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专题02 平面向量范围与最值问题
【题型归纳目录】
题型一：定义法
题型二：坐标法
题型三：基底法
题型四：几何意义法
【知识点梳理】
平面向量范围与最值问题常用方法：
1、定义法
第一步:利用向量的概念及其基本运算将所求问题转化为相应的等式关系
第二步：运用基木不等式求其最值问题
第三步:得出结论
2、坐标法
第一步 : 根据题意建立适当的直角坐标系并写出相应点的坐标
第二步: 将平面向量的运算坐标化
第三步:运用适当的数学方法如二次函数的思想、基本不等式的思想、三角函数思想等求解
3、基底法
第一步：利用其底转化向量
第二步：根据向量运算律化简目标
第三步：运用适当的数学方法如二次函数的思想、基本不等式的思想、三角函数思想等得出结论
3、几何意义法
第一步: 先确定向量所表达的点的轨迹
第二步: 根据直线与曲线位置关系列式
第三步：解得结果
【典型例题】
题型一：定义法
【例1】（23-24高一下·云南大理·期末）如图，在中，点是边的中点，过点的直线分别交射线于不同的两点.设，则的最大值为（ ）
A． B．1 C． D．2
【变式1-1】（23-24高一下·浙江杭州·期末）已知是单位平面向量，若对任意的，都有，则的最大值为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【变式1-2】（24-25高一下·山东济宁·阶段练习）在中，为线段上一点，且有，则下列命题正确的是（ ）
A． B．
C．的最大值为 D．的最小值为
【变式1-3】（24-25高一下·江西赣州·期中）若向量，满足，则的最小值为（ ）
A．0 B． C． D．
题型二：坐标法
【例2】（24-25高一下·湖北武汉·期中）已知，，，点在直线上运动，则的最小值为 ．
【变式2-1】（23-24高一下·吉林通化·期末）已知的面积为，为直角顶点，设向量、向量，向量，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【变式2-2】（24-25高一下·浙江丽水·期中）在等腰中，，点P在底边（包括端点）上运动，设的最小值为m，最大值为M，则（ ）
A．m不是定值，M是定值 B．m是定值，M不是定值
C．m是定值，M是定值 D．m不是定值，M不是定值
【变式2-3】（24-25高一下·江苏连云港·阶段练习）在平面直角坐标系中，，若点是线段上的动点，设，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
题型三：基底法
【例3】（2025·北京丰台·一模）在平行四边形中，E为边上的动点，O为外接圆的圆心，，且，则的最大值为（ ）
A．3 B．4 C．6 D．8
【变式3-1】（24-25高一下·江苏常州·期中）在正六边形中，是正六边形内部以及边界上任意一点，且，则的最大值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【变式3-2】（多选题）（24-25高一下·河南·期中）窗花是贴在窗子或窗户上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，图1是一个正八边形窗花，图2是从窗花图中抽象出的几何图形的示意图．已知正八边形ABCDEFGH的边长为，点P是正八边形ABCDEFGH边上任意一点，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．的最小值为
C．的最大值为
D．若P在线段BC上，且，则的取值范围为
【变式3-3】（24-25高一下·四川绵阳·阶段练习）中，是的中点，在线段上，且，则的最大值为（ ）
A． B． C．1 D．2
题型四：几何意义法
【例4】（24-25高一下·福建泉州·阶段练习）如图，在大三角形中共有10个网格点，相邻网格点间的距离均为1，从中选取三个不同的网格点A，B，C，则的最大值与最小值的和为（ ）
A． B． C． D．
【变式4-1】（24-25高一下·安徽滁州·期中）已知中，是外接圆的圆心，则的最大值为（ ）
A．1 B． C．2 D．
【变式4-2】（23-24高一下·广东广州·期末）已知为的外接圆圆心，，则的最大值为（ ）
A．2 B．4 C． D．
【变式4-3】（24-25高一下·河南南阳·期中）已知正三角形的边长为，点，都在边上，且，，为线段上一点，为线段的中点，则的最小值为（ ）
A． B．0 C． D．
【强化训练】
1．（24-25高一下·湖北武汉·阶段练习）《易经》是阐述天地世间关于万象变化的古老经典，如图所示的是《易经》中记载的几何图形——八卦图．图中正八边形代表八卦，中间的圆代表阴阳太极图，其余八块面积相等的图形代表八卦田，已知正八边形的边长为4，点是正八边形的内部（包含边界）任一点，则的取值范围是 ．
2．（24-25高一下·浙江·期中）已知为等边三角形，线段MN的中点为A，且，则的取值范围是 ．
3．（24-25高一下·湖北武汉·期中）如图示，矩形中，点，分别是边，上的两点，，．
(1)设，，，求的范围；
(2)若，求的最小值；
(3)若，连接交的延长线于点，为的中点，试探究线段上是否存在一点，使得最大．若存在，求的长；若不存在，说明理由．
4．（24-25高一下·福建厦门·期中）已知，，，试求：
(1)与的夹角；
(2)的最小值，其中.
