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专题01 平面向量的基本运算与线性表示
【题型归纳目录】
题型一：平面向量的概念
题型二：线性运算
题型三：三点共线
题型四：平面向量共线定理及推论
题型五：平面向量的运算
题型六：平面向量的坐标表示
题型七：四心问题
题型八：新定义问题
【知识点梳理】
知识点一、向量的有关概念
名称 定义 备注
向量 既有大小又有方向的量；向量的大小叫做向量的长度（或称模） 平面向量是自由向量
零向量 长度为0的向量 记作，其方向是任意的
单位向量 长度等于1个单位的向量 非零向量的单位向量为
平行向量 方向相同或相反的非零向量（又叫做共线向量） 与任一向量平行或共线
相等向量 长度相等且方向相同的向量 两向量只有相等或不相等，不能比较大小
相反向量 长度相等且方向相反的向量 的相反向量为
知识点二、向量的线性运算
向量运算 定义 法则（或几何意义） 运算律
加法 求两个向量和的运算 三角形法则 平行四边形法则 （1）交换律： （2）结合律：
减法 求与的相反向量的和的运算叫做与的差 三角形法则
数乘 求实数与向量的积的运算 （1）； （2）①当时，的方向与的方向相同；②当时．的方向与的方向相反；③当时，． 结合律：； 分配律： ，
知识点三、平面向量基本定理
1、平面向量基本定理
如果是同一平面内两个不共线的向量，那么对于这个平面内任一向量，有且只有一对实数，使，称为的线性组合．
知识点四、平面向量的坐标运算
1、平面向量坐标的加法、减法和数乘运算
运算 坐标语言
加法与减法 记， ，
实数与向量的乘积 记，则
知识点五、平面向量共线
（1）线性表示
向量与共线，当且仅当有唯一一个实数，使得
（2）坐标表示
设，其中，则
知识点六、两个向量的夹角
1、定义
已知两个非零向量和，作，则叫做向量与的夹角．
2、范围
向量夹角的范围是，与同向时，夹角；与反向时，夹角．
3、向量垂直
如果向量与的夹角是，则与垂直，记作．
知识点七、平面向量的数量积
1、已知两个非零向量与，则数量叫做与的数量积，记作，即，其中是与的夹角．
规定．
当时，，这时
2、的几何意义：
数量积等于的长度与在的方向上的投影的乘积．
知识点八、数量积的运算律
（1）交换律：．
（2）分配律：．
（3）对．
知识点九、向量数量积的性质
1、如果是单位向量，则．
2、．
3、，
4、．（为与的夹角）
5、．
知识点十、数量积的坐标运算
设，则：
1、．
2、．
3、．
4、（为与的夹角）
【典型例题】
题型一：平面向量的概念
【例1】（24-25高一上·辽宁锦州·期末）在中，为边上一点，与交于点，若，则（ ）
A． B． C． D．
【变式1-1】（23-24高一下·新疆乌鲁木齐·期末）下列命题：
①若，则或 ②的充要条件是且
③若，，则； ④起点相同的单位向量，终点必相同
其中，真命题的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【变式1-2】（24-25高一上·辽宁大连·期末）①平行向量就是共线向量；②若向量与是共线向量，则、、、四点共线；③若非零向量与满足，则、互为相反向量.其中正确的有（ ）个.
A．0 B．1 C．2 D．3
【变式1-3】（23-24高一下·黑龙江佳木斯·期末）下列叙述中正确的是（ ）
A．已知向量，，且，则与的方向相同或相反
B．若，则
C．若，，则
D．对任一非零向量，是一个单位向量
题型二：线性运算
【例2】（24-25高一上·北京·期末）如图所示，四点在正方形网格的格点处.若，则实数（ ）
A． B． C． D．
【变式2-1】（23-24高一下·北京·期末）在△ABC中，点D为AB的中点，记，，则（ ）
A． B． C． D．
【变式2-2】（23-24高一下·四川成都·期末）如图，在菱形中，，且，，若，则（ ）
A． B． C． D．
【变式2-3】（23-24高一下·陕西西安·期末）如图，正方形ABCD中，M是BC的中点，若，则（ ）
A． B．1 C． D．
题型三：三点共线
【例3】（24-25高一下·安徽滁州·期中）是平面内不共线的两向量，已知，若三点共线，则的值为（ ）
A． B． C． D．3
【变式3-1】（24-25高一上·辽宁沈阳·期末）是平面内不共线两向量，已知，，，若，，三点共线，则的值为（ ）
A．3 B． C． D．2
【变式3-2】（24-25高一下·内蒙古赤峰·阶段练习）已知为不共线向量，，则（ ）
A．三点共线 B．三点共线
C．三点共线 D．三点共线
【变式3-3】（23-24高一下·云南丽江·期中）已知，是不共线的向量，且，，，若B，C，D三点共线，则（ ）
A． B． C． D．
题型四：平面向量共线定理及推论
【例4】（23-24高一下·四川成都·期末）如图，在中，，是线段上一点，若，则的最大值为 .
