核心素养综合练(1) （含答案）2024-2025学年苏科版七年级数学下册

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核心素养综合练(1)
1.如图，一束平行于主光轴(直线OF)的光线经凸透镜折射后，其折射光线与一束经过光心O的光线相交于点 P，F 为焦点.若∠2=18°,则∠1+∠3-90°的度数为 ( )
A. 118°B. 108° C. 98° D. 88°
2.如图，一个大正方形由四个相同的长方形和一个小正方形组成，其中大正方形的边长为a.小正方形的边长为b.若用x，y分别表示四个长方形的长和宽(x>y),观察图案及以下关系式:①x-y=b;②x -y = ab;③xy=a -b ;④x +y = 其中正确关系式的个数为 ( )
A. 4 B. 3 C. 2 D. 1
3. 若a,b,c,d为正数,且 则a,b,c,d中最大的数是 ( )
A. a B. b C. c D. d
4. 若 则
5.小方手里有一副扑克，他拆开包装后发现扑克是按小王、大王,黑桃 A,2,3,4,5,6,7,8,9,10,J,Q,K,红桃 A,2,3,4,5,6,7,8,9,10,J,Q,K,梅花…,方块…的顺序排列.现在他开始丢掉第1，2张牌，将第3张牌放最后，再丢掉第4，5张牌，将第6张牌放最后……这样一直操作下去直到手里剩下最后一张牌，那么这张牌是 .
6.若方程组 恰有一组非零解 则
7.已知方程 的解x为非正数，y为负数.
(1)求a 的取值范围.
(2)在(1)的条件下,若不等式2ax+x<2a+1的解为x>1,求整数a的值.
8. 如图,MN∥PQ,点 A,B 分别在直线MN,PQ 上,且∠BAN=60°.已知射线AN 绕点A 逆时针匀速旋转至AM 后立即回转，射线 BP 绕点 B 顺时针匀速旋转至BQ 后立即回转，且两射线分别绕点A、点 B 不停地旋转，若射线 AN 转动的速度是a(°)/s,射线 BP 转动的速度是b(°)/s,且a，b满足方程组
(1)求a,b的值.
(2)若射线 AN 和射线BP 同时旋转，则至少旋转多少秒时，射线 AN 和射线BP 互相垂直
(3)若射线 AN 绕点 A 逆时针先转动 6 s,射线 BP 才开始绕点 B 顺时针旋转，则在射线 BP 到达 BA 之前，射线AN 再转动多少秒，射线 AN 和射线BP 互相平行
9.【原题重现】
如图1,AC,BD 相交于点O,求证:∠A+∠B=∠C+∠D.
某数学兴趣小组的同学们对此题展开了探究讨论.
【解法再探】
(1)利用“三角形的内角和是 180°”和“对顶角相等”对此题进行了证明，小明同学提出了另外一种证明方法，其思路框图如下：
完成框图填空：① ，② ,③ .
【变式拓展】
(2)小慧同学把图1中线段AC 与BD 相交所组成的结构称为“8字形”，她对原题进行了改编：如图2，AC，BD 相交于点O,∠BAC 和∠BDC 的平分线交于点 P,∠B=α,∠C=β,求∠P的度数(用含α，β的式子表示).请你帮助小慧完成以下问题：
小慧看到图2 中有两个与∠P 相关的“8字形”，请你根据(1)中的结论写出关于∠P 的两个关系式：①∠P+∠BDP= ;②∠P+∠CAP= ;
小慧进一步思考:设∠BAC =x,∠BDC=y,由∠BAC+∠B=∠C+∠BDC,得x+α=β+y,即x-y=β-α③,由①③(或②③)联立、转化、整理可得结论：∠P= .
【发现生成】
(3)小慧同学为了寻找规律，再次改变条件：如图3,AC,BD 相交于点O,∠BAP= ∠C=β,求∠P 的度数.(用含α,β的式子表示)
(4) 若把(3)中的“ ”都改为‘ 则∠P= (用含α，β的式子表示).
核心素养综合练(1)
1. B 提示:因为∠POF=∠2=18°,∠3=∠PFO+∠POF,所以∠3=∠PFO+∠2.因为∠1+∠PFO=180°,所以.
2. B 提示:易知x-y=b,故①正确: (x+y)(x-y)= ab,故②正确;因为 所以 故③错误；因为 故④正确.
3. B 提示:因为 所以 所以a=c.因为 所以b>a=c.因为 所以b>d.所以a,b,c,d中最大的数是b.
4. - 120 提示:令x=0,则 令x=1,则 令x=--1,则 ，得 即 所以 所以
5.方块K 提示：扑克有54张牌，按规则丢牌：第一轮剩下黑桃A，黑桃4，黑桃7，……，方块 K；第二轮剩下黑桃7，红桃3，红桃Q，……，方块K；第三轮剩下红桃Q，方块 K；最后剩下的一张牌是方块K.
6. 152 提示: 由①，得 ④.把④代入③,得-10y+6z=0,所以 z= 把 代入②，得 逆用乘法分配律或整式乘法，得 解得 (舍去),y =6.所以z=10,x=4.因为x=a,y=b,z=c,所以
7. 解:得2x=--6+2a.解得x=a--3.①---②,得2y=--8-4a,解得y=-2a--4.因为x为非正数，y为负数，所以 所以a 的取值范围是--2(2)因为2ax+x<2a+1,即(2a+1)x<2a+1的解为x>1,所以2a+1<0,所以 又因为--28. 解:(1) 2a+565°CD,②×2--①,得9b=9,所以b=1.将b=1代入②,得a+3=7,所以a=4.
(2) 设至少旋转t s时,射线 AN,BP 互相垂直.当0(3) 设射线AN 再转动t s时,射线AN,BP 互相平行.因为MN∥PQ.∠BAN=60°,所以∠PBA=120°,所以t<120.射线 AN 绕点A 逆时针先转动6 s，AN 转动了 24°,则t+24+4t=180或4t-(180-24)=t或4t-360+24+t=180,解得t=31.2或t=52或t=103.2.
综上所述，在射线 BP 到达BA 之前，射线AN 再转动31.2 s或52s或103.2 s,射线AN 和射线BP 互相平行.
9.(1)①三角形的外角等于和它不相邻的两个内角的和 ②∠A ③∠D
(2)①∠B+∠PAB ②∠C+∠PDC 提示:因为∠BAC,∠BDC的平分线交于点P,所以 由①,得∠P=∠B+ 由③，得 所以
(3) 解:由“8 字形”,得∠P =∠B+ ∠BAC- ∠BDC,∠BAC--∠BDC =∠C--∠B.所以.
所以
提示:由“8字形”,得∠P= ∠B.所.以 所以∠P=