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第十章 概率
10.1 随机事件与概率
10.1.1 有限样本空间与随机事件
新课程标准解读 学科核心素养
结合具体实例，理解样本点和有限样本空间的含义. 数学抽象
理解随机事件与样本点的关系. 数学建模
教材梳理 明要点
体育彩票摇奖时，将10个质地和大小完全相同的小球标上号码，分别为0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，然后放入摇奖器中经过充分搅拌后先后摇出两个小球．
?情境导入
[提示]
问题
观察两个小球的号码，你知道这个试验的结果有几种情况吗？
[提示]
第一个小球有10种可能，第二个小球有9种可能，共有90种实验结果．
知识点一 随机试验及样本空间
1．随机试验的概念和特点
(1)随机试验：我们把对___________的实现和对它的观察称为随机试验，简称试验，常用字母_____表示；
(2)随机试验的特点：
①试验可以在相同条件下_______进行；
②试验的所有可能结果是___________的，并且不止一个；
③每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个，但事先不能确定出现哪一个结果．
?新知初探
随机现象
E
重复
明确可知
想一想
随机试验在相同条件下重复进行时所得结果一样吗？
提示：所得结果是随机的，但所有可能结果是一样的．
2．样本点和样本空间
定义 字母表示
样本点 随机试验E的每个_______的__________称为样本点 用_____表示样本点
样本空间 全体_________的集合称为试验E的样本空间 用_____表示样本空间
有限样本空间 如果一个随机试验有n个可能结果ω1，ω2，…，ωn，则称样本空间Ω＝{ω1，ω2，…，ωn}为有限样本空间 Ω＝{ω1，ω2，…，ωn}
[提醒]
可能
基本结果
ω
样本点
Ω
[提醒]
对样本点和样本空间的再理解：①样本点是指随机试验的每个可能的基本结果，全体样本点的集合称为试验的样本空间；②只讨论样本空间为有限集的情况，即有限样本空间．
知识点二 三种事件的定义
随机
事件 我们将样本空间Ω的_______称为随机事件，简称事件，并把只包含_______样本点的事件称为基本事件．随机事件一般用大写字母A，B，C，…表示．在每次试验中，当且仅当A中某个样本点出现时，称为事件A发生
必然
事件 Ω作为自身的子集，包含了_______的样本点，在每次试验中总有一个样本点发生，所以Ω总会发生，我们称Ω为必然事件
不可能
事件 空集 不包含_______样本点，在每次试验中都不会发生，我们称 为不可能事件
子集
一个
所有
任何
1．下列事件：①长度为3，4，5的三条线段可以构成一个直角三角形；②经过有信号灯的路口，遇上红灯；③下周六是晴天．其中是随机事件的是( )
A．①② B．②③
C．①③ D．②
【答案】 B
【解析】 ①长度为3，4，5的三条线段可以构成一个直角三角形是必然事件；②经过有信号灯的路口，可能遇上红灯也可能不遇上红灯，是随机事件；③下周六可能是晴天也可能不是晴天，是随机事件．故选B．
?预习自测
2．从含有8件正品、2件次品的10件产品中，任意抽取3件，则必然事件是( )
A．3件都是正品 B．至少有1件次品
C．3件都是次品 D．至少有1件正品
【答案】 D
【解析】 将抽到正品记为1，次品记为0，则样本空间Ω＝{(1，1，0)，(1，0，0)，(1，1，1)}，因此至少有1件正品为必然事件．
3．“袋子中有红、黄、蓝三个小球，从中取出两个球，观察颜色”这一试验的样本空间为________.
