章末检测
(时间：120分钟 满分：150分)
一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．为了解某中学高一年级600名学生的身高情况，抽查了其中100名学生的身高进行统计分析．下列叙述正确的是( )
A．以上调查属于全面调查
B．每名学生是总体的一个个体
C．100名学生的身高是总体的一个样本
D．600名学生是总体
【答案】 C
【解析】 以上调查属于抽样调查，故A错误；每名学生的身高是总体的一个个体，故B错误；100名学生的身高是总体的一个样本，故C正确；600名学生的身高是总体，故D错误．故选C．
2．总体由编号01，02，…，29，30的30个个体组成．利用下面的随机数表选取6个个体，选取方法是从随机数表的第1行的第6列和第7列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第6个个体的编号为( )
第1行 78 16 62 32 08 02 62 42
62 52 53 69 97 28 01 98
第2行 32 04 92 34 49 35 82 00
36 23 48 69 69 38 74 81
A．27 B．26
C．25 D．19
【答案】 D
【解析】 由题意，取出的数有23，20，80(超出范围，故舍去)，26，24，26(重复，故舍去)，25，25(重复，故舍去)，36(超出范围，故舍去)，99(超出范围，故舍去)，72(超出范围，故舍去)，80(超出范围，故舍去)，19.故选D．
3．某校有高一学生n名，其中男生与女生的人数之比为6∶5.为了解学生的视力情况，现要求按分层随机抽样的方法抽取一个样本量为的样本．若样本中男生比女生多12人，则n＝( )
A．990 B．1 320
C．1 430 D．1 560
【答案】 B
【解析】 ∵样本中男生比女生多12人，∴×＝12，解得n＝1 320.故选B．
4．已知样本数据：10，8，6，10，13，8，10，12，11，7，8，9，11，9，12，9，10，11，12，11.那么频率为0.2的是( )
A．[5.5，7.5) B．[7.5，9.5)
C．[9.5，11.5) D．[11.5，13.5]
【答案】 D
【解析】 列出频率分布表如下：
分组 频数 频率
[5.5，7.5) 2 0.1
[7.5，9.5) 6 0.3
[9.5，11.5) 8 0.4
[11.5，13.5] 4 0.2
合计 20 1.0
从表中可以看出频率为0.2的是[11.5，13.5]．故选D．
5．已知10个数据：4，5，6，7，8，8.5，9，10，11，11.5，则这组数据的第40百分位数是( )
A．8 B．7
C．8.5 D．7.5
【答案】 D
【解析】 因为10×40%＝4，所以这组数据的第40百分位数是第4项与第5项数据的平均数，即＝7.5，故选D．
6．为庆祝中国共青团成立100周年，校团委举办了“学团史，知团情”知识竞赛，甲、乙两个组各派7名同学参加竞赛，测试成绩(单位：分，十分制)如图所示，则下列描述正确的有( )
A．甲组成绩的极差小于乙组成绩的极差
B．甲、乙两组成绩的平均数相等
C．甲、乙两组成绩的中位数相等
D．甲组成绩的方差大于乙组成绩的方差
【答案】 C
【解析】 甲、乙两组成绩的极差都为4，故A错误；甲组成绩的平均数为＝，乙组成绩的平均数为＝，∴甲组成绩的平均数小于乙组成绩的平均数，故B错误；甲、乙两组成绩的中位数都为6，故C正确；甲组成绩的方差为×＝，乙组成绩的方差为×＝，∴甲组成绩的方差小于乙组成绩的方差，故D错误．故选C．
7．小波一星期的总开支分布如图①所示，一星期的食品开支如图②所示，则小波一星期的鸡蛋开支占总开支的百分比为( )
A．1% B．2%
C．3% D．5%
【答案】 C
【解析】 由题图②知，小波一星期的食品开支为300元，其中鸡蛋开支为30元，占食品开支的10%，而食品开支占总开支的30%，所以小波一星期的鸡蛋开支占总开支的百分比为3%.
