章末检测
(时间：120分钟 满分：150分)
一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．若平面向量a与b＝(1，－1)方向相同，且|a|＝2，则a＝( )
A．(－，) B．(，－)
C．(－2,2) D．(2，－2)
【答案】 D
【解析】 因为向量a与b方向相同，且|a|＝2，所以a＝λb＝(λ，－λ)，λ＞0，所以a＝(2，－2)．故选D.
2．在矩形ABCD中，E是BC的中点，F是AE上靠近E的三等分点，则向量＝( )
A．＋ B．－
C．＋ D．－
【答案】 B
【解析】 由题可得＝＋＝＋＝－＋×(＋)＝－＋＋＝－.故选B.
3．设x，y∈R，向量a＝(x,1)，b＝(1，y)，c＝(2，－4)且a⊥c，b∥c，则|a＋b|＝( )
A． B．2
C． D．10
【答案】 C
【解析】 因为向量a＝(x,1)，b＝(1，y)，c＝(2，－4)且a⊥c，b∥c，所以2x－4＝0 x＝2,1×(－4)－2y＝0 y＝－2，从而a＋b＝(2,1)＋(1，－2)＝(3，－1)，因此|a＋b|＝＝，故选C．
4．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若A＝，a＝2，c＝b，则△ABC的面积为( )
A．2 B．
C． D．2
【答案】 C
【解析】 由余弦定理的推论得cos ＝＝－，因为c＝b，所以b＝2(负值舍去)，c＝2，所以S△ABC＝bcsin A＝×2×2×＝.故选C．
5．如图，AB是⊙O的直径，点C，D是半圆弧上的两个三等分点，＝a，＝b，则＝( )
A．a－b B．a－b
C．－a＋b D．－a＋b
【答案】 C
【解析】 画出图形如图所示，由于C，D是半圆弧上的两个三等分点，所以△AOC，△COD，△DOB是等边三角形，所以OA＝OB＝OC＝OD＝AC＝CD＝BD，所以四边形OACD是菱形，四边形OBDC是菱形，所以＝＝－＝－＝－a＋b.故选C．
6．在△ABC中，a＝x，b＝，A＝，若该三角形有两个解，则x的取值范围是( )
A．(，6) B．(2,2)
C． D．
【答案】 D
【解析】 ∵三角形有两个解，∴bsin A＜x＜b，即＜x＜.故选D.
7．设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若ccos B＝b(a－cos C)，且△ABC的面积为S＝ccos A，则A＝( )
A． B．
C． D．
【答案】 C
【解析】 因为ccos B＝b(a－cos C)，所以由正弦定理可得sin Ccos B＝asin B－sin Bcos C，可得sin Ccos B＋sin Bcos C＝sin(B＋C)＝sin A＝asin B，可得a＝ab，可得b＝，因为△ABC的面积为S＝ccos A＝bcsin A＝××c×sin A，可得tan A＝，又A∈(0，π)，所以A＝，故选C．
8．如图所示，半圆的直径AB＝4，O为圆心，C是半圆上不同于A，B的任意一点，若P为半径OC上的动点，则(＋)·的最小值是( )
A．2 B．0
C．－1 D．－2
【答案】 D
【解析】 由平行四边形法则得＋＝2，故(＋)·＝2·，||＝2－||，且，反向，设||＝t(0≤t≤2)，则(＋)·＝2·＝－2t(2－t)＝2(t2－2t)＝2[(t－1)2－1]．∵0≤t≤2，∴当t＝1时，(＋)·取得最小值，为－2，故选D.
二、多项选择题(本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分)
9．若a，b，c均为单位向量，且a·b＝0，(a－c)·(b－c)≤0，则|a＋b－c|的值可能为( )
A．－1 B．1
C． D．2
【答案】 AB
【解析】 因为a，b，c均为单位向量，且a·b＝0，(a－c)·(b－c)≤0，所以a·b－c·(a＋b)＋c2≤0，所以c·(a＋b)≥1，而|a＋b－c|＝＝＝≤＝1，所以C、D不符合要求．故选AB.
