第十章 10.1 10.1.4
课时跟踪检测
A组·基础巩固
1．下列说法中正确的是( )
A．对立事件一定是互斥事件
B．若A，B为随机事件，则P(A∪B)＝P(A)＋P(B)
C．若事件A，B，C两两互斥，则P(A)＋P(B)＋P(C)＝1
D．若事件A，B满足P(A)＋P(B)＝1，则A与B是对立事件
【答案】 A
【解析】 A说法显然正确；B说法不正确，当事件A，B能同时发生时，不满足P(A∪B)＝P(A)＋P(B)；C说法不正确，P(A)＋P(B)＋P(C)不一定等于1，还可能小于1；D说法不正确，当事件A，B不属于同一个试验时，显然不成立．
2．已知随机事件A，B，C中，A与B互斥，B与C对立，且P(A)＝0.3，P(C)＝0.6，则P(A∪B)＝( )
A．0.3 B．0.6
C．0.7 D．0.9
【答案】 C
【解析】 因为P(C)＝0.6，事件B与C对立，所以P(B)＝0.4，又P(A)＝0.3，A与B互斥，所以P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝0.3＋0.4＝0.7，故选C．
3．抛掷一枚质地均匀的骰子的试验，事件A表示“小于5的偶数点出现”，事件B表示“不小于5的点数出现”，则一次试验中，事件A或事件B至少有一个发生的概率为( )
A． B．
C． D．
【答案】 A
【解析】 事件A表示“小于5的偶数点出现”，小于5的偶数点有2和4，所以P(A)＝＝；事件B表示“不小于5的点数出现”，不小于5的点数有5和6，所以P(B)＝＝，又因为事件A和事件B为互斥事件，则一次试验中，事件A或事件B至少有一个发生的概率为P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝＋＝，故选A．
4．口袋内有一些大小相同的红球、黄球和白球，从中任意摸出一球，摸出的球是红球或黄球的概率为0.4，摸出的球是红球或白球的概率为0.9，那么摸出的球是黄球或白球的概率为( )
A．0.7 B．0.5
C．0.3 D．0.6
【答案】 A
【解析】 设摸出红球的概率为P(A)，摸出黄球的概率为P(B)，摸出白球的概率为P(C)，所以P(A)＋P(B)＝0.4，P(A)＋P(C)＝0.9，且P(A)＋P(B)＋P(C)＝1，所以P(C)＝1－P(A)－P(B)＝0.6，P(B)＝1－P(A)－P(C)＝0.1，所以P(B)＋P(C)＝0.7.
5．(多选)高一(2)班数学兴趣小组有男生和女生各3名，现从中任选2名学生去参加数学竞赛，则( )
A．恰有一名参赛学生是男生的概率为
B．至少有一名参赛学生是男生的概率为
C．至多有一名参赛学生是男生的概率为
D．两名参赛学生都是男生的概率为
【答案】 AC
【解析】 从数学兴趣小组的6名学生中任选2名学生去参加数学竞赛，共有15种等可能的结果．恰有一名参赛学生是男生，即从3名男生中任选1人，从3名女生中任选1人，有9种结果，所以恰有一名参赛学生是男生的概率为＝，A对；“至少有一名参赛学生是男生”的对立事件为“两名参赛学生都是女生”，从3名女生中任选2人有3种结果，所以至少有一名参赛学生是男生的概率为1－＝，B错；“两名参赛学生都是男生”，从3名男生中任选2人有3种结果，其概率为＝，D错；“至多有一名参赛学生是男生”的对立事件为“两名参赛学生都是男生”，所以至多有一名参赛学生是男生的概率为1－＝，C对．故选AC．
6．(多选)某学校成立了数学、英语、音乐3个课外兴趣小组，分别有39，32，33个成员，一些成员参加了不止一个小组，具体情况如图所示．现随机选取一个成员，则( )
A．他只属于音乐小组的概率为
B．他只属于英语小组的概率为
C．他属于至少2个小组的概率为
D．他属于不超过2个小组的概率为
【答案】 CD
【解析】 由题图知参加兴趣小组的共有6＋7＋8＋8＋10＋10＋11＝60人，只属于数学、英语、音乐小组的人数分别为10，6，8，故只属于音乐小组的概率为＝，只属于英语小组的概率为＝，“属于至少2个小组”包含“属于2个小组”和“属于3个小组”两种情况，故他属于至少2个小组的概率为＝，“属于不超过2个小组”包含“属于1个小组”和“属于2个小组”，其对立事件是“属于3个小组”．故他属于不超过2个小组的概率是P＝1－＝.故选CD．
7．若随机事件A，B互斥，A，B发生的概率均不等于0，且P(A)＝2－a，P(B)＝4a－5，则实数a的取值范围是________.
