沪科版七下（2024版）9.3.2 分式方程的应用 教案
文档属性
| 名称 | 沪科版七下（2024版）9.3.2 分式方程的应用 教案 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 435.5KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 沪科版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-05-07 16:09:37 | ||
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文档简介
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分课时教学设计
《9.3.2 分式方程的应用》教学设计
课型 新授课 复习课 试卷讲评课 其他课
教学内容分析 《9.3.2 分式方程的应用》是沪科版七年级下册第9章《分式》的第三节第二课时的内容。本节内容是分式方程知识的深化与拓展，承接“分式方程的定义及解法”，聚焦其在实际问题中的应用。教材通过典型场景，引导学生建立分式方程模型，将实际问题转化为数学问题求解。其核心价值在于：强化数学建模能力，即从现实情境中抽象数量关系、设未知数、列方程并检验；渗透数学应用意识，让学生体会分式方程作为工具解决实际问题的广泛性。
学习者分析 学生已掌握分式方程的解法，但应用时面临三大挑战：1. 建模障碍——难以从实际问题中提炼等量关系，尤其是涉及多个变量或隐含条件时；2. 方程列式错误——如单位不统一、设元不当（间接设元易混淆）；3. 检验意识薄弱——约50%的学生忽视检验或仅代入原方程。此外，学生计算能力参差不齐，去分母时易出现符号错误或漏乘，影响最终结果。学习风格上，约60%的学生依赖教师引导，自主探究能力较弱，需通过分层任务和小组合作激发主动性。
教学目标 1.能从实际问题中抽象数量关系，列出分式方程并求解。 2.熟练运用分式方程解决工程、行程、销售等实际问题。 3.通过“审题—设元—列式—求解—检验”的完整建模过程，发展数学建模能力。 4.体会数学与生活的联系，增强应用意识。
教学重点 分式方程建模的核心步骤。
教学难点 从实际问题中抽象等量关系，尤其是隐含条件的挖掘。
学习活动设计
教师活动学生活动环节一：新知导入教师活动1： 列一元一次方程解应用题的一般步骤是什么？ 教师带领回顾： 1.审:审清题意，找出已知量和未知量，找等量关系； 2.设:设未知数； 3.列:根据等量关系列一元一次方程； 4.解:解这个方程； 5.验:看是否是方程的解和是否符合题意； 6.答:作答，注意单位和答案完整.学生活动1： 认真思考，举手回答问题 回顾列一元一次方程解应用题的一般步骤活动意图说明：通过具体问题引入新课有利于调动学生思维的积极性，激发学生学习动机，有助于提高学生分析问题、解决问题的能力，能够培养学生的应用意识.环节二：探究新知教师活动2： 探究：分式方程的应用 思考：列分式方程解应用题的一般步骤呢？ 列分式方程解应用题的一般步骤 1.审:审清题意，找出已知量和未知量，找等量关系； 2.设:设未知数； 3.列:根据等量关系列分式方程； 4.解:解这个分式方程； 5.验:验根（①是否是分式方程的根；②是否符合题意）； 6.答:作答，注意单位和答案完整. 问题：某文教店老板到批发市场选购A、B两种品牌的绘图工具套装，每套A品牌套装进价比B品牌每套套装进价多2.5元，已知用200元购进A种套装的数量和用150元购进B种套装的数量相同．求A、B两种品牌套装每套进价分别为多少元？ 1.审：题目中的已知量、未知量和等量关系是什么？ 2.设：你会选择设什么为未知数？ 3.列：你能正确列出分式方程吗？ 4.解：求解你所列的分式方程。 5.验：验根，验证你的答案是否正确，是否符号实际题意。 