10．定义平面向量之间的一种运算“⊙”如下：对任意的a＝(m，n)，b＝(p，q)，令a⊙b＝mq－np.下列说法正确的是( )
A．若a与b共线，则a⊙b＝0
B．a⊙b＝b⊙a
C．对任意的λ∈R，有(λa)⊙b＝λ(a⊙b)
D．(a⊙b)2＋(a·b)2＝|a|2|b|2
【答案】 ACD
【解析】 若a＝(m，n)，b＝(p，q)共线，则mq－np＝0，依运算“⊙”知a⊙b＝0，故A项正确；由于a⊙b＝mq－np，又b⊙a＝np－mq，因此a⊙b＝－b⊙a，故B项错误；对于C，由于λa＝(λm，λn)，因此(λa)⊙b＝λmq－λnp，又λ(a⊙b)＝λ(mq－np)＝λmq－λnp，故C项正确；对于D，(a⊙b)2＋(a·b)2＝m2q2－2mnpq＋n2p2＋(mp＋nq)2＝m2(p2＋q2)＋n2(p2＋q2)＝(m2＋n2)(p2＋q2)＝|a|2|b|2，故D项正确．
11．已知a，b，c分别为△ABC的内角A，B，C的对边，c＝且cos2A－cos2B－cos2C＝cos Acos B＋cos C－cos 2B，则下列结论中正确的是( )
A．C＝
B．C＝
C．△ABC面积的最大值为
D．△ABC面积的最大值为
【答案】 BC
【解析】 ∵cos2A－cos2B－cos2C＝cos Acos B＋cos C－cos 2B，∴(1－sin2A)－(1－sin2B)－(1－sin2C)＝cos Acos B－cos(A＋B)－(1－2sin2B)，∴sin Asin B＋sin2B＋sin2A－sin2C＝0，由正弦定理可得ab＋b2＋a2－c2＝0，∴cos C＝＝－，∵0＜C＜π，∴C＝，c2＝3＝a2＋b2－2abcos ＝a2＋b2＋ab≥2ab＋ab＝3ab，当且仅当a＝b＝1时取等号，∴ab≤1，∴S＝absin C≤.故选BC．
三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分．把答案填在题中横线上)
12．已知向量a＝(1，k)，b＝(2,2)，且a＋b与a共线，那么a·b＝________.
【答案】 4
【解析】 依题意得a＋b＝(3，k＋2)，由a＋b与a共线，得3×k－1×(k＋2)＝0，解得k＝1，所以a·b＝2＋2k＝4.
13．平面向量a，b满足|a|＝1，|b|＝2，且(a＋b)·(a－2b)＝－7，则向量a，b的夹角为________.
【答案】
【解析】 (a＋b)·(a－2b)＝|a|2－a·b－2|b|2＝1－a·b－8＝－7，∴a·b＝0，即a⊥b.故a，b的夹角为.
14．在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AD⊥AB，B＝45°，AB＝2CD＝2，M为腰BC的中点，则·＝________.
【答案】 2
【解析】 以A为原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，建立直角坐标系(图略)，则由题意得A(0,0)，B(2,0)，D(0,1)，C(1,1)，M，所以＝，＝，所以·＝－＝2.
四、解答题(本大题共5小题，共77分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
15．(本小题满分13分)已知＝(－1,3)，＝(3，m)，＝(1，n)，且∥.
(1)求实数n的值；
(2)若⊥，求实数m的值．
【解析】 (1)因为＝(－1,3)，＝(3，m)，＝(1，n)，
所以＝＋＋＝(3,3＋m＋n)，
因为∥，设＝λ，
即
解得n＝－3.
(2)因为＝＋＝(2,3＋m)，
＝＋＝(4，m－3)，
又⊥，所以·＝0，
即8＋(3＋m)(m－3)＝0，
解得m＝±1.
16. (本小题满分15分)已知△ABC中，C是直角，CA＝CB，点D是CB的中点，E为AB上一点，且＝3，设＝a，＝b.
(1)请用a，b来表示，；
(2)判断AD是否垂直CE，若成立，给出证明，若不成立，说明理由．
【解析】 (1)由D为CB的中点，＝3，得＝－＝b－a，
＝＋＝＋＝a＋(b－a)＝a＋b.
(2)AD与CE不垂直．理由如下：
因为△ABC中，C是直角，可得⊥，即a⊥b，即a·b＝0，
又因为CA＝CB，所以|a|＝|b|，
由(1)知＝b－a，＝a＋b，
可得·＝·
＝b2－a2＝|a|2≠0，
所以与不垂直，即AD与CE不垂直．
17. (本小题满分15分)如图，四边形ABCD内接于一个圆中，其中BD为直径，AB＝4，BC＝3，∠ABC＝.