【变式4-1】（23-24高一下·上海·期末）若A、B、C三点共线，对任意一点O，有成立，则 .
【变式4-2】（23-24高一下·全国·期末）如图，在梯形中，，点是的中点，点在线段上，若，则的值为 .
【变式4-3】（23-24高一下·山西·期中）在平行四边形ABCD中，E为CD的中点，若，，则 ．
题型五：平面向量的运算
【例5】（24-25高一下·陕西西安·期中）如图，在中，，，，分别为边，上的点，且，.
(1)求；
(2)求.
【变式5-1】（24-25高一下·陕西榆林·期中）已知平面向量与的夹角为，且，.
(1)求向量的模；
(2)若，求实数的值；
(3)设为实数，求的最小值.
【变式5-2】（24-25高一下·河南·阶段练习）已知，为单位向量，且与的夹角为.
(1)若与共线，求实数的值；
(2)求的值；
(3)若向量与的夹角为锐角，求实数的取值范围.
【变式5-3】（24-25高一下·广西柳州·期中）如图，中，，，D为中点，E为上一点，且，设，．
(1)请用，来表示，；
(2)若，求的值；
(3)当时，求与夹角的余弦值．
题型六：平面向量的坐标表示
【例6】（24-25高一下·内蒙古兴安盟·期中）已知
(1)若，求的值；
(2)若，求的值；
(3)若，求的值．
【变式6-1】（24-25高一下·江苏徐州·期中）（1）已知，若与平行，求；
（2）已知与的夹角为，若与垂直，求实数的值．
【变式6-2】（24-25高一下·湖北武汉·期中）已知向量，满足，
(1)求；
(2)求与的夹角余弦值；
(3)求向量在向量上的投影向量的坐标.
【变式6-3】（24-25高一下·江苏·期中）已知点，，
(1)若A，B，C三点共线，求实数k的值；
(2)若为等腰三角形，求实数k的值；
(3)若四边形ABCD为矩形，求向量与夹角的余弦值．
题型七：四心问题
【例7】（多选题）（24-25高一下·江苏无锡·期中）已知点是的外心，，，，则下列正确的是（ ）
A．若，则的外接圆面积为
B．若，则
C．若，则
D．当，时，
【变式7-1】（多选题）（24-25高一下·安徽芜湖·期中）著名数学家欧拉曾提出如下定理：三角形的外心 重心 垂心依次在一条直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，此直线称为欧拉线.该定理称为欧拉线定理.已知的外心为，重心为，垂心为，且，以下结论正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．若，则
【变式7-2】（多选题）（23-24高一下·吉林·期末）欧拉线定理指出三角形的外心 垂心 重心都在同一条直线士，且重心与外心之间的距离是重心与垂心之间的距离的一半.设分别是的外心 垂心和重心，则（ ）
A． B．
C． D．
【变式7-3】（多选题）（23-24高一下·四川成都·期末）的内心为P，外心为O，重心为G，若，，下列结论正确的是（ ）
A．的内切圆半径为 B．
C． D．
题型八：新定义问题
【例8】（24-25高一下·河南·期中）人脸识别就是利用计算机检测样本之间的相似度来识别身份的一种技术，余弦距离是检测相似度的常用方法．假设平面内有两个点为坐标原点，定义余弦相似度为，余弦距离为．已知点，则两点的余弦距离为（ ）
A． B． C． D．
【变式8-1】（24-25高一下·湖北·期中）定义两个向量，之间的一种运算：，其中是向量，的夹角，则对于非零向量，，下列结论不一定成立的是（ ）
A．该运算满足交换律，即
B．若向量，共线，则
C．的值等于以，为邻边的平行四边形的面积
D．对任意向量，有
【变式8-2】（24-25高一下·山东济南·阶段练习）设向量的夹角为，定义：.若平面内不共线的两个非零向量满足：，与的夹角为，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【变式8-3】（23-24高一下·江苏镇江·期中）如图，设，且，当时，定义平面坐标系为的斜坐标系，在的斜坐标系中，任意一点的斜坐标这样定义：设是分别与轴，轴正方向相同的单位向量，若，记，则下列结论中正确的是（ ）
