2025年陕西省高考数学押题卷（4）(含详解)

2025年陕西省高考数学押题卷（4）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.的共轭复数为( )
A. B. C. D.
2.现有位同学参加校园文体活动，分别从个项目中任选一个参加，不同选法的种数是( )
A. B. C. D.
3.已知向量集合，，则( )
A. B. C. D.
4.某公司的员工中，有是行政人员，有是技术人员，有是研发人员，其中的行政人员具有博士学历，的技术人员具有博士学历，的研发人员具有博士学历，从具有博士学历的员工中任选一人，则选出的员工是技术人员的概率为( )
A. B. C. D.
5.函数的图象如图所示，则的解析式可能为( )
A. B. C. D.
6.已知双曲线：的左焦点为，过点的直线与双曲线左支交于，两点，，两点关于轴对称，且，则双曲线的离心率为( )
A. B. C. D.
7.如图，在函数的部分图象中，若，则点的纵坐标为( )
A. B. C. D.
8.如图所示，在棱长为的正方体中，，分别为线段，上的动点，为的中点，则的周长的最小值为( )
A.
B.
C.
D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知一组数据：，若去掉和，则剩下的数据与原数据相比，下列结论正确的是( )
A. 中位数不变 B. 平均数不变 C. 方差不变 D. 第百分位数不变
10.设，为两个正数，定义，的算术平均数为，几何平均数为上个世纪五十年代，美国数学家提出了“均值”，即，其中为有理数下列结论正确的有( )
A. B.
C. D.
11.已知抛物线的焦点为，过的直线交抛物线于、两点，以线段为直径的圆交轴于，两点，设线段的中点为，下列说法正确的是( )
A. 若抛物线上存在一点，到焦点的距离等于，则抛物线的方程为
B. 若，则直线的倾斜角为
C.
D. 若点到抛物线准线的距离为，则的最小值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知是圆：的一条弦，是弦的中点，则直线的方程为 ．
13.已知，，且，，则的值为 ．
14.已知函数，函数的图象在点和点的两条切线互相垂直，且分别交轴于，两点，则取值范围是 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知数列，，，且，其中为常数．
证明：；
是否存在，使得为等差数列？并说明理由．
16.本小题分
东湖公园统计连续天入园参观的人数单位：千人如下：
日期 月日 月日 月日 月日 月日
第天
参观人数
建立关于的回归直线方程，预测第天入园参观人数
东湖公园只开放南门、北门供游客出入，游客从南门、北门入园的概率相同，且从同一个门出园的概率为，从不同门出园的概率为假设游客从南门、北门出入公园互不影响，如果甲、乙两名游客从南门出园，求他们从同一个门入园的概率．
附：参考数据：，，，．
参考公式：回归直线方程，其中，．
17.本小题分
如图，三棱柱中，，，平面平面．
求证：；
若，直线与平面所成角为，为的中点，求二面角的余弦值．
18.本小题分
给定椭圆：，称圆心在原点，半径为的圆是椭圆的“准圆”若椭圆的一个焦点为，其短轴上的一个端点到的距离为．
求椭圆的方程和其“准圆”方程；
点是椭圆的“准圆”上的动点，过点作椭圆的切线，交“准圆”于点，．
当点为“准圆”与轴正半轴的交点时，求直线，的方程并证明；
求证：线段的长为定值．
19.本小题分
已知函数．
判断的奇偶性；
若，求证：；
若存在，使得对任意，均有，求正实数的取值范围．
答案和解析
1.【答案】
【解析】因为，所以的共轭复数为．故选：
2.【答案】
【解析】每位同学有种选择，由分步乘法计数原理知不同选法的种数是．故选：．
3.【答案】
【解析】对于，令，
则，化简可得，
故中的向量都在直线上．
对于，同理可得 中的向量在直线上．
再由，求得，可得这两条直线的交点是，
故选：．
4.【答案】
【解析】设该公司有人，则行政人员、技术人员、研发人员分别有、、人，
其中具有博士学历的员工分别有，，人，
具有博士学历的员工共有人，
从具有博士学历的员工中任选一人，是技术人员的概率为，故选C．
5.【答案】
【解析】由图象知，该函数图象关于原点对称，
所以函数为奇函数，且，
对于，，为偶函数，故A错误；
对于，，故B错误；
对于，，为奇函数，
当时，，
因为，在为单调递增函数，
所以在单调递增，故C正确；
对于，当时，，，
所以当时，，单调递增，