【答案】
【解析】 因随机事件A，B互斥，则P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝3a－3，依题意及概率的性质得即解得＜a≤，所以实数a的取值范围是.
8．已知从某班学生中任选两人参加农场劳动，选中两人都是男生的概率是，选中两人都是女生的概率是，则选中两人中恰有一人是女生的概率为________.
【答案】
【解析】 记“选中两人都是男生”为事件A，“选中两人都是女生”为事件B，“选中两人中恰有一人是女生”为事件C，易知A，B为互斥事件，A∪B与C为对立事件，又P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝＋＝，所以P(C)＝1－P(A∪B)＝1－＝.
9．在抛掷一颗骰子的试验中，事件A表示“不大于3的奇数点出现”，事件B表示“小于4的点数出现”，则事件A∪的概率为________.
【答案】
【解析】 依题意，抛掷一颗骰子的试验有6个不同的结果，它们等可能，其中事件A有2个结果，事件有3结果，于是有P(A)＝＝，P()＝＝，而事件A和是互斥的，则P(A∪)＝P(A)＋P()＝，所以事件A∪的概率为.
10．某商场有奖销售中，购满100元商品得一张奖券，多购多得，每1 000张奖券为一个开奖单位．设特等奖1个，一等奖10个，二等奖50个．设1张奖券中特等奖、一等奖、二等奖的事件分别为A，B，C．
(1)求P(A)，P(B)，P(C)；
(2)求抽取1张奖券中奖的概率；
(3)求抽取1张奖券不中特等奖或一等奖的概率．
【解析】 (1)由题意，每1 000张奖券中设特等奖1个，一等奖10个，二等奖50个，
故P(A)＝，P(B)＝＝，P(C)＝＝.
(2)设“抽取1张奖券中奖”为事件D，
则P(D)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝＋＋＝.
(3)设“抽取1张奖券不中特等奖或一等奖”为事件E，
则P(E)＝1－P(A)－P(B)＝1－－＝.
B组·综合运用
11．从1，2，3，4，5，6，7这七个数字中随机抽取一个，记事件A为“抽取的数字为偶数”，事件B为“抽取的数字为3的倍数”，则事件A∪B发生的概率为( )
A． B．
C． D．
【答案】 D
【解析】 解法一：由题意得P(A)＝，P(B)＝，P(A∩B)＝，则P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)＝.
解法二：由题意得样本点总数n＝7，A∪B包含的样本点有2，3，4，6，共4个，∴事件A∪B发生的概率P＝.故选D．
12．(多选)口袋里装有1红、2白、3黄共6个除颜色外完全相同的小球，从中取出2球，事件A＝“取出的2球同色”，B＝“取出的2球中至少有1个黄球”，C＝“取出的2球中至少有1个白球”，D＝“取出的2球不同色”，E＝“取出的2球中至多有1个白球”．则下列判断中正确的是( )
A．A与D为对立事件
B．C与E是对立事件
C．P(C∪E)＝1
D．P(B)＝P(C)
【答案】 AC
【解析】 因为口袋里装有1红、2白、3黄共6个形状相同的小球，从中取出2球，由对立事件定义得A与D为对立事件，故A正确；C与E有可能同时发生，不是对立事件，故B错误；P(C)＝1－＝，P(E)＝，P(C∩E)＝，从而P(C∪E)＝P(C)＋P(E)－P(C∩E)＝1(或由C∪E为必然事件，得P(C∪E)＝1)，故C正确；黄球与白球的个数不同，从而P(B)≠P(C)，故D错误．
13．甲、乙、丙、丁四人参加4×100米接力赛，他们跑每一棒的概率均为.则甲跑第一棒或乙跑第四棒的概率为________.
