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第十章 概率
10.2 事件的相互独立性
新课程标准解读 学科核心素养
结合有限样本空间，了解两个随机事件独立性的含义. 数学抽象
掌握相互独立事件概率的乘法公式. 逻辑推理
能运用互斥事件的概率加法公式及独立事件的乘法公式解题. 数学建模、逻辑推理
教材梳理 明要点
3张奖券只有1张能中奖，3名同学有放回地抽取．事件A为“第一名同学没有抽到中奖奖券”，事件B为“第三名同学抽到中奖奖券”．
问题
(1)上述问题中事件A的发生是否会影响B发生的概率？
(2)互斥事件与相互独立事件有什么区别？
?情境导入
[提示]
[提示]
(1)因为是又放回抽取奖券，所以事件A的发生不会影响B发生的概率．
(2)两个事件互斥是指两个事件不可能同时发生；两个事件相互独立是指一个事件的发生与否对另一事件发生的概率没有影响．
知识点 事件的相互独立性
1．相互独立事件的定义
对任意两个事件A与B，如果P(AB)＝__________________成立，则称事件A与事件B相互独立，简称为独立．
2．相互独立事件的性质
?新知初探
[提醒]
P(A)P(B)
相互独立
相互独立
相互独立
[提醒]
两个事件独立与互斥的区别：两个事件互斥是指两个事件不可能同时发生；两个事件相互独立是指一个事件的发生与否对另一事件发生的概率没有影响．
A．0.9 B．0.12
C．0.18 D．0.7
【答案】 C
?预习自测
【答案】 D
3．甲、乙两水文站同时作水文预报，如果甲站、乙站各自预报的准确率为0.8和0.7.那么，在一次预报中，甲、乙两站预报都准确的概率为________.
【答案】 0.56
【解析】 由题意知，两水文站水文预报相互独立，故在一次预报中甲、乙两站预报都准确的概率为0.8×0.7＝0.56.
题型探究 提技能
【答案】 B
题型一
相互独立事件的判断
[方法总结1]
[方法总结1]
两个事件是否相互独立的判断
(1)直接法：由事件本身的性质直接判定两个事件发生是否相互影响；
(2)定义法：如果事件A，B同时发生的概率等于事件A发生的概率与事件B发生的概率的积，则事件A，B为相互独立事件．
１
甲、乙两名射手同时向一目标射击，设事件A为“甲击中目标”，事件B为“乙击中目标”，则事件A与事件B( )
A．相互独立但不互斥 B．互斥但不相互独立
C．相互独立且互斥 D．既不相互独立也不互斥
【答案】 A
【解析】 同时对同一目标射击，甲、乙两射手是否击中目标是互不影响的，所以事件A与B相互独立；对同一目标射击，甲、乙两射手可能同时击中目标，即事件A与B可能同时发生，所以事件A与B不是互斥事件．故选A．
(1)两人都译出密码的概率；
(2)求至少1人译出密码的概率；
(3)恰有1人译出密码的概率．
题型二
相互独立事件概率的计算
[母体探究]
变式：(变设问)若本例条件不变，求至多1人译出密码的概率．
[方法总结2]
[方法总结2]
求相互独立事件同时发生的概率的步骤
(1)首先确定各事件之间是相互独立的；
(2)确定这些事件可以同时发生；
(3)求出每个事件的概率，再求积．
2
甲盒中有200个螺杆，其中有160个A型的，乙盒中有240个螺母，其中有180个A型的．现从甲、乙两盒中各任取一个，则恰好可配成A型螺栓的概率为( )
【答案】 C
3.有甲、乙、丙三支足球队互相进行比赛，每场都要分出胜负，已知甲队胜乙队的概率是0.4，甲队胜丙队的概率是0.3，乙队胜丙队的概率是0.5，现规定比赛顺序：第一场甲队对乙队，第二场是第一场中的胜者对丙队，第三场是第二场中的胜者对第一场中的败者，以后每一场都是上一场中的胜者对上一场中的败者，若某队连胜四场，则比赛结束，求：
(1)第四场结束比赛的概率；
(2)第五场结束比赛的概率．
题型三
概率的综合问题
【解析】 (1)因为甲连胜四场的概率P1＝0.4×0.3×0.4×0.3＝0.014 4，乙连胜四场的概率P2＝0.6×0.5×0.6×0.5＝0.09，
所以第四场结束比赛的概率P＝P1＋P2＝0.014 4＋0.09＝0.104 4.
