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专题01 平面向量的基本运算与线性表示
【题型归纳目录】
题型一：平面向量的概念
题型二：线性运算
题型三：三点共线
题型四：平面向量共线定理及推论
题型五：平面向量的运算
题型六：平面向量的坐标表示
题型七：四心问题
题型八：新定义问题
【知识点梳理】
知识点一、向量的有关概念
名称 定义 备注
向量 既有大小又有方向的量；向量的大小叫做向量的长度（或称模） 平面向量是自由向量
零向量 长度为0的向量 记作，其方向是任意的
单位向量 长度等于1个单位的向量 非零向量的单位向量为
平行向量 方向相同或相反的非零向量（又叫做共线向量） 与任一向量平行或共线
相等向量 长度相等且方向相同的向量 两向量只有相等或不相等，不能比较大小
相反向量 长度相等且方向相反的向量 的相反向量为
知识点二、向量的线性运算
向量运算 定义 法则（或几何意义） 运算律
加法 求两个向量和的运算 三角形法则 平行四边形法则 （1）交换律： （2）结合律：
减法 求与的相反向量的和的运算叫做与的差 三角形法则
数乘 求实数与向量的积的运算 （1）； （2）①当时，的方向与的方向相同；②当时．的方向与的方向相反；③当时，． 结合律：； 分配律： ，
知识点三、平面向量基本定理
1、平面向量基本定理
如果是同一平面内两个不共线的向量，那么对于这个平面内任一向量，有且只有一对实数，使，称为的线性组合．
知识点四、平面向量的坐标运算
1、平面向量坐标的加法、减法和数乘运算
运算 坐标语言
加法与减法 记， ，
实数与向量的乘积 记，则
知识点五、平面向量共线
（1）线性表示
向量与共线，当且仅当有唯一一个实数，使得
（2）坐标表示
设，其中，则
知识点六、两个向量的夹角
1、定义
已知两个非零向量和，作，则叫做向量与的夹角．
2、范围
向量夹角的范围是，与同向时，夹角；与反向时，夹角．
3、向量垂直
如果向量与的夹角是，则与垂直，记作．
知识点七、平面向量的数量积
1、已知两个非零向量与，则数量叫做与的数量积，记作，即，其中是与的夹角．
规定．
当时，，这时
2、的几何意义：
数量积等于的长度与在的方向上的投影的乘积．
知识点八、数量积的运算律
（1）交换律：．
（2）分配律：．
（3）对．
知识点九、向量数量积的性质
1、如果是单位向量，则．
2、．
3、，
4、．（为与的夹角）
5、．
知识点十、数量积的坐标运算
设，则：
1、．
2、．
3、．
4、（为与的夹角）
【典型例题】
题型一：平面向量的概念
【例1】（24-25高一下·陕西安康·期中）已知向量，则与（ ）
A．互为相等向量 B．互为相反向量 C．互为共线向量 D．均为零向量
【变式1-1】（24-25高一上·北京西城·期末）下列向量中，与向量共线的一个单位向量是（ ）
A． B． C． D．
【变式1-2】（24-25高一上·辽宁·期末）关于平面向量，下列说法正确的是（ ）
A．零向量没有方向 B．两个单位向量是相等向量
C．共线的两个向量方向相同 D．若两个非零向量的和为零向量，则它们互为相反向量
【变式1-3】（23-24高一下·新疆乌鲁木齐·期末）下列命题：
①若，则或 ②的充要条件是且
③若，，则； ④起点相同的单位向量，终点必相同
其中，真命题的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
题型二：线性运算
【例2】（23-24高一下·陕西咸阳·期末）如图所示，在正方形中，为的中点，为的中点，若，则（ ）
A． B． C． D．
【变式2-1】（23-24高一下·河南开封·期末）中，为的中点，与对角线相交于点，记，，用，表示（ ）
A． B． C． D．
【变式2-2】（23-24高一下·贵州六盘水·期末）在中，是边上靠近点的三等分点，是的中点，若，则（ ）
A．0 B． C． D．1
【变式2-3】（23-24高一下·河北保定·阶段练习）已知平面向量，则下列命题一定正确的有（ ）
①若，则 ②若，则存在实数，使得
③若，则 ④
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
题型三：三点共线
【例3】（23-24高一下·云南丽江·期中）已知，是不共线的向量，且，，，若B，C，D三点共线，则（ ）
A． B． C． D．
【变式3-1】（23-24高一下·黑龙江哈尔滨·期末）已知向量，向量为平面内两个不共线的单位向量，若，，则下列结论正确的是（ ）
A．A、B、C三点共线 B．A、C、D三点共线
C．A、B、D三点共线 D．B、C、D三点共线
【变式3-2】（23-24高一下·江苏南京·期末）设，为平面内一个基底，已知向量，，，若A，B，D三点共线，则的值是（ ）
A． B． C． D．
【变式3-3】（23-24高一上·辽宁·期末）已知与为非零向量，，若三点共线，则（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
题型四：平面向量共线定理及推论
【例4】（24-25高一下·江苏无锡·期中）如图，是边长为2的等边三角形，O是边AC上一点，延长DO至点B，若，且（为常数），则的长度是 .
