江苏省如皋中学2024-2025学年高三下学期综合练习（二） 数学试卷（含答案）

江苏省如皋中学 2024—2025 学年度第二学期综合练习(二)
高三数学
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的。
1. 设全集U是实数集R，集合M＝{x|x<－2或x>2}，N＝{x|1≤x≤3}．如图，则阴影部分所表示的集合为(　　)
A. {x|－2≤x<1} B. {x|－2≤x≤1} C. {x|－22. 若函数为奇函数，则的值为
A． B． C． D．
3．设等比数列的前项之积为，若，，则的值为
A． B． C． D．
4. 已知函数在内单调递增，则实数的取值范围是
A． B． C． D．
5. 已知向量，对任意的，恒有，则（ ）
A． B．
C． D．
6. 若圆柱的侧面的展开图的周长为4，则该圆柱体积最大为
A． B． C． D．
7. 已知数列是各项均不为0的等差数列，前项和为，设甲：为等差数列；乙：为常数列，则
A. 甲是乙的充分条件但不是必要条件
B. 甲是乙的必要条件但不是充分条件
C. 甲是乙的充要条件
D. 甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
8. 已知，则
A． B． C． D．
二、选择题：本题共4小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合
题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9．在复平面内，O为坐标原点，点Z1，Z2对应的复数分别为z1，z2，则
B.
C. D.
10．已知，，且，则（ ）
A． B．
C． D．
11．已知圆：，直线，则
A．对任意满足条件的实数与，直线与圆始终相切
B. 对任意满足条件的实数与，直线与圆有公共点
C. 对任意实数，必存在满足条件的实数，使得直线与圆相切
D. 对任意满足条件的实数，必存在实数，使得直线与圆相切
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．已知随机变量服从正态分布，，则 .
13．已知二次不等式的解集为，，则的取值范围是 .
14．在平面四边形ABCD中，∠A＝135°，∠B＝∠D＝90°，AB＝2，AD＝，则四边形ABCD的面积为____．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（13分）
在等比数列{an}中，a1，a2，a3分别是下表第一、二、三行中的某一个数，且a1，a2，a3中的任何两个数不在下表的同一列.
第一列 第二列 第三列
第一行 3 2 3
第二行 4 6 5
第三行 9 12 8
(1) 写出a1，a2，a3，并求数列{an}的通项公式；
(2) 若数列{bn}满足bn＝an＋(－1)nlog2an，求数列{bn}的前n项和Sn.
16. （15分）
已知函数f(x)＝ax＋b＋cosx(a，b∈R)，若曲线f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y＝x＋2.
(1) 求a，b的值；
(2) 求函数f(x)在[0,2π]上的最大值．
17. （15分）
如图，在四棱锥中，平面平面，等边三角形的边长为，，，，，分别为，的中点．
（1）证明：平面平面；
（2）求平面与平面所成角的正弦值.
18．（17分）
自2016年1月1日起，我国全面二孩政策正式实施，这次人口与生育政策的历史性调整，使得“要不要再生一个”，“生二孩能休多久产假”等问题成为千千万万个家庭在生育决策上避不开的话题.为了解针对产假的不同安排方案形成的生育意愿，某调查机构随机抽取了200户有生育二胎能力的适龄家庭进行问卷调查，得到如下数据：
产假安排（单位：周） 14 15 16 17 18
有生育意愿家庭数（单位：户） 4 8 16 20 26
(1)请用相关系数说明该组数据中变量与之间的关系可以用线性回归模型拟合，并求关于的线性回归方程；
(2)用（1）中所求的经验回归方程来拟合这组成对数据，当样本数据的残差的绝对值大于1时，称该对数据为一个“次数据”，现从这5个成对数据中任取3个做残差分析，求取到的数据中“次数据”个数的分布列和数学期望.
附：①样本相关系数，当时，相关性较强，当时，相关性一般；
②经验回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，；
③，，.
19．（17分）
已知双曲线的离心率为，经过点.
（1）求双曲线的方程；
（2）若等腰直角三角形的三个顶点均在双曲线上，求面积的最小值．
江苏省如皋中学 2024—2025 学年度第二学期综合练习(二)
高三数学答案
1. 【答案】A 【答案】D 3．【答案】A 4. 【答案】D 5. 【答案】C
6.【答案】A 7. 【答案】B 8. 【答案】C
9．【答案】ABD 10．【答案】ACD 11．【答案】BD
12．【答案】0.1
【解析】.
