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专题03 活用正余弦定理玩转三角形
【题型归纳目录】
题型一：利用正余弦定理解三角形
题型二：三角形形状的判断
题型三：三角形的多解问题
题型四：周长与面积问题
题型五：实际应用问题
题型六：正余弦定理与三角函数性质结合问题
题型七：综合应用问题
【知识点梳理】
1、正弦定理
（其中为外接圆的半径）．
常用变形：
（1）；
（2）；
（3）；
（4），，．
2、余弦定理
，，，
，，
3、三角形中的常见结论
（1）．
（2） 在三角形中大边对大角， 大角对大边：．
（3）任意两边之和大于第三边， 任意两边之差小于第三边．
（4）的面积公式
①（ 表示边上的高）；
②；
③（为内切圆半径）；
④，其中．
4、用正弦定理和余弦定理解三角形的常见题型
测量距离问题、高度问题、角度问题、计算面积问题、航海问题、物理问题等．
5、实际问题中的常用角
（1）仰角和俯角
与目标线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方的角叫仰角，目标视线在水平视线下方的角叫俯角（如图①）．
（2）方向角：相对于某正方向的水平角，如南偏东30°，北偏西45°等．
（3）方位角：指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为α（如图②）．
（4）坡度＝，即坡角的正切值．
【典型例题】
题型一：利用正余弦定理解三角形
【例1】（23-24高一下·江苏常州·期末）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，，则（ ）
A．2 B． C．3 D．
【变式1-1】（23-24高一下·贵州黔东南·期末）在中，，则（ ）
A． B． C．1 D．2
【变式1-2】（23-24高一下·陕西商洛·期末）记△的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，则（ ）
A． B． C． D．
【变式1-3】（2016高二·全国·课后作业）在△ABC中，若，则最大角的余弦值是（ ）
A． B． C．0 D．
题型二：三角形形状的判断
【例2】（24-25高一下·福建福州·期中）在中，的对边分别为，若，则的形状为（）
A．等边三角形 B．直角三角形
C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形
【变式2-1】（23-24高一下·吉林通化·期末）在中，角所对的边分别为，若，则为（ ）
A．直角三角形 B．等边三角形
C．等腰三角形 D．等腰直角三角形
【变式2-2】（23-24高一下·甘肃临夏·期末）在中，若，则此三角形为（ ）
A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等边三角形 D．等腰或直角三角形
【变式2-3】（23-24高一下·安徽马鞍山·期末）在中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若，则为（ ）.
A．等腰三角形 B．等边三角形
C．直角三角形 D．等腰直角三角形
题型三：三角形的多解问题
【例3】（23-24高一下·天津西青·期末）由下列条件解，其中有两解的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式3-1】（23-24高一下·福建福州·期末）已知的内角，，的对边分别为，，，，，下面使得有两组解的的值可以为（ ）
A．3 B． C．2 D．
【变式3-2】（23-24高一下·河北张家口·期末）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，若有两解，则b的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【变式3-3】（23-24高一下·山东枣庄·期末）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，根据下列条件解三角形：①，，；②，，.则（ ）
A．①只有一个解，②有两个解 B．①有两个解，②只有一个解
C．①②都只有一个解 D．①②都有两个解
题型四：周长与面积问题
【例4】（23-24高一下·山西吕梁·期末）在中，内角的对边分别为，若，则的面积是（ ）
A．2 B．4 C． D．3
【变式4-1】（23-24高一下·北京·期末）在中，.
(1)求的大小；
(2)再从下列三个条件中，选择两个作为已知，使得存在且唯一，求的面积.
条件①：；条件②：边上的高为；条件③：.
注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分.
【变式4-2】（23-24高一下·吉林通化·期末）在中，角的对边分别是，且.
(1)求；
(2)若，的面积是，求的周长.