6.答：作答。 解：设品牌套装每套进价为元，则B品牌套装进价为元 由题意得 解得 经检验，是分式方程的解 答：品牌套装每套进价为元，则品牌套装进价为元学生活动2： 认真思考，探究分式方程的应用 认真听讲，了解列分式方程解应用题的一般步骤 认真思考，经历按照一般步骤解应用题的过程 认真听讲，规范书写 活动意图说明：数学是一门严谨的学科，它要求推理过程和结论都必须经过严格的逻辑推理和证明。让学生通过自主证明，感受数学的严谨性，提高学生的逻辑推理能力和自主解题能力。环节三：例题精讲教师活动3： 例2有一并排电路，如图，两电阻阻值分别为R1，R2，总电阻阻值为R，三者关系为：=+.若已知R1，R2，求R. 解:方程两边同乘以R1R2R，得 R1R2=RR2+RR1，即R1R2=R(R1+R2). 因为R，R2都是正数，所以R1+R2≠0. 所以两边同除以(R1+R2)，得R=. 例3七(1)、(2)两班师生前往郊区参加义务植树活动，已知七(1)班每天比七(2)班多种10棵树.如果分配给七(1)、(2)两班的植树任务分别是150棵和120棵，问两个班每天各植树多少棵，才能同时完成任务？ 解:设七(2)班每天植树x棵，那么七(1)班每天植树(x+10)棵，七(1)班完成任务需天，七(2)班完成任务需天. 要求同时完成任务，即x应满足下列等式：=. 解方程，得x=40. 经检验，x=40是原方程的根.此时x+10=50. 答：当七(2)班每天植树40棵，七(1)班每天植树50棵时，两个班能同时完成任务.学生活动3： 学生认真思考，独立完成习题 学生认真听讲 学生认真思考，独立完成习题 学生认真听讲 活动意图说明：从具体问题情境和已学知识出发探究新知，发展学生分析问题、解决问题的能力。 让学生通过具体例题的教学理解和巩固数学基础知识，把数学理论与实践相结合，掌握数学基础知识理论的用途和方法，从而达到提高分析问题解决问题的能力的目标。环节四：课堂总结教师活动4： 列分式方程解应用题的一般步骤 1.审:审清题意，找出已知量和未知量，找等量关系； 2.设:设未知数； 3.列:根据等量关系列分式方程； 4.解:解这个分式方程； 5.验:验根（①是否是分式方程的根；②是否符合题意）； 6.答:作答，注意单位和答案完整.学生活动4： 学生跟随教师对学习内容进行归纳梳理 活动意图说明：对课堂教学进行归纳梳理，给学生一个整体印象，促进学生掌握知识总结规律。
板书设计
课堂练习 【知识技能类作业】 必做题： 1.《步辇图》是唐朝画家阎立本的作品，如图是它的局部画面，装裱前是一个长为，宽为的长方形，装裱后，整幅图画宽与长的比是，且四周边框的宽度相等，则边框的宽度应是多少？设边框的宽度为，根据题意，可列方程为（ ） A． B． C． D． 2.某学校改造过程中整修门口的道路，但是在实际施工时，，求实际每天整修道路多少米？”在这个题目中，若设实际每天整修道路 ，可得方程，则题目中用“”表示的条件应是（ ） A．每天比原计划多修，结果延期15天完成 B．每天比原计划多修，结果提前15天完成 C．每天比原计划少修，结果延期15天完成 D．每天比原计划少修，结果提前15天完成 3.某商场用3000元购进某种商品，售完后，第二次购进时，每件商品进价提高了，同样用3000元购进商品的数量比第一次少了10件，则第一次购进每件商品的进价为（ ） A．50元 B．60元 C．70元 D．80元 选做题： 4.一艘轮船在静水中的最大航速为，它以最大航速沿江顺流航行所用时间与最大航速逆流航行所用时间相等，则江水的流速为 ． 5.在学校组织的一次汉字打字比赛中，“阳光”中队的小聪输入1000个字的时间比小明输入1200字的时间少2分钟，小聪与小明平均每分钟打字个数之比是，设小聪平均每分钟打字为个，根据题意可列方程是 ． 6.某网店用5000元购进一批新品种草莓进行试销，由于销售状况良好，网店又用11000元第二次购进的该品种草莓，但第二次的进货价比试销时每千克多了0.5元，第二次购进的草莓数量是试销时的2倍．试销时该品种草莓的进货价是每千克 元，两次共购进草莓 千克． 【综合拓展类作业】 7.某网店销售甲、乙两种茶具套装，甲种茶具套装的单价比乙种茶具套装的单价少30元，花1500元购进甲种茶具套装的数量是花900元购进乙种茶具套装数量的2倍，求甲、乙两种茶具套装的单价．
