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专题03 三角恒等变换的灵活运用
【题型归纳目录】
题型一：给角求值型问题
题型二：给值求值型问题
题型三：给值求角型问题
题型四：三角恒等变换的化简问题
题型五：辅助角公式的高级应用
题型六：实际应用问题
【知识点梳理】
知识点1、两角和与差的正弦、余弦、正切公式
（1）和角公式
（），
（），
（）.
（2）差角公式
（），
（），
（）.
知识点2、二倍角的正弦、余弦、正切公式
（），
（），
（）
知识点3、降幂公式
，， .
知识点4、半角公式
，，.
其中，符号由所在象限决定.
知识点5、辅助角公式
，
其中，.叫做辅助角，的终边过点.
【典型例题】
题型一：给角求值型问题
【例1】（24-25高一上·吉林长春·期末）（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】.
故选：A
【变式1-1】（23-24高一下·江苏淮安·期末）（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为原式．
故选：D.
【变式1-2】（23-24高一上·广东茂名·期末）的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】原式.
故选：A
【变式1-3】（24-25高一下·江苏宿迁·阶段练习）（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
.
故选：C.
题型二：给值求值型问题
【例2】（23-24高一下·广东汕尾·期末）若，则（ ）
A． B．2 C． D．4
【答案】B
【解析】因为，
所以
.
故选：B.
【变式2-1】（23-24高一下·江苏南通·期末）若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】令，，则，
令，则
所以
故选：B.
【变式2-2】（23-24高一下·江西景德镇·期末）已知，，，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由题意得，所以，
因为，所以，所以，
又，所以，且,
所以，且.
因为，所以，又，所以，
所以，
又，所以.
因为，所以，所以.
所以.
故选：A.
【变式2-3】（24-25高一下·江苏苏州·期中）若，，其中，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】设，已知，令，
根据三角恒等式可得：
代入已知条件，，
得：，
计算得： ，即.
由于，均为非负数，故，即.
故选：B
题型三：给值求角型问题
【例3】（24-25高一下·江苏扬州·期中）已知，，，，则的值为 .
【答案】
【解析】因为，，则，
所以，
则，
且，，，
则.
故答案为：
【变式3-1】（24-25高一下·江苏南京·期中）已知，．
(1)求的值；
(2)若，且，求的值．
【解析】（1）由
即，解得，
因为，所以．
（2）因为，且，所以，
所以，
所以，
又，，所以，
所以．
【变式3-2】（24-25高一下·江苏南通·阶段练习）在①，②，③中任选一个条件，补充在下面问题中，并解决问题.
已知，且 .
(1)求的值；
(2)若，求.
说明：若选择多个条件解答，则按第一个选择给分.
【解析】（1），
若选①，由
得：
若选②，则，
则
若选③，则,
又得
综上：，
.
（2）
，
又由（1）知，
，
.
【变式3-3】（24-25高一下·江苏南通·期中）已知锐角满足．
(1)求的值；
(2)求的值．
【解析】（1）因为，，所以，
因为，，所以，
则，又，所以，则，
所以.
（2）由（1）得，
因为，，，所以，
由（1）知，所以，
则，所以.
题型四：三角恒等变换的化简问题
【例4】（24-25高一上·吉林长春·期末）已知函数.
(1)求的单调递减区间；
(2)若在上存在最小值，求实数的取值范围.
【解析】（1），
，
，
，
令，则，
即的单调递减区间为：.
（2）令，解得，
即是函数的对称轴，
又由（1）可知函数在区间上单调递增，
结合对称性可知当时，，
此时函数在上不存在最小值，
当时，，
在区间上最小值
或者在处取得，
或者在整个函数的最低点处取得，
当时，，即时取得最小值，
所以实数的取值范围.
【变式4-1】（24-25高一上·黑龙江佳木斯·期末）已知函数已知函数.
(1)求的最小正周期及单调递减区间；
(2)求在上的最大值和最小值.
