第八章 专项提升 与球有关的“切”“接”问题
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1．一个正方体的顶点都在球面上，若球的表面积为4π，则正方体的棱长为( )
A． B．
C． D．
【答案】 B
【解析】 设正方体的棱长为a，则其体对角线长为a，设球的半径为r，则4πr2＝4π，r＝1，所以a＝2r＝2，a＝＝.故选B.
2．底面半径为，母线长为2的圆锥的外接球O的表面积为( )
A．6π B．12π
C．8π D．16π
【答案】 D
【解析】 由圆锥的底面半径为，母线长为2，可求得其轴截面的顶角为.设该圆锥的底面圆心为O1，其半径为r，球O的半径为R，则O1O＝|R－1|，R2＝O1O2＋r2＝(R－1)2＋()2，解得R＝2，所以球O的表面积为4πR2＝16π.
3．直三棱柱ABC－A1B1C1的底面是边长为3的正三角形，且侧棱长为2，则这个三棱柱的外接球的体积为( )
A． B．4π
C． D．16π
【答案】 C
【解析】 设三棱柱外接球的球心为O，半径为r，三棱柱的底面△ABC的中心为D，如图，则OA＝r，∵三棱柱的高为2，∴OD＝1，又在正△ABC中，AB＝3，可得AD＝，∴在Rt△ADO中，OA2＝OD2＋AD2，有r2＝12＋()2，∴r＝2，则这个三棱柱的外接球的体积为V＝×r3＝.
4．已知圆柱的侧面积为2π，其外接球的表面积为S，则S的最小值为( )
A．3π B．4π
C．6π D．9π
【答案】 B
【解析】 设圆柱的底面半径为r，高为h，可得圆柱的侧面积为2π＝2πrh，所以rh＝1，圆柱的外接球的半径为，外接球的表面积为4π2＝(4r2＋h2)π≥2π＝4π，当且仅当r＝，h＝时，外接球的表面积取得最小值4π.故选B.
5．在正三棱锥P－ABC中，AB＝2，正三棱锥P－ABC的体积是4，则正三棱锥P－ABC外接球的表面积是( )
A．5π B．15π
C．25π D．35π
【答案】 C
【解析】 因为正三棱锥P－ABC中，AB＝2，所以S△ABC＝×2×2×sin 60°＝3，设PN为正三棱锥的高，则N为△ABC的中心，连接AN并延长交BC于M，则M为BC的中点，可求得AN＝2，易知正三棱锥P－ABC外接球的球心O在PN上，因为正三棱锥P－ABC的体积是4，所以×S△ABC×PN＝4，所以PN＝4，设外接球的半径为r，由题意得r2＝(4－r)2＋22，解得r＝，所以外接球的表面积S＝4πr2＝4π×2＝25π，故选C.
6．在封闭的直三棱柱ABC－A1B1C1内有一个体积为V的球，若AB⊥BC，AB＝6，BC＝8，AA1＝3，则V的最大值是( )
A．4π B．
C．6π D．
【答案】 B
【解析】 设球的半径为R，∵AB⊥BC，AB＝6，BC＝8，∴AC＝10.当球与直三棱柱的三个侧面相切时，有(6＋8＋10)×R＝×6×8，此时R＝2；当球与直三棱柱两底面相切时，有2R＝3，此时R＝.∴在封闭的直三棱柱中，球的最大半径只能为，故最大体积V＝π3＝.
7．在四面体ABCD中，若AB＝CD＝，AC＝BD＝2，AD＝BC＝，则四面体ABCD的外接球的表面积为( )
A．2π B．4π
C．6π D．8π
【答案】 C
【解析】 如图所示，该四面体的顶点为长方体的四个顶点，设长、宽、高分别为a，b，c，则三式相加得a2＋b2＋c2＝6，所以该四面体的外接球的直径为长方体的体对角线长，故外接球的表面积为4πR2＝6π.
8．若圆锥的高等于其内切球半径长的3倍，则圆锥侧面积与球的表面积的比值为( )
A． B．
C． D．
【答案】 B
【解析】 设球的半径为r，则圆锥的高为3r，设圆锥的底面圆的半径为R，作圆锥的轴截面如图所示，设球心为点O，在Rt△AOM中，∠AMO＝90°，OM＝r，AO＝AH－OH＝2r，sin∠OAM＝＝，∴∠OAM＝30°，∴R＝AHtan∠OAM＝r，则AB＝2R＝2r，则圆锥的侧面积为S1＝πR·2R＝π×r×2r＝6πr2，球O的表面积为S2＝4πr2，因此，圆锥的侧面积与球的表面积的比值为＝＝.
9．(多选)正四棱锥P－ABCD的底面积为3，外接球的表面积为8π，则正四棱锥P－ABCD的体积为( )
A． B．
C．2 D．
【答案】 AB
【解析】 因为正四棱锥P－ABCD的底面积为3，所以底面边长为，因为外接球的表面积为8π，所以球的半径r＝.连接AC，BD交于点O(图略)．①当球心在线段PO上时，计算得PO＝r＋＝＋＝，所以正四棱锥P－ABCD的体积为×3×＝；②当球心在线段PO的延长线上时，计算得PO＝r－＝－＝，所以正四棱锥P－ABCD的体积为×3×＝.
10．(多选)如图所示是古希腊数学家阿基米德的墓碑文，上面刻着一个圆柱，圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等，相传这个图形表达了阿基米德最引以为豪的发现．我们来重温这个伟大发现，下列关于圆柱的体积与球的体积之比以及圆柱的表面积与球的表面积之比的说法正确的是( )
A．体积之比为 B．体积之比为
C．表面积之比为 D．表面积之比为
【答案】 AC
【解析】 设球的半径为R，则圆柱的底面半径为R，高为2R，由圆柱和球的体积、表面积公式计算可得V柱＝2πR3，V球＝πR3，所以V柱∶V球＝3∶2；S柱＝4πR2＋2πR2＝6πR2，S球＝4πR2，所以S柱∶S球＝3∶2.