(2)第五场结束比赛即某队从第二场起连胜四场，只有丙队有可能．
甲胜第一场，丙连胜四场的概率P3＝0.4×0.7×0.5×0.7×0.5＝0.049，
乙胜第一场，丙连胜四场的概率P4＝0.6×0.5×0.7×0.5×0.7＝0.073 5，
所以第五场结束比赛的概率P5＝P3＋P4＝0.122 5.
[方法总结3]
[方法总结3]
求较复杂事件的概率的方法
(1)列出题中涉及的各事件，并且用适当的符号表示；
(2)理清事件之间的关系(两事件是互斥还是对立，或者是相互独立)，列出关系式；
(3)根据事件之间的关系准确选取概率公式进行计算；
(4)当直接计算符合条件的事件的概率较复杂时，可先间接地计算对立事件的概率，再求出符合条件的事件的概率．
3
甲袋中有8个白球，4个红球，乙袋中有6个白球，6个红球，这些小球除颜色外完全相同．从每袋中任取1个球，则取得同色球的概率为________.
随堂检测 重反馈
A．互斥 B．相互独立
C．互为对立 D．无法判断
【答案】 B
2．甲、乙两人练习射击，甲击中目标的概率为0.9，乙击中目标的概率为0.7，若两人同时射击一目标，则他们都击中的概率是( )
A．0.3 B．0.63
C．0.7 D．0.9
【答案】B
【解析】设甲击中为事件A，乙击中为事件B，则P(AB)＝P(A)·P(B)＝0.9×0.7＝0.63.故选B．
【答案】 A
【答案】 ACD
5．某班准备到郊外野营，为此向商店订了帐篷，如果下雨与不下雨是等可能的，能否准时收到帐篷也是等可能的，只要帐篷如期运到，他们就不会淋雨．则他们淋雨的概率是________.
微专题 互斥与独立事件关系的判断
1．互斥事件与独立事件的区别与联系
从互斥事件和独立事件的概念我们可以看出，互斥事件即互不相容，是不可能同时发生的事件，交集为空，但会产生相互影响(比如A发生，B就一定不发生了)；独立事件A和B的发生互不影响，可能会同时发生．简单地说就是互斥必相互影响，独立必相容．
2．互斥事件与独立事件的运算性质
已知事件A，B发生的概率分别为P(A)，P(B)，则有
1.某服务电话，打进的电话响第1声时被接的概率是0.1；响第2声时被接的概率是0.2；响第3声时被接的概率是0.3；响第4声时被接的概率是0.35.
(1)打进的电话在响5声之前被接的概率是多少？
(2)打进的电话响4声而不被接的概率是多少？
【解析】 (1)设事件“电话响第k声时被接”为Ak(k∈N)，
那么事件Ak彼此互斥，
设“打进的电话在响5声之前被接”为事件A，
根据互斥事件概率加法公式，得：
P(A)＝P(A1∪A2∪A3∪A4)
＝P(A1)＋P(A2)＋P(A3)＋P(A4)
＝0.1＋0.2＋0.3＋0.35＝0.95.
2.甲、乙两名射击运动员分别对一目标射击1次，甲射中的概率为0.8，乙射中的概率为0.9，求：
(1)两人都射中的概率；
(2)两人中恰有一人射中的概率；
(3)两人中至少有一人射中的概率．
【解析】设“甲射击一次，击中目标”为事件A，“乙射击一次，击中目标”为事件B．事件A与B是相互独立的．
(1)两人都射中的概率为P(AB)＝P(A)P(B)＝0.8×0.9＝0.72，
(1)求乙、丙两个家庭各自回答正确这道题的概率；
(2)求甲、乙、丙三个家庭中不少于2个家庭回答正确这道题的概率.
