巅峰训练10 用二元一次方程组解决问题(1) （含答案）

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巅峰训练10 用二元一次方程组解决问题(1)
1.(2024·南通市启东市期末)古书中有一个“隔沟计算”的问题：“甲、乙隔沟牧放，二人暗里参详.甲云得乙九只羊，多乙一倍之上，乙云得甲九只羊，两家之数相当.”翻译成现代文，其大意如下：甲、乙两人隔一条沟放牧，二人心里暗中合计.甲对乙说：“我得到你的九只羊，我的羊就比你多一倍.”乙对甲说：“我得到你的九只羊，咱俩的羊一样多.”设甲有 x 只羊，乙有 y 只羊，则符合题意的方程组是 ( )
2.(2024·宿迁市泗洪县期末)某宾馆有二人间、三人间、四人间三种客房供游客租住，某旅行团共 25人准备同时租用这三种客房共9 间.若每个房间都住满，则租房方案共有 ( )
A. 4种 B. 3种 C. 2种 D. 1种
3.某校团委与社区联合举办“保护地球，人人有责”活动，选派20名学生分三组到 120个店铺发传单.若第一、二、三小组每人分别负责8，6，5个店铺，且每组至少有两人，则学生分组方案有 ( )
A. 3种 B. 4种 C. 5种 D. 6种
4.(2024·南通市通州区期末)为丰富小区居民的业余文化生活，某社区计划出资600元全部用于采购甲、乙、丙三种图书.甲种图书每本40元，乙种图书每本30元，丙种图书每本25元，其中甲种图书至少买5本，最多买6本(三种图书都要买)，则此次采购的方案有 ( )
A. 6种 B. 5种 C. 4种 D. 3种
5.某水果零售商店分两批次从批发市场共购进杨梅40箱，已知第一、二次的进货价分别为每箱50元、40元，且第二次比第一次多付款700元.若商店对这40箱杨梅先按每箱60元销售了x箱，剩下的按每箱35 元全部售完，则当x 的值为 时，商店才正好不亏本.
6. A,B两地相距12 km,甲骑电动车从 A地出发到B地，与此同时，乙骑电动车从 B地出发到 A 地，两人均保持匀速行驶.已知第10 min两人相遇,又经过4min,甲剩余路程是乙剩余路程的8倍，则甲的骑行速度为 .
7.某人沿电车路线行走，每12分钟有一辆电车从后面赶上，每4分钟有一辆电车迎面开来.若行人与电车都是匀速前进的，则电车每隔 min从起点开出一辆.
8.为丰富同学们的校园文化生活，学校在七年级开展了丰富多彩的社团活动，某老师为参加音乐社、街舞社、动漫社的同学都准备了 A，B两种礼品.初步预算，三个社团各需两种礼品数量和之比为1：1：2，需 A礼品的数量之比为3：5：8，并且音乐社和街舞社需 B礼品的数量之比为3：2.在实际购买时，A礼品的价格比预算低20%，B礼品的价格比预算高20%，购买 A礼品的数量减少了3.125%，结果发现总费用与预算相等，则实际购买 A礼品的总费用与实际购买 B礼品的总费用之比为 .
9.为丰富群众的业余生活并迎接社区文艺会演，某小区特组建了一支“大妈广场舞队”(人数不超过50).排练时，若排7排，则多3人；若排9排，则每排人数仅比排7排时少1人，且最后一排不足6人.
(1)该“大妈广场舞队”共有多少名成员
(2)为了提升表演效果，领队决定购买扇子和鲜花作为“大妈广场舞队”的表演道具.经预算、如果给40%的成员每人配1把扇子，其余的每人配1束鲜花，那么共需花费558元；如果给 60%的成员每人配1把扇子，其余的每人配1束鲜花，那么共需花费 612元.问：扇子和鲜花的单价分别是多少
10.【阅读材料】
小明是个爱动脑筋的学生，他在学习了二元一次方程组后遇到了这样一道题目：现有8个大小相同的长方形，可拼成如图1，2所示的图形，在拼图2时，中间留下了一个边长为2的小正方形，求每个小长方形的面积.
小明设小长方形的长为x、宽为y，观察图形得出关于x，y的二元一次方程组，解出x，y的值，再根据长方形的面积公式得出每个小长方形的面积.
【解决问题】
(1)请按照小明的思路完成上述问题：求每个小长方形的面积.
(2)某周末上午，小明在超市帮妈妈买回一袋纸杯，他把纸杯整齐地叠放在一起，如图3 所示.若小明把13个纸杯整齐地叠放在一起，则它的高度约是 cm.
(3)小明进行自主拓展学习时，遇到了这样一道题目：在长方形ABCD 中放置8个形状、大小都相同的小长方形，如图4所示.求图中阴影部分的面积，请给出解答过程.
11.某商店以零售和礼盒两种方式销售(礼盒售价为各产品零售价之和)某纪念品，其中甲种礼盒装有3个手办，2个盲盒，2个钥匙扣；乙种礼盒装有4个手办，1个盲盒，1个钥匙扣；丙种礼盒装有2个手办，4个盲盒，1个钥匙扣.1个甲种礼盒的售价比1个乙种礼盒的售价多 110 元，比1个丙种礼盒售价的2 倍少 800 元.已知手办的单价不超过100元，且各产品的零售单价均为10的正整数倍，则盲盒的单价为 元.