A．设，若，则
B．设，则
C．设.若，则
D．设，若与的夹角为，则
【强化训练】
1．（24-25高一下·河南洛阳·期中）在中，点是边的中点，点是的中点，若，则（ ）
A． B． C． D．
2．（24-25高一下·河北沧州·期中）若均是单位向量，且，则（ ）
A． B．3 C．6 D．9
3．（24-25高一下·浙江杭州·期中）已知向量在向量上的投影向量为，且，则的值为（ ）
A． B． C． D．
4．（24-25高一下·重庆沙坪坝·期中）已知向量满足，且，则（ ）
A． B． C． D．
5．（15-16高一下·内蒙古鄂尔多斯·期末）若O为所在平面内任一点，且满足，则的形状为（ ）
A．等边三角形 B．直角三角形
C．等腰三角形 D．等腰直角三角形
6．（24-25高一下·北京·期中）已知正方形的边长为，，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7．（24-25高一下·浙江杭州·期中）已知，，，若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
8．（24-25高一下·内蒙古兴安盟·期中）已知正方形的边长为与交于点，则（ ）
A． B．6 C． D．3
9．（24-25高一下·河南·期中）已知向量与的夹角为，且，，则在上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
10．（24-25高一下·湖北·期中）如图所示，中，点是线段BC的中点，是线段AD的靠近的三等分点，则（ ）
A． B． C． D．
11．（多选题）（24-25高一下·四川凉山·期中）下列关于向量说法正确的是（ ）
A．向量的长度和向量的长度相等
B．若向量与向量，满足，且与同向，则
C．已知平面上四点，且，则三点共线
D．向量与向量是共线向量，则点必在同一条直线上
12．（多选题）（24-25高一下·湖北黄冈·期中）如图，已知，，，，其内有一点，满足，过点的直线分别交，于点，.设，（，），则下列说法正确的是（ ）
A． B．点为的重心
C． D．
13．（多选题）（24-25高一下·福建漳州·期中）已知的重心为，外心为，内心为，垂心为，则下列说法正确的是（ ）
A．若是中点，
B．若，则
C．与不共线
D．若，则.
14．（多选题）（24-25高一下·重庆荣昌·期中）已知向量，，，下列说法正确的是（ ）
A． B．若，则
C． D．向量方向的单位向量为
15．（多选题）（24-25高一下·江西南昌·期中）是边长为3的等边三角形，，则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C． D．在上的投影向量是
16．（24-25高一下·重庆沙坪坝·期中）如图，已知是边长为1的正三角形，，是上一点且，则 ．
17．（24-25高一下·内蒙古兴安盟·期中）已知满足，若在方向上的投影向量为，则 ．
18．（24-25高一下·河南·期中）已知平面向量，，若与的夹角为锐角，则实数x的取值范围为 .
19．（24-25高一下·重庆·期中）记的内角、、所对的边分别是、、，直线与的边、交于、两点．
(1)已知，，记，，
①用、表示、；
②若，，则、有什么关系？用向量方法证明你的结论；
(2)记，用向量方法证明：．
20．（24-25高一下·浙江·期中）如图，点是的重心，、分别是边、上的动点（可以与端点重合），且、、三点共线.
(1)设，，将用、表示；
(2)设，，求的最小值；
(3)在（2）的条件下，记与的面积分别为、，求的取值范围.
21．（24-25高一下·福建莆田·阶段练习）如图，在边长为2的菱形中.
(1)求；
(2)若E为对角线上一动点.连结并延长，交于点F，连结，设.当λ为何值时，可使最小，并求出的最小值.
22．（24-25高一下·福建福州·期中）已知向量.
(1)若，求实数的值；
(2)若与垂直，求实数的值.
23．（24-25高一下·河南·期中）已知点，，，过点A且以向量为方向向量的直线为l，点到直线l的距离为.
(1)求m；
(2)若，证明：四边形ABCD是等腰梯形.