【答案】 {(红，黄)，(红，蓝)，(黄，蓝)}
【解析】 袋子中有红、黄、蓝三个小球，从中取出两个球，观察颜色，可能的组合有：(红，黄)，(红，蓝)，(黄，蓝)，故该试验的样本空间为{(红，黄)，(红，蓝)，(黄，蓝)}．
题型探究 提技能
题型一
事件类型的判断
【解析】 (1)所有三角形的两边之和都大于第三边，所以是必然事件．
(2)空气和水是人类生存的必要条件，没有空气和水，人类无法生存，所以是不可能事件．
(3)任意抽取，可能得到1，2，3，4号标签中的任意一张，所以是随机事件．
(4)由能量守恒定律可知，不需任何能量的“永动机”不会出现，所以是不可能事件．
[方法总结1]
[方法总结1]
判断一个事件是哪类事件的方法
一看条件，因为三种事件都是相对于一定条件而言的；
二看结果是否发生，一定发生的是必然事件，不一定发生的是随机事件，一定不发生的是不可能事件．
１
从1，2，3，…，10这10个数中任取3个不同的数，那么事件“这三个数的和大于10”是( )
A．必然事件 B．不可能事件
C．随机事件 D．以上选项均不正确
【答案】 C
【解析】 因为从1，2，3，…，10这10个数中任取3个不同的数，这3个数的和可能小于10，可能等于10，也有可能大于10，所以事件“这三个数的和大于10”是随机事件，故选C．
题型二
确定试验的样本点与样本空间
【解析】 (1)该试验的样本空间Ω1＝{3，4，5，…，18}．
(2)该试验所有可能的结果如图所示，
因此,该试验的样本空间Ω2＝{a1a2，a1b1，a1b2，a2b1，a2b2，b1b2}.
(3)列出抛掷两次骰子出现点数和对应的表
由表可知“出现的点数之和大于8”可用集合表示为{(3，6)，(4，5)，(4，6)，(5，4)，(5，5)，(5，6)，(6，3)，(6，4)，(6，5)，(6，6)}.
[方法总结2]
[方法总结2]
写样本空间的关键是找样本点，具体有三种方法
(1)列举法：适用于样本点个数不是很多，可以把样本点一一列举出来的情况，但列举时必须按一定的顺序，要做到不重不漏；
(2)树状图法：适用于较复杂问题中的样本点的探求，一般需要分步(两步及两步以上)完成的结果可以用树状图进行列举；
(3)列表法：适用于试验中包含两个或两个以上的元素，且试验结果相对较多的样本点个数的求解问题，通常把样本归纳为“有序实数对”，也可用坐标法，列表法的优点是准确、全面、不易遗漏．
2
(1)一个家庭生两个小孩，所有的样本点有( )
A．(男，女)，(男，男)，(女，女)
B．(男，女)，(女，男)
C．(男，男)，(男，女)，(女，男)，(女，女)
D．(男，男)，(女，女)
(2)甲、乙两人做猜拳游戏(锤子、剪刀、布)．求该事件的样本空间.
【答案】 (1)C (2)见解析
【解析】 (1)把第一个孩子的性别写在前面，第二个孩子的性别写在后面，则所有的样本点是(男，男)，(男，女)，(女，男)，(女，女)，故选C．
(2)样本空间Ω＝{(锤子，锤子)，(锤子，剪刀)，(锤子，布)，(剪刀，锤子)，(剪刀，剪刀)，(剪刀，布)，(布，锤子)，(布，剪刀)，(布，布)}．
3.柜子里有3双不同的鞋，随机抽取2只，用A1，A2，B1，B2，C1，C2分别表示3双不同的鞋，其中下标为奇数表示左脚，下标为偶数表示右脚．指出下列随机事件的含义：
(1)M＝{A1B1，A1B2，A1C1，A1C2，A2B1，A2B2，A2C1，A2C2，B1C1，B1C2，B2C1，B2C2}；
(2)N＝{A1B1，B1C1，A1C1}；
(3)P＝{A1B2，A1C2，A2B1，A2C1，B1C2，B2C1}．
题型三
随机事件的含义
【解析】 (1)事件M的含义是“从3双不同的鞋中随机抽取2只，取出的2只鞋不成双”．
(2)事件N的含义是“从3双不同的鞋中，随机抽取2只，取出的2只鞋都是左脚的”．
(3)事件P的含义是“从3双不同的鞋中，随机抽取2只，取到的鞋一只是左脚的，一只是右脚的，且不成双”．
[方法总结3]
[方法总结3]
解答此类题目，要首先理解题意，清楚试验过程及样本空间，以及事件中样本点的意义，再观察事件中样本点的规律，才能确定事件的含义．
3
在试验E：“连续抛掷一枚均匀的骰子2次，观察每次掷出的点数”中，指出下列随机事件的含义：
(1)事件A＝{(1，3)，(2，3)，(3，3)，(4，3)，(5，3)，(6，3)}；
(2)事件B＝{(1，5)，(5，1)，(2，4)，(4，2)，(3，3)}；
(3)事件C＝{(1，3)，(3，1)，(4，2)，(2，4)，(3，5)，(5，3)，(4，6)，(6，4)}．
【解析】 (1)事件A中所含的样本点中的第二个数为3，根据样本空间知第二个数为3的样本点都在事件A中，故事件A的含义为连续抛掷一枚均匀的骰子2次，第二次掷出的点数为3.
