第12 章巅峰训练18 定理(1) （含答案）

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巅峰训练18 定理(1)
1.下列说法正确的是 ( )
A.三角形的一个外角大于任意一个内角
B.三角形的一个外角等于这个三角形的两个内角的和
C.三角形的外角中，至少有两个钝角
D.三角形的外角中，至少有一个钝角
2.用反证法证明命题“在三角形中，至少有一个内角大于或等于 60°”时，第一步应先假设 ( )
A.三角形中有一个内角小于 60°
B.三角形中有一个内角大于 60°
C.三角形的三个内角都小于 60°
D.三角形的三个内角都大于 60°
3.将△ABC 沿DE 按如图所示的方式折叠.若∠C=50°,∠1=85°,则∠2 等于 ( )
A. 10° B. 15° C. 20° D. 35°
4. 如图,用等式表示∠1,∠2,∠3,∠4 之间的数量关系，正确的是 ( )
A. ∠1+∠2+∠3+∠4=360°
B. ∠1+∠2+∠3=360°+∠4
C. ∠1+∠2=∠3-∠4
D. ∠1+∠2=∠3+∠4
5.(2024·扬州市宝应县期末)如图，在△ABC 中,点 D 在 BA 的延长线上,DE∥BC.如果∠D=110°,∠DAC=105°,那么∠C= °.
6. 在△ABC 中,AB=AC,求证:∠B<90°.若用反证法来证明这个结论，第一步是假设 .
7. 如图,在直角三角形 ABC 中,∠ABC=90°,∠BAC=50°,D 为AC 的中点,E 是射线CB 上一点,将△CDE 沿着直线 DE翻折得到△FDE.当 DF∥AB 时,∠DEB的度数为 .
8. 已知n边形的内角和θ=(n--2)·180°.
(1)甲同学说θ能取 360°；而乙同学说θ也能取 630°.甲、乙的说法对吗 若对，求出边数n；若不对，请说明理由.
(2)若n边形变为(n+x)边形，发现内角和增加了 360°，请用列方程的方法求解x的值.
9.【探究】
(1) 如图 1,∠ADC=120°,∠BCD=130°,∠DAB 和∠CBE 的平分线交于点 F,则∠AFB= .
(2) 如图2,∠ADC=α,∠BCD=β,且α+β>180°,∠DAB 和∠CBE 的平分线交于点 F,则∠AFB= (用含α、β的代数式表示).
(3) 如图 3,∠ADC=α,∠BCD=β,当∠DAB 和∠CBE 的平分线AG,BH平行时，α，β之间应该满足怎样的数量关系 请证明你的结论.
【挑战】
如果将(2)中的条件“α+β>180°”改为 ,再分别作∠DAB 和∠CBE的平分线，若它们所在的直线交于点 F，你又可以找到怎样的数量关系 画出图形并直接写出结论.
10.(2024·扬州市仪征市期末)在综合与实践课上，老师让同学们以“三角板与平行线”为主题开展数学活动.已知直线 AB，CD，直角三角板 EFG,AB∥CD,∠FEG=90°,∠EGF=60°.
(1)小明将三角板按如图1方式摆放，点G在CD上,边GF 与AB 交于点 H.若∠FHA=80°,则∠EGD= °.
(2)小亮将三角板按如图2方式摆放，点F,G分别在AB,CD 上,∠FEG 的平分线与∠FGC 的平分线交于点 M.若∠EGD=4∠BFE,求∠M 的度数.
(3)小颖将图2中的三角板进行适当转动,点 F,G 仍然分别在AB,CD 上.如图3,再将∠DGE 沿边GE 翻折,边GD 的对应边GN 与AB 交于点 N,小颖给出下列两个结论：
①∠CGN+∠BFE 的值不变;
的值不变..
其中只有一个是正确的，你认为哪个是正确的 请说明理由.