【解析】（1）因为，所以的最小正周期.
由，，得，，
得，，
所以的单调递减区间是，.
（2）当时，，
当，即时，
当，即时，
即时最小值为，时最大值为1.
【变式4-2】（24-25高一上·黑龙江哈尔滨·期末）已知函数，（）的周期是.
(1)求函数的解析式并求函数在上的单调增区间；
(2)解不等式；
(3)若时，不等式恒成立，求实数m的取值范围.
【解析】（1）因为
，
因为，所以，所以，
因为，所以，
当时，即时函数单调递增，
所以函数的单调递增区间为：.
（2）因为，即，
所以，，
解得：，，
所以不等式的解集为：.
（3）当时，，此时，
因为不等式恒成立，
所以，解得：.
【变式4-3】（24-25高一下·北京·期中）已知函数．
(1)求的单调递增区间；
(2)若函数的零点为，求．
【解析】（1），
令，解得，
所以的单调递增区间为.
（2）由（1）得，
因为函数的零点为，所以.
题型五：辅助角公式的高级应用
【例5】（2025·吉林延边·一模）已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由，
可得，
即，
所以，
故选：C
【变式5-1】（24-25高一上·江苏无锡·期末）已知，，，则a，b，c的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】，
所以.
故选：A
【变式5-2】（24-25高一上·安徽合肥·期末）若时，取得最大值，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为（其中，）
所以.
当时取“”.
此时；
，
所以.
故选：A
【变式5-3】（23-24高一下·云南怒江·期末）已知，满足，则当时，的值域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由，则，解得，
由，
且，即，则.
故选：D.
题型六：实际应用问题
【例6】（24-25高一下·江苏苏州·期中）如图，某休闲用地的中央区域是边长为2（百米）的等边三角形，外围是以，为圆心，2（百米）为半径的圆弧.管理部门在矩形的三边安装灯带（其中在圆弧上，都在线段上），记.
(1)写出灯带的总长度关于的函数，并求出该函数的值域；
(2)管理部门还准备在矩形的内部建造一个圆形喷泉，试求圆形喷泉半径的最大值.
【解析】（1）在直角三角形中，有，
于是，由对称性得，
所以，
所以灯带长，
，其中，
则，由正弦函数性质得，
则灯带总长度的值域是.
（2）由题意得最大的圆的直径是矩形的两边中的较小者，
则，故.
令，得到，
解得（舍）或，故，
记锐角满足，于是当时，单调递增；
当时，单调递减，的最大值等于.
故圆形喷泉半径的最大值为（百米）.
【变式6-1】（24-25高一下·上海·阶段练习）近年来，某市认真践行“绿水青山就是金山银山”生态文明理念，围绕良好的生态禀赋和市场需求，深挖冷水鱼产业发展优势潜力，现已摸索出以虹鳟、鲟鱼等养殖为主方向．为扩大养殖规模，某鲟鱼养殖场计划在如图所示的扇形区域内修建矩形水池，矩形一边在上，点在圆弧上，点在边上，且，米，设.
(1)若，求矩形的面积；
(2)若矩形的面积为，当为何值时，取得最大值，并求出这个最大值.
【解析】（1）在中，，，
，，其中.
在中，，，
，，
.
∴矩形的面积为
.
当时，，
即矩形的面积为.
（2）由（1）知：矩形的面积为，其中.
，
∴当，即时，取得最大值，最大值为.
【变式6-2】（24-25高一下·四川成都·阶段练习）在校园美化、改造活动中，要在半径为30m、圆心角为的扇形空地的内部修建一矩形观赛场地，如图所示，取的中点M，记.
(1)用角表示线段与；
(2)写出矩形的面积S与角的函数关系式；
(3)求当角为何值时，矩形的面积最大？并求出最大面积.
【解析】（1）由题可知，在中，，，
∴，在中，，
∴，，，.
（2）
，.