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专题01 平面向量的基本运算与线性表示
【题型归纳目录】
题型一：平面向量的概念
题型二：线性运算
题型三：三点共线
题型四：平面向量共线定理及推论
题型五：平面向量的运算
题型六：平面向量的坐标表示
题型七：四心问题
题型八：新定义问题
【知识点梳理】
知识点一、向量的有关概念
名称 定义 备注
向量 既有大小又有方向的量；向量的大小叫做向量的长度（或称模） 平面向量是自由向量
零向量 长度为0的向量 记作，其方向是任意的
单位向量 长度等于1个单位的向量 非零向量的单位向量为
平行向量 方向相同或相反的非零向量（又叫做共线向量） 与任一向量平行或共线
相等向量 长度相等且方向相同的向量 两向量只有相等或不相等，不能比较大小
相反向量 长度相等且方向相反的向量 的相反向量为
知识点二、向量的线性运算
向量运算 定义 法则（或几何意义） 运算律
加法 求两个向量和的运算 三角形法则 平行四边形法则 （1）交换律： （2）结合律：
减法 求与的相反向量的和的运算叫做与的差 三角形法则
数乘 求实数与向量的积的运算 （1）； （2）①当时，的方向与的方向相同；②当时．的方向与的方向相反；③当时，． 结合律：； 分配律： ，
知识点三、平面向量基本定理
1、平面向量基本定理
如果是同一平面内两个不共线的向量，那么对于这个平面内任一向量，有且只有一对实数，使，称为的线性组合．
知识点四、平面向量的坐标运算
1、平面向量坐标的加法、减法和数乘运算
运算 坐标语言
加法与减法 记， ，
实数与向量的乘积 记，则
知识点五、平面向量共线
（1）线性表示
向量与共线，当且仅当有唯一一个实数，使得
（2）坐标表示
设，其中，则
知识点六、两个向量的夹角
1、定义
已知两个非零向量和，作，则叫做向量与的夹角．
2、范围
向量夹角的范围是，与同向时，夹角；与反向时，夹角．
3、向量垂直
如果向量与的夹角是，则与垂直，记作．
知识点七、平面向量的数量积
1、已知两个非零向量与，则数量叫做与的数量积，记作，即，其中是与的夹角．
规定．
当时，，这时
2、的几何意义：
数量积等于的长度与在的方向上的投影的乘积．
知识点八、数量积的运算律
（1）交换律：．
（2）分配律：．
（3）对．
知识点九、向量数量积的性质
1、如果是单位向量，则．
2、．
3、，
4、．（为与的夹角）
5、．
知识点十、数量积的坐标运算
设，则：
1、．
2、．
3、．
4、（为与的夹角）
【典型例题】
题型一：平面向量的概念
【例1】（24-25高一上·辽宁锦州·期末）在中，为边上一点，与交于点，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由题意作图如下：
由，则，
所以，
由共线，则，由，则，
所以，整理可得，
由共线，则，解得，即，
由，
则，所以.
故选：B.
【变式1-1】（23-24高一下·新疆乌鲁木齐·期末）下列命题：
①若，则或 ②的充要条件是且
③若，，则； ④起点相同的单位向量，终点必相同
其中，真命题的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】A
【解析】对于①，若，则模相等，方向不一定相同或相反，故错误；
对于②，当时也满足且，故错误；
对于③，当时，满足，但不一定成立；
对于④，起点相同的单位向量，方向不一定相同，则其终点不一定相同，故错误.
故真命题的个数是0个.
故选：A
【变式1-2】（24-25高一上·辽宁大连·期末）①平行向量就是共线向量；②若向量与是共线向量，则、、、四点共线；③若非零向量与满足，则、互为相反向量.其中正确的有（ ）个.
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【解析】对于①：平行向量就是共线向量，故①正确；
对于②：若向量与是共线向量，则直线直线或、、、四点共线，故②错误；
对于③：若非零向量与满足，即，所以、互为相反向量，故③正确.
故选：C
【变式1-3】（23-24高一下·黑龙江佳木斯·期末）下列叙述中正确的是（ ）
A．已知向量，，且，则与的方向相同或相反
B．若，则
C．若，，则
D．对任一非零向量，是一个单位向量
【答案】D
【解析】对A，零向量与任意向量共线，且零向量的方向是任意的，若或时，与的方向不是相同或相反，故A错误；
对B，，且，方向相同才可判断，故B错误；
对C，当时，若，，与是任意向量，故C错误；
对D，对任一非零向量，表示与方向相同且模长为1的向量，故D正确.
故选：D
题型二：线性运算
【例2】（24-25高一上·北京·期末）如图所示，四点在正方形网格的格点处.若，则实数（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】建立平面直角坐标系，如图，
则,
所以，
由可得，
即，解得，所以.
故选：C
【变式2-1】（23-24高一下·北京·期末）在△ABC中，点D为AB的中点，记，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为点为中点，，，
所以.
故选：C.
【变式2-2】（23-24高一下·四川成都·期末）如图，在菱形中，，且，，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由题意，以向量作为基底，
因为，且,
则,
所以，
,
所以
,
又因为,
所以，解得，
所以.
故选：B.
【变式2-3】（23-24高一下·陕西西安·期末）如图，正方形ABCD中，M是BC的中点，若，则（ ）
A． B．1 C． D．
【答案】C
【解析】正方形ABCD中，M是BC的中点，则，则，
于是，而，
所以.