【答案】
【解析】 设事件A＝“甲跑第一棒”，事件B＝“乙跑第四棒”，则P(A)＝，P(B)＝.记甲跑第x棒，乙跑第y棒为(x，y)，则共有可能结果12种：(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，1)，(2，3)，(2，4)，(3，1)，(3，2)，(3，4)，(4，1)，(4，2)，(4，3)．甲跑第一棒，乙跑第四棒只有一种结果，即(1，4)，故P(A∩B)＝，所以甲跑第一棒或乙跑第四棒的概率为：P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)＝＋－＝.
14．某医院首批救灾人员中有2名医生、3名护士和1名管理人员．采用抽签的方式，从这六名人员中随机选取两人在表彰大会上发言．
(1)写出发言人员所有可能的结果构成的样本空间；
(2)求选中1名医生和1名护士发言的概率；
(3)求至少选中1名护士发言的概率．
【解析】 (1)2名医生记为A1，A2，3名护士记为B1，B2，B3，1名管理人员记为C，则样本空间Ω＝{(A1，A2)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A1，C)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)，(A2，C)，(B1，B2)，(B1，B3)，(B1，C)，(B2，B3)，(B2，C)，(B3，C)}．
(2)设事件M＝“选中1名医生和1名护士发言”，则M＝{(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)}，所以n(M)＝6，又n(Ω)＝15，所以P(M)＝＝.
(3)设事件N＝“至少选中1名护士发言”，
则＝{(A1，A2)，(A1，C)，(A2，C)}，
所以n()＝3，所以P()＝＝，
所以P(N)＝1－P()＝1－＝.
C组·拓展提升
15．人类通常有O，A，B，AB四种血型，某一血型的人能给哪些血型的人输血，是有严格规定的，输血法则可归结为4条：①X→X；②O→X；③X→AB；④不满足上述3条法则的任何关系式都是错误的(其中X代表O，A，B，AB中某种血型，箭头左边表示供血者，右边表示受血者)．已知我国O，A，B，AB四种血型的人数所占比例分别为41%，28%，24%，7%，在临床上，按照规则，若受血者为A型血，则一位供血者不能为这位受血者正确输血的概率为( )
A．0.27 B．0.31
C．0.42 D．0.69
【答案】 B
【解析】 当受血者为A型血时，供血者可以为A型或O型，即B，AB两种血型不能为供血者，我国O，A，B，AB四种血型的人数所占比例分别为41%，28%，24%，7%，所以一位供血者不能为这位受血者正确输血的概率为P＝24%＋7%＝31%＝0.31.故选B．
16．袋中有9个大小相同颜色不全相同的小球，分别为黑球、黄球、绿球，从中任意取一球，得到黑球或黄球的概率是，得到黄球或绿球的概率是，试求：
(1)袋中黑球、黄球、绿球的个数分别是多少？
(2)从所有黑球、黄球中任取两个球，黑球与黄球各得一个的概率是多少？
(3)经计算从袋中任取两个球可得36个样本点，则两个球颜色不相同的概率是多少？
【解析】 (1)从中任取一球，分别记得到黑球、黄球、绿球为事件A，B，C，由于A，B，C为互斥事件，根据已知，
得解得
所以任取一球，得到黑球、黄球、绿球的概率分别是，，.
所以黑球的个数为9×＝3，黄球的个数为9×＝2，绿球的个数为9×＝4，
所以袋中黑球、黄球、绿球的个数分别是3，2，4.
(2)由(1)知黑球、黄球个数分别为3，2，所以从所有黑球、黄球中任取两个球的样本空间中共有10个样本点，记黑球与黄球各得一个的事件为D，其D中包含6个样本点，则P(D)＝＝.
