章末检测
(时间:120分钟 满分:150分)
一、单项选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.设(1+2i)a+b=2i,其中a,b为实数,则( )
A.a=1,b=-1 B.a=1,b=1
C.a=-1,b=1 D.a=-1,b=-1
【答案】 A
【解析】 因为a,b∈R,(a+b)+2ai=2i,所以a+b=0,2a=2,解得a=1,b=-1.
2.设复数z=,则z在复平面内对应的点的坐标为( )
A.(1,1) B.(-1,1)
C.(1,-1) D.(-1,-1)
【答案】 B
【解析】 z====-1+i,则z在复平面内对应的点的坐标为(-1,1).故选B.
3.已知复数z满足(1-i)2z=2-4i,其中i为虚数单位,则复数z的虚部为( )
A.2 B.1
C.-2 D.i
【答案】 B
【解析】 由题意,化简得z====2+i,所以复数z的虚部为1.故选B.
4.若z=1+i,则|iz+3|=( )
A.4 B.4
C.2 D.2
【答案】 D
【解析】 因为z=1+i,所以iz+3=i(1+i)+3(1-i)=-1+i+3-3i=2-2i,所以|iz+3|=|2-2i|==2.故选D.
5.已知复数z1=2+i,z2在复平面内对应的点在直线x=1上,且满足1·z2是纯虚数,则复数z2=( )
A.1-2i B.1+2i
C.2-i D.2+i
【答案】 A
【解析】 由z1=2+i,得1=2-i.由z2在复平面内对应的点在直线x=1上,可设z2=1+bi(b∈R),则1·z2=(2-i)(1+bi)=2+b+(2b-1)i.由1·z2是纯虚数,得2+b=0且2b-1≠0,解得b=-2,故z2=1-2i.
6.定义运算=ad-bc,则符合条件))=4+2i的复数z为( )
A.3-i B.1+3i
C.3+i D.1-3i
【答案】 A
【解析】 =zi+z=z(1+i)=4+2i,∴z====3-i.
7.若一个复数的实部与虚部互为相反数,则称此复数为“理想复数”.已知z=+bi(a,b∈R)为“理想复数”,则( )
A.a-5b=0 B.3a-5b=0
C.a+5b=0 D.3a+5b=0
【答案】 D
【解析】 z=+bi=+bi=+i.由题意知,=--b,则3a+5b=0.
8.若复数z1,z2满足|z1|=|z2|=1,z1-z2=,则z1·z2=( )
A.1 B.-1
C.i D.-i
【答案】 A
【解析】 z1-z2===-2i,由|z1|=|z2|=1,设z1=cos α+isin α,z2=cos β+isin β,∴cos α=cos β,sin α-sin β=-2,∴cos α=cos β=0,sin α=-1,sin β=1,∴z1=-i,z2=i,∴z1·z2=-i·i=1.
二、多项选择题(本大题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的四个选项中,有多个选项是符合题目要求的,全部选对的得6分,选对但不全的得部分分,有选错的得0分)
9.下面关于复数z=的四个说法中,正确的有( )
A.|z|=2
B.z2=2i
C.z的共轭复数为1+i
D.z的虚部为-1
【答案】 BD
【解析】 ∵z===-1-i,∴|z|=,A不正确;z2=(-1-i)2=2i,B正确;z的共轭复数为-1+i,C不正确;z的虚部为-1,D正确.
10.设z1,z2是复数,则下列命题中是真命题的是( )
A.若|z1-z2|=0,则1=2
B.若z1=2,则1=z2
C.若|z1|=|z2|,则z11=z22
D.若|z1|=|z2|,则z=z
【答案】 ABC
【解析】 A项,|z1-z2|=0 z1-z2=0 z1=z2 1=2,真命题;B项,z1=2 1=z2,真命题;C项,|z1|=|z2| |z1|2=|z2|2 z11=z22,真命题;D项,当|z1|=|z2|时,可取z1=1,z2=i,显然z=1,z=-1,即z≠z,假命题.
11.已知复数z0=1+i(i为虚数单位)在复平面内对应的点为P0,z0的共轭复数在复平面内对应的点为P0′,复数z在复平面内对应的点为P,且复数z满足|z-1|=|z-i|,下列结论正确的是( )
A.P0′的坐标为(-1,1)
B.点P在一条直线上
C.P0在点P的轨迹上
D.|P0′P|的最小值为
【答案】 BC
【解析】 复数z0=1+i在复平面内对应的点为P0(1,1),∴z0的共轭复数在复平面内对应的点为P0′(1,-1),A错误;设点A(1,0),B(0,1),由复数z满足|z-1|=|z-i|,结合复数的几何意义,可知复数z到点(1,0)与点(0,1)的距离相等,则复数z对应的点P在线段AB的垂直平分线y=x上,B正确;P0(1,1)在y=x上,C正确;易知|P0′P|的最小值即为O、P0′的距离|OP0′|,而|OP0′|=,D错误.故选BC.
