第六章 专项提升 解三角形中的综合问题
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1．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知三个向量m＝，n＝，p＝共线，则△ABC为( )
A．等边三角形 B．钝角三角形
C．直角三角形 D．等腰直角三角形
【答案】 A
【解析】 ∵向量m，n共线，∴acos ＝bcos ，由正弦定理得sin Acos ＝sin Bcos ，∴2sin ·cos cos ＝2sin cos cos .∵cos ≠0，cos ≠0，∴sin ＝sin .∵0＜＜，0＜＜，∴＝，即A＝B，同理可得B＝C，∴△ABC为等边三角形．故选A．
2．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，B＝，b＝2，b2＋c2－a2＝bc.若∠BAC的平分线与BC交于点E，则AE＝( )
A． B．
C．2 D．3
【答案】 A
【解析】 ∵b2＋c2－a2＝bc，∴cos∠BAC＝＝，∵B＝，∴∠BAC∈，∴∠BAC＝，∴C＝，∴＝，∴c＝×＝2.∵AE平分∠BAC，∴∠BAE＝∠BAC＝，∴∠AEB＝π－－＝，∴＝，∴AE＝＝×sin ＝×＝.
3．已知△ABC的面积为，C＝120°，c＝2bcos B，则AC边上的中线长为( )
A． B．3
C． D．4
【答案】 C
【解析】 由题意结合正弦定理得sin C＝2sin Bcos B，即sin C＝sin 2B，因为B，C为△ABC的内角，所以C＝2B或C＋2B＝180°，当C＝2B时，B＝60°，不符合三角形内角和定理，当C＋2B＝180°时，B＝30°，故A＝30°，因此a＝b，因为△ABC的面积为，所以a·a·＝，解得a＝2(负值舍去)，即a＝b＝2.由余弦定理可知AB＝＝＝2.设AC边的中点为D，则＝(＋)，因此||＝＝＝＝.故选C．
4．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，A＝60°，b＝3c，角A的平分线交BC于点D，且BD＝，则cos∠ADB＝( )
A．－ B．
C． D．±
【答案】 B
【解析】 因为A＝60°，角A的平分线交BC于点D，所以∠CAD＝∠BAD＝30°.又b＝3c，所以＝＝＝＝3.因为BD＝，所以CD＝3，a＝CB＝4.由余弦定理可得a2＝b2＋c2－2bccos A，所以112＝9c2＋c2－2×3c·c·，解得c＝4.在△ABD中，由正弦定理得＝，即＝，所以sin∠ADB＝.因为b＞c，所以B＞C．又因为∠ADB＝30°＋C，∠ADC＝30°＋B，所以∠ADB＜∠ADC，所以∠ADB为锐角，所以cos∠ADB＝.故选B.
5．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且BC边上的高为a，则＋的最大值为( )
A．8 B．6
C．3 D．4
【答案】 D
【解析】 ∵BC边上的高为a，∴S△ABC＝a×a＝bcsin A，∴a2＝2bcsin A，由余弦定理得2bcsin A＝b2＋c2－2bccos A，整理得＝2sin A＋2cos A，即＋＝4sin.∵A∈(0，π)，∴A＋∈，∴当A＋＝，即A＝时，4sin有最大值，且最大值为4.∴＋的最大值为4.
6．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，∠BAC＝，D是BC上一点，且BD＝3DC，AD＝3，则△ABC面积的最大值是( )
A．3 B．4
C．5 D．6
【答案】 B
【解析】 设CD＝x，∠ADB＝θ，则BD＝3x，在△ACD中，由余弦定理得b2＝9＋x2＋6xcos θ ①，在△ABD中，由余弦定理得c2＝9＋9x2－18xcos θ ②，联立①②，消去cos θ得3b2＋c2＝36＋12x2 ③，在△ABC中，由余弦定理得b2＋c2－bc＝16x2 ④，联立③④，消去x得144＝9b2＋c2＋3bc≥6bc＋3bc＝9bc(当且仅当3b＝c时，等号成立)，∴bc≤16，∴S△ABC＝bcsin ≤×16×＝4.故选B.