故选：C
题型三：三点共线
【例3】（24-25高一下·安徽滁州·期中）是平面内不共线的两向量，已知，若三点共线，则的值为（ ）
A． B． C． D．3
【答案】A
【解析】由得，由三点共线，得，
又不共线，则，所以.
故选：A.
【变式3-1】（24-25高一上·辽宁沈阳·期末）是平面内不共线两向量，已知，，，若，，三点共线，则的值为（ ）
A．3 B． C． D．2
【答案】A
【解析】由，，得，
由，，三点共线，得，又，不共线，
则，所以.
故选：A
【变式3-2】（24-25高一下·内蒙古赤峰·阶段练习）已知为不共线向量，，则（ ）
A．三点共线 B．三点共线
C．三点共线 D．三点共线
【答案】A
【解析】由题设，
，，，与有公共端点，所以三点共线，A对；
，，不存在，使，
所以与不共线，即三点不共线，B错；
，，不存在，使，
所以与不共线，即三点不共线，C错；
，，不存在，使，
所以与不共线，即三点不共线，D错；
故选：A
【变式3-3】（23-24高一下·云南丽江·期中）已知，是不共线的向量，且，，，若B，C，D三点共线，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为，且B，C，D三点共线，即,
又，所以，解得.
故选：C.
题型四：平面向量共线定理及推论
【例4】（23-24高一下·四川成都·期末）如图，在中，，是线段上一点，若，则的最大值为 .
【答案】
【解析】因为,所以,
因为在一条直线上，所以,
所以,当且仅当时取等号，
所以的最大值为.
故答案为：.
【变式4-1】（23-24高一下·上海·期末）若A、B、C三点共线，对任意一点O，有成立，则 .
【答案】或，.
【解析】因为A、B、C三点共线，则，
则，则或，.
故答案为：或，.
【变式4-2】（23-24高一下·全国·期末）如图，在梯形中，，点是的中点，点在线段上，若，则的值为 .
【答案】/
【解析】由题意得，，
因为，D，F三点共线，所以，解得.
故答案为：
【变式4-3】（23-24高一下·山西·期中）在平行四边形ABCD中，E为CD的中点，若，，则 ．
【答案】2
【解析】如图所示延长AD，BE交于点P，
∵，，E为CD中点，
，
又P，B，F三点共线，则，∴．
故答案为：2
题型五：平面向量的运算
【例5】（24-25高一下·陕西西安·期中）如图，在中，，，，分别为边，上的点，且，.
(1)求；
(2)求.
【解析】（1）因为,所以，
又因为所以，
因为所以，
所以
（2）由题意可得,
,
,
所以
【变式5-1】（24-25高一下·陕西榆林·期中）已知平面向量与的夹角为，且，.
(1)求向量的模；
(2)若，求实数的值；
(3)设为实数，求的最小值.
【解析】（1），且，，.
，.
（2），
，
，，，，解得
（3），
当时，取得最小值为.
【变式5-2】（24-25高一下·河南·阶段练习）已知，为单位向量，且与的夹角为.
(1)若与共线，求实数的值；
(2)求的值；
(3)若向量与的夹角为锐角，求实数的取值范围.
【解析】（1）因为与共线，
则存在唯一实数，使得，
所以，解得，
所以；
（2）因为，为单位向量，且与的夹角为，
所以，
则；
（3）因为向量与的夹角为锐角，
所以且向量与不共线，
由，得，
即，解得，
当向量与共线时，
则存在唯一实数，使得，
所以，解得，
因为向量与不共线，所以，
综上所述，实数的取值范围为.
【变式5-3】（24-25高一下·广西柳州·期中）如图，中，，，D为中点，E为上一点，且，设，．
(1)请用，来表示，；
(2)若，求的值；
(3)当时，求与夹角的余弦值．
【解析】（1）由题意知点D是的中点，故，
则；．
（2）由题意，，
当时，
，∴，．
（3）时，
，
．
题型六：平面向量的坐标表示
【例6】（24-25高一下·内蒙古兴安盟·期中）已知
(1)若，求的值；
(2)若，求的值；
(3)若，求的值．
【解析】（1）向量，而，则，
所以.
（2）向量，而，则，
所以.
（3）由，得，解得，，
而，
所以.
【变式6-1】（24-25高一下·江苏徐州·期中）（1）已知，若与平行，求；
（2）已知与的夹角为，若与垂直，求实数的值．
【解析】（1）因为，
且与平行，
所以，解得，
所以，
所以．
（2）已知与的夹角为，
所以，
因为与垂直，
所以
所以．
【变式6-2】（24-25高一下·湖北武汉·期中）已知向量，满足，
(1)求；
(2)求与的夹角余弦值；
(3)求向量在向量上的投影向量的坐标.