（3）∵，∴，
∴当，即时，，
故当时，矩形的面积最大，最大值为.
【变式6-3】（24-25高一下·江苏·阶段练习）如图，在半径为2，圆心角为的扇形的弧上任取一点，作扇形的内接矩形，使点在上，点在上，求这个矩形面积的最大值及相应的角的大小.
【解析】设，则，在中，
在中，因，则，
于是，，
故矩形的面积为
，
因，则，故当，
即时，.
即当时，矩形的面积取得最大值为.
【强化训练】
1．（2024·河北石家庄·模拟预测）已知，，则（ ）
A．3 B． C． D．
【答案】D
【解析】因为，则，，
又因为，
则①，
等式①的两边同时除以
可得，解得.
故选：D.
2．（23-24高一上·山东济南·期末）已知函数在区间有且仅有2个零点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由
，
又，则，
函数在上恰有2个零点，即在上有2个解，
所以，解得．
故选：A
3．（24-25高三上·江苏常州·期中）已知，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由，，可得，则，
，则或，
由于，所以，，
，
故选：B
4．（24-25高一上·云南曲靖·期末）若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由；
故选：A
5．（23-24高一上·浙江杭州·期末）已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】∵，∴，
∴.
故选：A.
6．（23-24高一上·广西柳州·期末）已知都是锐角，，（ ）．
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为为锐角，
所以，
又，
所以，，
又，
所以
故选：A.
7．（20-21高一下·陕西宝鸡·期末）计算的结果等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】.
故选：B
8．（23-24高一上·山西忻州·期末）已知，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为，，则.
故选：D.
9．（23-24高一下·云南昭通·期中）如图，有三个相同的正方形相接，若，则（ ）
A． B．1 C． D．
【答案】B
【解析】设正方体边长为1，由图可得，
则，
故选：B
10．（24-25高一下·四川·期中）化简 的结果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由二倍角公式：.
故选：C
11．（24-25高一下·四川·期中）已知，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
，
则.
故选：A
12．（多选题）（24-25高一下·四川成都·期中）下列等式成立的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】BC
【解析】A：，故A错误；
B：，故B正确；
C：，
所以，故C正确；
D：，故D错误.
故选：BC
13．（多选题）（24-25高一下·河南新乡·期中）如图，在中，，，，是的中点，是以为圆心，为半径的圆上任意一点，则的值可能为（ ）
A． B．1 C． D．3
【答案】ABC
【解析】在中，，，，
所以，则，
因为是的中点，所以，
如图建立平面直角坐标系，
则，，，
设，
则，，
所以，
因为，所以，故符合题意的有ABC.
故选：ABC
14．（24-25高一下·上海·期中）已知，，则 ．
【答案】
【解析】，，
，
则，所以.
故答案为：0.
15．（24-25高一下·江苏连云港·期中）已知，，且，.
(1)的值；
(2)的值.
【解析】（1）根据两角差的正切公式，，解得，
（2）注意到，则，，于是，
结合（1）结果，则，
，则，由可知.
于是，
，
故是第一象限角，
，，则，
于是
16．（24-25高一下·江苏徐州·期中）已知．
(1)求的值；
(2)求的大小．
【解析】（1）因为，所以，解得（负值舍去）；
所以，
所以．
（2）因为，所以，
又因为，所以，
所以
，
又因为，所以．
17．（24-25高一下·北京·期中）如图，市政改造工程要在道路的一侧修建一条新步道，新步道的前一部分为曲线段，该曲线段是函数，的图象，且图象的最高点为，新步道的中部分为长1千米的直线跑道，且，新步道的后一部分是以为圆心的一段圆弧．
(1)求曲线段的解析式和的大小；
(2)若计划在圆弧步道所对应的扇形区域内建面积尽可能大的矩形区域服务站，并要求矩形的一边紧靠道路上，一个顶点在半径上，另外一个顶点在圆弧上，且，若矩形的面积记为，求的解析式，并求的最大值以及相应的值．
【解析】（1）由题意可得：，即，
且，则，
所以曲线段的解析式为，
当时，，
又因为，则，
可知锐角，所以；
（2）由（1）可知，，且,
则，
可得，
则
；
因为，则，
可知当，即时，，
所以当时，取得最大值．
18．（24-25高一下·四川·期中）已知函数．
(1)求的定义域A，并化简函数；
(2)若对任意，不等式恒成立，求实数m的最小值．
【解析】（1）的定义域由满足 及的值组成，
即及，
所以 及，得，，
因此 ．
在前提下，化简函数
=．
（2）对任意，不等式 ≤恒成立，
恒成立．
而当时，，所以实数m的最小值为3．
19．（24-25高一下·广东清远·期中）已知，，，.