【变式4-1】（24-25高一下·江苏南京·期中）如图，已知点是的重心，过点作直线分别与两边交于两点，设，则的最小值为 ．
【变式4-2】（24-25高一下·江苏徐州·期中）在中，是边上靠近的四等分点，过点的直线分别交直线于不同的两点，设，其中，则的最大值为 .
【变式4-3】（24-25高一下·辽宁沈阳·阶段练习）如图，是的重心，分别是边，上的动点，且三点共线．设，，则 ．
题型五：平面向量的运算
【例5】（24-25高一下·湖南衡阳·期中）已知向量，的夹角为，且．
(1)求；
(2)若，求的值.
【变式5-1】（24-25高一下·四川·期中）已知，且与的夹角为．
(1)求；
(2)若向量与不能作为平面向量的一组基底，求实数的值．
【变式5-2】（24-25高一下·四川凉山·期中）已知向量，满足的夹角.
(1)求的值；
(2)求.
【变式5-3】（24-25高一下·北京顺义·期中）已知向量 和 ，则 ，， 求：
(1) 的值；
(2) 的值；
(3)求向量 在 方向上的投影向量；
题型六：平面向量的坐标表示
【例6】（24-25高一下·江苏·期中）已知点，，
(1)若A，B，C三点共线，求实数k的值；
(2)若为等腰三角形，求实数k的值；
(3)若四边形ABCD为矩形，求向量与夹角的余弦值．
【变式6-1】（24-25高一下·河南·期中）已知向量，．
(1)求；
(2)若向量，且，求m的值；
(3)求与垂直的单位向量的坐标．
【变式6-2】（24-25高一下·江苏连云港·期中）已知平行四边形的三个顶点分别为，，.
(1)求顶点的坐标；
(2)求平行四边形的面积.
【变式6-3】（24-25高一下·浙江·期中）已知平面向量.
(1)若，求向量的坐标；
(2)若，求的值；
(3)若向量，若与共线，求的值.
题型七：四心问题
【例7】（多选题）（23-24高一下·四川成都·期末）的内心为P，外心为O，重心为G，若，，下列结论正确的是（ ）
A．的内切圆半径为 B．
C． D．
【变式7-1】（多选题）（23-24高一下·湖南衡阳·期末）已知为的外心，且.若向量在向量上的投影向量为，则的值可能为（ ）
A． B．
C． D．
【变式7-2】（多选题）（23-24高一下·福建漳州·期末）已知的重心为，外心为，内心为，垂心为，则下列说法正确的是（ ）
A．若是中点，则
B．若，则
C．与不共线
D．若，则
【变式7-3】（多选题）（23-24高一下·山西运城·阶段练习）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，O为平面内一点，下列说法正确的有（ ）
A．若O为的外心，且，则
B．若O为的内心，，则
C．若O为的重心，，则角A=60°
D．若O为的外心，且O到a，b，c三边距离分别为则
题型八：新定义问题
【例8】（23-24高一下·四川成都·期末）定义：，在中，内角所对的边分别为，则满足的一定是（ ）
A．等腰三角形 B．等边三角形
C．直角三角形 D．等腰直角三角形
【变式8-1】（23-24高一下·贵州贵阳·期末）人脸识别就是利用计算机检测样本之间的相似度，余弦距离是检测相似度的常用方法．假设二维空间中有两个点，，O为坐标原点，定义余弦相似度为，余弦距离为．已知，，若P，Q的余弦距离为．则（ ）
A． B． C． D．
【变式8-2】（23-24高一下·福建三明·期中）设是内一点，且，定义，其中分别是的面积，若，则的最小值是（ ）
A． B．18 C．16 D．9
【变式8-3】（多选题）（23-24高一下·重庆·期末）对非零向量，，定义运算“”：，其中为与的夹角，则（ ）
A．若，则
B．若，，则
C．若中，，，，则
D．若中，，则是等腰三角形或有内角为135°的三角形
【强化训练】
1．（24-25高一下·江苏扬州·期中）若向量，，则与的夹角为（ ）．
A． B． C． D．
2．（24-25高一下·广东江门·期中）已知，，，则（ ）
A．2027 B．2028 C．2037 D．2038
3．（24-25高一下·重庆江北·期中）如图，在中，，，P为CD上一点，且满足，若的面积为，则的最小值是（ ）
A．1 B． C． D．
4．（24-25高一下·北京·期中）已知平面向量与的夹角为，，，则（ ）
A． B． C． D．
5．（24-25高一下·河北石家庄·期中）已知向量，满足，，则为（ ）
A． B． C． D．
6．（24-25高一下·山东·期中）已知与为相反向量，若，则，夹角的余弦的最小值为（ ）
A． B． C．1 D．
7．（24-25高一下·山东·期中）已知中，角的对边分别是.则下列命题中：
①若是内部一点，且满足，则与的面积比为；
②若，则一定为等腰三角形；
③为所在平面内的一点，且，则为的内心；
④已知有两解.
