(共37张PPT)
第十章 概率
10.1 随机事件与概率
10.1.3 古典概型
新课程标准解读 学科核心素养
理解古典概型及其概率计算公式. 数学抽象
会用列举法计算一些随机事件所含的样本点个数及事件发生的概率. 逻辑推理
掌握利用概率的计算公式求古典概型的概率的方法. 逻辑推理，数学建模
教材梳理 明要点
据《西墅记》所载，唐明皇与杨贵妃掷骰子戏娱，唐明皇的战况不佳，只有让六颗骰子中的两颗骰子同时出现“四”才能转败为胜．于是唐明皇一面举骰投掷，一面连呼“重四”．骰子停定，正好重四．唐明皇大悦，命令高力士将骰子的四点涂为红色，红色通常是不能乱用的．因此直到今天，骰子的幺、四两面为红色，其余四面都是黑色．
问题
你能算出唐明皇转败为胜的概率是多少吗？
?情境导入
[提示]
[提示]
知识点 古典概型
1．事件的概率
对随机事件发生可能性大小的_______________称为事件的概率，事件A的概率用_______表示．
2．古典概型的定义
试验E具有如下共同特征：
(1)有限性：样本空间的样本点只有_______个；
(2)等可能性：每个样本点发生的可能性_______.
称试验E为古典概型试验，其数学模型称为古典概率模型，简称古典概型．
?新知初探
度量(数值)
P(A)
有限
相等
3．古典概型的概率计算公式
一般地，设试验E是古典概型，样本空间Ω包含n个样本点，事件A包
含其中的k个样本点，则定义事件A的概率P(A)＝________＝________.其中，n(A)和n(Ω)分别表示事件A和样本空间Ω包含的样本点个数．
[提醒]
[提醒]
若一次试验的结果所包含的样本点的个数是有限个，则该试验还不能判断是古典概型，还必须满足每个样本点出现的可能性相等．
想一想
掷一枚不均匀的骰子，求出现点数为偶数点的概率．这个概率模型是古典概型吗？
提示：不是.因为骰子不均匀，所以每个样本点出现的可能性不相等.
1．袋中装有6个白球，5个黄球，4个红球，从中任取一球，取到白球的概率为( )
?预习自测
【答案】 A
2．(多选)下列试验中是古典概型的为( )
A．从6名同学中选出4人参加数学竞赛，每人被选中的可能性大小相等
B．同时掷两颗骰子，点数和为6的概率
C．近三天中有一天降雨的概率
D．10人随机站成一排，其中甲、乙相邻的概率
【答案】 ABD
【解析】 由古典概型的定义和特点知：A、B、D是古典概型，C不是古典概型，因为不符合等可能性．故选ABD．
3．一枚硬币连掷两次，恰好出现一次正面的概率是________.
题型探究 提技能
【答案】 BD
题型一
古典概型的判断
【解析】 对于A：在适宜的条件下种一粒种子，发芽的概率，不符合等可能性；对于B：从中任取一球的事件有限，且任取一球为白球或黑球的概率是等可能的；对于C：向一个圆面内部随机地投一个点，该点落在圆心的概率，不符合有限性；对于D：老师从甲、乙、丙三名学生中任选两人的事件有限，甲、乙、丙被选中的概率是等可能的．故选BD．
[方法总结1]
[方法总结1]
判断一个试验是不是古典概型的步骤
(1)明确试验及其结果；
(2)判断所有结果(即样本点)是否有限；
(3)判断有限个结果是否等可能出现，这需要有日常生活的经验．另外，题目中“完全相同”“任取”等是表述等可能的语言．
１
下列概率模型中属于古典概型的是( )
A．在平面直角坐标系内，从横坐标和纵坐标都是整数的所有点中任取一点
B．某射手射击一次，可能命中0环，1环，2环，…，10环
C．某小组有男生5人，女生3人，从中任选1人做演讲
D．一只使用中的灯泡寿命长短
【答案】 C
【解析】 对于A，不属于古典概型，因为所有横坐标和纵坐标都是整数的点有无限多个，不满足有限性；对于B，不属于古典概型，因为命中0环，1环，2环，…，10环的概率不相同，不满足等可能性；对于C，属于古典概型，该事件显然满足有限性，且任选1人与学生的性别无关，是等可能的；对于D，不属于古典概型，因为灯泡的寿命是任意一个非负实数，有无限多种可能，不满足有限性．故选C．
【答案】 C
题型二
古典概型的计算
[方法总结2]
[方法总结2]
“四步”法求解古典概型的概率
2
从甲、乙、丙三名候选人中任选两人参加党史知识竞赛，则乙被选中的概率为( )
【答案】 C