(1)求的值；
(2)求的值.
【解析】（1）由于，故，结合，故，
故
（2）由，，故，，
由，可得，
故，
因为，故，
20．（24-25高一下·四川成都·期中）已知函数，.
(1)当时，求函数的最小值；
(2)当时，求函数在区间上的值域；
(3)当时，若恒成立，求实数的取值范围.
【解析】（1），
则
，
当且仅当时取等号，所以函数的最小值为；
（2），
令，则，因，
则，又在上单调递增，在上单调递减.
则，又.
则，因在上单调递增，
则，
即函数在区间上的值域为；
（3），
.
则
恒成立，
又，
，
则
恒成立，则
，
令，因，函数在
上递减，在上单调递增，则.
则
，当且仅当时，即时取等号.
则.
所以实数的取值范围为.
21．（24-25高一下·湖北·期中）如图，扇形OAB的半径为1，圆心角为是弧上的动点（不含点），作交OB于点，作交OA于点，同时以OA为斜边，作，且．
(1)设，将的面积表示成的函数并求其最大值；
(2)从点出发，经过线段，到达点，求途经线段长度的最大值．
【解析】（1）由，则，
在中，，，
则，，
所以，
因为，则，
当时，即当时，的面积取最大值，且最大值为.
（2）过点作，垂足为点，
因为，，，则四边形为矩形，
所以，，，
因为，，则为等腰直角三角形，则，
所以，，
，，
所以，，
令，
因为，则，则，
所以，，，
所以，，
所以，，
故当时，取最大值，
因此，从点出发，经过线段、、、，到达点，求途径线段长度的最大值为.
22．（24-25高一下·江苏常州·期中）已知对任意平面向量，把绕其起点逆时针方向旋转角得到，叫做把点绕点沿逆时针方向旋转角得到点．
(1)已知平面内点，点，若把点绕点沿顺时针方向旋转得到点，求点的坐标；
(2)已知，把点绕点沿逆时针方向旋转角得到点，，若，求的值．
【解析】（1）由题意知，
，
又，
所以点P的坐标为．
（2）由题意得：．
因为，所以，
所以，
整理得：①，则，
又，②
因为，所以，
由①②解得：，，或，，
所以．
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专题03 三角恒等变换的灵活运用
【题型归纳目录】
题型一：给角求值型问题
题型二：给值求值型问题
题型三：给值求角型问题
题型四：三角恒等变换的化简问题
题型五：辅助角公式的高级应用
题型六：实际应用问题
【知识点梳理】
知识点1、两角和与差的正弦、余弦、正切公式
（1）和角公式
（），
（），
（）.
（2）差角公式
（），
（），
（）.
知识点2、二倍角的正弦、余弦、正切公式
（），
（），
（）
知识点3、降幂公式
，， .
知识点4、半角公式
，，.
其中，符号由所在象限决定.
知识点5、辅助角公式
，
其中，.叫做辅助角，的终边过点.