作业设计 【知识技能类作业】 必做题： 1.八年级学生去距学校10千米的博物馆参观，一部分同学骑自行车先走，过了20分后，其余同学乘汽车出发，结果他们同时到达．已知汽车的速度是骑车同学速度的2倍，则骑车同学的速度为（ ） A．10千米/时 B．15千米/时 C．20千米/时 D．30千米/时 2.数学家斐波那契编写的《算经》中有如下分钱问题：第一次由一组人平分10元钱，每人分得若干，第二次比第一次增加6人，平分40元钱，则第二次每人分得的钱与第一次相同，设第二次分钱的人数为x人，则可列方程为（ ） A． B． C． D． 3.承包池塘的农民伯伯想知道自家池塘里有多少条鱼，决定通过捕鱼和标记来估计．第一次捕获了100条鱼，并对它们进行标记，然后，将这100条鱼放回了池塘．过了几天，等这些标记的鱼在池塘中均匀分布后，又捕获了200条鱼，发现其中有10条鱼是之前标记过的．请估计池塘里大概有（ ）条鱼. A．500 B．1000 C．2000 D．3000 【综合拓展类作业】 4.为了创建全国卫生城市，某社区要清理一个卫生死角内的垃圾，租用甲、乙两车运送，两车各运6趟可完成，需支付运费2400元．已知甲、乙两车单独运完此堆垃圾，乙车所运趟数是甲车的2倍，且乙车每趟运费比甲车少100元． (1)求甲、乙两车单独运完此堆垃圾各需运多少趟？ (2)若单独租用一台车，租用哪台车合算？
教学反思 本节课通过引导学生建模，大部分学生能列出分式方程，但间接设元和隐含条件挖掘仍是难点。 改进建议：1. 强化审题训练，用表格梳理已知量与未知量；2. 增加“一题多解”对比，如直接设元与间接设元的优劣；3. 设计“错题诊所”环节，让学生自主分析典型错误（如单位不统一、漏乘、增根未检验）。此外，可引入真实情境（如校园绿化工程），增强问题代入感，进一步提升学生的数学应用能力。
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分课时教学设计
《9.3.2 分式方程的应用》教学设计
课型 新授课 复习课 试卷讲评课 其他课
教学内容分析 《9.3.2 分式方程的应用》是沪科版七年级下册第9章《分式》的第三节第二课时的内容。本节内容是分式方程知识的深化与拓展，承接“分式方程的定义及解法”，聚焦其在实际问题中的应用。教材通过典型场景，引导学生建立分式方程模型，将实际问题转化为数学问题求解。其核心价值在于：强化数学建模能力，即从现实情境中抽象数量关系、设未知数、列方程并检验；渗透数学应用意识，让学生体会分式方程作为工具解决实际问题的广泛性。
学习者分析 学生已掌握分式方程的解法，但应用时面临三大挑战：1. 建模障碍——难以从实际问题中提炼等量关系，尤其是涉及多个变量或隐含条件时；2. 方程列式错误——如单位不统一、设元不当（间接设元易混淆）；3. 检验意识薄弱——约50%的学生忽视检验或仅代入原方程。此外，学生计算能力参差不齐，去分母时易出现符号错误或漏乘，影响最终结果。学习风格上，约60%的学生依赖教师引导，自主探究能力较弱，需通过分层任务和小组合作激发主动性。
教学目标 1.能从实际问题中抽象数量关系，列出分式方程并求解。 2.熟练运用分式方程解决工程、行程、销售等实际问题。 3.通过“审题—设元—列式—求解—检验”的完整建模过程，发展数学建模能力。 4.体会数学与生活的联系，增强应用意识。
教学重点 分式方程建模的核心步骤。
教学难点 从实际问题中抽象等量关系，尤其是隐含条件的挖掘。
学习活动设计
