第12 章 定义 命题 证明单元知识整合练习（含答案）

第12 章 定义 命题 证明单元知识整合练习
一、选择题
1.给出下列命题：①两个锐角互余；②任何一个整数的平方，末位数字都不是2；③面积相等的两个三角形形状相同；④内角和为540°的多边形是五边形.其中是真命题的有 ( )
A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个
2.现有下列四个命题：①三角形的外角和是180°；②三角形的三个内角中至少有两个锐角；③若. ,则y<0;④已知直线a、b,c,若a⊥b,b⊥c,则a⊥c.其中是真命题的是 ( )
A. ①② B. ②③
C. ②④ D. ③④
3. 对于题目“已知:a∥b,b∥c,求证:a∥c”,如果用反证法证明，应先假设 ( )
A. a 不平行b B. b不平行c
C. a⊥c D. a 不平行c
4.下列命题是真命题的有 ( )
①--2025 的倒数是 ；②某品牌服装专卖店有一款服装按原售价降价 a 元后，再次降价 20%，现售价为b元，则这款服装的原售价为 元；③如果b的取值范围是-3≤b≤-2，那么关于x 的不等式x-b>0恰有两个负整数解；④在△ABC中,∠A :∠B :∠C=3:4:5,则△ABC 为锐角三角形.
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
二、填空题
5.用反证法证明命题：“如果a，b是整数，且ab能被5整除，那么a，b中至少有一个能被5 整除”时，应假设 .
6.(2024·扬州市校级期末)如果一个多边形的内角和与外角和的比是7：2，那么这个多边形的边数是 .
7. 有下列命题:①若|x|+2x=6,则x=2;②若方程( 是关于x的一元一次方程，则m=±1；③若不论x取何值, ax-b-2x=3恒成立,则 ab=-6;④使得|x-1|+|x-3|=4成立的x的值有且仅有两个.其中是真命题的是 (填序号).
8.有这样一个游戏：把100 根火柴堆在一起，两人轮流取火柴，每人每次最少取1根，最多取10根，谁能取到最后剩下的火柴，谁就是胜者.若先取者为战胜对手，则第一次应取 根火柴.
三、解答题
9. 如图,在四边形ABCD中,∠B=∠D=90°,AE平分∠BAD 交CD 于点E,过点 C 作CF∥AE 交 AB 于点 F.求证:CF 平分∠BCD.
10.(2024·盐城市东台市期末)图1是一张足够长的纸条,其中 PN∥QM,点A,B 分别在PN,QM 上,记∠ABM=α(0°<α<90°).如图2,将纸条折叠,使 BM 与 BA重合，得到折痕BR ，如图3，将纸条展开后再折叠，使 BM 与 BR 重合，得到折痕BR ，将纸条展开后继续折叠，使BM 与BR 重合,得折痕 BR ……依此类推,第n次折叠后，求∠ARnN(用含α和n的代数式表示).
11. 在 Rt△ABC 中,∠A = 90°, BD 平分∠ABC,M 为直线 AC 上一点,ME⊥BC,垂足为 E,∠AME 的平分线交直线AB 于点F,
(1) 如图1,M 为边AC 上一点,则 BD,MF 的位置关系是 ；
如图2，M为边AC反向延长线上一点，则 BD,MF 的位置关系是 ;如图3，M为边AC 延长线上一点，则BD,MF 的位置关系是 .
(2)请就图1、图2 或图3中的一种情况，给出证明.
12. 已知在一张三角形纸片ABC 中,∠A=∠C.
(1)把三角形纸片 ABC 按如图1 所示的方式折叠，使点 A 落在边AC 上的点F 处,DE 是折痕,求证:BC∥DF.
(2)把三角形纸片ABC 沿DE 折叠，当点A 落在四边形BCED 内部的点A'处时(图2),探索∠C 与∠1+∠2 之间的数量关系，并说明理由.
