第八章 微专题 探究空间几何体上两点间路径最短问题
课时跟踪检测
A组·基础巩固
1．(2024·黑龙江佳木斯高一期中)正三棱柱所有棱长都为1，则其表面积为( )
A．3＋ B．3＋＋
C．3 D．3－
【答案】 A
【解析】 由题可知，正三棱柱的上底面积为×12＝，其中一个侧面积为1，所以其表面积为×2＋1×3＝＋3.
2．圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，母线长为3，侧面积为84π，则圆台较小底面的半径为( )
A．7 B．6
C．5 D．3
【答案】 A
【解析】 设圆台较小底面半径为r，则另一底面半径为3r.由侧面积S＝π(r＋3r)×3＝84π，解得r＝7.
3．如果轴截面为正方形的圆柱的侧面积是S，那么圆柱的体积等于( )
A． B．
C． D．
【答案】 D
【解析】 由题意得2r＝h,2πr·h＝S，则体积为πr2·h＝2πr3＝＝.
4．半径为R的半圆卷成一个圆锥，则它的体积为( )
A.πR3 B．πR3
C.πR3 D．πR3
【答案】 A
【解析】 设圆锥底面圆的半径为r，高为h，则有2πr＝πR，∴r＝R.又圆锥母线长为R，∴圆锥的高h＝＝R，故体积V＝πr2h＝πR3.
5．(多选)一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径2R相等，下列结论正确的是( )
A．圆柱的侧面积为2πR2
B．圆锥的侧面积为2πR2
C．圆柱的侧面积与球的表面积相等
D．圆锥的表面积最小
【答案】 CD
【解析】 ∵圆柱的底面直径和高都与一个球的直径2R相等，∴圆柱的侧面积S＝2πR×2R＝4πR2，故A错误；圆锥的侧面积S＝πR·＝πR2，故B错误；圆柱的侧面积S＝2πR×2R＝4πR2，球的表面积S球＝4πR2，∴圆柱的侧面积与球的表面积相等，故C正确；圆柱的表面积S圆柱＝2πR×2R＋2πR2＝6πR2，圆锥的表面积S圆锥＝πR·＋πR2＝(＋1)πR2，球的表面积为S球＝4πR2，∴圆锥的表面积最小，故D正确．故选CD.
6．(多选)在△ABC中，AC＝3，BC＝4，AB＝5，则下列说法正确的是( )
A．以BC所在直线为旋转轴，将此三角形旋转一周，所得旋转体的侧面积为15π
B．以AB所在直线为旋转轴，将此三角形旋转一周，所得旋转体的体积为
C．以AC所在直线为旋转轴，将此三角形旋转一周，所得旋转体的侧面积为25π
D．以AC所在直线为旋转轴，将此三角形旋转一周，所得旋转体的体积为16π
【答案】 ABD
【解析】 以BC所在直线为轴旋转时，所得旋转体是底面半径为3，母线长为5，高为4的圆锥，其侧面积为π×3×5＝15π，故A正确；以AB所在直线为旋转轴旋转时，所得旋转体是具有同底的两个圆锥体的组合体，其底面半径为，故所得旋转体的体积V＝π×2×5＝，故B正确；以AC所在直线为轴旋转时，所得旋转体是底面半径为4，母线长为5，高为3的圆锥，侧面积为π×4×5＝20π，体积为×π×42×3＝16π，故C错误，D正确．故选ABD.
7．设棱长为a的正方体的体积和表面积分别为V1，S1，底面半径和高均为r的圆锥的体积和侧面积分别为V2，S2.若＝，则＝_________.
【答案】
【解析】 ∵棱长为a的正方体的体积和表面积分别为V1，S1，∴V1＝a3，S1＝6a2.∵底面半径和高均为r的圆锥的体积和侧面积分别为V2，S2，∴V2＝r·πr2＝，S2＝πrl＝πr2.∵＝，∴＝，解得a＝r，∴＝＝.
8．已知一圆台上底面的半径为2，下底面的半径为3，截得此圆台的圆锥的高为6，则此圆台的体积为_________.
【答案】 π
【解析】 圆台的轴截面如图，设圆台的高为h，则＝，解得h＝2，所以圆台的体积V＝π(22＋2×3＋32)×2＝π.
9．祖暅，祖冲之之子，南北朝时期伟大的科学家，于5世纪末提出下面的体积计算原理，即祖暅原理：幂势既同，则积不容异．意思是如果两个等高的几何体在同高处截得两几何体的截面面积相等，那么这两个几何体的体积相等，现有如图的半椭球体与被挖去圆锥的圆柱等高，且平行于底面的平面在任意高度截两几何体所得截面面积相等，已知圆柱高为h，底面半径为r，则半椭球的体积是________.
【答案】 πr2h
【解析】 依题意可得半椭球的体积V＝V圆柱－V圆锥＝πr2·h－·πr2·h＝πr2h.
10．(2024·徐州高一阶段检测)如图，一个圆锥形的空杯子上放着一个半球形的冰激凌，如果冰激凌融化了，会溢出来吗？
【解析】 半球形的冰激凌的体积为×π×43＝，圆锥形空杯子的体积为π×42×12＝64π，而<64π，如果冰激凌融化了，不会溢出来．
B组·综合运用
11.攒尖是我国古代建筑中屋顶的一种结构样式，多见于亭阁式建筑、园林建筑．下面以圆形攒尖为例．如图所示的建筑屋顶可近似看作一个圆锥，其轴截面(过圆锥旋转轴的截面)是底边长为2 m，顶角为的等腰三角形，则该圆锥的体积约为( )
A．2π m3 B．3π m3
C．4π m3 D．6π m3
【答案】 B
【解析】 因为轴截面是顶角为∠APC＝的等腰三角形，所以∠PAO＝，在Rt△APO中，依题意，该圆形攒尖的底面圆的半径AO＝r＝ m，高PO＝h＝rtan ＝3 m，则V＝πr2h＝π×3×3＝3π(m3)，所以该圆锥的体积约为3π m3.故选B.
