数学中考预测题
（九）特殊四边形
教材母题
例 1.如图 H9-1①，在△ABC 中，AB=AC，AD 是△ABC 的一条角平分线，AN 为△ABC 的外角
∠CAM 的平分线，CE⊥AN，垂足为 E.
（1）求证：四边形 ADCE 是矩形；
（2）如图 H9-1②，连接 DE，交 AC 于点 F.
①试判断四边形 ABDE 的形状，并证明你的结论；
②线段 DF 与 AB 有怎样的关系？请证明你的结论.
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数学中考预测题
中考预测
1. （母题改编，综合探究）如图 H9-2①，在△ABC 中，AB=AC，AD 是边 BC 上的中线，AN
为△ABC 的外角∠BAM 的平分线，BE⊥AN，垂足为 E.已知 AD=8，BD=6.
（1）求证：四边形 ADBE 是矩形；
（2）如图 H9-2②，延长 AD 至点 F，使 AF=AB，连接 BF，G 为 BF 的中点，连接 EG，DG.
求 EG 的长；
（3）如图 H9-2③，在（2）的条件下，P 为 BE 边上的一个动点，连接 PG 并延长交 AD 延长
线于点 Q，连接 CQ，H 为 CQ 的中点，求点 P 从点 E 运动到点 B 时，点 H 所经过的路径长.
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数学中考预测题
教材母题
例 2.材料：希腊数学家帕普斯借助函数给出了一种“三等分锐角”的方法，具体如下：
①如图 H9-3，建立平面直角坐标系，将已知锐角∠AOB 的顶点与原点 O 重合，角的一边 OB
与 x 轴正方向重合；
②在平面直角坐标系里，绘制函数 y=1的图象，图象与已知角的另一边 OA 交于点 P；
③以 P 为圆心，2OP 为半径作弧，交函数 y=1的图象于点 R；
④分别过点 P 和 R 作 x 轴和 y 轴的平行线，两线相交于点 M，Q；
⑤连接 OM，得到∠MOB，这时∠MOB=1∠AOB.
3
根据以上材料解答下列问题：
（1）设点 P 的坐标为 1 1( ， )，点 R 的坐标为( ， )，则点 M 的坐标为 ；
（2）求证：点 Q 在直线 OM 上；
（3）求证：∠MOB=1∠AOB.
3
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数学中考预测题
中考预测
2. （母题改编，综合运用）【问题背景】如图 H9-4①，点 M，N 在反比例函数 y= （k>0）的
图象上，过点 M 作 ME⊥y 轴于点 E，过点 N 作 NF⊥x 轴于点 F.
【构建联系】
（1）求证：S△EFM=S△EFN；
（2）如图 H9-4②，题中的其他条件不变，只改变点 M，N 的位置，请判断 MN 与 EF 的位置
关系，并说明理由；
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数学中考预测题
【深入探究】
（3）如图 H9-4③，在平面直角坐标系 xOy 中，四边形 ABOC 为矩形，点 A 的坐标为（6，3），
反比例函数 y=3（x>0）的图象分别与 AB，AC 交于点 D，E，F 为线段 DA 上的动点，反比例
函数 y=（ k>0）的图象经过点F交AC于点G，连接FG.将△AFG沿FG所在直线翻折得到△HFG，
当点 H 恰好落在直线 DE 上时，求 k 的值.
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（九）特殊四边形
教材母题
例 1.如图 H9-1①，在△ABC 中，AB=AC，AD 是△ABC 的一条角平分线，AN 为△ABC 的外角
∠CAM 的平分线，CE⊥AN，垂足为 E.
（1）求证：四边形 ADCE 是矩形；
（1）证明：∵在△ABC 中，AB=AC，AD 为∠BAC 的平分线，
1
∴AD⊥BC，BD=CD，∠DAC= ∠BAC.∴∠ADC=90°.
2
1
∵AN 为△ABC 的外角∠CAM 的平分线，∴∠CAE= ∠CAM.
2
1 1 1
∴∠DAE=∠DAC+∠CAE= ∠ + ∠ = ×180°=90°.
2 2 2
∵CE⊥AN，
∴∠AEC=90°.
∴四边形 ADCE 是矩形.
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数学中考预测题
（2）如图 H9-1②，连接 DE，交 AC 于点 F.