正确的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
8．（24-25高一下·广东清远·期中）已知是圆的弦，且，则（ ）
A． B． C． D．
9．（多选题）（24-25高一下·湖北武汉·期中）已知向量，，记向量，的夹角为，则（ ）
A．若为钝角，则 B．若为锐角，则
C．当时，为直角 D．当时，为平角
10．（多选题）（24-25高一下·江苏扬州·期中）下列说法中正确的是（ ）
A．平面内两个非零向量与，则
B．若单位向量，夹角为，则向量在向量上的投影向量为
C．已知非零平面向量，，若存在非零向量使得，则
D．若，则，且、、、四点不一定构成平行四边形
11．（多选题）（24-25高一下·山东·期中）已知向量，，则（ ）
A．当时，
B．当时，
C．与夹角为锐角时，则的取值范围为
D．当时，在上的投影向量为
12．（多选题）（24-25高一下·安徽芜湖·期中）已知正八边形为正八边形的中心，其中，则下列命题正确的是（ ）．
A．
B．
C．在上的投影向量为
D．若点为正八边形边上的一个动点，则的最大值为4
13．（24-25高一下·云南昭通·期中）若向量满足，则在上的投影向量是 ．
14．（24-25高一下·湖南·期中）如图，已知是边长为2的等边三角形，D是AB的中点，E是BC的一个靠近点B的三等分点，连接DE并延长至点F，连接AF交BC于点G．若，则的值是 ；若，则的值是 ．
15．（24-25高一下·湖南邵阳·期中）设向量的夹角的余弦值为，且，则 ．
16．（24-25高一下·浙江杭州·期中）已知向量，.
(1)求向量与的夹角的大小；
(2)若向量满足，求的值.
17．（24-25高一下·上海杨浦·期中）已知向量，.
(1)当且时，求实数的值；
(2)当，，求向量与的夹角.
18．（24-25高一下·江苏无锡·期中）已知向量．
(1)求向量在向量上的投影向量；
(2)求向量与夹角为钝角，求m的取值范围．
19．（24-25高一下·内蒙古兴安盟·期中）我们可以把平面向量坐标的概念推广为“复向量”，即可将有序复数对视为一个向量，记作．两个复向量的线性运算定义为：；两个复向量的积记作，定义为；复向量的模定义为；若复向量与满足，则称复向量与平行．
(1)设，求；
(2)若，求；
(3)判断与能否平行，若能，求出实数的值，若不能，说明理由．
20．（24-25高一下·江苏常州·期中）已知对任意平面向量，把绕其起点逆时针方向旋转角得到，叫做把点绕点沿逆时针方向旋转角得到点．
(1)已知平面内点，点，若把点绕点沿顺时针方向旋转得到点，求点的坐标；
(2)已知，把点绕点沿逆时针方向旋转角得到点，，若，求的值．
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专题01 平面向量的基本运算与线性表示
【题型归纳目录】
题型一：平面向量的概念
题型二：线性运算
题型三：三点共线
题型四：平面向量共线定理及推论
题型五：平面向量的运算
题型六：平面向量的坐标表示
题型七：四心问题
题型八：新定义问题
【知识点梳理】
知识点一、向量的有关概念
名称 定义 备注
向量 既有大小又有方向的量；向量的大小叫做向量的长度（或称模） 平面向量是自由向量
零向量 长度为0的向量 记作，其方向是任意的
单位向量 长度等于1个单位的向量 非零向量的单位向量为
平行向量 方向相同或相反的非零向量（又叫做共线向量） 与任一向量平行或共线
相等向量 长度相等且方向相同的向量 两向量只有相等或不相等，不能比较大小
相反向量 长度相等且方向相反的向量 的相反向量为
知识点二、向量的线性运算
向量运算 定义 法则（或几何意义） 运算律
加法 求两个向量和的运算 三角形法则 平行四边形法则 （1）交换律： （2）结合律：
减法 求与的相反向量的和的运算叫做与的差 三角形法则
数乘 求实数与向量的积的运算 （1）； （2）①当时，的方向与的方向相同；②当时．的方向与的方向相反；③当时，． 结合律：； 分配律： ，
知识点三、平面向量基本定理
1、平面向量基本定理
如果是同一平面内两个不共线的向量，那么对于这个平面内任一向量，有且只有一对实数，使，称为的线性组合．
知识点四、平面向量的坐标运算
1、平面向量坐标的加法、减法和数乘运算
运算 坐标语言
加法与减法 记， ，
实数与向量的乘积 记，则
知识点五、平面向量共线
（1）线性表示
向量与共线，当且仅当有唯一一个实数，使得
（2）坐标表示