12. (多选)某班级到一工厂参加社会实践劳动，加工出如图所示的圆台O1O2，在轴截面ABCD中，AB＝AD＝BC＝2 cm，且CD＝2AB，下列说法正确的有( )
A．该圆台轴截面ABCD面积为6 cm2
B．该圆台的体积为 cm3
C．该圆台的高为3 cm
D．沿着该圆台表面，从点C到AD中点的最短距离为5 cm
【答案】 BD
【解析】 由AB＝AD＝BC＝2 cm，且CD＝2AB，可得CD＝4 cm，高O1O2＝＝ cm，故C错误；圆台轴截面ABCD面积为×(2＋4)×＝3 cm2，故A错误；圆台的体积为V＝π×(1＋4＋2)×＝π cm3，故B正确；将圆台补成圆锥，可得大圆锥的母线长为4 cm，底面半径为2 cm，侧面展开图的圆心角为θ＝＝π，如图，设AD的中点为P，连接CP，可得∠COP＝，OC＝4 cm，OP＝2＋1＝3 cm，则CP＝＝5 cm，所以沿着该圆台表面，从点C到AD中点的最短距离为5 cm，故D正确．故选BD.
13．把底面半径为8 cm的圆锥放倒在一平面上，使圆锥在此平面内绕圆锥顶点S滚动，当这个圆锥在平面内转回原位置时，圆锥本身滚动了2.5周，则圆锥的母线长为_________，表面积等于_________.
【答案】 20 cm 224π cm2
【解析】 设圆锥的母线长为l cm，如图，以S为圆心，SA为半径的圆的面积S＝πl2.又圆锥的侧面积S圆锥侧＝πrl＝8πl，根据圆锥在平面内转到原位置时，圆锥本身滚动了2.5周，∴πl2＝2.5×8πl，∴l＝20(cm)．圆锥的表面积S＝S圆锥侧＋S底＝π×8×20＋π×82＝224π(cm2)．
14．如图所示，四边形ABCD是直角梯形，其中AD⊥AB，AD∥BC，若将图中阴影部分绕AB所在直线旋转一周．
(1)求阴影部分形成的几何体的表面积；
(2)求阴影部分形成的几何体的体积．
【解析】 (1)由题意知所求旋转体的表面由三部分组成：圆台下底面、侧面和半球面，
S半球＝×4π×22＝8π，
S圆台侧＝π×(2＋5)×＝35π，
S圆台下底＝π×52＝25π.
故所求几何体的表面积为8π＋35π＋25π＝68π.
(2)V圆台＝×[π×22＋＋π×52]×4＝52π，V半球＝π×23×＝π，
故所求几何体的体积为V圆台－V半球＝52π－π＝π.
C组·拓展提升
15．(2024·广东韶关高一阶段检测)如图所示，正四棱台ABCD－A1B1C1D1两底面的边长分别为4和8.
(1)若其侧棱所在直线与上、下底面中心连线的夹角为30°，求该四棱台的表面积；
(2)若其侧面积等于两底面面积之和，求该四棱台的体积．
【解析】 (1)如图，连接AC，BD，A1C1，B1D1，设AC与BD交于点O，A1C1与B1D1交于点O1，
过点C1作C1E⊥AC交AC于点E，过点E作EF⊥BC交BC于点F，连接C1F，
由题意知∠EC1C＝30°，CE＝CO－EO＝CO－C1O1＝4－2＝2，
在Rt△C1CE中，C1E＝CE＝2，
又EF＝CE·sin 45°＝2，∴C1F＝＝＝2，
则S侧＝4×××2＝48，
故该四棱台的表面积S＝42＋82＋48＝80＋48.
(2)设该正四棱台的斜高为h′，∵S底＝42＋82＝80，∴S侧＝4×××h′＝80，解得h′＝，
又EF＝2，∴该正四棱台的高h＝＝，
故该四棱台的体积V＝××(16＋64＋)＝.
21世纪教育网(www.21cnjy.com)(共11张PPT)
第八章 立体几何初步
微专题 探究空间几何体上两点间路径最短问题
考点一
旋转体表面上两点间的最短路径问题
【答案】 (1)B (2)A
2.如图，长、宽、高分别为3,2,1的长方体木块上有一只小虫从顶点A出发沿着长方体的外表面爬到顶点C1，则它爬行的最短路程是________.
考点二
多面体表面上两点间的最短问题
(2)若圆台上底面半径为5 cm，下底面半径为10 cm，母线AB(点A在下底面圆周上，点B在上底面圆周上)长为20 cm，从AB中点拉一根绳子绕圆台侧面转到A，则绳子最短的长度为_________cm.
【答案】 (1)C (2)50
2门世2有
3厚
A
E
”二
C
D
B
朵
D
B
C
D
1
A
Q
D
C
B
D
1
A
B
C
D
A
B
2
B
D
2
3
B
A
B
C
A
A
B
3
A
3B2
C
D
A
图①
图②
图③
