图1．当时，若，求的长；
(2)如图2，过点A作于点G，连接，有，求证：．
(3)如图3，，将沿直线折叠，得到．过点做交于点，连接并延长交线段于点，连接，当最大时，直接写出的值．
《第12章二次根式同步练习卷-2024-2025学年数学八年级下册苏科版》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7
答案 C A D A B B B
1．C
【分析】本题主要考查最简二次根式，熟练掌握最简二次根式是解题的关键．根据最简二次根式的定义进行判断即可．
【详解】解：不属于最简二次根式，故选项A不符合题意；
不属于最简二次根式，故选项B不符合题意；
属于最简二次根式，故选项C符合题意；
不属于最简二次根式，故选项D不符合题意；
故选C．
2．A
【分析】本题主要考查了二次根式大小比较，先求出与的平方，然后比较大小即可．
【详解】解：∵，，
又∵，
∴，
即前者大，
故选：A．
3．D
【分析】根据二次根式的除法，性质计算即可．
本题考查了二次根式的除法，性质，熟练掌握运算和性质是解题的关键．
【详解】解：A. ，错误，不符合题意；
B. ，错误，不符合题意；
C. ，不是同类二次根式，无法计算，错误，不符合题意；
D. ，正确，符合题意；
故选：D．
4．A
【分析】本题题考查了无理数的估算．找到与2最接近的两个完全平方数，即可判断在哪两个和它接近的整数之间，然后判断出所求的无理数的范围即可求解．
【详解】解：∵，
，
∴，
∴，
∴．
故选：A．
5．B
【分析】本题主要考查了二次根式的混合计算，新定义，根据新定义可得原式等于，据此根据二次根式的混合计算法则求解即可．
【详解】解：由题意得，
，
故选：B．
6．B
【分析】本题主要考查了二次根式、分式有意义的条件，掌握二次根式有意义的条件为被开方数大于等于零、分式有意义的条件为分母不等于零成为解题的关键．
直接根据二次根式、分式有意义的条件即可解答．
【详解】解：∵式子在实数范围内有意义，
∴，．
故选B．
7．B
【分析】本题考查根据数轴判断式子符号及根式的性质，根据数轴判断出，再根据二次根式的性质化简即可得到答案；
【详解】解：由数轴可得，，
，
，
故选：B．
8．
【分析】本题主要考查二次根式的化简，直接根据进行化简即可．
【详解】解：，
故答案为：．
9．1
【分析】本题主要查了二次根式的混合运算．利用平方差公式计算，即可．
【详解】解：．
故答案为：1
10．4
【分析】本题考查了最简二次根式的定义： 被开方数的因数是整数，字母因式是整式， 被开方数不含能开得尽方的因数或因式；同类二次根式：把几个二次根式化为最简二次根式以后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫做同类二次根式；掌握相关定义是解题关键．根据同类二次根式的定义计算求值即可．
【详解】解：由题意得，
解得：，
故答案为：4．
11．
【分析】本题考查了实数与数轴，绝对值的性质，二次根式的性质．解答此题的关键是熟知：数轴上的任意两个数，右边的数总比左边的数大．根据数轴上得到的a，b的大小去绝对值，然后合并同类项即可．
【详解】解：由图可知，，
则，，
．
12．
【分析】本题考查了菱形的性质、含角的直角三角形的性质、菱形的面积等知识；熟练掌握菱形的性质，求出菱形的高是解决问题的关键．
作于，由直角三角形的性质求出菱形的高，再运用菱形面积公式底高计算即可．
【详解】解：作于，如图所示：
∵四边形是菱形，周长为，
，
，
，
，
，
故答案为：．
13．（2）（3）（4）
【分析】本题考查勾股定理，以及勾股定理的逆定理．由已知三边，根据勾股定理得出，利用等积法求得，然后根据三角形三边关系即任意一边长大于其他二边的差，小于其他二边的差，再推出小题中各个线段是否能组成三角形．
【详解】解：（1）由题意得，
∴以，，的长为边，不能构成三角形，不正确；
（2）直角三角形的三边有（a，b，c中c最大），
而在，，三个数中最大，
如果能组成一个三角形，则有成立，
即，即，（由），则不等式成立，
从而满足两边之和>第三边，
则以，，的长为边的三条线段能组成一个三角形，故正确；
（3），，h这三个数中一定最大，，，
又∵，
∴，根据勾股定理的逆定理，