【典型例题】
题型一：给角求值型问题
【例1】（24-25高一上·吉林长春·期末）（ ）
A． B． C． D．
【变式1-1】（23-24高一下·江苏淮安·期末）（ ）
A． B． C． D．
【变式1-2】（23-24高一上·广东茂名·期末）的值为（ ）
A． B． C． D．
【变式1-3】（24-25高一下·江苏宿迁·阶段练习）（ ）
A． B． C． D．
题型二：给值求值型问题
【例2】（23-24高一下·广东汕尾·期末）若，则（ ）
A． B．2 C． D．4
【变式2-1】（23-24高一下·江苏南通·期末）若，则（ ）
A． B． C． D．
【变式2-2】（23-24高一下·江西景德镇·期末）已知，，，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【变式2-3】（24-25高一下·江苏苏州·期中）若，，其中，则（ ）
A． B． C． D．
题型三：给值求角型问题
【例3】（24-25高一下·江苏扬州·期中）已知，，，，则的值为 .
【变式3-1】（24-25高一下·江苏南京·期中）已知，．
(1)求的值；
(2)若，且，求的值．
【变式3-2】（24-25高一下·江苏南通·阶段练习）在①，②，③中任选一个条件，补充在下面问题中，并解决问题.
已知，且 .
(1)求的值；
(2)若，求.
说明：若选择多个条件解答，则按第一个选择给分.
【变式3-3】（24-25高一下·江苏南通·期中）已知锐角满足．
(1)求的值；
(2)求的值．
题型四：三角恒等变换的化简问题
【例4】（24-25高一上·吉林长春·期末）已知函数.
(1)求的单调递减区间；
(2)若在上存在最小值，求实数的取值范围.
【变式4-1】（24-25高一上·黑龙江佳木斯·期末）已知函数已知函数.
(1)求的最小正周期及单调递减区间；
(2)求在上的最大值和最小值.
【变式4-2】（24-25高一上·黑龙江哈尔滨·期末）已知函数，（）的周期是.
(1)求函数的解析式并求函数在上的单调增区间；
(2)解不等式；
(3)若时，不等式恒成立，求实数m的取值范围.
【变式4-3】（24-25高一下·北京·期中）已知函数．
(1)求的单调递增区间；
(2)若函数的零点为，求．
题型五：辅助角公式的高级应用
【例5】（2025·吉林延边·一模）已知，则（ ）
A． B． C． D．
【变式5-1】（24-25高一上·江苏无锡·期末）已知，，，则a，b，c的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【变式5-2】（24-25高一上·安徽合肥·期末）若时，取得最大值，则（ ）
A． B． C． D．
【变式5-3】（23-24高一下·云南怒江·期末）已知，满足，则当时，的值域为（ ）
A． B． C． D．
题型六：实际应用问题
【例6】（24-25高一下·江苏苏州·期中）如图，某休闲用地的中央区域是边长为2（百米）的等边三角形，外围是以，为圆心，2（百米）为半径的圆弧.管理部门在矩形的三边安装灯带（其中在圆弧上，都在线段上），记.
(1)写出灯带的总长度关于的函数，并求出该函数的值域；
(2)管理部门还准备在矩形的内部建造一个圆形喷泉，试求圆形喷泉半径的最大值.
【变式6-1】（24-25高一下·上海·阶段练习）近年来，某市认真践行“绿水青山就是金山银山”生态文明理念，围绕良好的生态禀赋和市场需求，深挖冷水鱼产业发展优势潜力，现已摸索出以虹鳟、鲟鱼等养殖为主方向．为扩大养殖规模，某鲟鱼养殖场计划在如图所示的扇形区域内修建矩形水池，矩形一边在上，点在圆弧上，点在边上，且，米，设.
(1)若，求矩形的面积；
(2)若矩形的面积为，当为何值时，取得最大值，并求出这个最大值.
【变式6-2】（24-25高一下·四川成都·阶段练习）在校园美化、改造活动中，要在半径为30m、圆心角为的扇形空地的内部修建一矩形观赛场地，如图所示，取的中点M，记.