设，其中，则
知识点六、两个向量的夹角
1、定义
已知两个非零向量和，作，则叫做向量与的夹角．
2、范围
向量夹角的范围是，与同向时，夹角；与反向时，夹角．
3、向量垂直
如果向量与的夹角是，则与垂直，记作．
知识点七、平面向量的数量积
1、已知两个非零向量与，则数量叫做与的数量积，记作，即，其中是与的夹角．
规定．
当时，，这时
2、的几何意义：
数量积等于的长度与在的方向上的投影的乘积．
知识点八、数量积的运算律
（1）交换律：．
（2）分配律：．
（3）对．
知识点九、向量数量积的性质
1、如果是单位向量，则．
2、．
3、，
4、．（为与的夹角）
5、．
知识点十、数量积的坐标运算
设，则：
1、．
2、．
3、．
4、（为与的夹角）
【典型例题】
题型一：平面向量的概念
【例1】（24-25高一下·陕西安康·期中）已知向量，则与（ ）
A．互为相等向量 B．互为相反向量 C．互为共线向量 D．均为零向量
【答案】C
【解析】由，可得，故A错误；
由，可得，故B错误；
由，可得，
所以互为共线向量，故C正确；
由，可得，
可知，故D错误.
故选：C.
【变式1-1】（24-25高一上·北京西城·期末）下列向量中，与向量共线的一个单位向量是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】设与向量共线的单位向量为，
则，解得，所以或，
故选：B.
【变式1-2】（24-25高一上·辽宁·期末）关于平面向量，下列说法正确的是（ ）
A．零向量没有方向 B．两个单位向量是相等向量
C．共线的两个向量方向相同 D．若两个非零向量的和为零向量，则它们互为相反向量
【答案】D
【解析】向量既有大小又有方向，A不正确．
两个单位向量的方向不一定相同，则它们不一定是相等向量，B不正确．
共线的两个向量方向相同或相反，C不正确．
若两个非零向量的和为零向量，则它们互为相反向量，D正确
故选：D
【变式1-3】（23-24高一下·新疆乌鲁木齐·期末）下列命题：
①若，则或 ②的充要条件是且
③若，，则； ④起点相同的单位向量，终点必相同
其中，真命题的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】A
【解析】对于①，若，则模相等，方向不一定相同或相反，故错误；
对于②，当时也满足且，故错误；
对于③，当时，满足，但不一定成立；
对于④，起点相同的单位向量，方向不一定相同，则其终点不一定相同，故错误.
故真命题的个数是0个.
故选：A
题型二：线性运算
【例2】（23-24高一下·陕西咸阳·期末）如图所示，在正方形中，为的中点，为的中点，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为在正方形中，为的中点，为的中点，
所以
，
因为，所以，
所以.
故选：C
【变式2-1】（23-24高一下·河南开封·期末）中，为的中点，与对角线相交于点，记，，用，表示（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】在中，为的中点，与对角线相交于点，
所以，所以，
所以，
所以.
故选：C
【变式2-2】（23-24高一下·贵州六盘水·期末）在中，是边上靠近点的三等分点，是的中点，若，则（ ）
A．0 B． C． D．1
【答案】C
【解析】
因为D是BC边上靠近点的三等分点，E是的中点，
所以，
所以，
因为不共线，所以，
所以.
故选：C.
【变式2-3】（23-24高一下·河北保定·阶段练习）已知平面向量，则下列命题一定正确的有（ ）
①若，则 ②若，则存在实数，使得
③若，则 ④
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】B
【解析】对于①，因为，所以，所以①正确；
对于②，当时，满足，但是不存在实数，使得，故②错误；
对于③，零向量与任何向量平行，因此当，满足，但是未必成立，故③错误；
对于④，向量是与平行的向量，而是与平行的向量，因此未必成立，故④错误，
故一定正确的只有1个，
故选：B．
题型三：三点共线
【例3】（23-24高一下·云南丽江·期中）已知，是不共线的向量，且，，，若B，C，D三点共线，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为，且B，C，D三点共线，即,
又，所以，解得.