8．已知某样本的容量为50，平均数为70，方差为75.现发现在收集这些数据时，其中的两个数据记录有误，一个错将80记录为60，另一个错将70记录为90.在对错误的数据进行更正后，重新求得样本的平均数为，方差为s2，则( )
A．＝70，s2＜75 B．＝70，s2＞75
C．＞70，s2＜75 D．＜70，s2＞75
【答案】 A
【解析】 由题意，可得＝＝70，设收集的48个准确数据分别记为x1，x2，…，x48，则75＝[(x1－70)2＋(x2－70)2＋…＋(x48－70)2＋(60－70)2＋(90－70)2]＝[(x1－70)2＋(x2－70)2＋…＋(x48－70)2＋500]，s2＝[(x1－70)2＋(x2－70)2＋…＋(x48－70)2＋(80－70)2＋(70－70)2]＝[(x1－70)2＋(x2－70)2＋…＋(x48－70)2＋100]＜75，所以s2＜75.故选A．
二、多项选择题(本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分)
9．PM2.5是衡量空气质量的重要指标．如图是某地9月1日到10日的PM2.5日均值(单位：μg/m3)的折线图，则下列说法正确的是( )
A．这10天中PM2.5日均值的众数为33
B．这10天中PM2.5日均值的中位数是32
C．这10天中PM2.5日均值的中位数大于平均数
D．这10天中PM2.5日均值前4天的方差大于后4天的方差
【答案】 ABD
【解析】 由折线图得，这10天中PM2.5日均值的众数为33，中位数为＝32，平均数为×(36＋26＋…＋33)＝39.9，中位数小于平均数；前4天的数据波动比后4天的波动大，故前4天的方差大于后4天的方差．故选ABD．
10．统计某校n名学生的某次数学同步练习成绩(满分150分)，根据成绩依次分成六组：[90，100)，[100，110)，[110，120)，[120，130)，[130，140)，[140，150]，得到频率分布直方图如图所示，若不低于140分的人数为110，则下列说法正确的是( )
A．m＝0.031
B．n＝800
C．100分以下的人数为60
D．成绩在区间[120，140)内的人数占大半
【答案】 AC
【解析】 由图可知，10×(m＋0.020＋0.016＋0.016＋0.011＋0.006)＝1，解得m＝0.031，故A说法正确；因为不低于140分的频率为0.011×10＝0.11，所以n＝＝1 000，故B说法错误；因为100分以下的频率为0.006×10＝0.06，所以100分以下的人数为1 000×0.06＝60，故C说法正确；成绩在区间[120，140)内的频率为0.031×10＋0.016×10＝0.47＜0.5，人数占小半，故D说法错误．故选AC．
11．气象意义上从春季进入夏季的标志为：“连续5天日平均温度不低于22 ℃”．现有甲、乙、丙三地连续5天日平均温度的记录数据(数据都是正整数，单位℃)满足以下条件：
甲地：5个数据的中位数是24，众数是22；
乙地：5个数据的中位数是27，平均数是24；
丙地：5个数据有1个是32，平均数是26，方差是10.2.
则下列说法正确的是( )
A．进入夏季的地区有2个
B．丙地区肯定进入了夏季
C．乙地区肯定还未进入夏季
D．不能肯定甲地区进入了夏季
【答案】 ABC
【解析】 甲地：设甲地的其他两个数据分别为e，f，且e＜f，将5个数据由小到大排列得22，22，24，e，f，其中24＜e＜f，满足进入夏季的标志；乙地：设乙地其他四个数据分别为a，b，c，d，且a＜b≤27≤c≤d，将5个数据由小到大排列得a，b，27，c，d，则27＋c＋d≥81，而a＋b＋27＋c＋d＝120，故a＋b≤39，其中必有一个小于22，故不满足进入夏季的标志；丙地：设5个数据分别为p，q，r，s，32，且p，q，r，s∈Z，由方差公式可知(p－26)2＋(q－26)2＋(r－26)2＋(s－26)2＋(32－26)2＝10.2×5＝51，则(p－26)2＋(q－26)2＋(r－26)2＋(s－26)2＝15，易知p，q，r，s均大于22，满足进入夏季的标志，综上，A、B、C正确．故选ABC．
三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分．把答案填在题中横线上)
12．已知30个数据的第60百分位数是8.2，这30个数据从小到大排列后第18个数据是7.8，则第19个数据是________.
【答案】 8.6
【解析】 由于30×60%＝18，设第19个数据为x，则＝8.2，解得x＝8.6，即第19个数据是8.6.
13．某小学设计了调查问卷，让学生家长对该校实行“双减”政策的效果进行评分(单位：分)，评分都在[40，100]内，将所有数据按[40，50]，(50，60]，(60，70]，(70，80]，(80，90]，(90，100]进行分组，整理得到如图所示的频率分布直方图，则这次调查数据的70%分位数为________.