【变式4-3】（23-24高一下·山东东营·期末）在锐角中，角的对边分别为，已知．
(1)求的值；
(2)若是的外接圆上一点（与位于直线异侧），且，求四边形的面积．
题型五：实际应用问题
【例5】（23-24高一下·河南周口·期末）如图，点是海上的一个钻井平台，甲船 乙船 丙船分别位于点三个位置，甲船在乙船的正北方向，丙船在乙船的正东方向，且海里，海里，若海里，则丙船到钻井平台的距离为 海里．
【变式5-1】（23-24高一下·陕西宝鸡·期末）如图所示的是某城市的一座纪念碑，一位学生为测量该纪念碑的高度，选取与碑基在同一水平面内的两个测量点.现测得米，在点处测得碑顶的仰角为，则该同学通过测量计算出纪念碑高为 米.（保留根号）
【变式5-2】（23-24高一下·河北唐山·期末）如图，从楼顶点测得地面两点的俯角分别为，已知两点的距离为，则楼高约等于 .（用四舍五入法将结果精确到个位.参考数据：）
【变式5-3】（24-25高一下·江西上饶·期中）八一南昌起义纪念塔为八一广场标志性建筑，塔为长方体，由台基、塔座、塔身、塔顶四部分组成．塔身正北面有“八一南昌起义纪念塔”九个铜胎鎏金大字．如图，为了测量该塔的高度，无人机在与塔底位于同一水平面的点测得塔顶的仰角为，无人机飞行到与塔底位于同一水平面的点，测得，，，则纪念塔的塔高为 ．
（参考数据：取，）
题型六：正余弦定理与三角函数性质结合问题
【例6】（24-25高一下·广东广州·期中）已知函数.在中，，且.
(1)求的大小：
(2)若，，求的面积.
【变式6-1】（24-25高一下·上海·期中）若图象最高点都在直线上.
(1)求的值；
(2)在中，分别是的对边，若点是函数图像的一个对称中心，且，求外接圆的面积.
【变式6-2】（24-25高一下·山东枣庄·阶段练习）已知向量，，函数．
(1)求的解析式和当时在方向上的投影向量；
(2)已知中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若，，，求的边上的中线长；
(3)若，，求．
【变式6-3】（23-24高一下·北京顺义·期末）已知函数．在中，，且．
(1)求的大小；
(2)若，，求的面积．
题型七：综合应用问题
【例7】（24-25高一下·江苏连云港·期中）射影几何学中，中心投影是指光从一点向四周散射而形成的投影，如图，光从点出发，平面内四个点经过中心投影之后的投影点分别为．对于四个有序点，若，，定义比值叫做这四个有序点的交比，记作．
(1)若点分别是线段的中点，求；
(2)当时称为调和点列，若，求值；
(3)已知，且，点为线段的中点，，，求
【变式7-1】（24-25高一下·江苏扬州·期中）在中，角所对的边分别为，已知，.
(1)求；
(2)若，求的面积；
(3)若的面积为是上的点，且，求的长.
【变式7-2】（24-25高一下·湖北武汉·期中）如图所示，四边形地块是东湖畔拟建造的一个露营基地．为考虑露营客人娱乐休闲的需求，在四边形区域中，将三角形区域设立成花卉观赏区，三角形区域设立成烧烤区，边，，，修建观赏步道，边修建隔离防护栏，其中米，米，．
(1)如果烧烤区是一个占地面积为平方米的三角形，那么最长需要修建多长的隔离防护栏？
(2)考虑到烧烤区的安全性，在规划四边形区域时，首先保证烧烤区的占地面积最大时，再使得花卉观赏区的周长尽可能大，则应如何设计观赏步道和？
【变式7-3】（23-24高一下·江苏苏州·期末）“费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题.该问题是：“在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小.”意大利数学家托里拆利给出了解答，当的三个内角均小于时，使得的点即为费马点；当有一个内角大于或等于时，最大内角的顶点为费马点.在中，内角，，的对边分别为，，.
(1)若，且的面积为，设点为的费马点，求的取值范围；
(2)若内一点满足，且平分，试问是否存在常实数，使得，若存在，求出常数；若不存在，请说明理由.