(3)因为从袋中任取两个球可得36个样本点，其中两个黑球的样本点是3个，两个黄球的样本点是1个，两个绿球的样本点是6个，于是，两个球同色的概率为＝，则两个球颜色不相同的概率是1－＝.
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第十章 概率
10.1 随机事件与概率
10.1.4 概率的基本性质
新课程标准解读 学科核心素养
通过实例，理解概率的性质. 数学抽象
掌握随机事件概率的运算法则. 逻辑推理
教材梳理 明要点
甲、乙两人下棋，甲不输的概率是0.6，两人下成平局的概率是0.3.
问题
甲获胜的概率是多少？
?情境导入
[提示]
[提示]
甲获胜的概率等于甲不输的概率减去甲乙平局的概率，等于0.3.
知识点 概率的基本性质
性质1：对任意的事件A，都有P(A)_____0.
性质2：必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，即P(Ω)＝_____，P( )＝_____.
性质3：如果事件A与事件B互斥，那么P(A∪B)＝______________.
性质4：如果事件A与事件B互为对立事件，那么P(B)＝_________，P(A)＝__________.
?新知初探
≥
1
0
P(A)＋P(B)
1－P(A)
1－P(B)
性质5：如果A B，那么P(A)_____P(B)．
性质6：设A，B是一个随机试验中的两个事件，我们有P(A∪B)＝_________________________.
[提醒]
≤
P(A)＋P(B)－P(A∩B)
[提醒]
一般地，如果A1,A2,…,Am是两两互斥的事件,则P(A1∪A2∪…∪Am) ＝P(A1)＋P(A2)＋…＋P(Am)；
想一想
设事件A发生的概率为P(A)，事件B发生的概率为P(B)，那么事件A∪B发生的概率是P(A)＋P(B)吗？
提示：不一定．当事件A与B互斥时，P(A∪B)＝P(A)＋P(B)；当事件A与B不互斥时，P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)．
1．在掷骰子的游戏中，向上的数字是5或6的概率是( )
?预习自测
【答案】 B
2．甲、乙两人下棋，甲获胜的概率为30%，两人下成和棋的概率为50%，那么乙不输的概率是( )
A．20% B．70%
C．80% D．30%
【答案】 B
【解析】 由题意可得乙胜的概率为1－30%－50%＝20%，所以乙不输的概率是20%＋50%＝70%，故选B．
3．事件A与B是对立事件，且P(A)＝0.2，则P(B)＝________.
【答案】 0.8
【解析】 因为A与B是对立事件，所以P(A)＋P(B)＝1，即P(B)＝1－P(A)＝0.8.
题型探究 提技能
题型一
互斥事件概率公式的应用
【解析】 分别记小明的成绩“在90分及90分以上”“在80～89分”“在70～79分”“在60～69分”“在60分以下”为事件A，B，C，D，E，显然这五个事件两两互斥．
(1)小明的成绩在80分及80分以上的概率为P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝0.18＋0.51＝0.69.
(2)小明考试及格的概率为P(A∪B∪C∪D)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＋P(D)＝0.18＋0.51＋0.15＋0.09＝0.93.
[方法总结1]
[方法总结1]
运用互斥事件的概率加法公式P(A∪B)＝P(A)＋P(B)解题时，首先要判断事件之间是否互斥，同时要学会把一个事件拆分为若干个两两互斥的事件，然后求出各事件的概率，用互斥事件的概率加法公式得出结果．
１
(1)现有历史、政治、物理和化学4本书，从中任取1本，则取出的书是物理或化学书的概率为( )
↓取出物理和取出化学两个事件互斥，故可以用概率的加法公式计算
(2)某商店的月收入(单位：元)在[10 000，30 000)内的概率如下表所示：
已知月收入在[10 000,30 000)内的概率为0.67，求月收入在[15 000, 30 000)内的概率．
【答案】 (1)C (2)见解析
月收入 [10 000，
15 000) [15 000，
20 000) [20 000，
25 000) [25 000，
30 000)
概率 0.12 a b 0.14
(2)记月收入(单位：元)在[10 000,15 000),[15 000,20 000)，[20 000, 25 000)，[25 000，30 000)内分别为事件A，B，C，D．因为事件A，B，C，D两两互斥，且P(A)＋P(B)＋P(C)＋P(D)＝0.67，所以P(B∪C∪D)＝0.67－P(A)＝0.55.