【答案】 80
【解析】 (0.005＋0.015＋0.020＋0.030)×10＝0.7＝70%，故这次调查数据的70%分位数为80.
14．某市为了调查中学生的心理健康情况，制作了一份心理调查问卷，A校有200名学生参与了调查，心理健康评估分的平均值为a，方差为2，B校有500名学生参与了调查，心理健康评估分的平均值为b，方差为.若a＝b，则这两个学校全体参与调查的学生的心理健康评估分的方差为________.
【答案】
【解析】 设A校200名学生的心理健康评估分为x1，x2，x3，…，x200，则心理健康评估分的平均值为＝a，方差为×[(x1－a)2＋(x2－a)2＋(x3－a)2＋…＋(x200－a)2]＝2，设B校500名学生的心理健康评估分为y1，y2，y3，…，y500，心理健康评估分的平均值为＝b，方差为×[(y1－b)2＋(y2－b)2＋(y3－b)2＋…＋(y500－b)2]＝.因为a＝b，所以这两个学校全体参与调查的学生的心理健康评估分的方差为×[(x1－a)2＋(x2－a)2＋…＋(x200－a)2＋(y1－b)2＋(y2－b)2＋…＋(y500－b)2]＝＝.
四、解答题(本大题共5小题，共77分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
15．(本小题满分13分)某机械厂三个车间共有工人1 000名，各车间男、女工人数如表所示：
第一车间 第二车间 第三车间
女工人 170 120 y
男工人 180 x z
已知在全厂工人中随机抽取1名，抽到第二车间男工人的可能性是0.13.该厂第三车间的男、女比例为3∶2.
(1)求x，y，z的值；
(2)现用分层随机抽样的方法在全厂男工人中抽取55名工人进行技术比武，则应在第三车间抽取多少名男工人？
【解析】 (1)由＝0.13，得x＝130.
因为第一车间的工人数是170＋180＝350，
第二车间的工人数是120＋130＝250，
所以第三车间的工人数是1 000－350－250＝400.
所以y＝400×＝160，z＝400×＝240.
(2)设应从第三车间抽取m名男工人，
全厂共有男工人180＋130＋240＝550(名)，
则由＝，得m＝24，
所以应在第三车间抽取24名男工人．
16．(本小题满分15分)某中学高三年级有1 000名学生参加学情调研测试，用简单随机抽样的方法抽取了一个容量为50的样本，得到数学成绩的频率分布直方图如图所示．
(1)求第四个小矩形的高，并估计本校在这次统测中数学成绩不低于120分的人数；
(2)求样本数据的中位数的近似值(保留1位小数)．
【解析】 (1)设第四个小矩形的高为a，
则(0.010＋0.012＋0.020＋0.030＋a)×10＝1，解得a＝0.028.
则在这次统测中数学成绩不低于120分的频率约为(0.030＋0.028＋0.012)×10＝0.7，
所以在这次统测中数学成绩不低于120分的人数约为1 000×0.7＝700.
(2)设中位数为x，则(0.010＋0.020)×10＋0.030×(x－120)＝0.5，
解得x≈126.7.
17．(本小题满分15分)某校高一(1)、(2)班各有49名学生，两班学生在一次数学测试(满分100分)中的成绩(单位：分)统计如表：
班级 平均分 众数 中位数 标准差
高一(1)班 79 70 87 19.8
高一(2)班 79 70 79 5.2
(1)请你对下面的一段话给予简要分析：高一(1)班的小刚回家对妈妈说：“昨天的数学测试中，全班的平均分为79分，得70分的人最多，我得了85分，在班里算是上游了．”
(2)请你根据表中的数据分析两班的测试情况，并提出教学建议．
【解析】 (1)由高一(1)班成绩的中位数是87分可知，85分排在第25名以后，从名次上讲并不能说85分在班里是上游．
(2)高一(1)班成绩的中位数是87分，说明高于87分的人数将近一半，而平均分为79分，标准差又很大，说明低分者很多，两极分化严重，建议对学习差的学生给予帮助．
高一(2)班成绩的中位数和平均数都是79分，标准差较小，说明学生成绩之间的差别较小，学习差的学生较少，但学习优秀的学生也很少，建议采取措施提高优秀学生的人数．
18．(本小题满分17分)某校高一年级学生全部参加了体育科目的达标测试，现从中随机抽取40名学生的测试成绩(单位：分)，整理数据并按分数段[40，50)，[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100]进行分组．已知测试分数均为整数，现用每组区间的中点值代替该组中的每个数据，得到体育成绩的折线图如图所示．
(1)若体育成绩大于或等于70分的学生为“体育良生”，已知该校高一年级有1 000名学生，试估计该校高一年级学生“体育良生”的人数；
(2)用样本估计总体的思想，试估计该校高一年级学生达标测试的平均分；
(3)假设甲、乙、丙三人的体育成绩分别为a，b，c，且a∈[70，80)，b∈[80，90)，c∈[90，100]，当三人的体育成绩方差s2最小时，写出a，b，c的所有可能取值(不要求证明)．
【解析】 (1)由折线图得体育成绩大于或等于70分的学生有14＋3＋13＝30(人)，∴估计该校高一年级学生“体育良生”的人数为1 000×＝750.