故选：C.
【变式3-1】（23-24高一下·黑龙江哈尔滨·期末）已知向量，向量为平面内两个不共线的单位向量，若，，则下列结论正确的是（ ）
A．A、B、C三点共线 B．A、C、D三点共线
C．A、B、D三点共线 D．B、C、D三点共线
【答案】C
【解析】因为向量，向量为平面内两个不共线的单位向量，
且，，
对于选项A：若A、B、C三点共线，则，其中，
则，方程组无解，
所以A、B、C三点不共线，故A错误；
对于选项B：因为，
若A、C、D三点共线，则，其中，
则则，方程组无解，
所以A、C、D三点不共线，故B错误；
对于选项C：因为，
所以A、B、D三点共线，故C正确；
对于选项D：若B、C、D三点共线，则，其中，
则，方程组无解，
所以B、C、D三点不共线，故D错误；
故选：C.
【变式3-2】（23-24高一下·江苏南京·期末）设，为平面内一个基底，已知向量，，，若A，B，D三点共线，则的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为，，
所以，
因为A，B，D三点共线，
所以有，即
因为，为平面内一个基底，
所以，不是共线向量，因此有，
故选：D
【变式3-3】（23-24高一上·辽宁·期末）已知与为非零向量，，若三点共线，则（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】D
【解析】由题意知，三点共线，故,
且共线，
故不妨设，则，
所以，解得，
故选：D
题型四：平面向量共线定理及推论
【例4】（24-25高一下·江苏无锡·期中）如图，是边长为2的等边三角形，O是边AC上一点，延长DO至点B，若，且（为常数），则的长度是 .
【答案】1
【解析】因为，故，
设，则，故共线，
且也共线，故即为，故，
故，故，而等边中边上的高为，
故，故，
故答案为：1.
【变式4-1】（24-25高一下·江苏南京·期中）如图，已知点是的重心，过点作直线分别与两边交于两点，设，则的最小值为 ．
【答案】
【解析】因为点G为重心，可得，
又因为三点共线，所以，
所以，
当时，等号成立，所以的最小值为.
故答案为：.
【变式4-2】（24-25高一下·江苏徐州·期中）在中，是边上靠近的四等分点，过点的直线分别交直线于不同的两点，设，其中，则的最大值为 .
【答案】
【解析】在中，由是边上靠近的四等分点，得，则，
而，则，由共线，得，
又，因此，当且仅当时取等号，
因此，，
所以当时，取得最大值.
故答案为：
【变式4-3】（24-25高一下·辽宁沈阳·阶段练习）如图，是的重心，分别是边，上的动点，且三点共线．设，，则 ．
【答案】3
【解析】因为是的重心，所以可得，
易知，所以可得；
又因为三点共线，可知存在实数满足,且；
又，，所以，
可得，即；
所以.
故答案为：3
题型五：平面向量的运算
【例5】（24-25高一下·湖南衡阳·期中）已知向量，的夹角为，且．
(1)求；
(2)若，求的值.
【解析】（1）由向量，的夹角为，且，
得.
（2）由（1）知，，由，得，即，
整理得，解得或，
所以的值是或3.
【变式5-1】（24-25高一下·四川·期中）已知，且与的夹角为．
(1)求；
(2)若向量与不能作为平面向量的一组基底，求实数的值．
【解析】（1）由，且与的夹角为，得，
.
（2）由向量与不能作为平面向量的一组基底，得与共线，
则存在实数，使得，而与不共线，
于是，解得，
所以实数的值为.
【变式5-2】（24-25高一下·四川凉山·期中）已知向量，满足的夹角.
(1)求的值；
(2)求.
【解析】（1）因为，
则
.
（2）
.
【变式5-3】（24-25高一下·北京顺义·期中）已知向量 和 ，则 ，， 求：
(1) 的值；
(2) 的值；
(3)求向量 在 方向上的投影向量；
【解析】（1）∵ ，， .
∴ ；
（2）∵，
∴ ；
（3）∵，
∴
∴向量 在 方向上的投影向量是.
