沪科版七下（2024版）9.3.1 分式方程的定义及解法 学案
文档属性
| 名称 | 沪科版七下（2024版）9.3.1 分式方程的定义及解法 学案 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 100.6KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 沪科版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-05-07 16:09:37 | ||
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文档简介
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第9章 分式
9.3.1 分式方程的定义及解法
学习目标与重难点
学习目标：
1.理解分式方程的定义，能识别分母含未知数的方程。
2.掌握去分母法解分式方程的步骤，包括找最简公分母、去分母化整式方程、求解并检验根的合理性。
3.通过对比整式方程，体会分式方程的特殊性与转化思想。
学习重点：
分式方程的定义及去分母法解分式方程的步骤。
学习难点：
增根的产生原因及检验方法。
教学过程
一、情境导入
问题：为了满足经济高速发展的需要，我国铁路部门不断进行技术革新，提高列车运行速度.兰(甘肃兰州)新(新疆乌鲁木齐)高铁里程全长约1776 km.若某直快列车改为高铁列车后，速度提高 48%运行时间缩短约6 h求直快列车的速度.
思考：题目中的等量关系是什么？你会设什么为未知数？你能列出方程吗？
二、新知探究
探究一：分式方程
教材第115页
想一想：你列出的方程是整式方程吗？结合它们的特征，想一想，它们是什么方程
【归纳】
分母中含有未知数的方程叫作__________。
主要特征：1.只含分式，或分式和整式
2.分母中含有未知数
探究二：分式方程的解法
教材第115页
思考：如何解分式方程 6
探究三：增根
教材第116页
解方程2，把解得的根代入原方程中检验，你发现了什么？
【归纳】
增根：如果原方程两边同乘以最简公分母变形后，得到的整式方程的根不是原方程的根，称为原方程的增根.解分式方程时可能会产生增根，所以解分式方程必须验根.
探究四：解分式方程的一般步骤
合作交流：由以上解方程的过程，你能总结出解分式方程的步骤吗？把你的结论与同学交流。
三、例题探究
例1解方程：
分式方程根的检验方法：
解分式方程时，通常在方程两边同乘以最简公分母，验根时，只要把求得的根代入最简公分母，看它的值是否为零，使它不为零的根才是原方程的根，使它为零的根即为增根，应舍去.
四、课堂练习
【知识技能类作业】
必做题
1.下列关于的方程中，是分式方程的是（ ）
A． B． C． D．
2.分式方程的解是（ ）
A． B． C． D．
3.若关于的分式方程有增根，则的值是（ ）
A． B． C． D．
选做题
4.若关于的分式方程无解，则 ．
5.关于的分式方程有非负数解，则的取值范围为 ．
6.下列有四个结论：
①把分式中的，都扩大倍，分式的值不变；
②在实数范围内，不存在，，的值，使式子的值为；
③若，则；
④若关于的方程无解，则的值为或
其中正确的结论是 （填写序号）
【综合拓展类作业】
7.已知关于的分式方程．
(1)当时，求方程的解．
(2)若该分式方程无解，求的值．
五、课堂小结
这节课你收获了什么，在计算过程中须注意什么
六、作业布置
1.已知关于的分式方程的解为正数，则非负整数的所有个数为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
2.若分式方程无解，则的值为（ ）
A．2 B． C．1 D．
3.已知分式（为常数）满足表格中的信息，则的积是（ ）
的取值 4 6
分式的值 无意义 0
A． B．6 C．4 D．2
4.若关于x的方程恒成立，若x的值非负，则m的取值范围是？
答案解析
课堂练习：
1.【答案】D
【解析】A、是整式方程，不符合题意；
B、是整式方程，不符合题意；
C、是关于的整式方程，不符合题意；
D、是分式方程，符合题意；
故选：D．
2.【答案】B
【解析】解：，
去分母得：，
去括号得：，
移项得：，
系数化为1得：，
经检验：是分式方程的解，
故选：B．
3.【答案】A
【解析】解：，
去分母得：，
去括号得：，
移项得：，
合并同类项得：，
系数化为得：，
关于的分式方程有增根，
，
解得：．
故选：A ．
4.【答案】1
【解析】解：去分母得：，
解得：，
∵关于的分式方程无解，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
5.【答案】且
【解析】解：解，得：，
∵方程有非负数解，
∴且，
∴且，
∴且；
故答案为：且．
6.【答案】①②③
【解析】解：①把分式中的，都扩大倍得：，分式的值不变，故结论①正确；
②若，
则，即，
∴，
此时分式的分母为零，无意义，
∴在实数范围内，不存在，，的值，使式子的值为，故结论②正确；
③若，则，
∴，即，
∴，故结论③正确；
④方程两边同乘以，得：
，
整理得：，
当时，一元一次方程无解，此时；
当时，则，
解得：或，
综上所述，或或时，关于的方程无解，故结论④错误；
∴正确的结论有①②③．
故答案为：①②③．
7.【答案】【解析】
（1）解：当时，分式方程为，
去分母，得，
解得，
经检验，是原分式方程的解；
（2）解：，
去分母，得，
整理，得，
∵原分式方程无解，
∴分式方程产生增根，增根为，
∴，
∴．
作业布置：
1.【答案】A
【解析】解：
去分母，得：，
移项、合并，得：，
分式方程的解为正数，
，，
解得：，且，
非负整数解的有共3个，
故答案为：A．
2.【答案】B
【解析】解：，
化为整式方程：，
∵分式方程无解，则，
，
解得：，
故选：B．
3.【答案】D
【解析】解：∵当时分式无意义，
∴，
∴；
∵当时，分式的值为，
∴，
∴；
∴分式为，
∴根据表格可知：，，
解得：，
经检验：是原分式方程的解，
∴，
故选：D．
4．【答案】解：
去分母得：，
解得：，
∵x的值非负，
∴，
∴且．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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第9章 分式
9.3.1 分式方程的定义及解法
学习目标与重难点
学习目标：
1.理解分式方程的定义，能识别分母含未知数的方程。
2.掌握去分母法解分式方程的步骤，包括找最简公分母、去分母化整式方程、求解并检验根的合理性。
3.通过对比整式方程，体会分式方程的特殊性与转化思想。
学习重点：
分式方程的定义及去分母法解分式方程的步骤。
学习难点：
增根的产生原因及检验方法。
教学过程
一、情境导入
问题：为了满足经济高速发展的需要，我国铁路部门不断进行技术革新，提高列车运行速度.兰(甘肃兰州)新(新疆乌鲁木齐)高铁里程全长约1776 km.若某直快列车改为高铁列车后，速度提高 48%运行时间缩短约6 h求直快列车的速度.