5．（24-25高一下·江苏常州·阶段练习）在中，满足：，是的中点．
(1)若，求向量与向量的夹角的余弦值；
(2)若是线段上任意一点，且，求的最小值；
(3)若点是内一点，且，，，求的最小值．
6．（24-25高一下·安徽滁州·期中）在平行四边形中，是线段的中点，点在直线上，且.
(1)当时，求的值；
(2)当时，与交于点，求的值；
(3)求的最小值.
7．（24-25高一下·北京石景山·阶段练习）如图，已知是边长为2的正三角形．如图是边的两个四等分点．
(1)求的值；
(2)若为线段上一点，且，求实数的值；
(3)若为线段上的动点，求的最小值．
8．（24-25高一下·江苏南京·期中）已知向量满足，且向量与的夹角为．
(1)求；
(2)若（其中），则当取最小值时，求与的夹角的大小．
9．（24-25高一下·江苏苏州·期中）在长方形中，，，点，分别为边和上两个动点（含端点），设，．
(1)当时，求的取值范围；
(2)当时，求的最大值．
10．（24-25高一下·福建·期中）如图，设等边的边长为为的中心，为边上的三等分点，为边上的三等分点，为边上的三等分点.
(1)求；
(2)设（其中），求的最大值；
(3)设其中，求的最大值.
11．（24-25高一下·江苏镇江·阶段练习）如图所示，在中，D为BC边上一点.过D点的直线EF与直线AB相交于E点，与直线AC相交于F点（E，F两点不重合）.
(1)若，
（ⅰ）用，表示；
（ⅱ）若，，求的值.
(2)若，，P是线段AD上任意一点，求最大值.
12．（24-25高一下·广东江门·阶段练习）如图，设是平面内相交成角的两条数轴，分别是x轴与y轴正方向同向的单位向量，若向量，则把有序数对叫做向量在斜坐标系中的坐标，记为
(1)在斜坐标系中，，求；
(2)在斜坐标系中已知，求的最大值．
13．（24-25高一下·河南·阶段练习）如图，已知半径为2的扇形OAB的圆心角为，C为线段OA的中点，D是上一动点（包含A，B两点）．
(1)求的取值范围；
(2)当时，以，为一组基底向量表示；
(3)若（x，），求的最大值．
14．（2025高一·全国·专题练习）已知扇形半径为1，，弧上的点满足.
(1)求的最大值；
(2)求最小值.