题型六：平面向量的坐标表示
【例6】（24-25高一下·江苏·期中）已知点，，
(1)若A，B，C三点共线，求实数k的值；
(2)若为等腰三角形，求实数k的值；
(3)若四边形ABCD为矩形，求向量与夹角的余弦值．
【解析】（1）因为A，B，C三点共线，所以，共线，即，
又，，则有，所以；
（2）①若，取AB中点D，则，
又，，则AB中点，
而，，得：，
②若，取BC中点E，则，
又，，，
由，得或3，
由（1）得：时，A，B，C三点共线，舍去．所以，
③若，取AC中点F，则，
又，，，
由，得，方程无解，
综上，或5；
（3）设，因为四边形ABCD为矩形，所以，，
又，，，则，，，
则，，则，
综上，向量与夹角的余弦值为.
【变式6-1】（24-25高一下·河南·期中）已知向量，．
(1)求；
(2)若向量，且，求m的值；
(3)求与垂直的单位向量的坐标．
【解析】（1）由向量，，得，
所以.
（2）向量，则，
由，得，解得，
所以m的值为.
（3），设与垂直的向量，
则，取，得，则，
与向量共线的单位向量为，
所以与垂直的单位向量的坐标或.
【变式6-2】（24-25高一下·江苏连云港·期中）已知平行四边形的三个顶点分别为，，.
(1)求顶点的坐标；
(2)求平行四边形的面积.
【解析】（1）根据平行四边形性质，，
设，即，
解得，故
（2），则，
又，则，
于是到的距离为，
又，
则平行四边形的面积为：
【变式6-3】（24-25高一下·浙江·期中）已知平面向量.
(1)若，求向量的坐标；
(2)若，求的值；
(3)若向量，若与共线，求的值.
【解析】（1）因为，所以，解得，故，
则.
（2）因为，所以，则，
则.
（3），，
若与共线，则，
解得，即，
故.
题型七：四心问题
【例7】（多选题）（23-24高一下·四川成都·期末）的内心为P，外心为O，重心为G，若，，下列结论正确的是（ ）
A．的内切圆半径为 B．
C． D．
【答案】ABD
【解析】取边的中点，连接，
因为，所以内心P、外心O、重心G都在中线上，
且，，内切圆半径，
对于A，由得
，解得，故A正确；
对于B，因为，所以，
，故B正确；
对于C，由余弦定理得，
，所以，
所以的外接圆半径，
，所以，
所以，
，故C错误；
对于D，的外接圆半径，
，所以，故D正确.
故选：ABD.
【变式7-1】（多选题）（23-24高一下·湖南衡阳·期末）已知为的外心，且.若向量在向量上的投影向量为，则的值可能为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BCD
【解析】因为，所以，即，
又因为为的外心，则，
所以，，，
则，即，
且为斜边的中点，过作的垂线，垂足为.
因为在上的投影向量为，
所以在上的投影向量为.
当时，点与点重合，则，，；
当时，如图1，；
当时，如图2，.
所以，
因为，所以当时，取得最小值，且最小值为.
当时，，当时，.
故的取值范围是.
故选：BCD.
【变式7-2】（多选题）（23-24高一下·福建漳州·期末）已知的重心为，外心为，内心为，垂心为，则下列说法正确的是（ ）
A．若是中点，则
B．若，则
C．与不共线
D．若，则
【答案】ABD
【解析】对于A，连接交于点，则点是的中点，是中点，连接，
所以，所以，可得，故A正确；
对于B，取的中点，连接、，因为点为外心，所以，
所以，若，则，
所以，故B正确；
对于C，因为点为垂心，所以，
因为
，
所以，
而，所以与共线，故C错误；
对于D，分别做、交、于、点，
连接延长交于点，可得，设内切圆半径为，
则，所以，
，所以
，
即①，
，所以
，
即②，由①②可得，
在中由余弦定理可得，
因为，
可得，所以，故D正确.
故选：ABD.
【变式7-3】（多选题）（23-24高一下·山西运城·阶段练习）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，O为平面内一点，下列说法正确的有（ ）
A．若O为的外心，且，则
B．若O为的内心，，则
C．若O为的重心，，则角A=60°
D．若O为的外心，且O到a，b，c三边距离分别为则
【答案】AB
【解析】对于A，设外接圆半径为，因为，
所以，则，
也即，所以，则，故选项A正确；
对于B，取的中点，连接，作，垂足分别为，
因为，所以为的角平分线，所以，
又，，所以，则；
因为的周长，面积，
所以内切圆半径，所以，
又，所以，因为，
所以，
则，，所以，故选项B正确；
对于C，因为点为的重心，所以，
又因为，令，
则，在中，由余弦定理可得，
，因为，则，故选项C错误；
对于D，设外接圆半径为，因为，
，
所以，从而得到，同理可得，
所以，故选项D错误，
故选：AB.
题型八：新定义问题
【例8】（23-24高一下·四川成都·期末）定义：，在中，内角所对的边分别为，则满足的一定是（ ）
A．等腰三角形 B．等边三角形
C．直角三角形 D．等腰直角三角形
【答案】A
【解析】因为，所以，由正弦定理可得，
即，
又，，所以，所以，即，
所以为等腰三角形.