思考：题目中的等量关系是什么？你会设什么为未知数？你能列出方程吗？
二、新知探究
探究一：分式方程
教材第115页
想一想：你列出的方程是整式方程吗？结合它们的特征，想一想，它们是什么方程
【归纳】
分母中含有未知数的方程叫作__________。
主要特征：1.只含分式，或分式和整式
2.分母中含有未知数
探究二：分式方程的解法
教材第115页
思考：如何解分式方程 6
探究三：增根
教材第116页
解方程2，把解得的根代入原方程中检验，你发现了什么？
【归纳】
增根：如果原方程两边同乘以最简公分母变形后，得到的整式方程的根不是原方程的根，称为原方程的增根.解分式方程时可能会产生增根，所以解分式方程必须验根.
探究四：解分式方程的一般步骤
合作交流：由以上解方程的过程，你能总结出解分式方程的步骤吗？把你的结论与同学交流。
三、例题探究
例1解方程：
分式方程根的检验方法：
解分式方程时，通常在方程两边同乘以最简公分母，验根时，只要把求得的根代入最简公分母，看它的值是否为零，使它不为零的根才是原方程的根，使它为零的根即为增根，应舍去.
四、课堂练习
【知识技能类作业】
必做题
1.下列关于的方程中，是分式方程的是（ ）
A． B． C． D．
2.分式方程的解是（ ）
A． B． C． D．
3.若关于的分式方程有增根，则的值是（ ）
A． B． C． D．
选做题
4.若关于的分式方程无解，则 ．
5.关于的分式方程有非负数解，则的取值范围为 ．
6.下列有四个结论：
①把分式中的，都扩大倍，分式的值不变；
②在实数范围内，不存在，，的值，使式子的值为；
③若，则；
④若关于的方程无解，则的值为或
其中正确的结论是 （填写序号）
【综合拓展类作业】
7.已知关于的分式方程．
(1)当时，求方程的解．
(2)若该分式方程无解，求的值．
五、课堂小结
这节课你收获了什么，在计算过程中须注意什么
六、作业布置
1.已知关于的分式方程的解为正数，则非负整数的所有个数为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
2.若分式方程无解，则的值为（ ）
A．2 B． C．1 D．
3.已知分式（为常数）满足表格中的信息，则的积是（ ）
的取值 4 6
分式的值 无意义 0
A． B．6 C．4 D．2
4.若关于x的方程恒成立，若x的值非负，则m的取值范围是？
答案解析
课堂练习：
1.【答案】D
【解析】A、是整式方程，不符合题意；
B、是整式方程，不符合题意；
C、是关于的整式方程，不符合题意；
D、是分式方程，符合题意；
故选：D．
2.【答案】B
【解析】解：，
去分母得：，
去括号得：，
移项得：，
系数化为1得：，
经检验：是分式方程的解，
故选：B．
3.【答案】A
【解析】解：，
去分母得：，
去括号得：，
移项得：，
合并同类项得：，
系数化为得：，
关于的分式方程有增根，
，
解得：．
故选：A ．
4.【答案】1
【解析】解：去分母得：，
解得：，
∵关于的分式方程无解，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
5.【答案】且
【解析】解：解，得：，
∵方程有非负数解，
∴且，
∴且，
∴且；
故答案为：且．
6.【答案】①②③
【解析】解：①把分式中的，都扩大倍得：，分式的值不变，故结论①正确；
②若，
则，即，
∴，
此时分式的分母为零，无意义，
∴在实数范围内，不存在，，的值，使式子的值为，故结论②正确；
③若，则，
∴，即，
∴，故结论③正确；
④方程两边同乘以，得：
，
整理得：，
当时，一元一次方程无解，此时；
当时，则，
解得：或，
综上所述，或或时，关于的方程无解，故结论④错误；
∴正确的结论有①②③．
故答案为：①②③．
7.【答案】【解析】
（1）解：当时，分式方程为，
去分母，得，
解得，
经检验，是原分式方程的解；
（2）解：，
去分母，得，
整理，得，
∵原分式方程无解，
∴分式方程产生增根，增根为，
∴，
∴．
作业布置：
1.【答案】A
【解析】解：
去分母，得：，
移项、合并，得：，
分式方程的解为正数，
，，
解得：，且，
非负整数解的有共3个，
故答案为：A．
2.【答案】B
【解析】解：，
化为整式方程：，
∵分式方程无解，则，
，
解得：，
故选：B．
3.【答案】D
【解析】解：∵当时分式无意义，
∴，
∴；
∵当时，分式的值为，
∴，
∴；
∴分式为，
∴根据表格可知：，，
解得：，
经检验：是原分式方程的解，
∴，
故选：D．
4．【答案】解：
去分母得：，
解得：，
∵x的值非负，
∴，
∴且．
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