三、填空题(本大题共3小题,每小题5分,共15分.把答案填在题中横线上)
12.i是虚数单位,复数=________.
【答案】 4-i
【解析】 ==
==4-i.
13.已知复数z1=-3+4i,z2=2a+i(a∈R)对应的复平面内的点分别为Z1和Z2,且⊥,则a=________.
【答案】
【解析】 依题意可知=(-3,4),=(2a,1).因为⊥,所以·=0,即-6a+4=0,解得a=.
14.已知2-i是关于x的方程x2+ax+b=0(a,b∈R)的根,则b-a=________.
【答案】 9
【解析】 由题意可知,关于x的方程x2+ax+b=0(a,b∈R)的两个虚根分别为2+i,2-i,由根与系数的关系可得解得a=-4,b=5,因此,b-a=9.
四、解答题(本大题共5小题,共77分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
15.(本小题满分13分)已知复数z1=2-3i,z2=.求:
(1)z1z2;
(2).
【解析】 z2=====1-3i.
(1)z1z2=(2-3i)(1-3i)=-7-9i.
(2)====+i.
16.(本小题满分15分)已知复数z=m2+m-2+(m-1)i(m∈R),其中i为虚数单位.
(1)若z是纯虚数,求实数m的值;
(2)若m=2,设=a+bi(a,b∈R),试求a+b的值.
【解析】 (1)由题意可得:m2+m-2=0,且m-1≠0,∴m=-2.
(2)若m=2,则z=4+i,∴=====a+bi,∴a=,b=,∴a+b=.
17.(本小题满分15分)设复数z=log2(m2-3m-3)+ilog2(m-2)(m∈R)对应的向量为.
(1)若的终点Z在虚轴上,求实数m的值及||;
(2)若的终点Z在第二象限内,求m的取值范围.
【解析】 (1)因为的终点Z在虚轴上,所以复数z的实部为0,
则有log2(m2-3m-3)=0,所以m2-3m-3=1,所以m=4或m=-1.
因为m-2>0,所以m=4,此时z=i,=(0,1),||=1.
(2)因为的终点Z在第二象限内,则有
解得<m<4,
所以m的取值范围为.
18.(本小题满分17分)已知复数z1满足(1+i)z1=-1+5i,z2=a-2-i,其中i为虚数单位,a∈R,若|z1-2|<|z1|,求a的取值范围.
【解析】 由题意,得z1==2+3i,
z2=a-2-i,2=a-2+i,
所以|z1-2|=|(2+3i)-(a-2+i)|=|4-a+2i|=,|z1|=,
又因为|z1-2|<|z1|,所以<,
所以a2-8a+7<0,解得1<a<7.
所以a的取值范围是(1,7).
19.(本小题满分17分)已知复数z1是一元二次方程x2-2x+7=0的根.
(1)求z1;
(2)若复数z1的虚部大于零,复数z2的虚部为1,z1·z2是纯虚数,求|z2|.
【解析】 (1)由x2-2x+7=0,得(x-1)2=-6=6i2,解得x=1±i,所以z1=1+i或1-i.
(2)因为复数z1的虚部大于零,所以z1=1+i,又复数z2的虚部为1,可设z2=a+i,a∈R,
则z1·z2=(1+i)(a+i)=a-+(a+1)i,因为z1·z2是纯虚数,
所以解得a=,所以z2=+i,
所以|z2|==.
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第七章 复数
章末复习与总结
知识体系构建
核心考点培优
A.4 B.3
C.2 D.1
(2)i是虚数单位,复数z=a+i(a∈R)满足z2+z=1-3i,则|z|=( )
考点一
复数的概念
A.0 B.-1
C.1 D.-2
【答案】 (1)C (2)C (3)A
考点二
复数的四则运算
A.a=1,b=-2
B.a=-1,b=2
C.a=1,b=2
D.a=-1,b=-2
【答案】 (1)D (2)C (3)A
考点三
复数的几何意义
2门世2有
3厚
复数与复数的分类
复数相等的充要条件
复数的概
念及几何意义
共轭复数
复数的模
(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i
复数的加法法则
复数加法的运算律及几何意义
复数集上
解方程
(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i
复数的咸法法则
复数减法的几何意义
复数方程
复数
复数的代数运算
复平面上两点、之间的距离d=|2,乙2
(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i
复数集
复数的乘法法则
上方程的
复数乘法的运算律
有关问题
复数的除法法则
a+bi ac+bd,bc-ad
c+di
c2+de c2+de
i(c+di≠0)
复数的三角表示式
复数乘法运算的三角表示式
法则
米复数的三角表示
几何意义
法则
复数除法运算的三角表示
几何意义