【解析】 (1)记“甲家庭回答正确这道题”“乙家庭回答正确这道题”“丙家庭回答正确这道题”分别为事件A，B，C，第十章 10.2
课时跟踪检测
A组·基础巩固
1．有甲、乙两批种子，发芽率分别为0.8和0.9，在两批种子中各取一粒，则恰有一粒种子能发芽的概率是( )
A．0.26 B．0.08
C．0.18 D．0.72
【答案】 A
【解析】 由题设，甲、乙两批种子不发芽率分别为0.2和0.1，∴两批种子中各取一粒恰有一粒种子能发芽的概率P＝0.8×0.1＋0.2×0.9＝0.26.故选A．
2．甲、乙两位同学独立地解答某道数学题，若甲、乙解出的概率都是，则这道数学题被解出的概率是( )
A． B．
C． D．
【答案】 C
【解析】 由题意知，这道数学题解不出的概率为P＝×＝，∴这道数学题被解出的概率为1－P＝.故选C．
3．如图，用K，A1，A2三类不同的元件连接成一个系统．当K正常工作且A1，A2至少有一个正常工作时，系统正常工作．已知K，A1，A2正常工作的概率依次是0.9，0.8，0.8，则系统正常工作的概率为( )
A．0.960 B．0.864
C．0.720 D．0.576
【答案】 B
【解析】 根据题意，记K，A1，A2正常工作分别为事件A，B，C，则P(A)＝0.9，P(B)＝0.8，P(C)＝0.8，A1，A2至少有一个正常工作的概率为1－P()P()＝1－(1－0.8)×(1－0.8)＝0.96，则系统正常工作的概率为0.9×0.96＝0.864.故选B．
4．端午节是我国传统节日，甲、乙、丙3人端午节来徐州旅游的概率分别是，，，假定3人的行动相互之间没有影响，那么这段时间内至少有1人来徐州旅游的概率为( )
A． B．
C． D．
【答案】 D
【解析】 由题意可得3人中没有人来徐州旅游的概率为××＝××＝，所以这段时间内至少有1人来徐州旅游的概率为1－＝.
5．(多选)已知事件A，B，且P(A)＝0.4，P(B)＝0.3，则( )
A．如果B A，那么P(A∪B)＝0.4，P(AB)＝0.3
B．如果A与B互斥，那么P(A∪B)＝0.7，P(AB)＝0
C．如果A与B相互独立，那么P(A∪B)＝0.7，P(AB)＝0.12
D．如果A与B相互独立，那么P()＝0.42，P(B)＝0.18
【答案】 ABD
【解析】 如果B A，则P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(AB)＝P(A)＋P(B)－P(B)＝P(A)＝0.4，P(AB)＝P(B)＝0.3，故A正确；如果A与B互斥，则P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝0.4＋0.3＝0.7，P(AB)＝0，故B正确；如果A与B相互独立，则P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(AB)＝0.4＋0.3－P(AB)＝0.7－P(A)P(B)＝0.7－0.4×0.3＝0.58，P(AB)＝0.4×0.3＝0.12，故C不正确；如果A与B相互独立，则P(B)＝P()P(B)＝(1－P(A))P(B)＝(1－0.4)×0.3＝0.18，P( )＝P()P()＝(1－P(A))(1－P(B))＝(1－0.4)×(1－0.3)＝0.42，故D正确．故选ABD．
6．(多选)从甲袋中摸出一个红球的概率是，从乙袋中摸出1个红球的概率是，从两袋中各摸出1个球，则( )
A．2个球不都是红球的概率是
B．2个球都是红球的概率是
C．至少有1个红球的概率是
D．2个球中恰好有1个红球的概率是
【答案】 BCD
【解析】 2个球不都是红球的概率为1－×＝，故A不正确；2个球都是红球的概率为×＝，故B正确；至少有一个红球的概率为1－×＝，故C正确；2个球中恰好有1个红球的概率为×＋×＝，故D正确．
7．两个人射击，互相独立．已知甲射击一次中靶概率是0.6，乙射击一次中靶概率是0.3，现在两人各射击一次，中靶至少一次就算完成目标，则完成目标的概率为________.