【解析】（1）因为向量，满足，，
所以，
故；
（2）因为，，
所以，
又，，
所以，
故与的夹角余弦值为；
（3）因为，则，
所以向量在向量上的投影向量坐标为.
【变式6-3】（24-25高一下·江苏·期中）已知点，，
(1)若A，B，C三点共线，求实数k的值；
(2)若为等腰三角形，求实数k的值；
(3)若四边形ABCD为矩形，求向量与夹角的余弦值．
【解析】（1）因为A，B，C三点共线，所以，共线，即，
又，，则有，所以；
（2）①若，取AB中点D，则，
又，，则AB中点，
而，，得：，
②若，取BC中点E，则，
又，，，
由，得或3，
由（1）得：时，A，B，C三点共线，舍去．所以，
③若，取AC中点F，则，
又，，，
由，得，方程无解，
综上，或5；
（3）设，因为四边形ABCD为矩形，所以，，
又，，，则，，，
则，，则，
综上，向量与夹角的余弦值为.
题型七：四心问题
【例7】（多选题）（24-25高一下·江苏无锡·期中）已知点是的外心，，，，则下列正确的是（ ）
A．若，则的外接圆面积为
B．若，则
C．若，则
D．当，时，
【答案】BD
【解析】因为点O是的外心，所以，，
对A，若，则，
由余弦定理可得：，所以，
所以的外接圆的半径为，
所以该外接圆的面积为，故A错误；
对B，因为，，
由，
所以，
即，
所以或，
当时，则，点是的外心，所以是斜边，但是矛盾；
所以，
根据余弦定理可得，，故B正确；
对C，当时，根据余弦定理可得，
，
由，
所以，
即，
解得，，则，故C错误；
对D，当，时，由选项B的分析知，
，
所以，故D正确.
故选：BD.
【变式7-1】（多选题）（24-25高一下·安徽芜湖·期中）著名数学家欧拉曾提出如下定理：三角形的外心 重心 垂心依次在一条直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，此直线称为欧拉线.该定理称为欧拉线定理.已知的外心为，重心为，垂心为，且，以下结论正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．若，则
【答案】AC
【解析】A选项，延长交于点，由于点是的重心，
可得，
所以，故A正确；
B选项，过的外心分别作的垂线，垂足为，如图，
易知点分别是的中点，
则
，故B项错误；
C选项，因为点是的重心，所以，
故
，
由欧拉线定理可知，重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，
即，所以，则，故C项正确；
对D选项，作于，则为中点，
，
由余弦定理可得，则，
设外接圆半径为，则，即，
则，
则
，故D项错.
故选：AC
【变式7-2】（多选题）（23-24高一下·吉林·期末）欧拉线定理指出三角形的外心 垂心 重心都在同一条直线士，且重心与外心之间的距离是重心与垂心之间的距离的一半.设分别是的外心 垂心和重心，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BCD
【解析】对于A，连接并延长，交于点，则是的中点，，
于是，当时，不共线，即， A错误；
对于B，由欧拉线定理得，有，则，B正确；
对于C，是的垂心，即，则，
于是，即，C正确；
对于D，由欧拉线定理知，则，即，D正确.
故选：BCD
【变式7-3】（多选题）（23-24高一下·四川成都·期末）的内心为P，外心为O，重心为G，若，，下列结论正确的是（ ）
A．的内切圆半径为 B．
C． D．
【答案】ABD
【解析】取边的中点，连接，
因为，所以内心P、外心O、重心G都在中线上，
且，，内切圆半径，
对于A，由得
，解得，故A正确；
对于B，因为，所以，
，故B正确；
对于C，由余弦定理得，
，所以，
所以的外接圆半径，
，所以，
所以，
，故C错误；
对于D，的外接圆半径，
，所以，故D正确.
故选：ABD.
题型八：新定义问题
【例8】（24-25高一下·河南·期中）人脸识别就是利用计算机检测样本之间的相似度来识别身份的一种技术，余弦距离是检测相似度的常用方法．假设平面内有两个点为坐标原点，定义余弦相似度为，余弦距离为．已知点，则两点的余弦距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】根据题意，，
则，
所以两点的余弦距离为.
故选：C.
【变式8-1】（24-25高一下·湖北·期中）定义两个向量，之间的一种运算：，其中是向量，的夹角，则对于非零向量，，下列结论不一定成立的是（ ）
A．该运算满足交换律，即
B．若向量，共线，则
C．的值等于以，为邻边的平行四边形的面积
D．对任意向量，有
【答案】D
【解析】对于A，根据定义，，故A一定成立；
对于B，若向量，共线，则或，则，所以，故B一定成立；
对于C，以，为邻边的平行四边形的面积为，故C一定成立；
对于D，若且与不共线，则，但，故D不一定成立.