15．（24-25高一下·广东揭阳·期末）已知是坐标原点．
(1)若点A，B，M三点共线，求t的值；
(2)当t取何值时，取到最小值？并求出最小值．
(3)若为线段（含端点）上的动点，求的取值范围．
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专题02 平面向量范围与最值问题
【题型归纳目录】
题型一：定义法
题型二：坐标法
题型三：基底法
题型四：几何意义法
【知识点梳理】
平面向量范围与最值问题常用方法：
1、定义法
第一步:利用向量的概念及其基本运算将所求问题转化为相应的等式关系
第二步：运用基木不等式求其最值问题
第三步:得出结论
2、坐标法
第一步 : 根据题意建立适当的直角坐标系并写出相应点的坐标
第二步: 将平面向量的运算坐标化
第三步:运用适当的数学方法如二次函数的思想、基本不等式的思想、三角函数思想等求解
3、基底法
第一步：利用其底转化向量
第二步：根据向量运算律化简目标
第三步：运用适当的数学方法如二次函数的思想、基本不等式的思想、三角函数思想等得出结论
3、几何意义法
第一步: 先确定向量所表达的点的轨迹
第二步: 根据直线与曲线位置关系列式
第三步：解得结果
【典型例题】
题型一：定义法
【例1】（23-24高一下·云南大理·期末）如图，在中，点是边的中点，过点的直线分别交射线于不同的两点.设，则的最大值为（ ）
A． B．1 C． D．2
【答案】B
【解析】根据题意，，
所以
又，
所以
因为三点共线，
所以，即，由图可知，，
所以，当且仅当时取等号，
所以的最大值为1.
故选：B.
【变式1-1】（23-24高一下·浙江杭州·期末）已知是单位平面向量，若对任意的，都有，则的最大值为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】C
【解析】依题意，设单位向量的夹角为，
因为，
所以则，所以，
根据题意，正整数的最大值为，
故选：C.
【变式1-2】（24-25高一下·山东济宁·阶段练习）在中，为线段上一点，且有，则下列命题正确的是（ ）
A． B．
C．的最大值为 D．的最小值为
【答案】C
【解析】
由为线段上一点，得，
而点在线段上，则，A B错误；
由，得，解得，当且仅当取等号，C正确；
，当且仅当时取等号，D错误.
故选：C
【变式1-3】（24-25高一下·江西赣州·期中）若向量，满足，则的最小值为（ ）
A．0 B． C． D．
【答案】C
【解析】由，所以，
又，所以，解得，
当且仅当，且，方向相反时取等号，所以的最小值为.
故选：C.
题型二：坐标法
【例2】（24-25高一下·湖北武汉·期中）已知，，，点在直线上运动，则的最小值为 ．
【答案】/
【解析】因为点在直线上运动，设，所以，
因为，，所以，，
，，
所以
，
当时，有最小值.
故答案为：
【变式2-1】（23-24高一下·吉林通化·期末）已知的面积为，为直角顶点，设向量、向量，向量，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由题知，以为原点，，分别为，轴建立平面直角坐标系，
设，，且，，则，
则，，，
所以，，，
所以，
当且仅当，即，时取等号.
故的最大值为.
故选：B
【变式2-2】（24-25高一下·浙江丽水·期中）在等腰中，，点P在底边（包括端点）上运动，设的最小值为m，最大值为M，则（ ）
A．m不是定值，M是定值 B．m是定值，M不是定值
C．m是定值，M是定值 D．m不是定值，M不是定值
【答案】C
【解析】以BC中点O建立直角坐标系，则A、B、C点坐标分别为，，，
点P在底边（包括端点）上运动，所以，
，
因为，所以的最小值为，最大值为，都为定值.
故选：C.
【变式2-3】（24-25高一下·江苏连云港·阶段练习）在平面直角坐标系中，，若点是线段上的动点，设，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由已知，
∵，且，∴，
∵为线段AB上的动点，则，，
∵，，
则．
所以，其中，且为锐角，则，
所以时，的最大值为，
故选：B．
题型三：基底法
【例3】（2025·北京丰台·一模）在平行四边形中，E为边上的动点，O为外接圆的圆心，，且，则的最大值为（ ）
A．3 B．4 C．6 D．8
【答案】C
【解析】由可知O为的中点，又因为O为外接圆的圆心，
所以为直角三角形，，所以，
又因为所以所以，
又因为E为边上的动点，所以
，
因为，所以即
所以的最大值为6.