即以，，h的长为边的三条线段能组成直角三角形．故正确；
（4）∵直角三角形的三边长分别为a，b，c，其中为斜边，为斜边上的高，
∴，，
∴，
∵，故正确．
故答案为：（2）（3）（4）．
14．
【分析】本题考查了二次根式的应用．根据图形先求出大、小正方形的边长，结合图形求得长方形的长和宽，根据矩形的周长公式解答即可．
【详解】解：依题意，得：
小正方形的边长为，大正方形的边长为，
∴长方形宽为：，
长方形的长为：，
∴长方形的周长为：．
故答案为：．
15．(1)
(2)
【分析】本题主要考查了二次根式的混合计算，熟知二次根式的相关计算法则是解题的关键．
（1）先化简二次根式，再根据二次根式的加减计算法则求解即可；
（2）先计算二次根式乘除法，再计算加减法即可得到答案．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
16．
【分析】本题主要考查了二次根式的乘除，根据计算公式为，代入数据计算即可，解题的关键是运用公式求出这个座钟的周期．
【详解】解：当时，
．
∴摆针摆动一个来回所需时间为．
17．，
【分析】此题考查了分式的化简求值，先利用分式的减法法则计算括号内的部分，再计算除法得到化简结果，再把字母的值代入计算即可．
【详解】解：
，
当时，
原式．
．
18．(1)
(2)
【分析】本题主要考查了二次根式的化简求值，正确把a、b分母有理化是解题的关键．
（1）先把a、b分母有理化，再求出的值，根据计算求解即可；
（2）根据（1）所求，结合计算求解即可．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∴，，
∴；
（2）解：∵，，
∴
．
19．(1)的整数部分为3，小数部分为：
(2)
(3)19
【分析】本题主要考查了无理数的估算，化简二次根式，实数的运算，熟知无理数的估算方法是解题的关键．
（1）估算出的范围即可得到答案；
（2）估算出，的范围，进而确定a、b的值，再代值计算即可得到答案；
（3）估算出的范围得到x、y的值，再代值计算即可得到答案．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∴的整数部分为3，小数部分为：；
（2）解：∵，
∴，
a为的小数部分，b为的整数部分，
，，
∴；
（3）解：∵，
∴，
，其中x是一个正整数，，
，，
．
20．(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】（1）根据题目中式子的特点进行求解；
（2）根据题意进行猜想、归纳出这种式子的规律；
（3）将式子算：改写为，运用规律进行求解；
（4）运用规律对算式进行改写、计算．
此题考查了二次根式运算规律问题的解决能力，关键是能准确理解题意，并进行规律的归纳、应用．
【详解】（1）解：，
，
，
，
故答案为：．
（2）解：，
，
，
，
故答案为：．
（3）解：由（2）题结论可得，
．
（4）解：由（2）题结论可得，
．
21．(1)
(2)见解析
(3)
【分析】（1）先求出，再根据直角三角形含角的性质可得的长；
（2）如图②，过点作，交于点，则，证明和，再根据等腰直角三角形的性质可得结论；
（3）如图③，当与重合时，最大，此时最大，先由勾股定理可得的长，从而可得结论．
【详解】（1）解：四边形是正方形，
，，，
，
，
，
∵，，
，
；
（2）证明：如图②，过点作，交于点，则，
∵，
∴，
又∵，
∴，
又，，
∴，
，
，
∴
，
又∵,
∴，
，，
，
是等腰直角三角形，
，
，
；
（3）解： 由折叠得：，，
∵，，
∴四边形是矩形，
∴，，
∵，，
∴当最小时，最小，最大，最大，
过点作，如图，
∵，
又∵，
∵点与点重合时，，最小，，
此时，故点、、三点共线，、互相重合；如图。
∴最大时，
，
，
当最大时，的值为．
【点睛】本题主要考查了四边形综合题，涉及矩形的性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质，三角形全等的性质和判定等知识，第（3）问有难度，确定最大时点的位置是解本题的关键．
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