数学中考预测题
（五）二次函数及其应用
教材母题
例 1.已知二次函数的图象与 y 轴交点的纵坐标为 1，且经过点（2，5）和（-2，13），求这个
二次函数的表达式.
解：设这个二次函数的表达式为 y=ax2+bx+c（a≠0）.
∵图象与 y 轴交点的纵坐标为 1，
∴图象与 y 轴交点为（0，1），即 c=1.
把点（2，5），（-2，13）代入 y=ax2+bx+1，
4 + 2 + 1 = 5, = 2,
得{ 解得 {
4 2 + 1 = 13. = 2.
∴这个二次函数的表达式为 y=2x2-2x+1.
中考预测
1. （母题改编）如图 H5-1，二次函数的图象与 x 轴交于 A，B 两点，与 y 轴交于点 C，点 C，
D 是二次函数图象上的一对对称点，一次函数的图象过点 B，D.
（1）求一次函数和二次函数的解析式；
解：（1）由图可知 A（-3，0），B（1，0），C（0，3），
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数学中考预测题
3+1
∴二次函数的对称轴为 x= =-1.
2
∵点 C，D 是二次函数图象上的一对对称点，∴D（-2，3）.
设一次函数的解析式为 y=kx+b.
0 = + , = 1,
将点 B（1，0），D（-2，3）代入，得{ 解得 {
3 = 2 + . = 1.
∴一次函数的解析式为 y=-x+1.
设二次函数的解析式为 y=a（x+3）（x-1）.
将点 C（0，3）代入，得 3=a·（0+3）（0-1）.解得 a=-1.
∴二次函数的解析式为 y=-（x+3）（x-1）=-x2-2x+3.
（2）根据图象写出使一次函数值大于二次函数值的 x 的取值范围： ；
（3）若点 M 是抛物线 BD 之间的一个动点，求△MBD 面积的最大值.
（2）x>1 或 x<-2
（3）如答图 H5-1，设 M（m，-m2-2m+3），作 MP∥y 轴，交直线 BD 于点 P.
设直线 BD 的解析式为 y=k'x+b'.将点 B（1，0），
′ + ′ = 0, ′ = 1,
D（-2，3）代入，得{ 解得 {
2 ′ + ′ = 3. ′ = 1.
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数学中考预测题
∴直线 BD 的解析式为 y=-x+1.
∴P（m，-m+1）.∴MP=-m2-2m+3-（-m+1）=-m2-m+2.
1 3 1 2 27
∴S△MBD=S△PMD+S△PMB= · （ 2 + 2） · 3 = ( + ) + .
2 2 2 8
3 1
∵- < 0， ∴ 当 = 时，
2 2
27
△ 取得最大值，最大值为 .
8
教材母题
例 2.某商店购进一批单价为 8 元的商品，如果按每件 10 元出售，那么每天可销售 100 件.经调
查发现，这种商品销售单价每提高 1 元，其销售量相应减少 10 件.将销售价定为多少，才能使
每天所获销售利润最大？最大利润是多少？
解：设销售价定为 x 元（x≥10），每天所获利润为 y 元.
由题意，得 y=［100-10（x-10）］·（x-8）
=-10x2+280x-1 600
=-10（x-14）2+360.
∵-10<0，
∴当 x=14 时，y 取得最大值，最大值为 360.
答：将销售价定为 14 元时，才能使每天所获销售利润最大，最大利润是 360 元.
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数学中考预测题
中考预测
2. （母题改编）某书店以每册 40 元购进一批《九章算术》数学文化书籍，在销售中发现，当
每册售价为 50 元时，每天可售出 100 册；当每册售价提高 1 元时，则每天少售出 2 册.设这种
《九章算术》书籍每册售价为 x 元，日销售量为 y 册.
（1）写出 y 与 x 之间的函数表达式为 ；
（1）y=200-2x（x≥50）
（2）求每册售价多少元时，每天的销售利润最大，最大利润是多少元？
解：（2）设每天的销售利润为 w 元.
由题意，得 w=y（x-40）=（200-2x）（x-40）=-2（x-70）2+1 800.
∵-2<0，
∴当 x=70 时，w 取得最大值，最大值为 1 800.
答：每册售价 70 元时，每天的销售利润最大，最大利润是 1 800 元.
教材母题
例 3.如图 H5-2，隧道的截面由抛物线和长方形构成.长方形的长为 16 m，宽为 6 m，抛物线的
最高点 C 离地面 AA1的距离为 8 m.（1）按如图 H5-2 所示的直角坐标系，求表示该抛物线的
函数表达式；
解：（1）根据题意，得点 B（-8，6），C（0，8），B1（8，6）.
设抛物线的函数表达式为 y=ax2+8（a≠0）.
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数学中考预测题
把点 B（-8，6）代入，得 64a+8=6.
1
解得 a=- .
32
1
∴抛物线的函数表达式为 y=- x2+8（-8≤x≤8）.
32
（2）一大型货运汽车装载某大型设备后高为 7 m，宽为 4 m，如果该隧道内设双向行车道，那
么这辆货车能否安全通过？
1
（2）根据题意，把 x=4 代入 y=- x2+8，得 y=7.5.
32
∵7.5 m>7 m，∴这辆货车能安全通过.
中考预测
3. （母题改编）综合与实践
主题：设计公交车停靠站的扩建方案.
素材 1：图 H5-3①为某公交车停靠站，顶棚截面由若干段形状相同的抛物线拼接而成.图 H5-3②
为某段结构示意图，C1，C2皆为轴对称图形，且关于点 M 成中心对称，该段结构水平宽度为
8 m.