7．已知锐角△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＝，b2＋c2－bc＝3，则△ABC面积的取值范围是( )
A． B．
C． D．
【答案】 A
【解析】 由于a＝，b2＋c2－bc＝3，cos A＝＝，且A∈(0，π)，所以A＝，那么外接圆半径为R＝×＝1，所以S△ABC＝bcsin A＝·2Rsin B·2Rsin＝sin B＝sin Bcos B＋sin2B＝sin 2B＋＝＋＝sin＋.由于△ABC为锐角三角形，所以0＜B＜，0＜C＝π－A－B＝－B＜，所以＜B＜，所以＜2B－＜，＜sin≤1.故＜S△ABC≤.故选A．
8．已知△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且点D满足＝2，||＝，若cos∠ABC＝，则2c＋a的最大值为( )
A． B．
C． D．3
【答案】 A
【解析】 易知＝＋ ①，＝＋ ②，①×2＋②得2＋＋2＋＝3，∵＝2，∴3＝2＋，两边平方得9||2＝4||2＋4·＋||2，即18＝4c2＋a2＋4||||cos∠ABC，即18＝4c2＋a2＋ac＝(2c＋a)2－3ac＝(2c＋a)2－·2c·a，∵2ac≤2，当且仅当a＝2c时等号成立，∴(2c＋a)2－18＝·2c·a≤·2，令2c＋a＝t，则t2－18≤t2，t＞0，解得0＜t≤.故2c＋a的最大值为.
9．(多选)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量m＝(，－1)，n＝(cos A，sin A)，若m⊥n，且acos B＋bcos A＝csin C，则( )
A．A＝ B．C＝
C．B＝ D．C＝
【答案】 ACD
【解析】 ∵m⊥n，∴m·n＝cos A－sin A＝0，即tan A＝，∵A∈(0，π)，∴A＝.∵acos B＋bcos A＝csin C，∴根据正弦定理可得sin Acos B＋sin Bcos A＝sin2C，即sin(A＋B)＝sin2C，又sin(A＋B)＝sin C，∴sin C＝sin2C．∵sin C≠0，∴sin C＝1，∴C＝，∴B＝π－A－C＝.故选ACD.
10．(多选)在Rt△ABC中，C＝90°，角A的平分线交BC于点D，AD＝1，cos∠BAC＝，以下结论正确的是( )
A．AB＝8
B.＝
C．AB＝6
D．△ABD的面积为
【答案】 BCD
【解析】 如图所示，因为AD是角平分线，设∠CAD＝∠DAB＝α，则∠BAC＝2α，根据二倍角公式得cos 2α＝2cos2α－1＝，且0＜α＜，所以cos α＝，在Rt△ACD中，AD＝1，所以AC＝ADcos α＝，在Rt△ACB中，AB＝＝×8＝6，故A错误，C正确；根据角平分线定理，＝＝×＝，故B正确；因为cos α＝，且0＜α＜，所以sin α＝，所以S△ABD＝AD·AB·sin α＝×6×＝，故D正确，故选BCD.
11．(多选)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且(a＋b)∶(a＋c)∶(b＋c)＝9∶10∶11，则下列结论正确的是( )
A．sin A∶sin B∶sin C＝4∶5∶6
B．△ABC是钝角三角形
C．△ABC的最大内角是最小内角的2倍
D．若c＝6，则△ABC外接圆的半径为
【答案】 ACD
【解析】 因为(a＋b)∶(a＋c)∶(b＋c)＝9∶10∶11，所以可设解得所以由正弦定理可得sin A∶sin B∶sin C＝a∶b∶c＝4∶5∶6，故A正确；易知c最大，所以△ABC中角C最大，又cos C＝＝＝＞0，所以C为锐角，所以△ABC为锐角三角形，故B错误；易知a最小，所以△ABC中角A最小，又cos A＝＝＝，所以cos 2A＝2cos2A－1＝，所以cos 2A＝cos C，由△ABC中角C最大且C为锐角可得2A∈(0，π)，C∈，所以2A＝C，故C正确；设△ABC的外接圆半径为R，由正弦定理得2R＝，又c＝6，sin C＝＝，所以2R＝，解得R＝，故D正确．故选ACD.
12．(多选)如图，△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，(acos C＋ccos A)＝2b·sin B，∠CAB＝，若D是△ABC外一点，DC＝1，AD＝3，则下列说法正确的是( )
A．B＝
B．∠ACB＝
C．四边形ABCD面积的最大值为＋3
D．四边形ABCD的面积无最大值
【答案】 ABC
【解析】 ∵(acos C＋ccos A)＝2bsin B，∴由正弦定理可得(sin Acos C＋sin Ccos A)＝2sin2B，∴sin(A＋C)＝2sin2B，∴sin B＝2sin2B.又∵sin B≠0，∴sin B＝.∵∠CAB＝，∴B∈，∴B＝，∴∠ACB＝π－∠CAB－B＝，因此A、B正确；S四边形ABCD＝S△ABC＋S△ACD＝AC2＋AD·DC·sin∠ADC＝(AD2＋DC2－2AD·DC·cos∠ADC)＋AD·DC·sin∠ADC＝×(9＋1－6cos∠ADC)＋×3×1×sin∠ADC＝＋3sin≤＋3，当且仅当∠ADC－＝，即∠ADC＝时，等号成立，因此C正确，D错误．故选ABC．
13．已知△ABC的三个内角满足2B＝A＋C，且AB＝1，BC＝4，则边BC上的中线AD的长为________.
