第12 章巅峰训练17 证明 （含答案）

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巅峰训练17 证明
1. 给出下列命题:①若x≠0,则. ②锐角都相等；③一个角的补角大于这个角；④两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等.以上命题的逆命题是假命题的个数是 ( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
2.小宇设计了一个随机碰撞模拟器：在模拟器中有 A，B，C三种型号的小球，它们随机运动，当两个小球相遇时会发生碰撞(不考虑多个小球相撞的情况).若相同型号的两个小球发生碰撞，会变成一个C型小球；若不同型号的两个小球发生碰撞，则会变成另外一种型号的小球.例如，一个A 型小球和一个C型小球发生碰撞，会变成一个B型小球.现在模拟器中有 A 型小球12个、B型小球9个、C型小球10个.如果经过各种两两碰撞后，最后只剩一个小球.以下说法中正确的是 ( )
①最后剩下的小球可能是 A 型小球；②最后剩下的小球一定是 B型小球；③最后剩下的小球一定不是C型小球.
A. ① B. ②③ C. ③ D. ①③
3.(2024·宿迁市宿城区校级期末)给出下列命题：①同位角相等；②如果 那么x=y；③如果两个角的和等于180°，那么这两个角互为补角;④若a>b,则|a|>|b|.其中是真命题的有 个.
4.如图，在8个格子中依次放着分别写有字母a~h的小球.
甲、乙两人轮流从中取走小球，规则如下：
①每人首次取球时，只能取走2个或3个
球；后续每次可取走 1 个、2个或3 个球.
②取走2个或3个球时，必须从相邻的格子中取走.③最后一个将球取完的人获胜.若甲首次取走写有b，c，d的3个球，接着乙首次也取走3个球，则 (填“甲”或“乙”)一定获胜.
5.猜想：任意五个连续整数的平方和是5的倍数.
的结果是5的几倍
(2)设五个连续整数的中间一个数为n，写出它们的平方和，并说明是5的倍数.
(3)任意三个连续整数的平方和被3除余数是几呢 请写出理由.
6. 如图,已知 AB∥CD,EF,CG 分别是∠AEC,∠ECD 的平分线.
(1)求证:EF∥CG.
证明:因为 AB∥CD(已知),所以∠AEC=∠DCE( ).
因为 EF 平分∠AEC(已知),所以∠1= ∠ ( ).
同理 所以∠1=∠2,所以 EF∥CG( ).
(2)请说出(1)中用到了哪两个互逆的真命题.
7. 如图,已知∠BAP+∠APD=180°,∠1=∠2,求证:∠E=∠F.
8. 如图,已知AD∥BC,∠A=∠C,BE,DF 分别平分∠ABC 和∠ADC.求证:BE∥DF.
9.某校派出 204名学生上山植树15 301 棵,其中每人最少植树50棵，最多植树 100棵，试证明：至少有5人植树的棵数相同.
10.如图,已知直线 MN 与直线AB,CD 分别交于点E,F,∠1与∠2互补.
(1)如图1,试判断直线 AB 与直线CD 的位置关系，并说明理由.
(2) 如图2,∠AEF 与∠EFC 的平分线相交于点 P,EP 与CD 相交于点G,H是MN 上一点,且 PF∥GH,求证:GH⊥EG.
(3) 如图3,在(2)的条件下,连接 PH,K 是线段 GH 上一点,使得∠PHK =∠HPK,作PQ平分∠EPK,求∠HPQ的度数.
巅峰训练17 证明
1. B 提示：②③的逆命题是假命题.
2. D 提示：假设12个A球中每两个A球进行碰撞，则可以得到6个C球，9个B球中让其中8个B球每两个进行碰撞，则可以得到4个C球，加上原来的C球，共20个C球，让这20个C球互相碰撞，重复进行直至剩下一个C球，再和剩下的B球碰撞，可以得到一个A球，故①正确，②错误.事实上，无论怎么碰撞，A球数量与 B球数量奇偶性总是不一样(一奇一偶).(AA)→C,A与 B一奇一偶;(BB)→C,A 与 B一奇一偶;(CC)→C,A与B一奇一偶;(AB)→C,A与B一奇一偶;(AC)→B,A 与 B一奇一偶;(BC)→A,A与 B一奇一偶、由此可知，A与B的数量不可能同时为0，所以最后剩下的小球一定不是C型小球，故③正确.
3. 1 提示：①两条直线平行，同位角相等，故原命题是假命题；②如果 那么x=y或x=-y,故原命题是假命题；③如果两个角的和等于180°，那么这两个角互为补角，故原命题是真命题；④例如1>-2,但|1|<|-2|,故原命题是假命题.
4. 乙 提示：因为甲首次取走写有b，c，d的三个球，所以还剩下a，e，f，g，h，又因为乙首次也取走三个球，且必须相邻，所以乙可以取e，f，g或f，g，h.若乙取e，f，g，只剩下a，h，因为它们不相邻，所以甲只能拿走其中一个，故乙取走最后一个，故乙胜；同理若乙取f，g、h，只剩下a，e，因为它们不相邻，所以甲只能取走一个，故乙取走最后一个，故乙胜.
5. 解:(1) 因为 3 =1+0+1+4+9=15=5×3,所以结果是5的3倍.
因为n为整数，所以 为整数，所以它们的平方和是5的倍数.
(3)余数是2.理由如下：
设中间的整数为m，则 被3除余2，所以余数是2.
6.(1)两直线平行，内错角相等 AEC角平分线的定义 ECD 内错角相等，两直线平行
(2)解：“两直线平行，内错角相等”和“内错角相等，两直线平行”.
7. 证明:因为∠BAP+∠APD=180°,所以AB∥CD,所以∠BAP=∠APC.又因为∠1=∠2,所以∠FPA=∠EAP,所以 AE∥PF,所以∠E=∠F.
8. 证明:因为 AD∥BC,所以∠A +∠ABC = 180°,∠C+∠ADC =180°. 因为∠A=∠C,所以∠ABC=∠ADC.因为BE,DF 分 别 平 分 ∠ABC 和 ∠ADC, 所 以 所以∠EBC = ∠EDF. 因为 AD ∥BC, 所以∠DFC=∠EDF.所以∠EBC=∠DFC,所以BE∥DF.
9.证明：利用抽屉原理，按每人植树的多少，从50至100棵可以构造51种抽屉，则问题转化为至少有5人植树的棵数在同一个抽屉里.假设最多有4人植树的棵数在同一个抽屉里，则204人植树的总棵数最多有4×(50+ 15 300.因为15 300<15 301,所以得出矛盾.因此，至少有5人植树的棵数相同.
10. (1)解:AB∥CD.理由如下:
因为∠1 与∠2 互补,所以∠1+∠2=180°.因为∠1=∠BEF,∠2=∠DFE,所以∠BEF+∠DFE=180°,所以AB∥CD.
(2) 证明:由(1)知,AB∥CD,所以∠AEF+∠EFC=180°.因为∠AEF 与∠EFC的平分线相交于点 P,所以∠FEP+∠EFP= 所以∠EPF=90°.因为PF∥GH,所以∠EGH=∠EPF=90°,所以GH⊥EG.
(3) 解:设∠PHK=∠HPK=α.因为∠PKH + ∠PKG = 180°, ∠PKH +∠PHK +∠HPK = 180°,所以∠PKG =∠PHK+∠HPK=2α.由(2)知,GH⊥EG,所以∠PGK = 90°,所以∠EPK = 180°-∠GPK=∠PGK +∠PKG=90°+2α.因为PQ 平分∠EPK,所以 45°+α,所以∠HPQ=∠KPQ-∠HPK=45°.