故选：A
【变式8-1】（23-24高一下·贵州贵阳·期末）人脸识别就是利用计算机检测样本之间的相似度，余弦距离是检测相似度的常用方法．假设二维空间中有两个点，，O为坐标原点，定义余弦相似度为，余弦距离为．已知，，若P，Q的余弦距离为．则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】，
故，
所以，则.
故选：C
【变式8-2】（23-24高一下·福建三明·期中）设是内一点，且，定义，其中分别是的面积，若，则的最小值是（ ）
A． B．18 C．16 D．9
【答案】B
【解析】设中，角的对边分别为，
，由，得，
，若，则，，
有，得，
，
当且仅当，即时等号成立，
则的最小值是18.
故选：B
【变式8-3】（多选题）（23-24高一下·重庆·期末）对非零向量，，定义运算“”：，其中为与的夹角，则（ ）
A．若，则
B．若，，则
C．若中，，，，则
D．若中，，则是等腰三角形或有内角为135°的三角形
【答案】ABD
【解析】对于A，因为，所以或，
当时，，，所以 ；
当时，，，所以 ，
所以A正确.
对于B，，，
所以，所以，所以B正确.
对于C，因为中，，，，
所以，
所以C错误.
对于D，因为，所以,
所以，所以或，
当时，是等腰三角形；
当时，；
所以是等腰三角形或有内角为135°的三角形，
所以D正确.
故选：ABD.
【强化训练】
1．（24-25高一下·江苏扬州·期中）若向量，，则与的夹角为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】，，，
所以，而
所以与的夹角为.
故选：.
2．（24-25高一下·广东江门·期中）已知，，，则（ ）
A．2027 B．2028 C．2037 D．2038
【答案】C
【解析】，
则，
故选：C．
3．（24-25高一下·重庆江北·期中）如图，在中，，，P为CD上一点，且满足，若的面积为，则的最小值是（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】B
【解析】设，则
，
所以，解得，所以，
，
所以，
，当且仅当时，等号成立.
所以，的最小值为.
故选：B.
4．（24-25高一下·北京·期中）已知平面向量与的夹角为，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
.
故选：B
5．（24-25高一下·河北石家庄·期中）已知向量，满足，，则为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为，即，
则，整理得，
又因为，即，则，所以.
故选：D.
6．（24-25高一下·山东·期中）已知与为相反向量，若，则，夹角的余弦的最小值为（ ）
A． B． C．1 D．
【答案】D
【解析】依题意，，则，
因，且，则，
代入上式，可得，解得，
设，则，且，设，
由两边取平方，
可得，
即，则得，
因，故得，即，夹角的余弦的最小值为.
故选：D.
7．（24-25高一下·山东·期中）已知中，角的对边分别是.则下列命题中：
①若是内部一点，且满足，则与的面积比为；
②若，则一定为等腰三角形；
③为所在平面内的一点，且，则为的内心；
④已知有两解.
正确的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【解析】对于①：因为，
可得，可知点为的重心，
所以，故①错误；
对于②：例如，
则，符合题意，但不为等腰三角形，故②错误；
对于③：由，则，可知，
同理可得，，
所以点为的垂心，故③错误；
对于④：由余弦定理可得，即，
化简可得，则，
则方程存在两个实数解，设两个根为，
可得，，则，
所以有两个解，故④正确.
故选：A.
8．（24-25高一下·广东清远·期中）已知是圆的弦，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】如图：取弦的中点为,
,
故选:D
9．（多选题）（24-25高一下·湖北武汉·期中）已知向量，，记向量，的夹角为，则（ ）
A．若为钝角，则 B．若为锐角，则
C．当时，为直角 D．当时，为平角
【答案】BD
【解析】对于A，因为为钝角，所以且向量，不共线，
由，得，得，由，不共线，得，得，
所以，且，所以A错误，
对于B，因为为锐角，所以且向量，不共线，
由，得，得，由，不共线，得，得，
所以，所以B正确，
对于C，当时，，所以，所以与不垂直，即不是直角，所以C错误，
对于D，当时，，所以，
因为，所以，即为平角，所以D正确.