题型三
“放回”与“不放回”问题
【解析】 (1)每次取一件，取后不放回地连续取两次，其一切可能的结果组成的样本空间Ω＝{(a1，a2)，(a1，b1)，(a2，a1)，(a2，b1)，(b1，a1)，(b1，a2)}，
其中小括号内左边的字母表示第一次取出的产品，右边的字母表示第二次取出的产品．
Ω由6个样本点组成，这些样本点的出现是等可能的．
用A表示“取出的两件中，恰好有一件次品”这一事件，
则A＝{(a1，b1)，(a2，b1)，(b1，a1)，(b1，a2)}，
(2)有放回地连续取出两件，其一切可能的结果组成的样本空间Ω＝{(a1，a1)，(a1，a2)，(a1，b1)，(a2，a1)，(a2，a2)，(a2，b1)，(b1，a1)，(b1，a2)，(b1，b1)}，共9个样本点．
用B表示“恰有一件次品”这一事件，则B＝{(a1，b1)，(a2，b1)，(b1，a1)，(b1，a2)}．
[方法总结3]
[方法总结3]
解决“放回”与“不放回”问题的方法及注意点
(1)关于不放回抽样，计算样本点个数时，既可以看做是有顺序的，也可以看做是无顺序的，其最后结果是一致的，但不论选择哪一种方式，观察的角度必须一致，否则会产生错误；
(2)关于有放回抽样，应注意在连续取出两次的过程中，因为先后顺序不同，所以(a1，b1)，(b1，a1)不是同一个样本点．解题的关键是要清楚无论是“不放回抽取”还是“有放回抽取”，每一件产品被取出的机会都是均等的．
3
一个袋中装有四个大小完全相同的球，球的编号分别为1，2，3，4.
(1)从袋中随机取两个球，求取出的球的编号之和不大于4的概率；
(2)先从袋中随机取一个球，该球的编号为m，将球放回袋中，再从袋中随机取一个球，该球的编号为n，求n≥m＋2的概率．
【解析】 (1)从袋中随机取两个球，所有可能样本点有(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，3)，(2，4)，(3，4)，共6个，
从袋中取出的两个球的编号之和不大于4的样本点为(1，2)，(1，3)，共2个，
(2)先从袋中随机取一个球，记下编号为m，放回后，再从袋中随机取一个球，记下编号为n，
则试验的样本空间Ω＝{(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，4)}，共16个样本点．
随堂检测 重反馈
1．下列有关古典概型的说法中错误的是( )
A．试验的样本空间的样本点总数有限
B．每个事件出现的可能性相等
C．每个样本点出现的可能性相等
【答案】 B
【解析】 由古典概型概念可知：试验的样本空间的样本点总数有限；每个样本点出现的可能性相等，故A、C正确；每个事件不一定是样本点，可能包含若干个样本点，所以B不正确；根据古典概型的概率计算公式可知D正确．故选B．
2．甲随机写一个大写英文字母，乙随机写一个小写英文字母，则他们写的正好是同一个字母的大小写的概率为( )
【答案】 B
3．从甲、乙、丙、丁、戊五人中选两人担任五月一日的值班工作，则甲、乙均不被选中的概率为( )
【答案】 C
4．从长度分别为2，3，4，5的四条线段中任意取出三条，则以这三条线段为边可以构成三角形的概率是________.第十章 10.1 10.1.3
课时跟踪检测
A组·基础巩固
1．从集合{a，b，c，d}的所有子集中任取一个，这个集合恰是集合{a，b}的子集的概率是( )
A． B．
C． D．
【答案】 C
【解析】 集合{a，b，c，d}的子集有16个，其中 ，{a}，{b}，{a，b}这4个集合是{a，b}的子集，因此所求概率为＝.故选C．
2．同时掷两枚硬币，“至少出现一枚正面向上”的概率是( )
A． B．
C． D．
【答案】 D
【解析】 同时掷两枚硬币，向上的面的情形有：正正，正反，反正，反反共4种，其中“至少出现一枚正面向上”含有正反和反正及正正三个基本事件，所以概率为P＝.故选D．
3．我国古代数学名著《数书九章》中有“米谷粒分”问题：粮仓开仓收粮，有人送来米1 534石，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒．则这批米内夹谷约为( )