故选：C
【变式3-1】（24-25高一下·江苏常州·期中）在正六边形中，是正六边形内部以及边界上任意一点，且，则的最大值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【解析】如图，过作于，
设正六边形的边长为，则，，
则，
因为，
所以，
又，
由于是正六边形内部以及边界上任意一点，所以，
所以，即，所以，
故的最大值为.
故选：C.
【变式3-2】（多选题）（24-25高一下·河南·期中）窗花是贴在窗子或窗户上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，图1是一个正八边形窗花，图2是从窗花图中抽象出的几何图形的示意图．已知正八边形ABCDEFGH的边长为，点P是正八边形ABCDEFGH边上任意一点，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．的最小值为
C．的最大值为
D．若P在线段BC上，且，则的取值范围为
【答案】ABD
【解析】对于A，由正八边形的结构特征可知：，
则，所以，
所以，故A正确；
对于B，由正八边形的结构特征可知，
当点在边上时（不包含两点），
的夹角为锐角，此时，
当点在上时，设，则
则，
当时，取得最小值，
综上所述，的最小值为，故B正确；
对于C，由题意可知，当点在边上时，
在方向上的投影最大，
最大值为，
根据数量积的几何意义可得的最大值为，故C错误；
对于D，设，
则
，
所以，
所以，故D正确.
故选：ABD.
【变式3-3】（24-25高一下·四川绵阳·阶段练习）中，是的中点，在线段上，且，则的最大值为（ ）
A． B． C．1 D．2
【答案】C
【解析】由是的中点得，所以，
因为三点共线，所以，
所以，
当时，的最大值为1.
故选：C
题型四：几何意义法
【例4】（24-25高一下·福建泉州·阶段练习）如图，在大三角形中共有10个网格点，相邻网格点间的距离均为1，从中选取三个不同的网格点A，B，C，则的最大值与最小值的和为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由，得取最大同时在上投影最大，则取得最大值，
如图，当 分别是最大的正三角形底边的端点，
B 点是 C 点上方且紧靠 C 的一点时， 最大，且在向量上的投影也达到最大值，
则此时取得最大值，最大值为；
由，取最大同时在上投影最小，则取得最小值，
当分别是最大的正三角形的底边的端点，且 A 点是 之间的一点时，
，此时达到最小值，
所以的最大值与最小值的和为.
故选：C
【变式4-1】（24-25高一下·安徽滁州·期中）已知中，是外接圆的圆心，则的最大值为（ ）
A．1 B． C．2 D．
【答案】C
【解析】过点作，垂足分别为，
因为是外接圆的圆心，则为的中点，
则，
由正弦定理得，
等号当且仅当时成立，
则，
所以的最大值为.
故选：C
【变式4-2】（23-24高一下·广东广州·期末）已知为的外接圆圆心，，则的最大值为（ ）
A．2 B．4 C． D．
【答案】B
【解析】如图所示：
因为为的外接圆圆心，，所以，
且，
所以，
故当共线反向时，取到最大值.
故选：B.
【变式4-3】（24-25高一下·河南南阳·期中）已知正三角形的边长为，点，都在边上，且，，为线段上一点，为线段的中点，则的最小值为（ ）
A． B．0 C． D．
【答案】D
【解析】因为，即为的中点，又，所以为的中点，
又正三角形的边长为，所以，
依题意，，
所以，
所以当时取得最小值，
如图，此时点在的位置，连接，则，
又，，所以，
所以，
所以.