教师活动学生活动环节一：新知导入教师活动1： 列一元一次方程解应用题的一般步骤是什么？ 教师带领回顾： 1.审:审清题意，找出已知量和未知量，找等量关系； 2.设:设未知数； 3.列:根据等量关系列一元一次方程； 4.解:解这个方程； 5.验:看是否是方程的解和是否符合题意； 6.答:作答，注意单位和答案完整.学生活动1： 认真思考，举手回答问题 回顾列一元一次方程解应用题的一般步骤活动意图说明：通过具体问题引入新课有利于调动学生思维的积极性，激发学生学习动机，有助于提高学生分析问题、解决问题的能力，能够培养学生的应用意识.环节二：探究新知教师活动2： 探究：分式方程的应用 思考：列分式方程解应用题的一般步骤呢？ 列分式方程解应用题的一般步骤 1.审:审清题意，找出已知量和未知量，找等量关系； 2.设:设未知数； 3.列:根据等量关系列分式方程； 4.解:解这个分式方程； 5.验:验根（①是否是分式方程的根；②是否符合题意）； 6.答:作答，注意单位和答案完整. 问题：某文教店老板到批发市场选购A、B两种品牌的绘图工具套装，每套A品牌套装进价比B品牌每套套装进价多2.5元，已知用200元购进A种套装的数量和用150元购进B种套装的数量相同．求A、B两种品牌套装每套进价分别为多少元？ 1.审：题目中的已知量、未知量和等量关系是什么？ 2.设：你会选择设什么为未知数？ 3.列：你能正确列出分式方程吗？ 4.解：求解你所列的分式方程。 5.验：验根，验证你的答案是否正确，是否符号实际题意。 6.答：作答。 解：设品牌套装每套进价为元，则B品牌套装进价为元 由题意得 解得 经检验，是分式方程的解 答：品牌套装每套进价为元，则品牌套装进价为元学生活动2： 认真思考，探究分式方程的应用 认真听讲，了解列分式方程解应用题的一般步骤 认真思考，经历按照一般步骤解应用题的过程 认真听讲，规范书写 活动意图说明：数学是一门严谨的学科，它要求推理过程和结论都必须经过严格的逻辑推理和证明。让学生通过自主证明，感受数学的严谨性，提高学生的逻辑推理能力和自主解题能力。环节三：例题精讲教师活动3： 例2有一并排电路，如图，两电阻阻值分别为R1，R2，总电阻阻值为R，三者关系为：=+.若已知R1，R2，求R. 解:方程两边同乘以R1R2R，得 R1R2=RR2+RR1，即R1R2=R(R1+R2). 因为R，R2都是正数，所以R1+R2≠0. 所以两边同除以(R1+R2)，得R=. 例3七(1)、(2)两班师生前往郊区参加义务植树活动，已知七(1)班每天比七(2)班多种10棵树.如果分配给七(1)、(2)两班的植树任务分别是150棵和120棵，问两个班每天各植树多少棵，才能同时完成任务？ 解:设七(2)班每天植树x棵，那么七(1)班每天植树(x+10)棵，七(1)班完成任务需天，七(2)班完成任务需天. 要求同时完成任务，即x应满足下列等式：=. 解方程，得x=40. 经检验，x=40是原方程的根.此时x+10=50. 答：当七(2)班每天植树40棵，七(1)班每天植树50棵时，两个班能同时完成任务.学生活动3： 学生认真思考，独立完成习题 学生认真听讲 学生认真思考，独立完成习题 学生认真听讲 活动意图说明：从具体问题情境和已学知识出发探究新知，发展学生分析问题、解决问题的能力。 让学生通过具体例题的教学理解和巩固数学基础知识，把数学理论与实践相结合，掌握数学基础知识理论的用途和方法，从而达到提高分析问题解决问题的能力的目标。环节四：课堂总结教师活动4： 列分式方程解应用题的一般步骤 1.审:审清题意，找出已知量和未知量，找等量关系； 2.设:设未知数； 3.列:根据等量关系列分式方程； 4.解:解这个分式方程； 5.验:验根（①是否是分式方程的根；②是否符合题意）； 6.答:作答，注意单位和答案完整.学生活动4： 学生跟随教师对学习内容进行归纳梳理 活动意图说明：对课堂教学进行归纳梳理，给学生一个整体印象，促进学生掌握知识总结规律。
