数学中考预测题
（十）圆
教材母题
例 1.如图 H10-1，A，B，C，D 是☉O 上的四个点，AB=AC，AD 交 BC 于点 E，AE=2，ED=4，
求 AB 的长.
解：∵AB=AC，∴ = .∴∠D=∠ABC.
又∵∠BAE=∠DAB，
∴△ABE∽△ADB.
∴ = ，即 AB2=AE·AD.
∵AE=2，ED=4，∴AD=AE+ED=2+4=6.
∴AB2=2×6=12，即 AB=2√3.
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数学中考预测题
中考预测
1. （母题改编）如图 H10-2，在△ABC 中，AB=AC，☉O 为△ABC 的外接圆，且☉O 的半径为
3，过 C 作 CD∥AB，CD 交☉O 于点 D，连接 AD 交 BC 于点 E.
（1）尺规作图：延长 DC 至点 F，使 CF=AC，连接 AF；（保留作图痕迹，不写作法）
（1）解：如答图 H10-2 ，
CF，AF 即为所作.
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数学中考预测题
（2）在（1）的条件下，求证：AF 是☉O 的切线.
（2）证明：如答图 H10-2 ，连接 OA.
∵AB=AC，∴ = . ∴OA⊥BC.
∵AB∥CD，∴∠B=∠BCD.
∵AB=AC，∴∠B=∠ACB.∴∠ACB=∠BCD.
∴∠ACD=∠ACB+∠BCD=2∠ACB.
∵CF=AC，∴∠CAF=∠AFC.
∴∠ACD=∠CAF+∠AFC=2∠CAF. ∴2∠ACB=2∠CAF.
∴∠ACB=∠CAF.∴AF∥BC. ∵OA⊥BC，∴OA⊥AF.
∵OA 是☉O 的半径，∴AF 是☉O 的切线.
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数学中考预测题
教材母题
例 2.（人教版九上 P102）如图 H10-3，AB 为☉O 的直径，C 为☉O 上一点，AD 和过点 C 的切
线互相垂直，垂足为 D.求证：AC 平分∠DAB.
证明：如答图 H10-1 ，连接 OC.
∵CD 为☉O 的切线，∴OC⊥CD.
∵AD⊥CD，∴OC∥AD.∴∠1=∠2.
∵OC=OA，∴∠1=∠3.∴∠2=∠3.
∴AC 平分∠DAB.
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数学中考预测题
中考预测
2. （母题改编，综合探究）如图 H10-4①，AB 为☉O 的直径，C 为☉O 上一点，AC 平分∠DAB，
AD⊥CD 于点 D.
（1）求证：CD 是☉O 的切线；
（1）证明：如答图 H10-3 ，连接 OC.
∵AC 平分∠DAB，∴∠DAC=∠BAC.
∵OA=OC，∴∠BAC=∠OCA.
∴∠OCA=∠DAC.∴AD∥OC.
∵AD⊥CD，∴OC⊥CD.∵OC 为☉O 的半径，∴CD 是☉O 的切线.
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数学中考预测题
（2）如图 H10-4②，若 AC=4√3，BC=4，P 是半圆 的中点，连接 CP，AP，BP，求 CP 的
长；
（2）解：∵AB 为☉O 的直径，∴∠ACB=90°.
在 Rt△ABC 中，AC=4√3， = 4， ∴ ∠ = = √3.
∵ = ， ∴ ∠ = ∠ . ∴ ∠ = √3.
1
∵P 是半圆 的中点， ∴ ∠ = ∠ACB=45°.
2
√2
如答图 H10-4 ，过点 A 作 AE⊥CP 于点 E，则 AE=CE= = 2√6.
2
2√6
∴tan∠APC= = = √3.解得 = 2√2 . ∴ = + = 2√2 + 2√6.
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数学中考预测题
（3）如图 H10-4③，P 是半圆 的中点，CP 交 AB 于点 M，作 PH⊥AC 于点 H，交 AB 于点
N，试探究 MN，AN，MB 之间的数量关系.
（3）解：∵P 是半圆 的中点，
∴∠PCA=∠PCB=∠ABP=∠PAB=45°，PA=PB.
∴△PCH 为等腰直角三角形.∴∠HPC=45°.
如答图 H10-5 ，过点 P 作 PQ=PA 且使∠NPQ=∠NPA，连接 QM.
∵PN=PN，∴△PNA≌△PNQ（SAS）.
∴QN=AN，∠PQN=∠PAN=45°.
过点 P 作 PT⊥CB，交 CB 的延长线于点 T，则 PT=PH，△PCT 为等腰直角三角形，则∠CPT=45°.
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数学中考预测题
∵PA=PB，∴Rt△PBT≌Rt△PAH（HL）.∴∠APH=∠BPT.
∵∠HPC=∠QPM+∠NPQ=∠QPM+∠APH=45°，
∠CPT=∠BPT+∠BPM=45°，
∴∠QPM=∠BPM.
∵PQ=PA=PB，PM=PM，∴△PMQ≌△PMB（SAS）.
∴∠PQM=∠PBM=45°，MQ=MB.
∴∠MQN=∠PQM+∠PQN=45°+45°=90°.
在 Rt△MNQ 中，MN2=QN2+MQ2，又∵QN=AN，MQ=MB，
∴MN2=AN2+MB2.
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（十）圆
教材母题
例 1.如图 H10-1，A，B，C，D 是☉O 上的四个点，AB=AC，AD 交 BC 于点 E，AE=2，ED=4，
求 AB 的长.
中考预测
1. （母题改编）如图 H10-2，在△ABC 中，AB=AC，☉O 为△ABC 的外接圆，且☉O 的半径为
3，过 C 作 CD∥AB，CD 交☉O 于点 D，连接 AD 交 BC 于点 E.
（1）尺规作图：延长 DC 至点 F，使 CF=AC，连接 AF；（保留作图痕迹，不写作法）
（2）在（1）的条件下，求证：AF 是☉O 的切线.
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教材母题
例 2.（人教版九上 P102）如图 H10-3，AB 为☉O 的直径，C 为☉O 上一点，AD 和过点 C 的切
线互相垂直，垂足为 D.求证：AC 平分∠DAB.
中考预测
2. （母题改编，综合探究）如图 H10-4①，AB 为☉O 的直径，C 为☉O 上一点，AC 平分∠DAB，
AD⊥CD 于点 D.
（1）求证：CD 是☉O 的切线；
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数学中考预测题
（2）如图 H10-4②，若 AC=4√3，BC=4，P 是半圆 的中点，连接 CP，AP，BP，求 CP 的
长；
（3）如图 H10-4③，P 是半圆 的中点，CP 交 AB 于点 M，作 PH⊥AC 于点 H，交 AB 于点
N，试探究 MN，AN，MB 之间的数量关系.
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