(2)用样本估计总体的思想，估计该校高一年级学生达标测试的平均分为×(45×2＋55×6＋65×2＋75×14＋85×3＋95×13)＝77.25(分)．
(3)∵甲、乙、丙三人的体育成绩分别为a，b，c，且a∈[70，80)，b∈[80，90)，c∈[90，100]，其中a，b，c∈N，∴当三人的体育成绩方差s2最小时，a，b，c的所有可能取值为79，84，90或79，85，90.
19．(本小题满分17分)数据x1，x2，…，xn的方差为s，数据y1，y2，…，yn的方差为s，a，b为常数．证明：
(1)如果y1＝x1＋b，y2＝x2＋b，…，yn＝xn＋b，那么s＝s；
(2)如果y1＝ax1，y2＝ax2，…，yn＝axn，那么s＝a2s.
【证明】 (1)∵＝(y1＋y2＋…＋yn)
＝[(x1＋b)＋(x2＋b)＋…＋(xn＋b)]
＝[(x1＋x2＋…＋xn)＋nb]
＝(x1＋x2＋…＋xn)＋b＝＋b，
∴s＝[(y1－)2＋(y2－)2＋…＋(yn－)2]
＝[(x1－)2＋(x2－)2＋…＋(xn－)2]＝s.
(2)∵＝(y1＋y2＋…＋yn)
＝(ax1＋ax2＋…＋axn)
＝a·(x1＋x2＋…＋xn)＝a，
∴s＝[(y1－)2＋(y2－)2＋…＋(yn－)2]
＝[(ax1－a)2＋(ax2－a)2＋…＋(axn－a)2]
＝a2·[(x1－)2＋(x2－)2＋…＋(xn－)2]＝a2s.
21世纪教育网(www.21cnjy.com)(共24张PPT)
第九章 统计
章末复习与总结
知识体系构建
核心考点培优
考点一
随机抽样
【答案】 (1)①抽样调查 ②高速公路上所有车的行驶速度 6辆车的行驶速度 (2)068
【解析】 (1)①一名交警在高速公路上随机观测了6辆车的车速，然后他给出了一份报告，交警采用的是抽样调查的调查方式．
②这个调查的总体是高速公路上所有车的行驶速度，样本是6辆车的行驶速度，个体是每辆车的行驶速度．
(2)从随机数表第1行第8列的数开始向右读，编号分别为331，455，068，则第3支疫苗的编号为068.