故选：D
【强化训练】
1．（24-25高一下·湖北武汉·阶段练习）《易经》是阐述天地世间关于万象变化的古老经典，如图所示的是《易经》中记载的几何图形——八卦图．图中正八边形代表八卦，中间的圆代表阴阳太极图，其余八块面积相等的图形代表八卦田，已知正八边形的边长为4，点是正八边形的内部（包含边界）任一点，则的取值范围是 ．
【答案】．
【解析】
如图，根据向量数量积的几何意义， 等于在上的投影与的数量积，
因为正八边形，所以每个内角为，
所以，即在上投影为，
当在上时， 设与交点为，为等腰直角三角形，
则最小为；
同理： 最大为，
所以的取值范围是．
故答案为： ．
2．（24-25高一下·浙江·期中）已知为等边三角形，线段MN的中点为A，且，则的取值范围是 ．
【答案】
【解析】
因为为等边三角形，且，以A为坐标原点以为x轴，过A且垂直AB的直线为轴建系，
则，因为，设，
所以，
所以
，
所以，所以，
所以的取值范围是.
故答案为：
3．（24-25高一下·湖北武汉·期中）如图示，矩形中，点，分别是边，上的两点，，．
(1)设，，，求的范围；
(2)若，求的最小值；
(3)若，连接交的延长线于点，为的中点，试探究线段上是否存在一点，使得最大．若存在，求的长；若不存在，说明理由．
【解析】（1）由，，且，，
故，，
所以
由，故
（2）如图所示，以点为坐标原点，为轴，建立直角坐标系，
设，，则，
当且仅当，即时，等号成立，
即的最小值为.
（3）如图所示，以点为坐标原点，为轴，建立直角坐标系，
由题意可得，，，即
假设存在点，使得最大，由，即有最大，
设，当时，角度为0，此时不可能最大，故
则
当且仅当，即时，等号成立，
即存在一点，使得最大，且此时.
4．（24-25高一下·福建厦门·期中）已知，，，试求：
(1)与的夹角；
(2)的最小值，其中.
【解析】（1）由，得，而，，则，
因此，而，
所以与的夹角.
（2）由（1）知，，
则，当且仅当时取等号，
所以的最小值为.
5．（24-25高一下·江苏常州·阶段练习）在中，满足：，是的中点．
(1)若，求向量与向量的夹角的余弦值；
(2)若是线段上任意一点，且，求的最小值；
(3)若点是内一点，且，，，求的最小值．
【解析】（1）因为，所以，
因为，
所以，
，
，
所以；
（2）因为，，是的中点，
所以，
设，则，
因为是的中点，所以
所以
，
当且仅当时，的最小值是．
（3）设，，则，
因为，所以，所以，
因为，所以，所以，
所以
，
因为，所以，
所以当，即时，，
所以，所以
6．（24-25高一下·安徽滁州·期中）在平行四边形中，是线段的中点，点在直线上，且.
(1)当时，求的值；
(2)当时，与交于点，求的值；
(3)求的最小值.
【解析】（1）由已知当时，，
所以，，
所以，
因为，所以，
.
（2）当时，，即为的中点，
因为三点共线，
设，则
，
因为三点共线，
设，则，
又不共线，
根据平面向量基本定理得解得
所以，又，则
所以.
（3）因为，，
所以
，
由（1），又，
所以
，
因为，所以当时，取得最小值，且最小值为.
7．（24-25高一下·北京石景山·阶段练习）如图，已知是边长为2的正三角形．如图是边的两个四等分点．
(1)求的值；
(2)若为线段上一点，且，求实数的值；
(3)若为线段上的动点，求的最小值．
【解析】（1）因为，
所以
.
（2）设，则，
所以，解得.
（3）记，
，
设，
则，，
，，
所以当，即时，取得最小值为.
8．（24-25高一下·江苏南京·期中）已知向量满足，且向量与的夹角为．
(1)求；
(2)若（其中），则当取最小值时，求与的夹角的大小．
【解析】（1）因为，且向量与的夹角为，
所以，所以．
（2），
所以时，，此时，所以，
所以与的夹角的大小为．
9．（24-25高一下·江苏苏州·期中）在长方形中，，，点，分别为边和上两个动点（含端点），设，．
(1)当时，求的取值范围；
(2)当时，求的最大值．
【解析】（1）以为原点，分别为轴的正方向建立平面直角坐标系，
设，则，易知，
则，即，
所以，
令，则，
由对勾函数性质可知，在上单调递减，在上单调递增，
又，所以，
所以，即的取值范围为.