2.(1)据统计，某食品企业在一个月内被消费者投诉的次数为0，1，2的概率分别为0.4，0.5，0.1，则该食品企业在一个月内被消费者投诉不超过1次的概率为________；
(2)一个盒子里装有三张卡片，分别标有数字1，2，3，这三张卡片除标记的数字外完全相同．有放回地随机抽取3次，每次抽取1张，将抽取的卡片上的数字依次记为a，b，c.
①求“抽取的卡片上的数字满足a＋b＝c”的概率；
②求“抽取的卡片上的数字a，b，c不完全相同”的概率．
【答案】 (1)0.9 (2)见解析
题型二
对立事件概率公式的应用
【解析】 (1)记“该食品企业在一个月内被消费者投诉的次数为2”为事件C，“该食品企业在一个月内被消费者投诉不超过1次”为事件D，由题意知，事件C与事件D互为对立事件，所以P(D)＝1－P(C)＝1－0.1＝0.9.
(2)由题意知，试验的样本空间Ω＝{(1，1，1)，(1，1，2)，(1，1，3)，(1，2，1)，(1，2，2)，(1，2，3)，(1，3，1)，(1，3，2)，(1，3，3)，(2，1，1)，(2，1，2)，(2，1，3)，(2，2，1)，(2，2，2)，(2，2，3)，(2，3，1)，(2，3，2)，(2，3，3)，(3，1，1)，(3，1，2)，(3，1，3)，(3，2，1)，(3，2，2)，(3，2，3)，(3，3，1)，(3，3，2)，(3，3，3)}，共27个样本点．
①记“抽取的卡片上的数字满足a＋b＝c”为事件A，
[方法总结2]
[方法总结2]
当直接计算符合条件的事件的概率比较麻烦时，可先计算出其对立事件的概率，然后利用对立事件的概率加法公式P(A)＋P(B)＝1求出符合条件的事件的概率．
2
(1)从一箱产品中随机地抽取一件，设事件A＝{抽到一等品}，事件B＝{抽到二等品}，事件C＝{抽到三等品}，已知P(A)＝0.7，P(B)＝0.2，P(C)＝0.1，则事件“抽到的不是一等品”的概率为( )
A．0.7 B．0.2
C．0.1 D．0.3
(2)盒子里装有外形相同且编号为1，2，3，4，5的五个小球，其中1号与2号是黑球，3号、4号与5号是红球，从中有放回地每次取出1个球，共取两次．
①求取到的2个球中恰好有1个是黑球的概率；
②求取到的2个球中至少有1个是红球的概率．
【答案】 (1)D (2)见解析
【解析】 (1)∵抽到的不是一等品的对立事件是抽到一等品，事件A＝{抽到一等品}，P(A)＝0.7，∴抽到的不是一等品的概率是1－0.7＝0.3.故选D．
(2)试验的样本空间Ω＝{(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(3，5)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，4)，(4，5)，(5，1)，(5，2)，(5，3)，(5，4)，(5，5)}，共25个样本点．
3.甲、乙两人参加普法知识竞赛，共有5个题，其中选择题3个，判断题2个，甲、乙两人各抽一题．
(1)甲、乙两人中有一人抽到选择题，另一人抽到判断题的概率是多少？
(2)甲、乙两人中至少有一人抽到选择题的概率是多少？，
题型三
概率性质的综合应用
【解析】 把3个选择题记为x1，x2，x3，2个判断题记为p1，p2，
则“甲抽到选择题，乙抽到判断题”的情况有(x1，p1)，(x1，p2)，(x2，p1)，(x2，p2)，(x3，p1)，(x3，p2)，共6种；
“甲抽到判断题，乙抽到选择题”的情况有(p1，x1)，(p1，x2)，(p1，x3)，(p2，x1)，(p2，x2)，(p2，x3)，共6种；
“甲、乙都抽到选择题”的情况有(x1，x2)，(x1，x3)，(x2，x1)，(x2，x3)，(x3，x1)，(x3，x2)，共6种；
“甲、乙都抽到判断题”的情况有(p1，p2)，(p2，p1)，共2种．
因此样本点的总数为6＋6＋6＋2＝20.