12.公园长椅上坐着两位白发苍苍的老人，旁边站着两个年轻人，他们在交谈，老人说：“我们俩年龄的平方差是195……”不等老人说完，年轻人就说：“真巧，我们俩年龄的平方差也是195.”这时一对青年夫妇也凑过来说：“真是巧极了，我们俩年龄的平方差也是195.”现在请你想一想，这三对人的年龄各是多少 其实符合年龄平方差为195的应有4对，如果你有兴趣，不妨把第4对人的年龄也找出来.
1. C
2. B 提示：设租用x 同二人同、y同三人间、z间四人间.根据题意，得 ①--②×2,得y=7-2z.因为x,y,z均为正整数,所以当z=1时,y=5,x=3;当z=2时,y=3,x=4;当 z=3时,y=1,x=5.所以租房方案共有3种.
3. C 提示：设第一小组有x人，第二小组有y人,則第三小组有(20-x-y)人.根据題意,得8x+6y+5(20-x-y)=120,即3x+y=20.因为x,y均为大于等于2的整数,所以当x=2时,y=14,20-x-y=4,符合题意;当x=3时,y=11,20-x-y=6,符合题意;当x=4时,y=8,20-x-y=8,符合题意;当x=5时,y=5,20-x--y=10,符合题意;当x=6时,y=2,20-x-y=12，符合题意.所以学生分组方案有5种.
4. C 提示：当购买5本甲种图书时，设购买x本乙种图书，y本丙种图书.根据题意，得40×5+30x+25y=600,所以 因为x，y均为正整数，所以 或 此时有 2 种方案.当购买6本甲种图书时，设购买m本乙种图书，n本丙种图书.根据题意、得 40×6+30m+25n=600,所以 n = 因为 m，n均为正整数，所以 或 此时有2种方案.综上所述，此次采购的方案有2+2=4(种).
5.12 提示：设第一、二次购进杨梅的箱数分别为a、b、根据题意，得 解得 所以利润为60x+35(40-x)--(10×50+30×40)=(25x-300)元.当25x-300=0,即x=12时,商店才正好不亏本.
6. 0. 4k m/ min 提示:设甲的骑行速度为x km/ min,乙的骑行速度为 y km/ min.根据题意,得 解得 所以甲的骑行速度为0. 4k m/ min.
7.6 提示：每12分钟有一辆电车从后面赶上属于追及问题，等量关系为电车12 min走的路程=行人12 min走的路程+两辆电车间隔的路程；每4分钟有一辆电车迎面开来属于相遇问题，等量关系为电车4m in走的路程+行人4m in走的路程=两辆电车间隔的路程，两辆电车间隔的路程=两辆电车间隔的时间×电车的速度.设电车每分钟走的路程为x，行人每分钟走的路程为 y，电车每隔 a min 从起点开出一辆，则由 得x=2y,把x=2y代入4x+4y=ax,得a=6.
8.31：54 提示：设音乐社、街舞社、动漫社需A礼品的数量分别为3x，5x，8x，音乐社、街舞社需B礼品的数量分别为 3y，2y，动漫社需 B礼品的数量为z.根据题意，得 解得 所以3y=6x,2y=4x,所以需要A礼品的总量为16x,B礼品的总量为 6x+4x+10x=20x.设 A礼品的单价为a，B礼品的单价为b.根据题意，得[16x(1-3.125%)][a(1--20%)]+20x[b(1+20%)]=16xa+20xb,化简,得12.4ax+24bx=16ax+20bx,所以10b=9a.设b=9k,则a=10k,所以
9.解：(1)设排7 排时每排的人数为x.根据题意，排9排时，若最后一排的人数为5，则7x+3=8(x--1)+5,解得x=6,此时“大妈广场舞队”的成员有7×6+3=45(名)，符合题意；排9排时，若最后一排的人数为4，则7x+3=8(x--1)+4,解得x=7,此时“大妈广场舞队”的成员有7×7+3=52(名),52>50,不符合题意，舍去.
答：该“大妈广场舞队”共有45名成员.
(2)设扇子的单价是a 元，鲜花的单价是b元.根据题意，得
解得
答：扇子的单价是16元，鲜花的单价是10元.
10.解：(1)设小长方形的长为x、宽为y.根据题意，得 解得 所以xy=10×6=60.
答：每个小长方形的面积为60.
(2)20 提示：设每两个纸杯叠放在一起比单独的一个纸杯增高x cm，单独一个纸杯的高度为 y cm.根据题意，得 解得 所以12x+y=12×1+8=20.故若小明把13个纸杯整齐地叠放在一起，则它的高度约是20cm.
(3)设小长方形的长为x cm、宽为y cm.根据题意，得 解得 所以S阴影=19×(7+3×3)-8×10×3=64(cm ).
11. 120 提示：设手办的单价为x元，盲盒的单价为 y 元，钥匙扣的单价为 z 元.根据题意，得 化 简， 得 因为x≤100,x,y 均为 10的正整数倍,且x+6y=800,所以 崁 所以z=0(舍去)或z=70.所以盲盒的单价为120元.
12.解：设两人的年龄分别是x岁、y岁，则 ,即(x+y)(x-y)=195.
①当1×195=195时,则 解得 所以两位老人的年龄是 98岁和97岁.
②当5×39=195时,则 解得 所以两位年轻人的年龄是22 岁和17岁.
③当65×3=195时,则 解得 所以青年夫妇的年龄是 34 岁和31岁..
④当15×13=195时,则 解得 所以第4对人的年龄是14岁和1岁.