①试判断四边形 ABDE 的形状，并证明你的结论；
（2）解：①四边形 ABDE 是平行四边形.
证明如下：由（1）知，四边形 ADCE 为矩形，
则 AE=CD，AC=DE.
又∵AB=AC，BD=CD，
∴AB=DE，AE=BD.
∴四边形 ABDE 是平行四边形.
②线段 DF 与 AB 有怎样的关系？请证明你的结论.
1
②DF∥AB，DF= AB. 证明如下：
2
由（1）知，四边形 ADCE 为矩形， ∴AF=CF.
∵BD=CD， ∴DF 是△ABC 的中位线.
1
∴DF∥AB，DF= AB.
2
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数学中考预测题
中考预测
1. （母题改编，综合探究）如图 H9-2①，在△ABC 中，AB=AC，AD 是边 BC 上的中线，AN
为△ABC 的外角∠BAM 的平分线，BE⊥AN，垂足为 E.已知 AD=8，BD=6.
（1）求证：四边形 ADBE 是矩形；
（1）证明：∵AB=AC，AD 是边 BC 上的中线，
1
∴AD⊥BC，∠BAD= ∠BAC.∴∠ADB=90°.
2
1
∵AN 平分∠BAM，∴∠BAN= ∠BAM.
2
1 1 1
∴∠DAN=∠BAD+∠BAN= ∠ + ∠ = ×180°=90°.
2 2 2
又∵BE⊥AN，∴∠BEA=90°.∴四边形 ADBE 是矩形.
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数学中考预测题
（2）如图 H9-2②，延长 AD 至点 F，使 AF=AB，连接 BF，G 为 BF 的中点，连接 EG，DG.
求 EG 的长；
（2）解：如答图 H9-2，延长 AF，EG 交于点 K.
在矩形 ADBE 中，AD=8，BD=6，
∴BE=AD=8，AE=BD=6，BE∥AD，∠ADB=∠DAE=90°.
∴AB=√ 2 + 2 = √64 + 36=10.∴AF=AB=10.
∵BE∥AD，∴∠BEG=∠K，∠EBG=∠KFG.
∵G 为 BF 的中点，∴BG=FG.∴△BEG≌△FKG（AAS）.
∴FK=BE=8，EG=GK.∴AK=AF+FK=18.
∴在 Rt△AEK 中，EK=√ 2 + 2 = √36 + 324 = 6√10.
1
∴EG= = 3√10.
2
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数学中考预测题
（3）如图 H9-2③，在（2）的条件下，P 为 BE 边上的一个动点，连接 PG 并延长交 AD 延长
线于点 Q，连接 CQ，H 为 CQ 的中点，求点 P 从点 E 运动到点 B 时，点 H 所经过的路径长.
（3）解：如答图 H9-3，
取 AC 的中点 J，连接 CF，JH.
1
∵J 是 AC 的中点，H 是 CQ 的中点，∴JH= AQ，JH∥AQ.
2
∵P 为 BE 边上的一个动点，
当点 P 在点 E 时，由（2）可知 AQ=18，∴JH=9；
当点 P 在点 B 时，则点 Q 与点 F 重合，∴AQ=10.∴JH=5.
∴点 H 所经过的路径长=9-5=4.
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数学中考预测题
教材母题
例 2.材料：希腊数学家帕普斯借助函数给出了一种“三等分锐角”的方法，具体如下：
①如图 H9-3，建立平面直角坐标系，将已知锐角∠AOB 的顶点与原点 O 重合，角的一边 OB
与 x 轴正方向重合；
②在平面直角坐标系里，绘制函数 y=1的图象，图象与已知角的另一边 OA 交于点 P；
③以 P 为圆心，2OP 为半径作弧，交函数 y=1的图象于点 R；
④分别过点 P 和 R 作 x 轴和 y 轴的平行线，两线相交于点 M，Q；
⑤连接 OM，得到∠MOB，这时∠MOB=1∠AOB.
3
根据以上材料解答下列问题：
（1）设点 P 的坐标为 1( ， )，点 R 的坐标为
1
( ， )，则点 M 的坐标为 ；
1
（1） ( ， )
（2）求证：点 Q 在直线 OM 上；
（2）证明：设直线 OM 的解析式为 y=kx.
1 1 1
∵点 M( ， )， ∴ = . ∴ = .
1
∴直线 OM 的解析式为 y= x.