当时，，单调递减，故D错误，
故选：．
6.【答案】
【解析】设双曲线的右焦点为，，，，
根据对称性可知，，
由双曲线的定义可知，，
所以，
所以，，，
因为，
所以，
在中，由勾股定理得，
即，
则．
故选：．
7.【答案】
【解析】根据可得，则点，
设点，
，点是线段的中点
点在函数上，
，
，
又，．
故选B．
8.【答案】
【解析】如图，
连接，，则为的中点，
将三棱锥沿展开成平面图形如下图，
即为三角形周长的最小值，
正方体的棱长为，为中点，
其中，，
．
故本题选B．
9.【答案】
【解析】将原数据按从小到大的顺序排列为，
其中位数为，平均数是，
方差是
，
由，得原数据的第百分位数是第个数．
将原数据去掉和，得，
其中位数为，平均数是，
方差是
，
由，得新数据的第百分位数是第个数，
故中位数和第百分位数不变，平均数与方差改变，故A，D正确，，C错误．
故选：．
10.【答案】
【解析】
，由基本不等式，当且仅当取等号，
，A正确
，当且仅当取等号，B正确
，当且仅当取等号，C错误；
因为，由知，D错误．
故选AB．
11.【答案】
【解析】设，直线的方程为，
由，得，，
则，，
所以，，
对于：若抛物线上存在一点，到焦点的距离等于，
即，则，解得，
所以抛物线的方程为，故A正确；
对于：，
即，代入，，
可得，解得，
所以直线的斜率为，即直线的倾斜角为或，故B错误；
对于：，故C正确；
对于：若点到抛物线准线的距离为，则，
所以抛物线方程为，，
如图，连接，过点作轴于点，

则，
，
所，
因为，所以
所以
综上，最小值为，故D正确．
故选：．
12.【答案】
【解析】根据题意，圆：，
即，其圆心为，
是弦的中点，则直线与直线垂直，
又由，则，
则直线的方程为，即，
故答案为．
13.【答案】
【解析】由，知，，，
因为，则，
又，则，，
由两角和与两角差的余弦公式可得
，
，
两式作差可得，
又由两角差的正弦公式得
，
则，
因此．
故答案为：．
14.【答案】
【解析】由题意，，则
所以点和点，，
所以，
所以，
所以，
同理，
所以
故答案为：．
15.证明：，其中为常数，
，
相减可得：，
，
；
若为等差数列，由可得：公差，
由，其中为常数，
令，则，，解得，
存在，使得为等差数列．
16.【解析】由题意得：，
，
，
当时，，
则预测第天入园参观人数为千人
记“两名游客从同一个门入园”为事件，“两名游客从南门出园”为事件，
，
，
，
则他们从同一个门入园的概率为．
17.【解析】过点作，垂足为，
因为平面平面，且交于，平面，
所以平面，又平面，故，
又因为，，，
所以，故，
因为，所以，
又因为，平面，，
所以平面，又平面，
故；
以为坐标原点，，，所在直线为，，轴，建立空间直角坐标系，
因为平面，
所以是直线与平面所成角，
故，
所以，，
，，，，，，
设平面的法向量为，
则，所以
令，得，
因为平面，
所以为平面的一条法向量，，
，
所以二面角的余弦值为．
18.【解析】，
椭圆方程为，
准圆方程为．
证明：(ⅰ)因为准圆与轴正半轴的交点为，
设过点且与椭圆相切的直线为，
所以由得．
因为直线与椭圆相切，
所以，解得，
所以，方程为，．
，．
当直线，中有一条斜率不存在时，不妨设直线斜率不存在，
则：，
当：时，与准圆交于点，
此时为或，显然直线，垂直；
同理可证当：时，直线，垂直，
当，斜率存在时，设点，其中．
设经过点与椭圆相切的直线为，
所以由，
得，
由化简整理得
因为，所以有．
设，的斜率分别为，，因为，与椭圆相切，
所以，满足上述方程，
所以，即，垂直．
综合知：因为，经过点，又分别交其准圆于点，，且，垂直．
所以线段为准圆的直径，，
所以线段的长为定值．
19.【解析】由题意得当时，定义域为，
当时，定义域为，均关于原点对称，
且，
所以为偶函数；
证明：当时，为偶函数，
要证，即证，又当时，，
所以只需证当时，，
即证，只需证，即证，
令，有，得在上单调递增，从而，
所以，因此，即证；
因为，等价于，
又当时，，
从而等价于，
令，有，，
，注：为的阶导数
当时，即时，存在，
使得对任意，，所以在递增，
又，所以对任意恒成立，从而在递增，
又，所以对任意恒成立，从而在递增，
结合，得对任意恒成立，符合题意，
当时，，故存在，
使得对任意，，所以在递减，
又，所以对任意恒成立，从而在递减，
又，所以对任意恒成立，从而在递减，
结合，得对任意恒成立，不符合题意，
当时，，，
得，同理可得不符合题意．
综上，．
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