素材 2：图 H5-3③为停靠站部分截面示意图，两根长为 2.5 m 的立柱M1N1，M2N2 竖直立于地
面并支撑在对称中心M1，M2 处.小温将为 2.8 m 的竹竿 AB竖直立于地面，当点 A触碰到顶棚
时，测得 N2B为 1 m.
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数学中考预测题
素材 3：将顶棚扩建，要求截面为轴对称图形，且水平宽度为 27 m.计划在顶棚两个末端到地
面之间加装垂直于地面的挡风板.
任务：
（1）确定中心：求图 H5-3②中点M到该结构最低点的水平距离 l；
解：（1）∵C1，C2皆为轴对称图形，且关于点 M 成中心对称，水平宽度为 8 m，
∴8÷2÷2=2（m）.
∴点 M 到该结构最低点的水平距离 l 为 2 m.
（2）确定形状：在图 H5-3③中建立合适的平面直角坐标系，求 C1 的函数解析式；
（2）如答图 H5-2，
以点 M2为原点，水平向右为 x 轴
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数学中考预测题
正方向，竖直向上为 y 轴正方向建立平面直角坐标系.
∴C1的对称轴为直线 x=2，M2（0，0），A（1，0.3）.
∴设 C1的函数解析式为 =a（x-2）
2+h.
1
4 + = 0, = 0.1,
将（0，0），（1，0.3）代入，得{ 解得 {
+ = 0.3. = 0.4.
∴C 21的函数解析式为 =-0.1（x-2） +0.4. 1
（3）确定高度：求挡风板的高度.
（3）∵C1，C2关于点 M 成中心对称，C1的
函数解析式为 =-0.1（x-2）
2+0.4，
1
∴C2的函数解析式为 =0.1（x+2）
2-0.4.
2
3
27-8×3=3（m），3÷2= （m）.
2
①如答图 H5-3
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数学中考预测题
3 7
当 x=2+ = 时，
2 2
=-0.1（x-2）
2+0.4=0.175（m），
1
∴h=2.5+0.175=2.675（m）；
3 7
②如答图 H5-4，当 x=-2- = 时， =0.1（x+2）
2-0.4=-0.175（m），
2 2 2
∴h=2.5-0.175=2.325（m）.
综上所述，挡风板的高度为 2.675 m 或 2.325 m.
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（五）二次函数及其应用
教材母题
例 1.已知二次函数的图象与 y 轴交点的纵坐标为 1，且经过点（2，5）和（-2，13），求这个
二次函数的表达式.
中考预测
1. （母题改编）如图 H5-1，二次函数的图象与 x 轴交于 A，B 两点，与 y 轴交于点 C，点 C，
D 是二次函数图象上的一对对称点，一次函数的图象过点 B，D.
（1）求一次函数和二次函数的解析式；
（2）根据图象写出使一次函数值大于二次函数值的 x 的取值范围： ；
（3）若点 M 是抛物线 BD 之间的一个动点，求△MBD 面积的最大值.
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教材母题
例 2.某商店购进一批单价为 8 元的商品，如果按每件 10 元出售，那么每天可销售 100 件.经调
查发现，这种商品销售单价每提高 1 元，其销售量相应减少 10 件.将销售价定为多少，才能使
每天所获销售利润最大？最大利润是多少？
中考预测
2. （母题改编）某书店以每册 40 元购进一批《九章算术》数学文化书籍，在销售中发现，当
每册售价为 50 元时，每天可售出 100 册；当每册售价提高 1 元时，则每天少售出 2 册.设这种
《九章算术》书籍每册售价为 x 元，日销售量为 y 册.
（1）写出 y 与 x 之间的函数表达式为 ；
（2）求每册售价多少元时，每天的销售利润最大，最大利润是多少元？
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教材母题
例 3.如图 H5-2，隧道的截面由抛物线和长方形构成.长方形的长为 16 m，宽为 6 m，抛物线的
最高点 C 离地面 AA1 的距离为 8 m.
（1）按如图 H5-2 所示的直角坐标系，求表示该抛物线的函数表达式；
（2）一大型货运汽车装载某大型设备后高为 7 m，宽为 4 m，如果该隧道内设双向行车道，那
么这辆货车能否安全通过？
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数学中考预测题
中考预测
3. （母题改编）综合与实践，主题：设计公交车停靠站的扩建方案.
素材 1：图 H5-3①为某公交车停靠站，顶棚截面由若干段形状相同的抛物线拼接而成.图
H5-3②为某段结构示意图，C1，C2 皆为轴对称图形，且关于点 M 成中心对称，该段结构水平
宽度为 8 m.
素材 2：图 H5-3③为停靠站部分截面示意图，两根长为 2.5 m 的立柱 M1N1，M2N2 竖直立于地
面并支撑在对称中心 M1，M2 处.小温将为 2.8 m 的竹竿 AB 竖直立于地面，当点 A 触碰到顶棚
时，测得 N2B 为 1 m.
素材 3：将顶棚扩建，要求截面为轴对称图形，且水平宽度为 27 m.计划在顶棚两个末端到地
面之间加装垂直于地面的挡风板.
任务：
（1）确定中心：求图 H5-3②中点 M 到该结构最低点的水平距离 l；
（2）确定形状：在图 H5-3③中建立合适的平面直角坐标系，求 C1 的函数解析式；
（3）确定高度：求挡风板的高度.
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