故选：BD
10．（多选题）（24-25高一下·江苏扬州·期中）下列说法中正确的是（ ）
A．平面内两个非零向量与，则
B．若单位向量，夹角为，则向量在向量上的投影向量为
C．已知非零平面向量，，若存在非零向量使得，则
D．若，则，且、、、四点不一定构成平行四边形
【答案】BD
【解析】对于A，设，，则，故A错误；
对于B，向量在向量上的投影向量为，故B正确；
对于C，若，则，但与不一定相等，故C错误；
对于D，若，且点四点不共线，
则，、、、四点能构成平行四边形；
若，且点四点共线，
则，、、、四点不能构成平行四边形，故D正确；
故选：BD．
11．（多选题）（24-25高一下·山东·期中）已知向量，，则（ ）
A．当时，
B．当时，
C．与夹角为锐角时，则的取值范围为
D．当时，在上的投影向量为
【答案】ACD
【解析】因，，则，.
对于A，由，可得，故A正确；
对于B，时，由，解得，故B错误；
对于C，与夹角为锐角等价于，
解得且，即，即C正确；
对于D，时，，，
则在上的投影向量为，故D正确.
故选：ACD.
12．（多选题）（24-25高一下·安徽芜湖·期中）已知正八边形为正八边形的中心，其中，则下列命题正确的是（ ）．
A．
B．
C．在上的投影向量为
D．若点为正八边形边上的一个动点，则的最大值为4
【答案】BCD
【解析】由题意知，正八边形的每条边所对的中心角均为，且中心到各个顶点的距离都是，
对于A，由，所以A错误；
对于B，连接交于点，则为的中点，且，
由，所以B正确；
对于C，向量在上的投影向量为，所以C正确；
对于D，设向量与的夹角为，则，
其中表示在方向上的投影向量的模，
在正八边形中，可得，延长交与点，
当点在线段上运动时，向量在方向上的投影向量的模取得最大值，且数量积为正数，
又由为等腰直角三角形，且，
在直角中，，
在等腰中，，
则，所以D正确.
故选：BCD.
13．（24-25高一下·云南昭通·期中）若向量满足，则在上的投影向量是 ．
【答案】
【解析】因为，
所以在上的投影向量是．
故答案为：
14．（24-25高一下·湖南·期中）如图，已知是边长为2的等边三角形，D是AB的中点，E是BC的一个靠近点B的三等分点，连接DE并延长至点F，连接AF交BC于点G．若，则的值是 ；若，则的值是 ．
【答案】 /0.4
【解析】因为，
所以，
所以
．
过点作交于点，设，
则
，
，
解得，所以，
又，而，
所以，解得，
所以，
所以，即得．
故答案为：；
15．（24-25高一下·湖南邵阳·期中）设向量的夹角的余弦值为，且，则
【答案】8
【解析】由，得，
又因为向量的夹角的余弦值为，
所以，
，
故答案为：8
16．（24-25高一下·浙江杭州·期中）已知向量，.
(1)求向量与的夹角的大小；
(2)若向量满足，求的值.
【解析】（1）因为，，则，
因为，故.
（2）因为向量满足，
所以，解得，所以，故.
17．（24-25高一下·上海杨浦·期中）已知向量，.
(1)当且时，求实数的值；
(2)当，，求向量与的夹角.
【解析】（1）已知，
所以.
又因为，所以有，
所以，解得或.
由，可知.
（2）因为，所以.
又，所以，
解得，所以.
所以，
因为，所以.
18．（24-25高一下·江苏无锡·期中）已知向量．
(1)求向量在向量上的投影向量；
(2)求向量与夹角为钝角，求m的取值范围．
【解析】（1）由，
则，，
所以向量在向量上的投影向量为.
（2）由，
则，，
因为向量与夹角为钝角，
所以，且与不共线，
则，解得且，
所以m的取值范围为．
19．（24-25高一下·内蒙古兴安盟·期中）我们可以把平面向量坐标的概念推广为“复向量”，即可将有序复数对视为一个向量，记作．两个复向量的线性运算定义为：；两个复向量的积记作，定义为；复向量的模定义为；若复向量与满足，则称复向量与平行．
(1)设，求；
(2)若，求；
(3)判断与能否平行，若能，求出实数的值，若不能，说明理由．
【解析】（1）由，得.
（2）由，得.
（3）与，则
，，
，
若与能平行，则，
即，整理得，
，即方程无实数解，
所以与不平行.
20．（24-25高一下·江苏常州·期中）已知对任意平面向量，把绕其起点逆时针方向旋转角得到，叫做把点绕点沿逆时针方向旋转角得到点．
(1)已知平面内点，点，若把点绕点沿顺时针方向旋转得到点，求点的坐标；
(2)已知，把点绕点沿逆时针方向旋转角得到点，，若，求的值．
【解析】（1）由题意知，
，
又，
所以点P的坐标为．
（2）由题意得：．
因为，所以，
所以，
整理得：①，则，
又，②
因为，所以，
由①②解得：，，或，，
所以．
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