【答案】 0.72
【解析】 由题意可知，若甲、乙两个各射击1次，至少有一人命中目标的概率为1－(1－0.6)×(1－0.3)＝0.72.
8．已知甲、乙、丙三人去参加某公司面试，他们被该公司录取的概率分别是，，，且三人录取结果相互之间没有影响，则他们三人中恰有两人被录取的概率为________.
【答案】
【解析】 因为甲、乙、丙三人被该公司录取的概率分别是，，，且三人录取结果相互之间没有影响，仅甲和乙被录取的概率为××＝，仅甲和丙被录取的概率为××＝，仅乙和丙被录取的概率为××＝，则他们三人中恰有两人被录取的概率为＋＋＝.
9．某工厂师徒二人各加工相同型号的零件2个，是否加工出精品互不影响．已知师傅加工一个零件是精品的概率为，师徒二人各加工2个零件都是精品的概率为，则徒弟加工2个零件都是精品的概率为________.
【答案】
【解析】 记师傅加工2个零件都是精品的概率为P(A)，则P(A)＝×＝，徒弟加工2个零件都是精品的概率为P(B)，则师徒二人各加工2个零件都是精品的概率为P(AB)＝P(A)·P(B)＝，求得P(B)＝，故徒弟加工2个零件都是精品的概率为.
10．某快餐配送平台针对外卖员送餐准点情况制定了如下的考核方案：每一单自接单后在规定时间内送达、延迟5分钟内送达、延迟5至10分钟送达、其他延迟情况，分别评定为a，b，c，d四个等级，各等级依次奖励3元、奖励0元、罚款3元、罚款6元．假定评定为等级a，b，c的概率分别是，，.
(1)若某外卖员接了一个订单，求其不被罚款的概率；
(2)若某外卖员接了两个订单，且两个订单互不影响，求这两单获得的奖励之和为3元的概率．
【解析】 (1)设事件A，B，C，D分别表示“评定为等级a，b，c，d”，
由题意，事件A，B，C，D两两互斥，又A∪B＝“不被罚款”，
所以P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝＋＝.
因此，“不被罚款”的概率为.
(2)设事件Ai，Bi，Ci，Di表示“第i单被评为等级a，b，c，d”，i＝1，2，
则“两单共获得的奖励为3元”即事件(A1B2)∪(A2B1)，且事件A1B2，A2B1彼此互斥，
又P(A1B2)＝P(A2B1)＝×＝，
所以P＝P[(A1B2)∪(A2B1)]＝P(A1B2)＋P(A2B1)＝×2＝.
B组·综合运用
11．甲、乙两队进行羽毛球决赛，甲队只要再胜一局就获得冠军，乙队需要再胜两局才能获得冠军，若每局甲队获胜的概率为，则甲队获得冠军的概率为( )
A． B．
C． D．
【答案】 D
【解析】 由已知得甲队获胜可能分为以下两种情况：①第一局甲队获胜，此时的概率为；②第一局乙队获胜，第二局甲队获胜，此时的概率为×＝，综上所述，甲队获胜的概率为＋＝，故选D．
12．某校组织《最强大脑》竞赛，最终A，B两队进入决赛，两队各由三名选手组成，每局两队各派一名选手比赛，除第三局胜者得2分外，其余各局胜者均得1分，负者得0分．假设每局比赛A队选手获胜的概率均为，且各局比赛结果相互独立，比赛结束时A队的得分高于B队的得分的概率为( )
A． B．
C． D．
【答案】 C
【解析】 比赛结束时A队的得分高于B队的得分包含三种情况：①A全胜；②第一局A胜，第二局B胜，第三局A胜；③第一局B胜，第二局A胜，第三局A胜．所以比赛结束时A队的得分高于B队的得分的概率P＝3＋××＋××＝.故选C．
13．某农户要种植甲、乙两种蔬菜，需要先播种培育成苗，然后再进行移栽．已知甲、乙两种蔬菜培育成苗的概率分别为0.5，0.6，移栽后成活的概率分别为0.6，0.8，则恰好有一种蔬菜能培育成苗且移栽成活的概率为________.