【强化训练】
1．（24-25高一下·江苏无锡·期中）记的内角的对边分别为，面积为，则（ ）
A． B． C． D．
2．（24-25高一下·江苏徐州·阶段练习）在中，已知，则角（ ）
A． B． C． D．
3．（23-24高一下·吉林白城·期末）在中，角，，的对边分别为，，，，角的平分线交对边于点，且将的面积分成的两部分，则等于（ ）
A． B． C． D．
4．（23-24高一下·吉林长春·期末）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知向量，，共线，则的形状为（ ）
A．等边三角形 B．钝角三角形
C．有一个内角是的直角三角形 D．等腰直角三角形
5．（23-24高一下·江苏南京·期末）如图，某同学为测量南京大报恩寺琉璃塔的高度，在琉璃塔的正东方向找到一座建筑物，高约为，在地面上点处（，，三点共线）测得建筑物顶部和琉璃塔顶部的仰角分别为和，在处测得塔顶部的仰角为，则琉璃塔的高度约为（ ）
A．78 B．74 C．64 D．52
6．（23-24高一下·安徽六安·期末）的内角的对边分别为，且，，则（ ）
A．
B．的外接圆半径为
C．的面积的最大值为
D．的周长的取值范围是
7．（23-24高一下·浙江宁波·期末）在中，，则该三角形外接圆半径与内切圆半径的比值是（ ）
A． B． C． D．
8．（23-24高一下·天津·期末）在中，角，，所对的边分别为，，．若，则的值是（ ）
A． B． C． D．
9．（多选题）（24-25高一下·重庆沙坪坝·期中）重庆解放碑是抗战胜利纪功碑暨人民解放纪念碑，是抗战胜利的精神象征，是中国唯一一座纪念中华民族抗日战争胜利的纪念碑．现某兴趣小组准备对解放碑的高度进行测量，并绘制出测量方案示意图，为解放碑的最顶端，为解放碑的基座（在的正下方，即），在纪念碑所在广场内（与在同一水平面内）选取两点，测得的长为．兴趣小组成员利用测角仪可测得的角有、，若已知，则下列各测量数据中，能计算出解放碑高度的是（ ）
A． B． C． D．
10．（多选题）（24-25高一下·河北唐山·期中）在中，，，分别是内角，，的对边，下列说法正确的是（ ）
A．若为锐角，则 B．若为锐角，则
C．若，则 D．若为锐角三角形，则
11．（多选题）（24-25高一下·四川·期中）记△ABC中三个内角A，B，C所对边分别为a，b，c．如图，M，N分别是函数与直线的两个交点，其中，则（ ）
A．
B． 面积的最大值为
C．周长的取值范围为
D．若为锐角三角形，则的取值范围为
12．（多选题）（24-25高一下·江苏扬州·期中）在中，角所对的边分别是且，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．若，且有一解，则的取值范围为
C．若，且，为的内心，则
D．若，则的取值范围为
13．（23-24高一下·贵州黔西·期末）在中，角的对边分别为，，且是关于x的方程的两个不等实数根，则 ．
14．（23-24高一下·天津西青·期末）已知a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，且，则角 ．
15．（23-24高一下·四川凉山·期末）在中，角的对边分别为，其中，，，若点在边上，且为的角平分线，则 .
16．（23-24高一下·黑龙江大庆·期末）在中，分别为内角的对边，若，，且，则 .
17．（23-24高一下·河南南阳·期末）如图，在中，，，，的角平分线交于，交过点且与平行的直线于点，则 .
18．（23-24高一下·陕西商洛·期末）在中，已知为的中点，，，.
(1)求的面积；
(2)求的长.
19．（24-25高一下·江苏苏州·期中）在中，角的对边分别为.三个内角满足.
(1)求角的值；
(2)如果，并且，求的周长.
20．（24-25高一下·江苏连云港·期中）在中，、、分别为角、、所对应的边，已知，，.
(1)求的值；
(2)在边上取一点，使得，求的长.
21．（24-25高一下·四川·期中）如图，和与存在对顶角，且 ，，，且．
(1)求 的大小；
(2)证明：O为BD中点；
(3)若，求OC的长．
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专题03 活用正余弦定理玩转三角形
【题型归纳目录】
题型一：利用正余弦定理解三角形
题型二：三角形形状的判断
题型三：三角形的多解问题
题型四：周长与面积问题
题型五：实际应用问题
题型六：正余弦定理与三角函数性质结合问题
题型七：综合应用问题
【知识点梳理】
1、正弦定理
（其中为外接圆的半径）．
常用变形：
（1）；
（2）；
（3）；
（4），，．
2、余弦定理
，，，
，，
3、三角形中的常见结论
（1）．
（2） 在三角形中大边对大角， 大角对大边：．
（3）任意两边之和大于第三边， 任意两边之差小于第三边．
（4）的面积公式
①（ 表示边上的高）；
②；
③（为内切圆半径）；
④，其中．
4、用正弦定理和余弦定理解三角形的常见题型
测量距离问题、高度问题、角度问题、计算面积问题、航海问题、物理问题等．
5、实际问题中的常用角
（1）仰角和俯角
与目标线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方的角叫仰角，目标视线在水平视线下方的角叫俯角（如图①）．
（2）方向角：相对于某正方向的水平角，如南偏东30°，北偏西45°等．
（3）方位角：指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为α（如图②）．
（4）坡度＝，即坡角的正切值．
【典型例题】
题型一：利用正余弦定理解三角形
【例1】（23-24高一下·江苏常州·期末）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，，则（ ）
A．2 B． C．3 D．
【答案】A
【解析】由，可得，又，
所以，解得，
又因为，，所以，所以，
由正弦定理可得，所以，解得.