2.(1)某射击运动员7次的训练成绩分别为：86，88，90，89，88，87，85，则这7次成绩的第80百分位数为( )
A．88.5 B．89
C．91 D．89.5
考点二
百分位数的计算
(2)某学校组织学生参加数学测试，成绩频率分布直方图如图，则60分为成绩的第__________百分位数．
【答案】 (1)B (2)30
【解析】 (1)7次的训练成绩从小到大排列为：85，86，87，88，88，89，90，7×80%＝5.6，所以第80百分位数为从小到大排列的数据中的第6个数据，即89.故选B．
(2)因为分数位于[20，40)和[40，60)的频率之和为(0.005＋0.010)×20＝0.3，所以60分为成绩的第30百分位数．
3.统计局就某地居民的月收入(单位：元)情况调查了10 000人，并根据所得数据画出了样本频率分布直方图(如图)，每个分组包括左端点，不包括右端点，如第一组表示月收入在[2 500，3 000)内．
考点三
平均数、中位数的计算
(1)为了分析居民的收入与年龄、职业等方面的关系，必须按月收入再从这10 000人中用分层随机抽样的方法抽出100人作进一步分析，则月收入在[4 000，4 500)内的应抽取多少人？
(2)根据频率分布直方图估计样本数据的中位数；
(3)根据频率分布直方图估计样本数据的平均数．
4.为了了解某工厂生产的产品情况，从该工厂生产的产品中随机抽取一个容量为20的样本，测量它们的尺寸(单位：mm)，并分为[92，94)，[94，96)，[96，98)，[98，100)，[100，102)，[102，104)，[104，106]七组，其频率分布直方图如图所示：
考点四
频率分布直方图
(1)求图中x的值；
(2)根据频率分布直方图，估计200件该产品中尺寸在[98，100)内的个数；
(3)记产品尺寸在[98，102)内的为优等品，每件可获利5元；在[92，94)内的为不合格品，每件亏损2元；其余的为合格品，每件可获利3元．已知每台机器一个月共生产3 000件产品．以样本的频率代替总体在各组的频率，若每台机器生产的产品一个月所获得的利润未达到11 000元，则需要对该工厂设备实施升级改造．试判断是否需要对该工厂设备实施升级改造．
【解析】 (1)由(0.02＋0.04＋0.06＋0.07＋0.09＋0.10＋x)×2＝1，解得x＝0.12.
(2)估计200件该产品中尺寸在[98，100)内的个数为200×0.09×2＝36.
(3)由题意可得,这批产品中优等品有3 000×(0.18＋0.20)＝1 140(件),
不合格品有3 000×0.04＝120(件)，
合格品有3 000－1 140－120＝1 740(件)，
所以每台机器生产的产品一个月所获得的利润为1 140×5＋1 740× 3－120×2＝10 680(元)，
因为10 680＜11 000，所以需要对该工厂设备实施升级改造．
5.(1)一条产品生产线平均每天的产量为3 700件，标准差为50件．如果某一天的产量低于或高于平均产量，并落在±2个标准差的范围之外，就认为该生产线失去控制．下表是该生产线一周各天的产量，问该生产线在星期________失去了控制？
考点五
总体集中趋势的估计
时间 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 星期六 星期日
产量/件 3 850 3 670 3 690 3 720 3 610 3 590 3 700
(2)某中学将从甲、乙、丙3人中选一人参加全市中学男子1 500米比赛，现将他们最近集训中的10次成绩(单位：秒)的平均数与方差制成如下表格：
根据表中的数据，该中学应选________参加比赛．
【答案】 (1)一、六 (2)乙
甲 乙 丙
平均数 280 280 290
方差 20 16 16
【解析】 (1)由题意知，当产量在(3 700－2×50，3 700＋2×50)即(3 600，3 800)之外时该生产线失去控制，由表中数据可知，该生产线在星期一和星期六两天失去了控制．
(2)因为方差越小，发挥越稳定，且比赛成绩是时间越短越好，所以选乙参加比赛．
考点六
统计在实际问题中的决策作用
【解析】 从不同的角度分析如下：
①甲组成绩的众数为90分，乙组成绩的众数为70分，从成绩的众数这一角度看，甲组成绩好些．
③甲、乙两组成绩的中位数、平均数都是80分，其中甲组成绩在80分以上(含80分)的有33人，乙组成绩在80分以上(含80分)的有26人，从这一角度看，甲组成绩总体较好．
④从成绩统计表看，甲组成绩大于或等于90分的有20人，乙组成绩大于或等于90分的有24人，所以乙组成绩在高分段的人数多．同时，乙组100分人数比甲组100分人数多6人，从这一角度看，乙组成绩较好．
7.寒假期间，很多同学都喜欢参加“迎春花市摆档口”的社会实践活动，下表是今年某个档口某种精品的销售数据．
日期 2月14日 2月15日 2月16日 2月17日 2月18日
销售量/件 白天 35 32 43 39 51
晚上 46 42 50 52 60
已知摊位租金900元/档，售余精品可以按进货价退回厂家．
(1)求表中10个销售数据的中位数和平均数；
(2)明年花市期间甲、乙两位同学想合租一个摊位销售同样的精品，其中甲、乙分别承包白天、晚上的精品销售，承包时间段内销售所获利润归承包者所有．如果其他条件不变，以今年的数据为依据，甲、乙两位同学应如何分担租金才较为合理？
(2)由题知，今年花市期间该摊位所售精品的销售量与时间段有关，明年合租摊位的租金较为合理的分摊方法是根据今年的平均销售量按比例分担．