故选：D.
【变式8-2】（24-25高一下·山东济南·阶段练习）设向量的夹角为，定义：.若平面内不共线的两个非零向量满足：，与的夹角为，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】∵，与的夹角为，∴，
又，
∴，解得.
设为向量，的夹角，则，
∵，∴，
∴.
故选：A
【变式8-3】（23-24高一下·江苏镇江·期中）如图，设，且，当时，定义平面坐标系为的斜坐标系，在的斜坐标系中，任意一点的斜坐标这样定义：设是分别与轴，轴正方向相同的单位向量，若，记，则下列结论中正确的是（ ）
A．设，若，则
B．设，则
C．设.若，则
D．设，若与的夹角为，则
【答案】C
【解析】A：因为，所以，
又，所以，
即，
所以，
因为，所以，故A错误；
B：因为，所以，
所以，
又，且，
所以，故B错误；
C：因为，所以，
又，则，即，
即，所以，故C正确；
D：因为，所以，
又与的夹角为，
所以，
解得，
所以，故D错误；
故选：C.
【强化训练】
1．（24-25高一下·河南洛阳·期中）在中，点是边的中点，点是的中点，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】如下图所示：
因为为的中点，所以，
因为为的中点，所以，
所以，
因为、不共线，且，所以，，
故.
故选：B.
2．（24-25高一下·河北沧州·期中）若均是单位向量，且，则（ ）
A． B．3 C．6 D．9
【答案】B
【解析】由题意，
，则．
故选：B
3．（24-25高一下·浙江杭州·期中）已知向量在向量上的投影向量为，且，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】设向量与向量的夹角为，因为，
所以向量在向量上的投影向量为，则，
所以
.
故选：D.
4．（24-25高一下·重庆沙坪坝·期中）已知向量满足，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为，
所以，
即，
化简得，
即.
故选：B.
5．（15-16高一下·内蒙古鄂尔多斯·期末）若O为所在平面内任一点，且满足，则的形状为（ ）
A．等边三角形 B．直角三角形
C．等腰三角形 D．等腰直角三角形
【答案】C
【解析】
如图，取中点，则，
所以，
所以，又，故，即为等腰三角形，
故选：C．
6．（24-25高一下·北京·期中）已知正方形的边长为，，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
如图建系，因为，设，正方形的边长为，，
所以，
所以
所以的取值范围是.
故选：A.
7．（24-25高一下·浙江杭州·期中）已知，，，若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为，，，且，则.
故选：D.
8．（24-25高一下·内蒙古兴安盟·期中）已知正方形的边长为与交于点，则（ ）
A． B．6 C． D．3
【答案】D
【解析】在边长为3的正方形中，与交于点，
则，，
所以.
故选：D
9．（24-25高一下·河南·期中）已知向量与的夹角为，且，，则在上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】在上的投影向量为.
故选：B
10．（24-25高一下·湖北·期中）如图所示，中，点是线段BC的中点，是线段AD的靠近的三等分点，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为点是线段BC的中点，是线段AD的靠近的三等分点，
则，，
所以.
故选：A．
11．（多选题）（24-25高一下·四川凉山·期中）下列关于向量说法正确的是（ ）
A．向量的长度和向量的长度相等
B．若向量与向量，满足，且与同向，则
C．已知平面上四点，且，则三点共线
D．向量与向量是共线向量，则点必在同一条直线上
【答案】AC
【解析】对于A，向量与向量是互为相反向量，所以A选项正确；
对于B，向量不能比较大小，故B错误；
对于C，若，即，所以，
即，且有公共点，所以三点共线，故C正确；
对于D，若向量与向量是共线向量，则直线AB与直线CD有可能平行，故D错误.
故选：AC.
12．（多选题）（24-25高一下·湖北黄冈·期中）如图，已知，，，，其内有一点，满足，过点的直线分别交，于点，.设，（，），则下列说法正确的是（ ）
A． B．点为的重心
C． D．
【答案】BCD
【解析】对于A：由有，故A错误；
对于B：取的中点为，由又，所以点共线，且为三等分点，
即为的重心，故B正确；
对于C：由，又三点共线，即，故C正确；
对于D：设中点为，则有，又，即，
所以，在中有，又为重心，所以，故D正确.
故选：BCD.