故选：A.
【变式1-1】（23-24高一下·贵州黔东南·期末）在中，，则（ ）
A． B． C．1 D．2
【答案】D
【解析】因为，由正弦定理，
即，解得.
故选：D
【变式1-2】（23-24高一下·陕西商洛·期末）记△的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】，由正弦定理得.
又，根据余弦定理，得.
故选：A.
【变式1-3】（2016高二·全国·课后作业）在△ABC中，若，则最大角的余弦值是（ ）
A． B． C．0 D．
【答案】B
【解析】∵，∴所对的角C为最大角．
由余弦定理得
故选：B
题型二：三角形形状的判断
【例2】（24-25高一下·福建福州·期中）在中，的对边分别为，若，则的形状为（）
A．等边三角形 B．直角三角形
C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形
【答案】D
【解析】由题可得，
由正弦定理可得，
所以，
又，则，
所以或，
所以或，
所以为等腰三角形或直角三角形．
故选：D
【变式2-1】（23-24高一下·吉林通化·期末）在中，角所对的边分别为，若，则为（ ）
A．直角三角形 B．等边三角形
C．等腰三角形 D．等腰直角三角形
【答案】A
【解析】因为，
所以由余弦定理得，
所以，所以，
所以为直角三角形.
故选：A.
【变式2-2】（23-24高一下·甘肃临夏·期末）在中，若，则此三角形为（ ）
A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等边三角形 D．等腰或直角三角形
【答案】B
【解析】由可得，
又，
所以，
由于为的内角，所以，
故为等腰三角形，
故选：B
【变式2-3】（23-24高一下·安徽马鞍山·期末）在中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若，则为（ ）.
A．等腰三角形 B．等边三角形
C．直角三角形 D．等腰直角三角形
【答案】C
【解析】由正弦定理得，
其中，
所以，
因为，所以，
故，
因为，所以，
故为直角三角形.
故选：C
题型三：三角形的多解问题
【例3】（23-24高一下·天津西青·期末）由下列条件解，其中有两解的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】对于A，由，,由正弦定理可得,
由和可知和只有唯一解，所以只有唯一解，因此A不正确；
对于B，因为，由余弦定理可知只有唯一解，
所以三角形的三个边唯一确定，即只有唯一解，因此B不正确；
对于C，因为，由正弦定理得，
即，又，所以，
所以角只有唯一解，即只有唯一解，因此C不正确；
对于D，因为，由正弦定理得，
所以，又，所以，所以角有两个解，即有两个解，因此D正确.
故选：D.
【变式3-1】（23-24高一下·福建福州·期末）已知的内角，，的对边分别为，，，，，下面使得有两组解的的值可以为（ ）
A．3 B． C．2 D．
【答案】B
【解析】由题意，根据正弦定理有，所以，
要使有两组解，则，且，即，
即，即，
所以选项所给四个数据中只有符合，
故选：B.
【变式3-2】（23-24高一下·河北张家口·期末）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，若有两解，则b的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】三角形中，，如图，
当有两解时，，
即，即.
故选：A.
【变式3-3】（23-24高一下·山东枣庄·期末）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，根据下列条件解三角形：①，，；②，，.则（ ）
A．①只有一个解，②有两个解 B．①有两个解，②只有一个解
C．①②都只有一个解 D．①②都有两个解
【答案】A
【解析】对于①：由正弦定理可知，
因为，所以，则①只有一个解；
对于②：由正弦定理可知，
且，则有两解，因此②有两个解；
故选：A
题型四：周长与面积问题
【例4】（23-24高一下·山西吕梁·期末）在中，内角的对边分别为，若，则的面积是（ ）
A．2 B．4 C． D．3
【答案】C
【解析】若，则，
由余弦定理得，
因为，所以，
则的面积是.
故选：C.
【变式4-1】（23-24高一下·北京·期末）在中，.
(1)求的大小；
(2)再从下列三个条件中，选择两个作为已知，使得存在且唯一，求的面积.
条件①：；条件②：边上的高为；条件③：.
注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分.
【解析】（1）因为在中，，所以
所以，由正弦定理及
得，因为，所以.
因为，所以.