(2)事件B中所含的样本点中两个数的和均为6，且样本空间中两数和为6的样本点都在事件B中，故事件B的含义为连续抛掷一枚均匀的骰子2次，2次掷出的点数之和为6.
(3)事件C中所含样本点中两个数的差的绝对值为2，且样本空间中两个数的差的绝对值为2的样本点都在事件C中，故事件C的含义为连续抛掷一枚均匀的骰子2次，两次掷出的点数之差的绝对值为2.
随堂检测 重反馈
1．以下事件中不是随机事件的是( )
A．在相同的条件下投掷一枚均匀的硬币两次，两次都出现反面
B．明天下雨
C．连续两次抛掷同一枚骰子，两次都出现2点
D．平面四边形的内角和是360°
【答案】 D
【解析】 因为平面四边形的内角和是360°是一个确定的事实，而其他三个都是随机出现的，所以选项D符合题意，故选D．
2．集合A＝{2，3}，B＝{1，2，4}，从A，B中各任意取一个数，构成一个两位数，则所有样本点的个数为( )
A．8 B．9
C．12 D．11
【答案】 D
【解析】 从A，B中各任意取一个数，可构成12，21，22，24，42，13，31，23，32，34，43，共11个样本点．
3．抛掷一枚质地均匀的骰子两次，事件M＝{(2，6)，(3，5)，(4，4)，(5，3)，(6，2)}，则事件M的含义是________________________.
【答案】 抛掷一枚质地均匀的骰子两次，向上点数之和为8
4．笼子中有4只鸡和3只兔，依次随机抽取，每次只取一只，直到3只兔全部被取出．记录剩余动物的脚的只数，则该试验的样本空间为________.
【答案】 {0，2，4，6，8}
【解析】 由题意知，最少取3次，最多取7次，那么剩余鸡的只数最多为4，最少为0，所以剩余动物的脚的只数可能是8，6，4，2，0，故样本空间为{0，2，4，6，8}．
5．从标有1，2，3，4，5的五张卡片中任取两张，观察取出的卡片上的数字．
(1)写出这个试验的样本空间；
(2)求这个试验的样本点的总数；
(3)“数字之和为5”这一事件包含哪几个样本点？
【解析】 (1)这个试验的样本空间Ω＝{(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(3，4)，(3，5)，(4，5)}．
(2)样本点的总数是10.