13．（多选题）（24-25高一下·福建漳州·期中）已知的重心为，外心为，内心为，垂心为，则下列说法正确的是（ ）
A．若是中点，
B．若，则
C．与不共线
D．若，则.
【答案】ACD
【解析】对于A：因为是中点，所以是边上的中线，
又是的重心，所以，故A正确；
对于B：因为O为的外心，设AB中点为，连接，则
所以
对于C：因为
所以与垂直，
又因为，所以与共线，故C错误；
对于D：因为H为的垂心，则，即，
即，则，
同理，，所以，
设，
因为，所以，
即，则，，
即，则，
，，，故D正确.
故选：ACD.
14．（多选题）（24-25高一下·重庆荣昌·期中）已知向量，，，下列说法正确的是（ ）
A． B．若，则
C． D．向量方向的单位向量为
【答案】ACD
【解析】对于A：，所以，正确，
对于B：若，易得，错误，
对于C：，，所以垂直，正确，
对于D：，所以向量方向的单位向量为，正确，
故选：ACD
15．（多选题）（24-25高一下·江西南昌·期中）是边长为3的等边三角形，，则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C． D．在上的投影向量是
【答案】BCD
【解析】如图：
对于A，，故A错误；
对于B，，
所以，故B正确；
对于C，
，故C正确；
对于D，在上的投影向量是，故D正确.
故选：BCD.
16．（24-25高一下·重庆沙坪坝·期中）如图，已知是边长为1的正三角形，，是上一点且，则 ．
【答案】
【解析】因为，所以，
所以，
因为三点共线，
所以，
所以
故答案为：
17．（24-25高一下·内蒙古兴安盟·期中）已知满足，若在方向上的投影向量为，则 ．
【答案】
【解析】由在方向上的投影向量为，得，则，而，
于是，所以.
故答案为：
18．（24-25高一下·河南·期中）已知平面向量，，若与的夹角为锐角，则实数x的取值范围为 .
【答案】
【解析】因为平面向量，，且与的夹角为锐角，
所以，且与不共线，
所以，且，
解得，且，
所以实数x的取值范围为，
故答案为：
19．（24-25高一下·重庆·期中）记的内角、、所对的边分别是、、，直线与的边、交于、两点．
(1)已知，，记，，
①用、表示、；
②若，，则、有什么关系？用向量方法证明你的结论；
(2)记，用向量方法证明：．
【解析】（1）①因为，
所以分别为的中点，故，
因为，所以；
又因为，
则.
②，证明如下：
因为，，则，
所以，
且、均为非零向量，则，即；
（2）在中，，
设单位向量，
则，（*）
又根据数量积的定义得，，
，，
代入（*）式得，，
所以．
20．（24-25高一下·浙江·期中）如图，点是的重心，、分别是边、上的动点（可以与端点重合），且、、三点共线.
(1)设，，将用、表示；
(2)设，，求的最小值；
(3)在（2）的条件下，记与的面积分别为、，求的取值范围.
【解析】（1）因为为中点，所以，
因为为重心，所以.
（2）因为、分别是边、上的动点，则，，
因为、、三点共线，设，即，
所以，，
若，则点与点重合，此时，则、、三点共线，不合乎题意，
同理若，则与重合，不合乎题意，所以，，，
因为，，则，，
由（1）得，
因为、不共线，所以，，
所以，所以，
所以，
所以的最小值为，
当且仅当时，即当时，等号成立，
故的最小值为.
（3），
由（2）知，所以，
由点、分别是边、上的动点，为重心且、、三点共线，
由，解得，则，
所以，所以.
21．（24-25高一下·福建莆田·阶段练习）如图，在边长为2的菱形中.
(1)求；
(2)若E为对角线上一动点.连结并延长，交于点F，连结，设.当λ为何值时，可使最小，并求出的最小值.
【解析】（1）在菱形中，易知，，
所以
.
（2）在菱形中，，易知，
由，则，即，
所以
，
故，所以当时，取得最小值为.
22．（24-25高一下·福建福州·期中）已知向量.
(1)若，求实数的值；
(2)若与垂直，求实数的值.
【解析】（1）因为，且，
所以，即，所以.
（2）因为，
所以，
因为与垂直，
所以
，
解得或.
23．（24-25高一下·河南·期中）已知点，，，过点A且以向量为方向向量的直线为l，点到直线l的距离为.
(1)求m；
(2)若，证明：四边形ABCD是等腰梯形.
【解析】（1）根据题意，以向量为方向向量的直线l斜率为，
所以l的方程为，即，
点到直线l的距离为，
得或；
（2）由（1）得或，
当时，，
当时，，
由，得，
又，，则，
即，且，
所以四边形ABCD是等腰梯形.
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