（2）选择条件①②：若为锐角，则，可得；
若为钝角，则，可得；
综上所述：存在但不唯一，不合题意；
选择条件①③，存在且唯一，解答如下：
由，且，可得，
由正弦定理及，得，解得，
方法1：由，得，
则
，
所以.
方法2：由余弦定理，得
即，解得，
所以；
选择②③，存在且唯一，解答如下：
由，及，得，
因为边上的高为，所以
由正弦定理及，得，解得：
方法1：由，得，
则
，
所以.
方法2：由余弦定理，得
即，解得，
所以.
【变式4-2】（23-24高一下·吉林通化·期末）在中，角的对边分别是，且.
(1)求；
(2)若，的面积是，求的周长.
【解析】（1）由正弦定理（为外接圆的半径），
则，，，
因为，所以，
所以，即，
所以.
（2）因为，，所以，
又，所以，
由余弦定理，即，解得，
所以，
所以的周长.
【变式4-3】（23-24高一下·山东东营·期末）在锐角中，角的对边分别为，已知．
(1)求的值；
(2)若是的外接圆上一点（与位于直线异侧），且，求四边形的面积．
【解析】（1）在锐角中，
因为，所以，
而，故，
因为是锐角，所以，
由余弦定理得，
又因为，所以，整理的，
故．
（2）在中，因为，
所以，由余弦定理得
，
在中，由余弦定理得，即：
，解得，
所以四边形的面积为
.
题型五：实际应用问题
【例5】（23-24高一下·河南周口·期末）如图，点是海上的一个钻井平台，甲船 乙船 丙船分别位于点三个位置，甲船在乙船的正北方向，丙船在乙船的正东方向，且海里，海里，若海里，则丙船到钻井平台的距离为 海里．
【答案】
【解析】设，则，
在中，由正弦定理可得，可得，所以，
则，所以海里，，
在中，由余弦定理得
，
即丙船到钻井平台的距离为海里．
故答案为：.
【变式5-1】（23-24高一下·陕西宝鸡·期末）如图所示的是某城市的一座纪念碑，一位学生为测量该纪念碑的高度，选取与碑基在同一水平面内的两个测量点.现测得米，在点处测得碑顶的仰角为，则该同学通过测量计算出纪念碑高为 米.（保留根号）
【答案】
【解析】因为，
在中，，
由正弦定理得，即，解得，
在中，，
即纪念碑高为米.
故答案为：.
【变式5-2】（23-24高一下·河北唐山·期末）如图，从楼顶点测得地面两点的俯角分别为，已知两点的距离为，则楼高约等于 .（用四舍五入法将结果精确到个位.参考数据：）
【答案】77
【解析】因为从楼顶点测得地面两点的俯角分别为，
所以，，，
在中，由正弦定理可得：，即，
所以，
在中，,所以，
故答案为：77
【变式5-3】（24-25高一下·江西上饶·期中）八一南昌起义纪念塔为八一广场标志性建筑，塔为长方体，由台基、塔座、塔身、塔顶四部分组成．塔身正北面有“八一南昌起义纪念塔”九个铜胎鎏金大字．如图，为了测量该塔的高度，无人机在与塔底位于同一水平面的点测得塔顶的仰角为，无人机飞行到与塔底位于同一水平面的点，测得，，，则纪念塔的塔高为 ．
（参考数据：取，）
【答案】53.6
【解析】由题意得，
在中，由正弦定理，
得，所以．
故答案为：.
题型六：正余弦定理与三角函数性质结合问题
【例6】（24-25高一下·广东广州·期中）已知函数.在中，，且.
(1)求的大小：
(2)若，，求的面积.
【解析】（1），在中，，所以，
因为，所以，
则有：或，
即或，因为，所以，即，
所以.
（2）因为，，
则，即，
所以.
【变式6-1】（24-25高一下·上海·期中）若图象最高点都在直线上.
(1)求的值；
(2)在中，分别是的对边，若点是函数图像的一个对称中心，且，求外接圆的面积.
【解析】（1）由函数，
当时，可得，
因为图象最高点都在直线，所以.
（2）因为点是函数图像的一个对称中心，可得，
因为为三角形的内角，所以，可得，
设的外接圆的半径为，
由正弦定理得，所以，
所以外接圆的面积为.