(1)用角表示线段与；
(2)写出矩形的面积S与角的函数关系式；
(3)求当角为何值时，矩形的面积最大？并求出最大面积.
【变式6-3】（24-25高一下·江苏·阶段练习）如图，在半径为2，圆心角为的扇形的弧上任取一点，作扇形的内接矩形，使点在上，点在上，求这个矩形面积的最大值及相应的角的大小.
【强化训练】
1．（2024·河北石家庄·模拟预测）已知，，则（ ）
A．3 B． C． D．
2．（23-24高一上·山东济南·期末）已知函数在区间有且仅有2个零点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．（24-25高三上·江苏常州·期中）已知，且，则（ ）
A． B． C． D．
4．（24-25高一上·云南曲靖·期末）若，则（ ）
A． B． C． D．
5．（23-24高一上·浙江杭州·期末）已知，则（ ）
A． B． C． D．
6．（23-24高一上·广西柳州·期末）已知都是锐角，，（ ）．
A． B． C． D．
7．（20-21高一下·陕西宝鸡·期末）计算的结果等于（ ）
A． B． C． D．
8．（23-24高一上·山西忻州·期末）已知，，则（ ）
A． B． C． D．
9．（23-24高一下·云南昭通·期中）如图，有三个相同的正方形相接，若，则（ ）
A． B．1 C． D．
10．（24-25高一下·四川·期中）化简 的结果是（ ）
A． B． C． D．
11．（24-25高一下·四川·期中）已知，则的值为（ ）
A． B． C． D．
12．（多选题）（24-25高一下·四川成都·期中）下列等式成立的是（ ）
A．
B．
C．
D．
13．（多选题）（24-25高一下·河南新乡·期中）如图，在中，，，，是的中点，是以为圆心，为半径的圆上任意一点，则的值可能为（ ）
A． B．1 C． D．3
14．（24-25高一下·上海·期中）已知，，则 ．
15．（24-25高一下·江苏连云港·期中）已知，，且，.
(1)的值；
(2)的值.
16．（24-25高一下·江苏徐州·期中）已知．
(1)求的值；
(2)求的大小．
17．（24-25高一下·北京·期中）如图，市政改造工程要在道路的一侧修建一条新步道，新步道的前一部分为曲线段，该曲线段是函数，的图象，且图象的最高点为，新步道的中部分为长1千米的直线跑道，且，新步道的后一部分是以为圆心的一段圆弧．
(1)求曲线段的解析式和的大小；
(2)若计划在圆弧步道所对应的扇形区域内建面积尽可能大的矩形区域服务站，并要求矩形的一边紧靠道路上，一个顶点在半径上，另外一个顶点在圆弧上，且，若矩形的面积记为，求的解析式，并求的最大值以及相应的值．
18．（24-25高一下·四川·期中）已知函数．
(1)求的定义域A，并化简函数；
(2)若对任意，不等式恒成立，求实数m的最小值．
19．（24-25高一下·广东清远·期中）已知，，，.
(1)求的值；
(2)求的值.
20．（24-25高一下·四川成都·期中）已知函数，.
(1)当时，求函数的最小值；
(2)当时，求函数在区间上的值域；
(3)当时，若恒成立，求实数的取值范围.
21．（24-25高一下·湖北·期中）如图，扇形OAB的半径为1，圆心角为是弧上的动点（不含点），作交OB于点，作交OA于点，同时以OA为斜边，作，且．
(1)设，将的面积表示成的函数并求其最大值；
(2)从点出发，经过线段，到达点，求途经线段长度的最大值．
22．（24-25高一下·江苏常州·期中）已知对任意平面向量，把绕其起点逆时针方向旋转角得到，叫做把点绕点沿逆时针方向旋转角得到点．
(1)已知平面内点，点，若把点绕点沿顺时针方向旋转得到点，求点的坐标；
(2)已知，把点绕点沿逆时针方向旋转角得到点，，若，求的值．
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