【答案】 0.492
【解析】 记“甲种蔬菜能培育成苗且移栽成活”为事件A，“乙种蔬菜能培育成苗且移栽成活”为事件B，则P(A)＝0.5×0.6＝0.3，P(B)＝0.6×0.8＝0.48，P()＝0.7，P()＝0.52，故恰好有一种蔬菜能培育成苗且移栽成活的概率为P(A)＋P(B)＝P(A)P()＋P()P(B)＝0.3×0.52＋0.7×0.48＝0.492.
14．一次数学考试有4道填空题，共20分，每道题完全答对得5分，否则得0分．在试卷命题时，设计第一道题使考生都能完全答对，后三道题能答对的概率分别为p，，，且每道题答对与否相互独立．
(1)当p＝时，求考生填空题得20分的概率；
(2)若考生填空题得10分与得15分的概率相等，求p的值．
【解析】 设考生填空题得20分、15分、10分分别为事件A，B，C．
(1)考生填空题得20分的概率P(A)＝××＝.
(2)P(B)＝p××＋p××＋(1－p)××＝p＋，
P(C)＝p××＋(1－p)××＋(1－p)××＝－p.
由P(B)＝P(C)，解得p＝.
C组·拓展提升
15．专家甲独立地破译一个密码成功的概率为，为提高破译概率需增加专家数量，若要达到译出密码的概率为99%(各专家相互独立互不交流)，至少需要像甲这样的专家________个．(参考数据：lg 2＝0.301 0，lg 3＝0.477 1)
【答案】 17
【解析】 设需要像甲这样的专家x个，要达到译出密码的概率为99%，则x≤，则xlg ≤lg ，即x≥＝≈16.01，故至少需要17个像甲这样的专家．
16．某学校组织安全知识竞赛，比赛共分为两轮，每位参赛选手均须参加两轮比赛，若其在两轮比赛中均胜出，则视为赢得比赛．已知在第一轮比赛中，选手甲、乙胜出的概率分别为，；在第二轮比赛中，甲、乙胜出的概率分别为，.甲、乙两人在每轮比赛中是否胜出互不影响．
(1)从甲、乙两人中选取1人参加比赛，派谁参赛赢得比赛的概率更大？
(2)若甲、乙两人均参加比赛，求两人中至少有一人赢得比赛的概率．
【解析】 (1)设A1＝“甲在第一轮比赛中胜出”，A2＝“甲在第二轮比赛中胜出”，B1＝“乙在第一轮比赛中胜出”，B2＝“乙在第二轮比赛中胜出”，则A1A2＝“甲赢得比赛”，B1B2＝“乙赢得比赛”，∵P(A1)＝，P(A2)＝，P(B1)＝，P(B2)＝，
∴P(A1A2)＝P(A1)P(A2)＝×＝，P(B1B2)＝P(B1)P(B2)＝×＝，
∵＞，∴派甲参赛获胜的概率更大．
(2)由(1)知，设C＝“甲赢得比赛”，D＝“乙赢得比赛”，
∵P()＝1－P(A1A2)＝1－＝，P()＝1－P(B1B2)＝1－＝.
设E＝“两人中至少有一人赢得比赛”．
∴P(E)＝1－P( )＝1－P()P()＝1－×＝.
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