【变式6-2】（24-25高一下·山东枣庄·阶段练习）已知向量，，函数．
(1)求的解析式和当时在方向上的投影向量；
(2)已知中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若，，，求的边上的中线长；
(3)若，，求．
【解析】（1）因为，
所以
所以
，
，
所以；
当时，，
所以，，
所以在方向上的投影向量为；
（2）因为，所以，
又，所以，所以，则，
由余弦定理，又，，
所以
设的边上的中线为，则，
所以
，
所以，所以的边上的中线长为；
（3）因为，可得，
即，又，则，
所以，
所以.
【变式6-3】（23-24高一下·北京顺义·期末）已知函数．在中，，且．
(1)求的大小；
(2)若，，求的面积．
【解析】（1）
因为且，所以，
又，所以，
则
因此
（2）由余弦定理得
因为，
所以的面积为.
题型七：综合应用问题
【例7】（24-25高一下·江苏连云港·期中）射影几何学中，中心投影是指光从一点向四周散射而形成的投影，如图，光从点出发，平面内四个点经过中心投影之后的投影点分别为．对于四个有序点，若，，定义比值叫做这四个有序点的交比，记作．
(1)若点分别是线段的中点，求；
(2)当时称为调和点列，若，求值；
(3)已知，且，点为线段的中点，，，求
【解析】（1）由条件可得，，则，所以．
（2）由知，两点分属线段内外分点，
不妨设，，
则，，
由知：，
则，即，即．
（3）方法一：由，可得，即，所以，
又点B为线段的中点，即，所以，
又，所以，，，
又已知，所以．
设，，由，得，
即，解得，①
在中，由正弦定理可得，得②，
在中，由正弦定理可得，得③，
又，
②③得，即④，
由①④解得，（负值舍去），即，，
所以．
方法二：因为，所以，
设，则，
又B为线段的中点，所以，
又已知，，所以，
所以，得，所以，，
由，
得，
所以，
设，则，
由，互补得，
即，
解得，所以，，
所以
【变式7-1】（24-25高一下·江苏扬州·期中）在中，角所对的边分别为，已知，.
(1)求；
(2)若，求的面积；
(3)若的面积为是上的点，且，求的长.
【解析】（1）在中，因为，
所以，即，
因为，则，即，所以，
由余弦定理得.
（2）由（1）知，所以，
因为，，所以，
由（1）知，所以，
所以的面积.
（3）由（2）知，
因为，可得，
由（1）知，，故，，，
因为是上的点，且，则，，
由（1）知，
所以，，
在中，由正弦定理可得，
故.
【变式7-2】（24-25高一下·湖北武汉·期中）如图所示，四边形地块是东湖畔拟建造的一个露营基地．为考虑露营客人娱乐休闲的需求，在四边形区域中，将三角形区域设立成花卉观赏区，三角形区域设立成烧烤区，边，，，修建观赏步道，边修建隔离防护栏，其中米，米，．
(1)如果烧烤区是一个占地面积为平方米的三角形，那么最长需要修建多长的隔离防护栏？
(2)考虑到烧烤区的安全性，在规划四边形区域时，首先保证烧烤区的占地面积最大时，再使得花卉观赏区的周长尽可能大，则应如何设计观赏步道和？
【解析】（1）依题意知，
解得，所以，
当时，
当时，
故最长需要修建260米的隔离防护栏；
（2），
当且仅当时取到等号，此时，
设（），
在中，，
所以，，
所以，
当且仅当，即时取等号
所以周长的最大值为，此时，
故观赏步道，应均设计为长度是米．
【变式7-3】（23-24高一下·江苏苏州·期末）“费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题.该问题是：“在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小.”意大利数学家托里拆利给出了解答，当的三个内角均小于时，使得的点即为费马点；当有一个内角大于或等于时，最大内角的顶点为费马点.在中，内角，，的对边分别为，，.
(1)若，且的面积为，设点为的费马点，求的取值范围；
(2)若内一点满足，且平分，试问是否存在常实数，使得，若存在，求出常数；若不存在，请说明理由.
【解析】（1）因为，且，
所以，
所以，
即，
因为，，所以，，所以，
因为，所以；
因为，所以的内角均小于，
所以点在的内部，且，
由，得，
设，，则，
在中，由正弦定理得，即
在中，由正弦定理得，即，
所以
，
因为，所以，所以，
所以的取值范围为；
（2）因为，
即，所以，
在，，中，
分别由余弦定理得：，
，，
三式相加整理得，
，
将代入得：，
因为平分，所以，，
所以，③
又由余弦定理可得：，④
由③-④得：，所以，
即，所以常数，使得.
【强化训练】
1．（24-25高一下·江苏无锡·期中）记的内角的对边分别为，面积为，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由题意，，
所以，
所以，
解得或（舍去）.