(3)当点 A 落在四边形 BCED 外部的点A'处时(图3),∠C 与∠1,∠2 之间的数量关系是 .
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1. C 2. B 3. D
4. A 提示:因为 所以--2 025的倒数是 故①是假命题.设这款服装的原售价为x元,则(x-a)(1-20%)=b,解得x= 故②是假命题.解不等式x-b>0,得x>b.当--3≤b<-2时,x-b>0的负整数解有两个;当b=-2时，不等式x-b>0的负整数解只有一个，故③是假命题. 即∠C=75°,则△ABC为锐角三角形，故④是真命题.
5. a,b都不能被5整除
6.9 提示：设这个多边形的边数为 n.根据题意，得 解得n=9，所以这个多边形的边数为9.
7. ①③④ 提示:①若|x|+2x=6,则当x≥0时,有x+2x=6,解得x=2,当x<0时,有-x+2x=6，解得x=6(舍去)，所以是真命题；②若方程(m- 是关于x 的一元一次方程，则|m|=1且m-1≠0,解得m=-1,所以是假命题;③因为 ax-b--2x=3,所以(a-2)x-b=3,根据题意,得a-2=0,即a=2,所以b=-3,所以 ab=-6,所以是真命题;④当1≤x≤3时,|x-1|+|x-3|=2,当x<1时,|x-1|+|x-3|=1-x+3-x,若此时|x--1|+|x-3|=4,则x=0,当x>3时,|x-1|+|x-3|=x--1+x-3,若此时|x-1|+|x-3|=4,则x=4,所以使得|x-1|+|x-3|=4成立的x的值有且仅有两个，是真命题.
8.1 提示：因为每人每次取的火柴不能超过10根，所以先取者只要到最后一次给后取者剩下11根，不管后取者取多少根，最后的赢家定是先取者.为此，先取者取后留下的根数应为11的倍数，即99，88，77,66,55,44,33,22,11.所以先取者为战胜对手,第一次应取1根火柴.
9. 证明:因为 AE 平分∠BAD,所以∠DAE = ∠EAB. 因 为 CF ∥AE, 所以∠EAB =∠CFB,∠DEA =∠DCF. 所以∠DAE=∠CFB.因为∠B=∠D=90°,所以∠DAE+∠DEA=∠CFB+∠BCF=90°,所以 ∠DEA = ∠BCF. 又 因 为 ∠DEA =∠DCF,所以∠DCF=∠BCF,所以 CF 平分∠BCD.
10.解：由折叠的性质可知，纸条折叠2次时， 折叠3次时， 折叠4次时， 依 此类 推，折叠 n 次时， 由四边形的内角和为360°，得. 由 PRn∥QB 及折叠的性质，易知 所以
11.(1)平行 垂直 垂直
(2) 解:选图1,BD∥MF.证明如下:
因为∠A=90°,ME⊥BC,所以∠ABC+ .因为 BD 平分∠ABC,MF 平分∠AME,所以∠ABD = 所以∠ABD+ 又因为∠A=90°,所以∠AFM+∠AMF=90°,所以∠ABD=∠AFM,所以BD∥MF.
12. (1)证明:由折叠的性质,得∠DFE=∠A.因为∠A=∠C,所以∠DFE=∠C,所以BC∥DF.
(2) 解:2∠C=∠1+∠2.理由如下:
因为四边形的内角和等于360°，所以∠A+ 因为∠1+ 所以∠A+ 因为∠A=∠A',所以2∠A=∠1+∠2. 因为∠A =∠C,所以 2∠C =∠1+∠2.
(3)2∠C=∠2-∠1 提示:设∠AED=α,∠ADE=β.由折叠的性质,得∠A'ED=∠AED=α,∠A'DE=∠ADE=β.因为∠2+2α=180°,∠1=β-∠BDE=β-(∠A+α),所以 β)+∠A.因为∠A=180°-(α+β),所以∠2-∠1=2∠A.因为∠A=∠C,所以2∠C=∠2-∠1.