(2)记“甲、乙两人中至少有一人抽到选择题”为事件C，
[方法总结3]
[方法总结3]
求某些较复杂事件的概率，通常有两种方法：一是将所求事件的概率转化成一些彼此互斥的事件的概率的和；二是先求此事件的对立事件的概率，再用公式求此事件的概率．这两种方法可使复杂事件概率的计算得到简化．
3
某公务员去开会，他乘火车、轮船、汽车、飞机去的概率分别为0.3，0.2，0.1，0.4.
(1)求他乘火车或乘飞机去的概率；
(2)求他不乘轮船去的概率；
(3)如果他乘交通工具的概率为0.5，请问他有可能乘哪种交通工具？
【解析】 记“他乘火车”为事件A，“他乘轮船”为事件B，“他乘汽车”为事件C，“他乘飞机”为事件D．
这四个事件两两不可能同时发生，故它们彼此互斥．
(1)P(A∪D)＝P(A)＋P(D)＝0.3＋0.4＝0.7，
故他乘火车或乘飞机去的概率为0.7.
(2)设他不乘轮船去的概率为p，
则p＝1－P(B)＝1－0.2＝0.8，
所以他不乘轮船去的概率为0.8.
(3)由于P(A)＋P(B)＝0.3＋0.2＝0.5，P(C)＋P(D)＝0.1＋0.4＝0.5，
故他可能乘火车或乘轮船去，也有可能乘汽车或乘飞机去．
随堂检测 重反馈
1．如果事件A与B是互斥事件，且事件A∪B的概率是0.8，事件A的概率是事件B的概率的3倍，则事件A的概率为( )
A．0.2 B．0.4
C．0.6 D．0.7
【答案】 C
【解析】 因为事件A与B是互斥事件，所以P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝0.8，又因为P(A)＝3P(B)，所以P(A)＝0.6.故选C．
2．若某群体中的成员只用现金支付的概率为0.4，既用现金支付也用非现金支付的概率为0.3，则不用现金支付的概率为( )
A．0.4 B．0.3
C．0.7 D．0.6
【答案】 B
【解析】 由题得不用现金支付的概率P＝1－0.4－0.3＝0.3.故选B.
3．我国西部一个地区的年降水量在下列区间的概率如下表所示：
则年降水量在[200，300](mm)范围内的概率为( )
A．0.29 B．0.41
C．0.25 D．0.63
【答案】 C
年降水量/mm [100，150) [150，200) [200，250) [250，300]
概率 0.21 0.16 0.13 0.12
【解析】 设“年降水量在[200，300]范围内”为事件A，“年降水量在[200，250)范围内”为事件B，“年降水量在[250，300]范围内”为事件C，则A＝B∪C，而事件B与C互斥，且P(B)＝0.13，P(C)＝0.12，则P(A)＝P(B)＋P(C)＝0.25，所以年降水量在[200，300](mm)范围内的概率为0.25.故选C．
A．1 B．2
C．3 D．4
【答案】 C
5．一次期中考试，小金同学数学超过90分的概率是0.5，物理超过90分的概率是0.7，两门课都超过90分的概率是0.3，则他的数学和物理至少有一门超过90的概率为________.
【答案】 0.9
【解析】 ∵小金同学数学超过90分的概率是0.5，物理超过90分的概率是0.7，两门课都超过90分的概率是0.3，∴他的数学和物理至少有一门超过90的概率为P＝0.5＋0.7－0.3＝0.9.