1
∵分别过点 P 和 R 作 x 轴和 y 轴的平行线，两直线相交于点 Q， ∴点 Q( ， ).
1 1
∵当 x=a 时，y= · = ， ∴点 Q 在直线 OM 上.
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数学中考预测题
（3）求证：∠MOB=1∠AOB.
3
（3）证明：如答图 H9-1，
连接 PR，交 OM 于点 S.
由题意，得四边形 PQRM 是矩形.
1 1
∴PR=QM，SP= ， = QM.
2 2
∴SP=SM.∴∠1=∠2. ∴∠3=∠1+∠2=2∠2.
∵PR=2OP，∴SP=OP.∴∠4=∠3=2∠2.
∵PM∥x 轴，∴∠2=∠5.
∴∠AOB=∠4+∠5=3∠5.
1
∴∠MOB= ∠AOB.
3
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数学中考预测题
中考预测
2. （母题改编，综合运用）【问题背景】如图 H9-4①，点 M，N 在反比例函数 y= （k>0）的
图象上，过点 M 作 ME⊥y 轴于点 E，过点 N 作 NF⊥x 轴于点 F.
【构建联系】
（1）求证：S△EFM=S△EFN；
（1）证明：设点 M 的坐标为（x1，y1），
点 N 的坐标为（x2，y2）.
∵点 M，N 在反比例函数 y= （k>0）的图象上，
∴x1y1=k，x2y2=k.
∵ME⊥y 轴，NF⊥x 轴，∴EM=x1，OE=y1，OF=x2，FN=y2.
1 1
∴S△EFM= 1 1 = ， △ = 2 2 = .∴S△EFM=S△EFN.
2 2 2 2
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数学中考预测题
（2）如图 H9-4②，题中的其他条件不变，只改变点 M，N 的位置，请判断 MN 与 EF 的位置
关系，并说明理由；
（2）解：MN∥EF. 理由如下：
如答图 H9-4，
连接 MF，NE 相交于点 C，分别过点 E，
F 作 EA⊥MN，FB⊥MN，垂足分别为 A，B，
则∠MAE=∠MBF=90°.∴EA∥FB.
由（1）知 S△EFM=S△EFN，又∵S△EFM=S△EFC+S△EMC，
S△EFN=S△EFC+S△NFC，∴S△EMC=S△NFC.∴S△EMN=S△FMN.
∴EA=FB.∴四边形 EABF 为平行四边形.∴MN∥EF.
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数学中考预测题
【深入探究】
（3）如图 H9-4③，在平面直角坐标系 xOy 中，四边形 ABOC 为矩形，点 A 的坐标为（6，3），
反比例函数 y=3（x>0）的图象分别与 AB，AC 交于点 D，E，F 为线段 DA 上的动点，反比例
函数 y=（ k>0）的图象经过点F交AC于点G，连接FG.将△AFG沿FG所在直线翻折得到△HFG，
当点 H 恰好落在直线 DE 上时，求 k 的值.
3
（3）解：∵点 A 的坐标为（6，3），反比例函数 y= （x>0）的图象分别与 AB，AC 交于点 D，
E，且四边形 ABOC 为矩形，
1
∴D（1，3），E(6， ).
2
设直线 DE 的解析式为 y=ax+b.
1 3 = + ,
把 D（1，3），E(6， )代入，得 {1
2 = 6 + .
2
1
= ,
解得{ 2
7
= .
2
1 7
∴直线 DE 的解析式为 y=- + .
2 2
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数学中考预测题
如答图 H9-5
连接 AH 交 FG 于点 K.
∵反比例函数 y= （k>0）的图象经过点 F 交 AC 于点 G，
∴F( ，3)， (6， ) . ∴ = 6 ， = 3 .
3 6 3 6
设直线 FG 的解析式为 y=a'x+b'.把 F( ，3)， (6， )代入，
3 6
1
′ + ′ = 3, ′ = ,
得{3 解得{ 2
6 ′ + ′ = . ′ = + 3.
6 6
1
∴直线 FG 的解析式为 y=- + +3.∴FG∥DE.
2 6
∵将△AFG 沿 FG 所在直线翻折得到△HFG，
1
∴AH⊥FG，AK=HK.∴ = = = .
2
∴F，G 分别为 AD，AE 的中点.
1+6 21
∴ = .解得 = .
3 2 2
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