A．134石 B．156石
C．169石 D．238石
【答案】 C
【解析】 因为254粒内夹谷28粒，所以这批米内夹谷的概率为＝，所以这批米内夹谷为1 534×≈169，故选C．
4．我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果，哥德巴赫猜想的内容是：每个大于2的偶数都可以表示为两个素数的和，例如：4＝2＋2，6＝3＋3，8＝3＋5，那么在不超过12的素数中随机选取两个不同的数，其和为奇数的概率为( )
A． B．
C． D．
【答案】 B
【解析】 不超过12的素数为：2，3，5，7，11，共5个，从中随机选取两个共有10个样本点：(2，3)，(2，5)，(2，7)，(2，11)，(3，5)，(3，7)，(3，11)，(5，7)，(5，11)，(7，11)，其中和为奇数的为：(2，3)，(2，5)，(2，7)，(2，11)，共4个样本点，所以和为奇数的概率为＝.故选B．
5．(多选)先后抛掷两颗质地均匀的骰子，第一次和第二次出现的点数分别记为a，b，则下列结论正确的是( )
A．a＋b＝7时的概率为
B．≥2时的概率为
C．ab＝6时的概率为
D．a＋b是6的倍数的概率是
【答案】 CD
【解析】 先后抛掷两颗质地均匀的骰子，共有36种不同的情形．满足a＋b＝7的情形有(1，6)，(2，5)，(3，4)，(4，3)，(5，2)，(6，1)，故P＝＝，故A错误；满足≥2的情形有(2，1)，(3，1)，(4，1)，(4，2)，(5，1)，(5，2)，(6，1)，(6，2)，(6，3)，故P＝＝，故B错误；满足ab＝6的情形有(1，6)，(2，3)，(3，2)，(6，1)，故P＝＝，故C正确；满足a＋b是6的倍数的情形有(1，5)，(2，4)，(3，3)，(4，2)，(5，1)，(6，6)，故a＋b是6的倍数的概率是，故D正确．故选CD．
6．某校新生分班，现有A、B、C、D四个不同的班，甲和乙两名学生将被分到这四个班，每名学生分到各班的可能性相同，则这两名学生被分到同一个班的概率为________.
【答案】
【解析】 由题设，每个学生分到不同班都有4种可能，甲和乙两名学生共有16种分法，而两名学生被分到同一个班有4种可能，所以两名学生被分到同一个班的概率为＝.
7．从一个放有两个白球、两个黑球的罐子中任意摸两个球，则至少摸到一个黑球的概率是________.
【答案】
【解析】 设两个白球为a1，a2，两个黑球为b1，b2，则从4个球中任取2个球有：(a1，a2)，(a1，b1)，(a1，b2)，(a2，b1)，(a2，b2)，(b1，b2)，6种等可能结果，其中至少摸到一个黑球有：(a1，b1)，(a1，b2)，(a2，b1)，(a2，b2)，(b1，b2)，5种等可能结果，故至少摸到一个黑球的概率为P＝.
8．从1，2，3，4，5这5个数字中不放回地任取两数，则两数都是奇数的概率是________，若有放回地任取两数，则两数都是偶数的概率是________.
【答案】
【解析】 从5个数字中不放回地任取两数，样本点有(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(3，4)，(3，5)，(4，5)，共10个．因为都为奇数的样本点有(1，3)，(1，5)，(3，5)，共3个，所以所求概率为.从5个数字中有放回的任取两数，样本点共有25个，都为偶数的样本点有(2，4)，(4，2)，(2，2)，(4，4)，共4个，故概率为.
9．一只口袋内装有大小相同的5个球，其中3个白球，2个黑球，从中一次摸出2个球．
(1)共有多少个样本点？
(2)摸出的2个球都是白球的概率是多少？
【解析】 (1)分别记白球为1，2，3号，黑球为4，5号，从中摸出2个球，有如下样本点(摸到1，2号球用(1，2)表示)：
(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(3，4)，(3，5)，(4，5)．因此，共有10个样本点．
(2)上述10个样本点发生的可能性相同，且只有3个样本点是摸到2个白球(记为事件A)，
即(1，2)，(1，3)，(2，3)，故P(A)＝.