故选：B.
2．（24-25高一下·江苏徐州·阶段练习）在中，已知，则角（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】在中，∵，
，
∴由余弦定理可得：.
，.
故选：C.
3．（23-24高一下·吉林白城·期末）在中，角，，的对边分别为，，，，角的平分线交对边于点，且将的面积分成的两部分，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为，所以，结合题意得．
因为是角的平分线，所以，所以，
由正弦定理，得，即，
所以.
故选：C．
4．（23-24高一下·吉林长春·期末）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知向量，，共线，则的形状为（ ）
A．等边三角形 B．钝角三角形
C．有一个内角是的直角三角形 D．等腰直角三角形
【答案】A
【解析】因为向量，共线，
则，由正弦定理可得，
则，
因为，则，可知均不为0，
可得，则，即；
同理由向量，共线可得；
综上所述：.
所以的形状为等边三角形.
故选：A.
5．（23-24高一下·江苏南京·期末）如图，某同学为测量南京大报恩寺琉璃塔的高度，在琉璃塔的正东方向找到一座建筑物，高约为，在地面上点处（，，三点共线）测得建筑物顶部和琉璃塔顶部的仰角分别为和，在处测得塔顶部的仰角为，则琉璃塔的高度约为（ ）
A．78 B．74 C．64 D．52
【答案】A
【解析】根据题意，可得，，
在中，.
在中，，，所以，
在中，由正弦定理得，即，
即，解得，
在中，，，所以.
故选：A.
6．（23-24高一下·安徽六安·期末）的内角的对边分别为，且，，则（ ）
A．
B．的外接圆半径为
C．的面积的最大值为
D．的周长的取值范围是
【答案】D
【解析】选项A，由可得，
又是的内角，，
所以，由正弦定理得，
因为中，所以，即，
所以，A说法错误；
选项B，设的外接圆半径为，因为，
所以由正弦定理得，
所以，解得，B说法错误；
选项C：由正弦定理可得，解得，
由余弦定理得，即，解得，
当且仅当时等号成立，
所以的面积，C说法错误；
选项D，由C知，
解得，当且仅当时等号成立，
由三角形的性质知，
所以，D说法正确；
故选：D
7．（23-24高一下·浙江宁波·期末）在中，，则该三角形外接圆半径与内切圆半径的比值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】在中，，由正弦定理可得，
设，
由余弦定理得，所以，
则，
所以，则，
所以，
故选：C
8．（23-24高一下·天津·期末）在中，角，，所对的边分别为，，．若，则的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为，可设，，，，
利用余弦定理.
故选：D
9．（多选题）（24-25高一下·重庆沙坪坝·期中）重庆解放碑是抗战胜利纪功碑暨人民解放纪念碑，是抗战胜利的精神象征，是中国唯一一座纪念中华民族抗日战争胜利的纪念碑．现某兴趣小组准备对解放碑的高度进行测量，并绘制出测量方案示意图，为解放碑的最顶端，为解放碑的基座（在的正下方，即），在纪念碑所在广场内（与在同一水平面内）选取两点，测得的长为．兴趣小组成员利用测角仪可测得的角有、，若已知，则下列各测量数据中，能计算出解放碑高度的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】ABC
【解析】由题意，因为,
且平面,平面,
所以平面,
对于A，在中，借助直角三角形用表示出，然后在中由余弦定理解三角形求得，故A正确；
对于B，在中，根据,可利用正弦定理求得，再根据求得，故B正确；
对于C，由，借助直角三角形和余弦定理，用和表示出，然后结合在中利用余弦定理列方程，解方程求得，故C正确；
对于D，根据四个条件，无法通过解三角形求得，故D错误；
故选：ABC.
10．（多选题）（24-25高一下·河北唐山·期中）在中，，，分别是内角，，的对边，下列说法正确的是（ ）
A．若为锐角，则 B．若为锐角，则
C．若，则 D．若为锐角三角形，则
【答案】ACD
【解析】对于A：因为为锐角，则由，故A正确；
对于选项B：同A可知选项B错误；
对于选项C：由,由正弦定理得，
故，由大边对大角，得到,故选项C正确；
对于选项D:因为为锐角三角形，所以
且，因为正弦函数在区间单调递增，
故，故选项D正确；
故选:ACD
11．（多选题）（24-25高一下·四川·期中）记△ABC中三个内角A，B，C所对边分别为a，b，c．如图，M，N分别是函数与直线的两个交点，其中，则（ ）
A．
B． 面积的最大值为
C．周长的取值范围为
D．若为锐角三角形，则的取值范围为
【答案】BCD
【解析】由图可得，而，故，
注意到或，.
