第六章 专项提升 平面向量中的最值(范围)问题
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1．如图，在△ABC中，点D是线段BC上的动点，且＝x＋y，则＋的最小值为( )
A．3 B．4
C．5 D．9
【答案】 D
【解析】 由题图可知x，y均为正数，且x＋y＝1，∴＋＝(x＋y)＝5＋＋≥5＋2＝9，当且仅当＝，即x＝，y＝时等号成立，则＋的最小值为9.
2．已知点A(4,3)和B(1,2)，O为坐标原点，则|＋t|(t∈R)的最小值为( )
A．5 B．5
C．3 D．
【答案】 D
【解析】 由题意可得＝(4,3)，＝(1,2)，则＋t＝(4,3)＋t(1,2)＝(4＋t,3＋2t)，|＋t|＝＝＝，结合二次函数的性质可得，当t＝－2时，|＋t|min＝.
3．已知向量a，b满足|a|＝1，(a－b)⊥(3a－b)，则a与b的夹角的最大值为( )
A． B．
C． D．
【答案】 A
【解析】 设a与b的夹角为θ，θ∈[0，π]．因为(a－b)⊥(3a－b)，所以(a－b)·(3a－b)＝0，整理可得3a2－4a·b＋b2＝0，即3|a|2－4a·b＋|b|2＝0.将|a|＝1代入3|a|2－4a·b＋|b|2＝0，可得3－4|b|cos θ＋|b|2＝0，整理可得cos θ＝＋≥2＝，当且仅当＝，即|b|＝时，取等号，故cos θ≥，结合θ∈[0，π]，可知θ的最大值为.
4．已知M是边长为1的正三角形ABC的边AC上的动点，N为AB的中点，则·的取值范围是( )
A． B．
C． D．
【答案】 A
【解析】 取AC的中点O，连接OB，以O为坐标原点，AC所在直线为x轴，OB所在直线为y轴建立如图所示的平面直角坐标系，则A，B，N.设M(x,0)，－≤x≤，则＝，＝，∴·＝－x2－x－＝－2－，－≤x≤，∴当x＝时，·取最小值－，当x＝－时，·取最大值－，∴·的取值范围是，故选A．
5．设e1，e2为单位向量，非零向量b＝xe1＋ye2，x，y∈R，若e1，e2的夹角为，则的最小值为( )
A． B．
C．1 D．4
【答案】 B
【解析】 ∵e1，e2为单位向量，非零向量b＝xe1＋ye2，x，y∈R，若e1，e2的夹角为，∴e1·e2＝|e1||e2|cos ＝，则|b|2＝(xe1＋ye2)2＝x2＋y2＋2xye1·e2＝x2＋y2＋xy，则＝＝＝≥＝，当且仅当＝－时，取等号．故选B.
6．如图，延长线段AB到点C，使得＝2，D点在线段BC上运动，点O 直线AB，满足＝λ＋μ，则λμ的取值范围是( )
A． B．
C． D．[－1,1]
【答案】 C
【解析】 不妨设AB＝2BC＝2，BD＝x，x∈[0,1]，由平面向量三点共线可知，＝＋，∴＝－，∴λ＝－，μ＝，x∈[0,1]，则λμ＝－＝－(x2＋2x)＝－(x＋1)2＋，x∈[0,1]，∴λμ∈.
7．设点O(0,0)，A(1,0)，B(0,1)，P是线段AB上的一个动点，＝λ.若·≥·，则实数λ的取值范围是( )
A．≤λ≤1 B．1－≤λ≤1
C．≤λ≤1＋ D．1－≤λ≤1＋
【答案】 B
【解析】 ＝λ ＝(1－λ)＋λ＝(1－λ，λ)，＝－＝(1－λ)＝(λ－1,1－λ)，＝λ＝(－λ，λ)，·≥· (1－λ，λ)·(－1,1)≥(λ，－λ)·(λ－1,1－λ) 2λ2－4λ＋1≤0，解得1－≤λ≤1＋.因为P是线段AB上的一个动点，所以0≤λ≤1，即满足条件的实数λ的取值范围是1－≤λ≤1.故选B.