(3)“数字之和为5”这一事件包含以下两个样本点：(1，4)，(2，3).第十章 10.1 10.1.1
课时跟踪检测
A组·基础巩固
1．下列事件：(1)在标准大气压下，水加热到100 ℃沸腾；(2)平面三角形的内角和是180°；(3)明天最高气温28 ℃；(4)某人购买福利彩票5注，均未中奖；(5)没有水分，种子发芽了．其中随机事件的个数是( )
A．1 B．2
C．3 D．4
【答案】 B
【解析】 事件(1)是基本事实，因此是必然事件；事件(2)是基本事实，因此它是必然事件；事件(3)、(4)随机出现，是随机事件；事件(5)是不可能事件．故选B．
2．已知集合A＝{－9，－7，－5，－3，－1，0，2，4，6，8}，从集合A中任取两个不相同的数作为点P的坐标，则事件“点P落在x轴上”包含的样本点共有( )
A．7个 B．8个
C．9个 D．10个
【答案】 C
【解析】 事件“点P落在x轴上”包含的样本点的特征是纵坐标为0.又集合A中有9个非零数，故选C．
3．抛掷两枚骰子各一次，记第一枚骰子掷出的点数与第二枚骰子掷出的点数的差为X，则“X＞4”表示试验的结果为( )
A．第一枚为5点，第二枚为1点
B．第一枚为5或6点，第二枚为1点
C．第一枚为6点，第二枚为1点
D．第一枚为1点，第二枚为6点
【答案】 C
【解析】 “X＞4”即“X＝5”表示的试验结果为“第一枚为6点，第二枚为1点”．故选C．
4．一袋中装有10个红球，8个白球，7个黑球，现在把球随机地一个一个摸出来，为了保证在第k次或第k次之前一定能摸出红球，则k的最小值为( )
A．10 B．15
C．16 D．17
【答案】 C
【解析】 为了保证在第k次或第k次之前一定能摸出红球，需满足k－1≥7＋8，即k的最小值为16.故选C．
5．(多选)袋中装有标号分别为1，3，5，7的四个相同的小球，从中取出两个，下列事件是基本事件的是( )
A．取出的两球标号为3和7
B．取出的两球标号的和为4
C．取出的两球标号都大于3
D．取出的两球标号的和为8
【答案】 ABC
【解析】 取出的两球标号为3和7是基本事件，故选项A正确；取出的两球标号的和为4，指取出的两球标号为1和3，是基本事件，故选项B正确；取出的两球标号都大于3，指取出的两球标号为5和7，是基本事件，故选项C正确；取出的两球标号的和为8包括取出的两球标号为1和7、3和5，是两个样本点，故选项D不正确．故选ABC．
6．(多选)先后抛掷质地均匀的一角、五角的硬币各一次，观察落地后硬币的正反面情况，则下列事件中包含3个样本点的是( )
A．至少有一枚硬币正面向上
B．至多有一枚硬币正面向上
C．两枚硬币都正面向上
D．两枚硬币中一枚正面向上，另一枚反面向上
【答案】 AB
【解析】 “一角硬币正面向上，五角硬币正面向上”“一角硬币正面向上，五角硬币反面向上”“一角硬币反面向上，五角硬币正面向上”3个样本点，故A符合题意；“一角硬币正面向上，五角硬币反面向上”“一角硬币反面向上，五角硬币正面向上”“两个硬币均反面向上”3个样本点，故B符合题意；“一角硬币正面向上，五角硬币正面向上”1个样本点，故C不符合题意；“一角硬币正面向上，五角硬币反面向上”“一角硬币反面向上，五角硬币正面向上”2个样本点，故D不符合题意．故选AB．
7．在装有4个红球和2个白球的盒子中，任意取一球，则事件“取出的球是白球”为________事件(填“必然”“随机”或“不可能”)．
【答案】 随机
【解析】 由于是任意取一球，所以是随机事件．
8．从含有6件次品的50件产品中任取4件，观察其中次品数，其样本空间为________.