11．(多选)已知球O是正三棱锥A－BCD的外接球，BC＝3，侧棱AB＝2，点E在线段BD上，且BD＝3BE，过点E作球O的截面，则所得截面圆面积可以是( )
A．2π B．3π
C．4π D．5π
【答案】 ABC
【解析】 设△BCD的中心为O1，球O的半径为R，连接AO1，则O在AO1上，连接O1D，OD，O1E，OE，如图．则O1D＝3×sin 60°×＝，AO1＝＝＝3.在Rt△OO1D中，R2＝3＋(3－R)2，解得R＝2.∵BD＝3BE，∴DE＝2.在△DEO1中，O1E＝＝1，∴OE＝＝＝.过点E作球O的截面，当截面与OE垂直时，截面圆的面积最小，此时，截面圆的半径为＝，面积为2π；当截面过球心时，截面圆的面积最大，最大面积为4π.故选ABC.
12．(多选)已知某正方体的外接球上有一个动点M，该正方体的内切球上有一个动点N，若线段MN的最小值为－1，则下列说法正确的是( )
A．正方体的外接球的表面积为12π
B．正方体的内切球的体积为
C．正方体的棱长为2
D．线段MN的最大值为2
【答案】 ABC
【解析】 设正方体的棱长为a，则正方体外接球半径为体对角线长的一半，为a，内切球半径为棱长的一半，为.∵M，N分别为该正方体外接球和内切球上的动点，∴MNmin＝a－＝a＝－1，解得a＝2，∴正方体的棱长为2，C正确；正方体的外接球的表面积为4π×()2＝12π，A正确；正方体的内切球的体积为π×13＝，B正确；线段MN的最大值为a＋＝＋1，D错误．故选ABC.
13．已知圆柱的高和底面半径均为2，则该圆柱的外接球的表面积为_________.
【答案】 20π
【解析】 设球的半径为r，由题意得r2＝12＋22＝5，∴S球＝4π×5＝20π.
14．三棱锥P－ABC的三条侧棱PA，PB，PC两两垂直，且PA＝，PB＝1，PC＝，则该三棱锥的外接球的体积是_________.
【答案】 π
【解析】 三棱锥P－ABC的三条侧棱PA，PB，PC两两互相垂直，它的外接球就是它扩展为长方体的外接球，求出长方体的体对角线的长为＝，所以球的直径是，半径为，球的体积为×π×3＝π.
15．已知正三棱锥S－ABC的侧棱长为4，底面边长为6，则该正三棱锥外接球的表面积是_________.
【答案】 64π
【解析】 取△ABC的中心为E，连接SE，记球心为O.如图，∵在正三棱锥S－ABC中，底面边长为6，侧棱长为4，∴BE＝××6＝2，∴SE＝＝6.∵球心O到四个顶点的距离相等，均等于该正三棱锥外接球的半径长R，∴OB＝R，OE＝6－R.在Rt△BOE中，OB2＝BE2＋OE2，即R2＝12＋(6－R)2，解得R＝4，∴外接球的表面积为S＝4πR2＝64π.
16．设正方体ABCD－A1B1C1D1内部有两个球O1和O2，已知球O1与正方体的三个面相切，球O2与正方体的六个面均相切，且球O1与球O2也相切．设球O1，O2的半径分别为r1，r2，则＝_________.
【答案】 2－
【解析】 不妨设正方体的棱长为2，球O1同时与以A为公共顶点的三个面相切，由题意可知，球O1与球O2的球心和两球的切点均在体对角线AC1上，两个球在平面AB1C1D处的截面如图所示，则O2F＝r2＝1，AO2＝＝，∴AF＝AO2－O2F＝－1，又AF＝AO1＋O1F＝r1＋r1＝(＋1)r1，∴r1＝＝2－，∴＝2－.
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第八章 立体几何初步
专项提升 与球有关的“切”“接”问题
题型一
外接球
[方法总结]
[方法总结]
常见几何体外接球问题的求解策略
(1)正方体、长方体的外接球：①正方体的外接球的球心为其体对角线的中点，半径为体对角线长的一半；②长方体的外接球的球心为其体对角线的中点，半径为体对角线长的一半．
(2)棱锥的外接球：以下四种类型的三棱锥可以补型为长方体求解．
(3)圆柱、圆锥的外接球：作轴截面，将空间问题转化为平面问题．
(4)圆台的外接球：设r1，r2，h分别为圆台的上、下底面的半径和高，R为外接球的半径．
１
(1)据《九章算术》记载，“鳖臑”为四个面都是直角三角形的三棱锥．如图所示，现有一个“鳖臑”，PA⊥AB且PA⊥AC，AB⊥BC，且PA＝AB＝BC＝2，则三棱锥外接球表面积为( )
A．10π B．12π
C．14π D．16π
(2)已知圆柱的底面半径为1，母线长为2，则该圆柱的外接球的体积为( )
【答案】 (1)B (2)B
(2)若圆台的上、下底面半径分别为r，R，则其内切球的表面积为( )
A．4π(r＋R)2 B．4πr2R2
C．4πRr D．π(R＋r)2
题型二
内切球
【答案】 (1)D (2)C
[通性通法][提醒]
[通性通法]
常见几何体内切球问题的求解策略
(2)圆锥的内切球：
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(1)正方体的外接球与内切球的表面积之比为( )
【答案】 (1)C (2)D