8．已知向量与的夹角为θ，||＝2，||＝1，＝t，＝(1－t)，||在t0时取得最小值．当0＜t0＜时，夹角θ的取值范围为( )
A． B．
C． D．
【答案】 C
【解析】 由题意可得·＝2×1×cos θ＝2cos θ，＝－＝(1－t)－t，∴2＝(1－t)22＋t22－2t(1－t)·＝(1－t)2＋4t2－4t(1－t)cos θ＝(5＋4cos θ)t2＋(－2－4cos θ)t＋1，由二次函数知，当上式取最小值时，t0＝，由题意可得0＜＜，求得－＜cos θ＜0，∴＜θ＜，故选C．
9．(多选)已知向量a＝(－3,2)，b＝(2,1)，c＝(λ，－1)，λ∈R，μ∈R，则( )
A．若a∥c，则λ＝
B．若(a＋2b)⊥c，则λ＝4
C．若a＝tb＋c，则λ＋t＝－4
D．|a＋μb|的最小值为
【答案】 ABD
【解析】 已知a∥c，则(－3)×(－1)＝2×λ，解得λ＝，故A正确；a＋2b＝(1,4)，由于(a＋2b)⊥c，则1×λ＋4×(－1)＝0，解得λ＝4，故B正确；由于a＝tb＋c，则(－3,2)＝t(2,1)＋(λ，－1)＝(2t＋λ，t－1)，得解得故λ＋t＝－6，故C不正确；a＋μb＝(－3＋2μ，2＋μ)，|a＋μb|＝＝＝≥＝，当μ＝时等号成立，即|a＋μb|的最小值为，故D正确．
10. (多选)如图，正方形ABCD的边长为2，动点P在正方形内部及边上运动，＝λ＋μ，则下列结论正确的有( )
A．点P在线段BC上时，·为定值
B．点P在线段CD上时，·为定值
C．λ＋μ的最大值为2
D．使λ＋2μ＝的P点轨迹长度为
【答案】 AC
【解析】 以点A为坐标原点，AB，AD所在直线分别为x，y轴建立如图所示的平面直角坐标系，设点P(x，y)(0≤x≤2,0≤y≤2)，则＝(2,0)，＝(0,2)，＝(x，y)，·＝2x，当点P在线段BC上时，x＝2，·＝2x＝2×2＝4，故A正确；当点P在线段CD上时，x不是定值，·＝2x不为定值，故B错误；由＝λ＋μ得(x，y)＝λ(2,0)＋μ(0,2)＝(2λ，2μ)，则λ＝，μ＝，所以λ＋μ＝(x＋y)，故当x＝y＝2时，即当点P与点C重合时，λ＋μ取得最大值2，故C正确；由λ＋2μ＝得＋y＝，直线＋y＝交x轴于点E(1,0)，交y轴于点F，所以，使λ＋2μ＝的P点轨迹为线段EF，且|EF|＝＝，故D错误．
11. (多选)如图，正方形ABCD中，E为AB中点，M为线段AD上的动点，＝λ＋μ，则下列结论正确的是( )
A．当M为线段AD的中点时，λ＋μ＝
B．λμ的最大值为
C．μ的取值范围为[0,1]
D．λ＋μ的取值范围为
【答案】 ABC
【解析】 以B为原点，，为x，y轴正方向建立平面直角坐标系，设BC＝2，则B(0,0)，E(0,1)，D(2,2)，设M(t,2)，则0≤t≤2，因为＝λ＋μ，所以(t,2)＝λ(0,1)＋μ(2,2)＝(2μ，λ＋2μ)，所以2μ＝t，λ＋2μ＝2，即λ＝2－t，μ＝.因为M为线段AD的中点，所以t＝1，故λ＋μ＝2－＝，A正确；λμ＝(2－t)＝t－t2,0≤t≤2，当t＝1时，λμ取最大值为，B正确；因为μ＝，0≤t≤2，所以0≤μ≤1，μ的取值范围为[0,1]，C正确；λ＋μ＝2－，0≤t≤2，所以1≤λ＋μ≤2，所以λ＋μ的取值范围为[1,2]，D错误．故选ABC．
12．(多选)设e1，e2均为单位向量，对任意的实数t有≤|e1＋te2|恒成立，则( )
A．e1与e2的夹角为
B.＝
C．|e2－te1|的最小值为
D．|e2＋t(e1－e2)|的最小值为
【答案】 BD
【解析】 设e1，e2的夹角为θ，≤|e1＋te2|，两边平方可得＋cos θ≤t2＋2tcos θ＋1，即t2＋2cos θ×t－－cos θ≥0对任意的t恒成立，故可得Δ＝4cos2θ＋4cos θ＋1≤0，即(2cos θ＋1)2≤0，则cos θ＝－，又θ∈[0，π]，故θ＝π，故A错误；＝＝，故B正确；|e2－te1|＝＝＝≥，当且仅当t＝－时取等号，故C错误；|e2＋t(e1－e2)|＝＝，令y＝3t2－3t＋1，当且仅当t＝时取得最小值，故|e2＋t(e1－e2)|的最小值为，故D正确．故选BD.
13．已知|a|＝|b|＝a·b＝2，c＝(2－4λ)a＋λb，则(c－a)·(c－b)的最小值为________.