【答案】 {0，1，2，3，4}
【解析】 由分析可知取出的4件产品的次品个数为0，1，2，3，4，所以样本空间为{0，1，2，3，4}．
9．从长度为2，4，5，7，9的五条线段中任取三条(抽取不分先后)，设事件A＝“取出的三条线段能构成一个三角形”，则事件A包含的样本点有________个．
【答案】 4
【解析】 由题意知，A＝{(2，4，5)，(4，5，7)，(4，7，9)，(5，7，9)}，共包含4个样本点．
10．“五行”指金、木、水、火、土，其中金克木、木克土、土克水、水克火、火克金．现从“五行”中随机抽取“两行”．
(1)写出该试验的样本空间；
(2)记“从五行中抽取两行，抽取的两行不相克”的事件为A，写出事件A包含的样本点．
【解析】 (1)样本空间Ω＝{(金，木)，(金，水)，(金，火)，(金，土)，(木，水)，(木，火)，(木，土)，(水，火)，(水，土)，(火，土)}．
(2)记“从五行中抽取两行，抽取的两行不相克”的事件为A，则事件A包含的样本点，就是在样本空间Ω中的10个样本点中去掉“金克木”“木克土”“土克水”“水克火”“火克金”这5组“相克”构成的样本点，则A对应的样本点有(金，水)，(金，土)，(木，水)，(木，火)，(火，土)．
B组·综合运用
11．已知集合A是集合B的真子集，下列关于非空集合A，B的四个命题：
①若任取x∈A，则x∈B是必然事件；②若任取x A，则x∈B是不可能事件；③若任取x∈B，则x∈A是随机事件；④若任取x B，则x A是必然事件．其中正确的命题有( )
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
【答案】 C
【解析】 ∵集合A是集合B的真子集，∴A中的任意一个元素都是B中的元素，而B中至少有一个元素不在A中，因此①正确，②错误，③正确，④正确．故选C．
12．将一枚骰子掷两次，若朝上的面先后出现的点数分别为b，c，则方程x2＋bx＋c＝0有实数根的样本点个数为( )
A．36 B．30
C．25 D．19
【答案】 D
【解析】 掷一枚骰子两次，向上的面出现的点数如表所示：
b c
1 2 3 4 5 6
1 (1，1) (1，2) (1，3) (1，4) (1，5) (1，6)
2 (2，1) (2，2) (2，3) (2，4) (2，5) (2，6)
3 (3，1) (3，2) (3，3) (3，4) (3，5) (3，6)
4 (4，1) (4，2) (4，3) (4，4) (4，5) (4，6)
5 (5，1) (5，2) (5，3) (5，4) (5，5) (5，6)
6 (6，1) (6，2) (6，3) (6，4) (6，5) (6，6)
方程x2＋bx＋c＝0有实数根的充要条件为b2－4c≥0，即b2≥4c.由上表可知，共有1＋2＋4＋6＋6＝19个满足题意的样本点．
13．班里有18个男生，15个女生，其中一名女生叫小丽，从中任意抽取a人打扫卫生．
(1)若女生被抽到是必然事件，则a的取值范围为________；
(2)若女生小丽被抽到是随机事件，则a的取值范围为________.
【答案】 (1)a＞18，a∈N* (2)1≤a＜33，a∈N*
【解析】 (1)班里有18个男生，15个女生，从中任意抽取a人打扫卫生，女生被抽到是必然事件，所以a＞18，a∈N*.
(2)班里有18个男生，15个女生，从中任意抽取a人打扫卫生，女生小丽被抽到是随机事件，所以1≤a＜33，a∈N*.
14．某校夏令营有3名男同学A，B，C和3名女同学X，Y，Z，其年级情况如下表：
一年级 二年级 三年级
男 A B C
女 X Y Z
现从这6名同学中随机选出2人参加知识竞赛．
(1)用表中字母写出这个试验的样本空间；
(2)设M为事件“选出的2人来自不同年级且恰有1名男同学和1名女同学”，求事件M包含的样本点．
【解析】 (1)样本空间Ω＝{(A，B)，(A，C)，(A，X)，(A，Y)，(A，Z)，(B，C)，(B，X)，(B，Y)，(B，Z)，(C，X)，(C，Y)，(C，Z)，(X，Y)，(X，Z)，(Y，Z)}．
(2)事件M包含的样本点为(A，Y)，(A，Z)，(B，X)，(B，Z)，(C，X)，(C，Y)．
C组·拓展提升
15．设有一列单程北上的火车，已知停靠的站点由南至北分别为S1，S2，…，S10，共十站．若甲在S3站买票，乙在S6站买票．设样本空间Ω表示火车所有可能停靠的站，令A表示甲可能到达站点的集合，B表示乙可能到达站点的集合．
(1)写出该事件的样本空间Ω；
(2)写出事件A，事件B包含的样本点；
(3)铁路局需为该列车准备多少种北上的车票？
【解析】 (1)Ω＝{S1，S2，S3，S4，S5，S6，S7，S8，S9，S10}．
(2)A＝{S4，S5，S6，S7，S8，S9，S10}，B＝{S7，S8，S9，S10}．
(3)铁路局需要准备从S1站发车的车票9种，从S2站发车的车票8种，……，从S9站发车的车票1种，合计9＋8＋…＋2＋1＝45(种)．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