【答案】
【解析】 由2B＝A＋C，及A＋B＋C＝π知，B＝.在△ABD中，AB＝1，BD＝＝2，所以AD2＝AB2＋BD2－2AB·BDcos ＝3.因此AD＝.
14．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若2sin Asin Bcos C＝sin2C，则＝________，角C的最大值为________.
【答案】 2
【解析】 ∵2sin Asin Bcos C＝sin2C，∴2abcos C＝c2 a2＋b2－c2＝c2 ＝2，∴cos C＝＝≥，当且仅当a＝b时取等号．∵0＜C＜π，∴0＜C≤，即角C的最大值为.
15．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足b2＋c2－a2＝bc，a＝，则b＋c的取值范围是________.
【答案】 (，2]
【解析】 ∵b2＋c2－a2＝bc，∴由余弦定理的推论得cos A＝＝＝.由A∈(0，π)，可得A＝.∵由正弦定理得＝＝＝＝2，∴b＋c＝2sin B＋2sin C＝2sin B＋2sin＝2sin B＋2＝3sin B＋cos B＝2sin.∵B＋C＝，∴B∈，可得B＋∈，∴sin∈，∴b＋c＝2sin∈(，2]．
16．已知在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足sinsin＝－.
(1)求角A的大小；
(2)若△ABC为锐角三角形，a＝1，求△ABC周长的取值范围．
【解析】 (1)因为sinsin＝－，
所以＝－，即sin Acos A－sin2A－cos2A＝－，
所以sin 2A－(1－cos 2A)－(1＋cos 2A)＝－，整理可得sin 2A＋cos 2A＝，
所以可得sin＝，
因为A∈(0，π)，可得2A＋∈，
所以2A＋＝，可得A＝.
(2)由正弦定理＝＝，且a＝1，A＝，
所以b＝sin B，c＝sin C，
所以a＋b＋c＝1＋(sin B＋sin C)＝1＋·＝1＋2sin.
因为△ABC为锐角三角形，所以
解得＜B＜，所以＜B＋＜，
所以1＋2sin∈(1＋，3]，
即△ABC周长的取值范围是(1＋，3]．
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第六章 平面向量及其应用
专项提升 解三角形中的综合问题
1.已知△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a＋c＝2b.
题型一
解三角形与三角恒等变换的综合
[方法总结1]
[方法总结1]
对于此类问题，大多是边角互化后基于三角形内角和定理(A＋B＋C＝π)展开的，一般是通过正、余弦定理边化角，求得相应的角或者寻找相应的角之间的关系(此时往往需要用到三角形内角和定理替换角，达到减元的目的)，进而运用三角恒等变换及诱导公式转化为一个角的三角函数问题，从而求解．
１
题型二
解三角形与三角函数的综合
[方法总结2]
[方法总结2]
正弦、余弦定理与三角函数相结合，常见两种考查方式：一是先由正弦、余弦定理求出内角正弦值、余弦值，再结合和、差、倍、半角公式求解问题中出现的三角函数值；二是先利用函数的性质，再利用函数求角，解与三角形有关的问题．
2
题型三
解三角形中的中线问题
[方法总结3]
[方法总结3]
求解三角形中线问题的常用方法
(1)中线长定理：在△ABC中，AD是边BC上的中线，则AB2＋AC2＝2(BD2＋AD2)；
3
题型四
解三角形中的角平分线问题
[方法总结4]
[方法总结4]
求解三角形角平分线问题的常用方法
4
【答案】 A
5.△ABC中，sin2A－sin2B－sin2C＝sin BsinC．
(1)求角A；
(2)若BC＝3，求△ABC周长的最大值．
题型五
解三角形中的最值(范围)问题
[方法总结5]
[方法总结5]
解三角形中的最值(范围)问题主要有两种解决方法：一是将问题表示为边的形式，利用基本不等式求得最大值或最小值；二是将问题用三角形某一个角的三角函数表示，利用三角函数的有界性、单调性，再结合角的范围确定最值(范围)．