故摸出2个球都是白球的概率为.
B组·综合运用
10．新高考数学试题增加多选题，每题中正确答案为A、B、C、D四个选项中的两个或多个，假设某考生对A、B、C、D选项正确与否完全不知道，则该考生猜对答案的概率是( )
A． B．
C． D．
【答案】 B
【解析】 所有的情况如下：AB，AC，AD，BC，BD，CD，ABC，ABD，ACD，BCD，ABCD，共11种，则该考生猜对答案的概率是.故选B．
11．先后抛掷两枚质地均匀的正方体骰子(它们的六个面分别标有点数1，2，3，4，5，6)，骰子朝上的面的点数分别为x，y，则log2xy＝1的概率为( )
A． B．
C． D．
【答案】 C
【解析】 所有样本点的个数为36.由log2xy＝1得2x＝y，其中x，y∈{1，2，3，4，5，6}，所以或或故事件“log2xy＝1”包含3个样本点，所以所求的概率为P＝＝.
12．设关于x的一元二次方程x2＋2ax＋b2＝0.若a是从0，1，2，3这四个数中任取的一个数，b是从0，1，2这三个数中任取的一个数，则上述方程有实数根的概率是________.
【答案】
【解析】 ∵关于x的一元二次方程x2＋2ax＋b2＝0有解．∴Δ＝4a2－4b2≥0，即a2≥b2，由题a是从0，1，2，3中任取的一个数，b是从0，1，2中任取的一个数，故总共有12个样本点，当a＝0，b＝0；a＝1，b＝0，1；a＝2，b＝0，1，2；a＝3，b＝0，1，2时满足a2≥b2，∴方程有根的情况有9种，故方程有实根的概率为＝.
13．有A，B，C，D四位贵宾，应分别坐在a，b，c，d四个席位上．现在这四人均未留意，在四个席位上随便就座．
(1)求这四人恰好都坐在自己的席位上的概率；
(2)求这四人恰好都没坐在自己的席位上的概率；
(3)求这四人恰有一人坐在自己的席位上的概率．
【解析】 将A，B，C，D四位贵宾就座情况用如图所示的图形表示出来．
由图可知，所有的等可能样本点共有24个．
(1)设事件M为“这四人恰好都坐在自己的席位上”，则事件M只包含1个样本点，所以P(M)＝.
(2)设事件N为“这四人恰好都没坐在自己的席位上”，则事件N只包含9个样本点，所以P(N)＝＝.
(3)设事件S为“这四人恰有一人坐在自己的席位上”，则事件S只包含8个样本点，所以P(S)＝＝.
C组·拓展提升
14．从分别写有1，2，3，4，5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为( )
A． B．
C． D．
【答案】 D
【解析】 从5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张的情况如图所示．
样本点总数为25，其中第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数包含的样本点有(2，1)，(3，1)，(3，2)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(5，1)，(5，2)，(5，3)，(5，4)，共10个，故所求的概率为＝.
15．已知关于x的二次函数f(x)＝ax2－bx＋1，设集合P＝{1，2，3}，Q＝{－1，1，2，3，4}，分别从集合P和Q中随机取一个数a和b得到数组(a，b)．
(1)列举出数组(a，b)对应的样本空间，并求函数y＝f(x)有零点的概率；
(2)求函数y＝f(x)在区间[1，＋∞)上单调递增的概率．
【解析】 (1)样本空间Ω＝{(1，－1)，(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，－1)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(3，－1)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)}，共15个样本点．
函数y＝f(x)有零点等价于Δ＝b2－4a≥0，
满足条件的(a，b)有(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，3)，(2，4)，(3，4)，共6个样本点．
∴y＝f(x)有零点的概率P1＝＝.
(2)∵a＞0，函数y＝f(x)图象的对称轴为直线x＝，由函数在区间[1，＋∞)上单调递增，有≤1，
满足条件的(a，b)有(1，－1)，(1，1)，(1，2)，(2，－1)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(3，－1)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，共13个样本点．
∴y＝f(x)在区间[1，＋∞)上单调递增的概率P2＝.
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