由题可得，则.
对于A，，故A错误；
对于B，，
由余弦定理，，由基本不等式，
，当且仅当取等号.
则，故B正确；
对于C，
，因，则，结合和差化积公式，
则，
因，则，
因在上单调递增，在上单调递减，
则，故C正确；
对于D，，
因是锐角三角形，，则.
,
其中，，又.
因，则，又，
则在上单调递增，在上单调递减，
.
因，，则.
则，
因，则.
故，故D正确.
故选：BCD
12．（多选题）（24-25高一下·江苏扬州·期中）在中，角所对的边分别是且，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．若，且有一解，则的取值范围为
C．若，且，为的内心，则
D．若，则的取值范围为
【答案】ABD
【解析】对于A，由，得，
即，而，因此，A正确；
对于B，由余弦定理得，整理得，
由关于的一元二次方程只有一个正数解，得或，
解得或，B正确；
对于C，由，得，又，则，
即，
而，解得，由，得为锐角，则，
因此，为直角三角形，设其内切圆的半径为，
则，，
因此，C错误；
对于D，由正弦定理可得， ，即,
在中，，解得，，则，D正确.
故选：ABD
13．（23-24高一下·贵州黔西·期末）在中，角的对边分别为，，且是关于x的方程的两个不等实数根，则 ．
【答案】
【解析】因为，由余弦定理得，
又因为，所以，
由是关于x的方程的两个不等实数根，
可得，
所以.
故答案为：.
14．（23-24高一下·天津西青·期末）已知a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，且，则角 ．
【答案】/
【解析】，由正弦定理可得，
在中，，，
，
.
故答案为：.
15．（23-24高一下·四川凉山·期末）在中，角的对边分别为，其中，，，若点在边上，且为的角平分线，则 .
【答案】
【解析】在中，由为的角平分线，得，
由，得，
则，所以.
故答案为：
16．（23-24高一下·黑龙江大庆·期末）在中，分别为内角的对边，若，，且，则 .
【答案】4
【解析】因为，所以，
所以，即，
由题干及正弦定理得，①，
由余弦定理得，②，
由①②得，，即，
故答案为：4．
17．（23-24高一下·河南南阳·期末）如图，在中，，，，的角平分线交于，交过点且与平行的直线于点，则 .
【答案】
【解析】在中，由余弦定理可得：，
即，又，所以.
因为，平分，所以，所以.
在中，因为，所以.
因为，所以，
所以.
故答案为：
18．（23-24高一下·陕西商洛·期末）在中，已知为的中点，，，.
(1)求的面积；
(2)求的长.
【解析】（1）根据题意可知，
又因为为的中点，可得，
，，，
根据余弦定理，
代入已知条件得，
得到，故所以可得是直角三角形，
所以可得
故答案为：
（2）由第一问可知，
根据余弦定理可知，
代入得，
所以可得，
故答案为：
19．（24-25高一下·江苏苏州·期中）在中，角的对边分别为.三个内角满足.
(1)求角的值；
(2)如果，并且，求的周长.
【解析】（1）在中，因为，
所以.
因为，
所以，
即，
所以，
即，
又因为是三角形的内角，所以，
所以.
（2）由余弦定理可得，
因为，，所以，
又因为，所以，
解得或（舍去），所以，
所以的周长为.
20．（24-25高一下·江苏连云港·期中）在中，、、分别为角、、所对应的边，已知，，.
(1)求的值；
(2)在边上取一点，使得，求的长.
【解析】（1）由余弦定理可得，，
由正弦定理可得，，则.
（2）由，可知为钝角，
则，
在中，由正弦定理，，
则.
21．（24-25高一下·四川·期中）如图，和与存在对顶角，且 ，，，且．
(1)求 的大小；
(2)证明：O为BD中点；
(3)若，求OC的长．
【解析】（1）,
化简得：.
在中，由正弦定理得：,
由余弦定理可得：，故.
（2）设，，则，.
在中，由余弦定理得：
.
在中，由余弦定理得：.
由，所以.
化简得：，故 为 中点.
（3）如图：过点做，交与.则.
由（）.
所以，又，所以.
所以.
所以，又，. 所以.
由于
所以.
又，所以，所以.
所以.即.
在中，根据正弦定理，可得：.
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