(1)求BD的长；
(2)求△ACD的面积．
【解析】 (1)在△ABC中，由余弦定理得AC2＝AB2＋BC2－2AB·BCcos∠ABC＝25－24cos ＝13，解得AC＝，设R为△ABC外接圆半径，由正弦定理得2R＝＝＝＝，即BD＝.
(2)∵BD为直径，∴∠DAB＝∠DCB＝，
∴AD＝＝，CD＝＝，又∠ADC＝π－＝，
∴S△ACD＝AD·CDsin∠ADC＝×××＝.
18．(本小题满分17分)已知e1，e2是平面内两个不共线的非零向量，＝2e1＋e2，＝－e1＋λe2，＝－2e1＋e2，且A，E，C三点共线．
(1)求实数λ的值；
(2)若e1＝(2,1)，e2＝(2，－2)，求的坐标；
(3)已知点D(3,5)，在(2)的条件下，若A，B，C，D四点按逆时针顺序构成平行四边形，求点A的坐标．
【解析】 (1)＝＋＝(2e1＋e2)＋(－e1＋λe2)＝e1＋(1＋λ)e2.
∵A，E，C三点共线，∴存在实数k，使得＝k，
即e1＋(1＋λ)e2＝k(－2e1＋e2)，
得(1＋2k)e1＝(k－1－λ)e2.
∵e1，e2是平面内两个不共线的非零向量，
∴解得
(2)＝＋＝－3e1－e2＝(－6，－3)＋(－1,1)＝(－7，－2)．
(3)∵A，B，C，D四点按逆时针顺序构成平行四边形，
∴＝.设A(x，y)，
则＝(3－x,5－y)．
∵＝(－7，－2)，
∴解得
即点A的坐标为(10,7)．
19．(本小题满分17分)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin C＝cos B，且a2＋b2－c2＝ab.
(1)求B；
(2)若△ABC的面积为3＋，求c.
【解析】 (1)由余弦定理有a2＋b2－c2＝2abcos C，对比已知a2＋b2－c2＝ab，
可得cos C＝＝＝，
因为C∈(0，π)，所以sin C>0，
从而sin C＝＝＝，
又因为sin C＝cos B，即cos B＝，
因为B∈(0，π)，
所以B＝.
(2)由(1)可得B＝，cos C＝，C∈(0，π)，从而C＝，A＝π－－＝，
而sin A＝sin＝sin＝×＋×＝，
由正弦定理有＝＝，
从而a＝·c＝c，b＝·c＝c，
由三角形面积公式可知，△ABC的面积可表示为
S△ABC＝absin C＝·c·c·＝c2，
由已知△ABC的面积为3＋，可得c2＝3＋，
所以c＝2.
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第六章 平面向量及其应用
章末复习与总结
知识体系构建
核心考点培优
1.(1)(多选)下列命题正确的是( )
A．a∥b 存在唯一的实数λ∈R，使得b＝λa
B．e为单位向量，且a∥e，则a＝±|a|e
C．|a·a·a|＝|a|3
D．若a·b＝b·c且b≠0，则a＝c
考点一
平面向量的基本概念
(2)若向量a＝(x,2)，b＝(2,3)，c＝(2，－4)，且a∥c，则a在b上的投影向量为( )
【答案】 (1)BC (2)C
【解析】 (1)若a为零向量，则A不成立．根据向量数量积的概念可知D错误．易知B、C正确．
考点二
平面向量的线性运算
【答案】 (1)B (2)C
【答案】 (1)C (2)2
考点三
平面向量的数量积运算
4.已知△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足(2a－c)cos B＝bcosC．
(1)求B的大小；
(2)如图，AB＝AC，在直线AC的右侧取点D，使得AD＝2CD＝4.当角D为何值时，四边形ABCD面积最大．
考点四
利用正弦定理、余弦定理解三角形
考点五
平面向量的应用
6.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且b2＋c2＝a2＋bc.若sin B·sin C＝sin2A，则△ABC的形状是( )
A．钝角三角形 B．直角三角形
C．等边三角形 D．等腰直角三角形
【答案】 C
考点六
判定三角形的形状
考点七
余弦定理、正弦定理在实际问题中的应用
A．9 B．12
C．15 D．18
【答案】 B