【答案】 －
【解析】 ∵c－a＝(1－4λ)a＋λb，c－b＝(2－4λ)a＋(λ－1)b，∴(c－a)·(c－b)＝[(1－4λ)a＋λb]·[(2－4λ)a＋(λ－1)b]＝(16λ2－12λ＋2)a2＋(－8λ2＋7λ－1)a·b＋(λ2－λ)b2，代入|a|＝|b|＝a·b＝2，原式＝52λ2－38λ＋6，∴当λ＝时，原式取得最小值，为－.
14．已知|a|＝2|b|≠0，且关于x的方程x2＋|a|x＋a·b＝0有实根，则a和b的夹角的取值范围是________.
【答案】
【解析】 由|a|＝2|b|≠0，且关于x的方程x2＋|a|x＋a·b＝0有实根，则Δ＝|a|2－4a·b≥0，得a·b≤|a|2.设向量a，b的夹角为θ，则cos θ＝≤＝，又θ∈[0，π]，∴θ∈.
15．已知e1，e2是夹角为的两个单位向量，非零向量b＝xe1＋ye2，x，y∈R，若x＋2y＝2，则|b|的最小值为________.
【答案】 1
【解析】 e1·e2＝cos ＝，b2＝x2＋y2＋2xye1·e2＝x2＋y2＋xy.∵x＋2y＝2，∴x＝2－2y.∴b2＝(2－2y)2＋y2＋(2－2y)y＝3y2－6y＋4＝3(y－1)2＋1.∴当y＝1时，b2取得最小值1.∴|b|的最小值为1.
16．已知平面向量a，b，c满足a与b的夹角为锐角，|a|＝4，|b|＝2，|c|＝1，且|b＋ta|的最小值为，则实数t＝________，向量·(c－b)的取值范围为________.
【答案】 － [3－2，3＋2]
【解析】 设a与b的夹角为θ，则θ∈，|b＋ta|2＝b2＋2ta·b＋t2a2＝16t2＋16tcos θ＋4＝162－4cos2θ＋4，当t＝－，上式有最小值为－4cos2θ＋4，∵|b＋ta|的最小值为，∴|b＋ta|2的最小值为3，∴－4cos2θ＋4＝3，解得cos θ＝±.又θ∈，∴cos θ＞0，cos θ＝，此时t＝－＝－.∵a与b的夹角为θ，且|a|＝4，|b|＝2，|c|＝1，∴不妨设a＝(4,0)，b＝(2cos θ，2sin θ)＝(1，)，c＝(cos α，sin α)，α∈R，∴·(c－b)＝(cos α－2，sin α)·(cos α－1，sin α－)＝－3cos α－sin α＋3＝－2sin＋3∈[3－2，3＋2]，∴向量·(c－b)的取值范围是[3－2，3＋2]．
17．已知·＝0，M是线段BC的中点．
(1)若||＝2||，求向量－与向量＋的夹角的余弦值；
(2)若O是线段AM上任意一点，且||＝2||＝2，求·＋·的最小值．
【解析】 因为·＝0，所以⊥，
以A为坐标原点，AB所在直线为x轴，AC所在直线为y轴建立平面直角坐标系．
(1)令||＝a，则C(0，a)，B(2a,0)，
所以－＝(2a，－a)，＋＝(2a，a)．
设向量－与向量＋的夹角为θ，
所以cos θ＝＝
＝.
(2)因为||＝2||＝2，则C(0,1)，B(2,0)，M，设O，x∈[0,1]，
所以·＋·＝·(＋)＝2·＝2·＝2＝(x2－x)＝2－.
当且仅当x＝时，·＋·取得最小值－.
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第六章 平面向量及其应用
专项提升 平面向量中的最值(范围)问题
【答案】 (－1,0)
题型一
向量线性运算中的最值(范围)问题
[通性通法1]
[通性通法1]
利用向量的概念及基本运算，将所求问题转化为相应的等式关系，然后利用函数的性质或基本不等式求最值(范围)．a
１
C．1 D．2
【答案】 C
题型二
向量数量积的最值(范围)问题
[方法总结1]
[方法总结1]
解决此类问题时，先进行数量积的有关运算，将数量积用某一个变量或两个变量表示，建立关系式，然后利用函数、不等式、方程等有关知识求解．在求最值时我们也可以利用图形直观求解．
2
A．16 B．4
C．82 D．76
【答案】 D
【答案】 C
题型三
向量模的最值(范围)问题
[方法总结2]
3
4.非零向量a，b满足2a·b＝a2b2，|a|＋|b|＝2，求a与b的夹角的最小值．
题型四
向量夹角的最值(范围)问题
[通性通法2]
4
【答案】 C
2门世2有
3厚
D
A
0
C
B
A
G
B
D
C