巅峰训练18 定理(1)
1. C
2. C 提示：用反证法证明命题“在三角形中，至少有一个内角大于或等于60°”时，第一步应先假设在三角形中，没有一个内角大于或等于60°，即三角形的三个内角都小于60°.
3. B提示:因为∠C =50°,所以∠EDC+∠DEC=∠A+∠B=∠A'+∠B'=180°--∠C=130°.因为∠1 +∠2+∠EDC+∠DEC+∠A'+∠B'=360°,∠1=85°,所以∠2=360°-85°--2×130°=15°.
4. B 提示:延长CD 交AB 于点E.根据题意,得∠BEC=∠DAE+∠4=(180°-∠1)+∠4.因为∠2=∠BCE+∠BEC=(180°-∠3)+(180°-∠1)+∠4,所以∠1+∠2+∠3=360°+∠4.
5. 35 提示:因为 DE∥BC,所以∠D+∠B=180°. 因为∠D=110°,所以∠B =70°,所以∠C=∠DAC-∠B=35°.
6. ∠B≥90°
7. 65°或25° 提示:如图1,当点 E 在线段CB上时,因为 DF∥AB,所以∠CDF=∠BAC=50°,所以∠CDE=∠FDE=25°.可得∠C=40°,所以∠DEB=∠C+∠CDE=65°.如图2,当点 E 在线段CB 的延长线上时,因为 DF∥AB,所以∠ADF=∠BAC=50°,所以∠CDF=130°,所以∠CDE=∠FDE=115°.因为∠C=40°,所以∠DEB=180°-∠C-∠CDE=25°.综上所述,∠DEB 的度数为65°或25°.
8.解：(1)甲的说法对，乙的说法不对.理由如下：
因为360°÷ 180°=2,630°÷180°=3……90°，所以甲的说法对，乙的说法不对.由(n一2)×180°=360°,解得n=4，所以甲同学说的边数n 是4.
(2) 根据题意,得(n+x--2)·180°一(n-2)·180°=360°,解得x=2.
9. 解:【探究】(1) 35° 提示:因为∠DAB 和∠CBE 的平分线交于点 F，所以 在四边形ABCD 中,因为∠ADC=120°,∠BCD=130°,所以∠DAB+∠ABC=360°-120°-130°=110°,所以∠AFB=∠FBE--∠FAB=
提示:由(1),得 ∠ABC= 360°-∠ADC-∠BCD,所以∠AFB =
(3)α+β=180°.证明如下:
当AG∥BH 时,∠GAB=∠HBE.因为AG 平分∠DAB, BH 平分∠CBE,所以∠DAB=2∠GAB,∠CBE=2∠HBE,所以∠DAB = ∠CBE, 所以 AD ∥BC, 所以∠ADC+∠BCD=α+β=180°.
【挑战】如图即为所求，此时∠F=90°- 提示：根据题意，得 ∠NBE= ∠CBE,∠DAB+∠ABC=360°-∠ADC-∠BCD=360°-α-β,所以∠DAB+180°-∠CBE=360°-α-β,所以∠DAB-∠CBE=180°-α-β.因为∠ABF=∠NBE,所以∠F=∠BAM-∠ABF=
10. 解:(1) 40 提示:因为∠FHA=80°,AB∥CD,所以∠CGH=∠FHA=80°.因为∠EGF=60°,所以∠EGD=180°-∠CGH-∠EGF=40°.
(2) 如图,过点 E 作EK∥AB,而 AB∥CD,所以 AB∥EK∥CD,所以∠BFE =∠KEF,∠KEG=∠EGD.因为∠KEF +∠KEG = ∠FEG = 90°, 所 以 ∠BFE +∠EGD=90°.因为∠EGD=4∠BFE,所以∠KEF=∠BFE=18°,∠EGD=72°.因为∠EGF=60°,所以. ∠EGD=48°.因为 ME 平分∠FEG,MG平分∠FGC,所以∠FEM=45°,∠MGC=24°,所以∠KEM=∠FEM--∠KEF=27°,同理可得∠M=∠KEM+∠MGC=51°.
(3)②是正确的.理由如下：
设∠DGE=x°,则. 所以 同(2)可得∠BFE+∠DGE=∠FEG=90°,所以∠BFE=90°-x°.所以 所以∠CGN+∠BFE 的值会随∠DGE 值的变化而变化，而 的值不变.