（2）设，则由题可得，
即，表示以为圆心，为半径的四分之一个圆.
令，
因为，则有
，
其中，
因为，所以，
所以当时，取得最大值.
10．（24-25高一下·福建·期中）如图，设等边的边长为为的中心，为边上的三等分点，为边上的三等分点，为边上的三等分点.
(1)求；
(2)设（其中），求的最大值；
(3)设其中，求的最大值.
【解析】（1）（法一）.
.
（法二）取的中点，则，
.
（2）法一，，
，
所以，
当时，取到最大值.
法二：因为与的夹角为钝角，所以越小，越大，
所以当时，取到最大值，
同理，当时，取到最大值.
所以的最大值为.
后续同法一.
（3）
.
同理得，
，
所以.
令.
当时，；
当或者时，；
当时，.
综上，的最大值为.
11．（24-25高一下·江苏镇江·阶段练习）如图所示，在中，D为BC边上一点.过D点的直线EF与直线AB相交于E点，与直线AC相交于F点（E，F两点不重合）.
(1)若，
（ⅰ）用，表示；
（ⅱ）若，，求的值.
(2)若，，P是线段AD上任意一点，求最大值.
【解析】（1）（ⅰ）在中，由，又，
所以，
所以
,
（ⅱ）因为，
又，，
所以，，
所以，
又三点共线，且在线外，
所以有：，即.
（2）由于，故是的中点，故，
，
当且仅当时取等号，故最大值为2，
12．（24-25高一下·广东江门·阶段练习）如图，设是平面内相交成角的两条数轴，分别是x轴与y轴正方向同向的单位向量，若向量，则把有序数对叫做向量在斜坐标系中的坐标，记为
(1)在斜坐标系中，，求；
(2)在斜坐标系中已知，求的最大值．
【解析】（1）由题意可得，
因为，可得，
所以，
所以.
（2）由题意可知,，所以，
所以，
令，则，
又因为，且，所以，
所以，所以，
又因为函数在单调递增，
即：时，函数取到最大值3，
即，则有，
所以当时，的最大值为.
13．（24-25高一下·河南·阶段练习）如图，已知半径为2的扇形OAB的圆心角为，C为线段OA的中点，D是上一动点（包含A，B两点）．
(1)求的取值范围；
(2)当时，以，为一组基底向量表示；
(3)若（x，），求的最大值．
【解析】（1）设，，
因为，
故，
所以的取值范围为．
（2），
则在方向上的投影向量为，
在方向上的投影向量为，
所以，
所以，
将代入，得．
（3）因为，，
所以，
又由（2）知，
故
则，
因为，所以当且仅当时，取得最大值1，
故的最大值为．
14．（2025高一·全国·专题练习）已知扇形半径为1，，弧上的点满足.
(1)求的最大值；
(2)求最小值.
【解析】（1）由题设，构建如下图示的直角坐标系，且，
设，，则，
所以，，，
由，得，
即，，解得，
所以，
所以当时，取得最大值，且.
（2）由（1）可得，，
所以
，
因为，所以当，即当时，取得最小值是.
15．（24-25高一下·广东揭阳·期末）已知是坐标原点．
(1)若点A，B，M三点共线，求t的值；
(2)当t取何值时，取到最小值？并求出最小值．
(3)若为线段（含端点）上的动点，求的取值范围．
【解析】（1），
，
三点共线，与共线，即，
，
解得：．
（2），
，
∴当时，
取得最小值．
（3）由题意，设，
则，所以，
，
因为，所以当时有最小值，
当时有最大值20，所以的取值范围为，
故的取值范围为．
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