13．【答案】
14．【解析】 方法一：如图，连接AC，依题意，设BC＝x，CD＝y(x，y＞0)，则AC2＝x2＋4＝y2＋2，又tan∠DAB＝tan 135°＝tan(∠DAC＋∠BAC)＝＝－1，即＝－1，即xy－2＝x＋2y，即(x－2)(y－)＝4，显然x≠2，则y－＝，即y＝＋，又x2＋2＝y2，所以x2＋2＝2，整理得x3－4x2＋4x－16＝0，即(x－4)(x2＋4)＝0，解得x＝4，所以y＝3，所以S四边形ABCD＝(AB·BC＋AD·DC)＝×(2×4＋×3)＝7．
(第10题)
方法二：设∠BAC＝α，∠DAC＝β，则α＋β＝135°．因为cos α＝＝，cos β＝＝，所以cos α＝cos β，即cos(135°－β)＝cos β，化简得sin β＝3cos β，从而tan β＝3．在Rt△ADC中，DC＝3AD＝3，则AC＝＝2，S△ADC＝AD·CD＝××3＝3．在Rt△ABC中，BC＝＝4，S△ABC＝AB·BC＝×2×4＝4．故S四边形ABCD＝S△ADC＋S△ABC＝7．
【答案】7
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（13分）
【解答】(1) 根据等比数列的定义和表格中数据，得到a1＝2，a2＝4，a3＝8，即数列{an}是首项为2，公比为2的等比数列，故an＝2×2n－1＝2n.
(2) 由题知bn＝an＋(－1)nlog2an＝2n＋(－1)nlog22n＝2n＋(－1)nn，当n为偶数时，Sn＝(21＋22＋…＋2n)＋[－1＋2－3＋4－…－(n－1)＋n]＝＋＝2n＋1＋－2；当n为奇数时，Sn＝(21＋22＋…＋2n)＋[－1＋2－3＋4－…＋(n－1)－n]＝＋－n＝2n＋1＋－n－2＝2n＋1－－.综上所述，Tn＝
16. （15分）
(1) 因为f(x)＝ax＋b＋cosx(a，b∈R)，所以f′(x)＝a－sinx，由题意得所以a＝，b＝1.
(2) 由(1)得f(x)＝x＋1＋cosx，f′(x)＝－sinx.因为x∈[0,2π]，所以当0≤x≤时，f′(x)≥0，函数f(x)单调递增，当0，函数f(x)单调递增，故当x＝时，函数f(x)取得极大值f＝×＋1＋cos＝1＋＋.又f(0)＝2，f(2π)＝×2π＋1＋cos2π＝1＋π＋1＝2＋π，且2<1＋＋<2＋π，故函数f(x)在[0,2π]上的最大值为2＋π.
17. （15分）
【证明】（1）因为是等边三角形，为中点，
所以，
又因为，
所以在平面中，，
又平面，平面，
所以平面.
因为，分别为，的中点，
所以，
又平面，平面，
所以平面，
又平面，，
、平面，
所以平面平面.
（2） 连接交于点，连接，
在平面中，，，
所以是的中垂线，所以为中点，
因为，所以，
因为平面平面，
平面平面，平面，
所以平面，所以，，又，
以，，为基底建立如图空间直角坐标系，
在直角三角形中，，，所以，
所以，，，，
，，
设平面的一个法向量，
由（1）因为平面平面，
所以
取 ，平面的一个法向量为，
设平面与平面所成角为，
则，
所以，
所以平面与平面所成角的正弦值为.
18．（17分）
【详解】（1）由已知，，
，
，
则
，
因为，说明相关性很强，因此变量与之间的关系可以用线性回归模型拟合.
因为，
，
所以关于的线性回归方程为.
（2）由（1）回归方程为，样本数据的残差的绝对值大于1时，称该对数据为一个“次数据”，
则由题意，列出下表：
产假安排（单位：周） 14 15 16 17 18
有生育意愿家庭数（单位：户） 4 8 16 20 26
预测值 3.6 9.2 14.8 20.4 26
残差的绝对值 0.4 1.2 1.2 0.4 0
是否为“次数据” 否 是 是 否 否
则“次数据”共有2个，非“次数据”共有3个，
从这5个数据中任取3个，“次数据”个数为，
则，，，
分布列为：
X 0 1 2
P
数学期望为.
19．（17分）
【解】（1）设双曲线的焦距为，
因为，，
所以，
将点代入方程,
解得，
所以双曲线的方程为.
（2） 设点为等腰直角三角形的直角顶点，
当的斜率为0时，
因为为等腰直角三角形，
所以，不存在这样的点；
设的斜率为，不妨设，且，则的斜率为，
联立
整理可得，
则，即，
则，
同理可得，
因为为等腰直角三角形，所以，
所以，平方可得，
因为，所以.
,
令，则，
令，则，，
所以在上单调递增，上单调递减，所以，
所以，当且仅当时取等号，
所以面积的最小值为.