板书设计
课堂练习 【知识技能类作业】 必做题： 1.《步辇图》是唐朝画家阎立本的作品，如图是它的局部画面，装裱前是一个长为，宽为的长方形，装裱后，整幅图画宽与长的比是，且四周边框的宽度相等，则边框的宽度应是多少？设边框的宽度为，根据题意，可列方程为（ ） A． B． C． D． 2.某学校改造过程中整修门口的道路，但是在实际施工时，，求实际每天整修道路多少米？”在这个题目中，若设实际每天整修道路 ，可得方程，则题目中用“”表示的条件应是（ ） A．每天比原计划多修，结果延期15天完成 B．每天比原计划多修，结果提前15天完成 C．每天比原计划少修，结果延期15天完成 D．每天比原计划少修，结果提前15天完成 3.某商场用3000元购进某种商品，售完后，第二次购进时，每件商品进价提高了，同样用3000元购进商品的数量比第一次少了10件，则第一次购进每件商品的进价为（ ） A．50元 B．60元 C．70元 D．80元 选做题： 4.一艘轮船在静水中的最大航速为，它以最大航速沿江顺流航行所用时间与最大航速逆流航行所用时间相等，则江水的流速为 ． 5.在学校组织的一次汉字打字比赛中，“阳光”中队的小聪输入1000个字的时间比小明输入1200字的时间少2分钟，小聪与小明平均每分钟打字个数之比是，设小聪平均每分钟打字为个，根据题意可列方程是 ． 6.某网店用5000元购进一批新品种草莓进行试销，由于销售状况良好，网店又用11000元第二次购进的该品种草莓，但第二次的进货价比试销时每千克多了0.5元，第二次购进的草莓数量是试销时的2倍．试销时该品种草莓的进货价是每千克 元，两次共购进草莓 千克． 【综合拓展类作业】 7.某网店销售甲、乙两种茶具套装，甲种茶具套装的单价比乙种茶具套装的单价少30元，花1500元购进甲种茶具套装的数量是花900元购进乙种茶具套装数量的2倍，求甲、乙两种茶具套装的单价．
作业设计 【知识技能类作业】 必做题： 1.八年级学生去距学校10千米的博物馆参观，一部分同学骑自行车先走，过了20分后，其余同学乘汽车出发，结果他们同时到达．已知汽车的速度是骑车同学速度的2倍，则骑车同学的速度为（ ） A．10千米/时 B．15千米/时 C．20千米/时 D．30千米/时 2.数学家斐波那契编写的《算经》中有如下分钱问题：第一次由一组人平分10元钱，每人分得若干，第二次比第一次增加6人，平分40元钱，则第二次每人分得的钱与第一次相同，设第二次分钱的人数为x人，则可列方程为（ ） A． B． C． D． 3.承包池塘的农民伯伯想知道自家池塘里有多少条鱼，决定通过捕鱼和标记来估计．第一次捕获了100条鱼，并对它们进行标记，然后，将这100条鱼放回了池塘．过了几天，等这些标记的鱼在池塘中均匀分布后，又捕获了200条鱼，发现其中有10条鱼是之前标记过的．请估计池塘里大概有（ ）条鱼. A．500 B．1000 C．2000 D．3000 【综合拓展类作业】 4.为了创建全国卫生城市，某社区要清理一个卫生死角内的垃圾，租用甲、乙两车运送，两车各运6趟可完成，需支付运费2400元．已知甲、乙两车单独运完此堆垃圾，乙车所运趟数是甲车的2倍，且乙车每趟运费比甲车少100元． (1)求甲、乙两车单独运完此堆垃圾各需运多少趟？ (2)若单独租用一台车，租用哪台车合算？
教学反思 本节课通过引导学生建模，大部分学生能列出分式方程，但间接设元和隐含条件挖掘仍是难点。 改进建议：1. 强化审题训练，用表格梳理已知量与未知量；2. 增加“一题多解”对比，如直接设元与间接设元的优劣；3. 设计“错题诊所”环节，让学生自主分析典型错误（如单位不统一、漏乘、增根未检验）。此外，可引入真实情境（如校园绿化工程），增强问题代入感，进一步提升学生的数学应用能力。
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