(共16张PPT)
第十章 概率
章末复习与总结
知识体系构建
核心考点培优
【答案】 (1)A (2)C
考点一
互斥事件、对立事件与相互独立事件的判断
【解析】(1)有放回地摸球，第一次摸球与第二次摸球之间没有影响.
(2)③中“至少有一个是奇数”，即“两个奇数或一奇一偶”，而从1～7中任取两个数，根据取到数的奇偶性可认为共有三个事件：“两个都是奇数”“一奇一偶”“两个都是偶数”，故“至少有一个是奇数”与“两个都是偶数”是对立事件，易知其余都不是对立事件．
【答案】 A
考点二
古典概型计算
3.(2024·河北保定高一下期末)一个盒子里装有除颜色外完全相同的四个小球，其中黑球有两个，编号为1，2；红球有两个，编号为3，4.从中不放回的依次取出两个球，A表示事件“取出的两球不同色”，B表示事件“第一次取出的是红球”，C表示事件“取出的两球同色”，则下列说法错误的是( )
A．A与C互斥 B．A与B相互独立
考点三
事件的相互独立性
【答案】 C
【解析】 事件A包含(1，3)，(1，4)，(2，3)，(2，4)，(3，1)，(3，2)，(4，1)，(4，2)，
事件C包含(1，2)，(2，1)，(3，4)，(4，3)，显然A∩C＝ ，故A与C互斥，A正确；
4.2024年“五一”国际劳动节期间，我市某学校部分学生前往某面包生产作坊，通过社会实践了解到某种面包的成本单价为2元，经过保鲜加工后全部装箱(每箱100个，平均每个面包的加工费为1元)，然后以每箱400元的价格整箱出售．根据面包的保鲜特点制定如下促销策略：若每天下午2点之前所生产的面包没有售完，则对未售出的面包以每箱200元的价格出售(降价后能把剩余面包全部处理完毕，且当天不再生产该种面包)，根据作坊要求每天最多生产6箱．
考点四
概率与统计的综合
(1)若某天该作坊加工了6箱该种面包，且被6家不同的门店购买，其中在下午2点之前售出的有4箱．现从这6家不同的门店中随机选取2家赠送优惠卡，求恰好一家是以400元购买的门店，另一家是以200元购买的门店的概率；
(2)该作坊统计了100天内该种面包在每天下午2点之前的销售量X(单位：箱)，结果如下表(视频率为概率)：
求每天生产6箱该种面包的平均利润．
X(箱) 4 5 6
频数(天) 20 40 40
【解析】 (1)设这6家不同的门店分别是A，B，C，D，E，F，其中2点以前购买的门店是A，B，C，D，2点以后购买的门店是E，F，从这6家不同的门店中任选2家有15种选法：(A，B)，(A，C)，(A，D)，(A，E)，(A，F)，(B，C)，(B，D)，(B，E)，(B，F)，(C，D)，(C，E)，(C，F)，(D，E)，(D，F)，(E，F)．
其中恰好一家是以400元价格购买的门店，另一家是以200元价格购买的门店的有8种：(A，E)，(A，F)，(B，E)，(B，F)，(C，E)，(C，F)，(D，E)，(D，F)．章末检测
(时间：120分钟 满分：150分)
一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．抛掷一枚质地均匀的正方体骰子，若事件A＝“向上的点数为3”，B＝“向上的点数为6”，C＝“向上的点数为3或6”，则有( )
A．A B B．C B
C．A∩B＝C D．A∪B＝C
【答案】 D
【解析】 抛掷一枚质地均匀的正方体骰子，事件A＝“向上的点数为3”，B＝“向上的点数为6”，C＝“向上的点数为3或6”，A与B没有包含关系，故A错误；∵B＝“向上的点数为6”，C＝“向上的点数为3或6”，∴B C，故B错误；A∩B＝ ，故C错误；A∪B＝C，故D正确．
2．某射箭运动员进行射箭训练，射箭60次，统计结果如表：
环数 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
击中的次数 0 0 1 2 4 4 6 10 12 13 8
则估计他击中的环数不小于8的概率为( )
A．0.46 B．0.55
C．0.57 D．0.63
【答案】 B
【解析】 根据题意，该运动员击中的环数不小于8的频率为＝0.55，因此估计相应概率为0.55.
3．某网站举行购物抽奖活动，规定购物消费每满100元就送一次抽奖机会，中奖的概率为10%.那么以下理解正确的是( )
A．某人抽奖100次，一定能中奖10次
B．某人消费1 000元，至少能中奖1次
C．某人抽奖1次，一定不能中奖
D．某人抽奖10次，可能1次也没中奖
【答案】 D
【解析】 中奖的概率为10%，与抽的次数无关，不能保证一定中奖，也不能保证一定不中奖，只是有10%中奖的可能性，故D选项正确．故选D．
4．自然对数的底数是指无理数e＝2.718 281 828 459 045….e是一个奇妙有趣的无理数，它取自数学家欧拉Euler的英文字头．某教师为帮助同学们了解“e”，让同学们从小数点后的3位数字7，1，8随机选取两位数字，整数部分2不变，那么得到的数字小于2.71的概率为( )
A． B．
C． D．
【答案】 C
【解析】 由题意可得，样本点总数N＝6，∵让同学们从小数点后的3位数字7，1，8随机选取两位数字，整数部分2不变，那么得到的数字小于2.71的样本点有(1，7)，(1，8)，即2.17＜2.71，2.18＜2.71，共有M＝2个，∴得到的数字小于2.71的概率P＝＝＝.
5．国际上通用的茶叶分类法，是按发酵程度把茶叶分为不发酵茶(如：龙井、碧螺春)和发酵茶(如：茉莉花茶、铁观音、乌龙茶、普洱茶)两大类，现有6个完全相同的纸盒，里面分别装有龙井、碧螺春、茉莉花茶、铁观音、乌龙茶和普洱茶，从中任取一盒，判断下列两个事件既是互斥事件又是对立事件的是( )
A．“取出碧螺春”和“取出茉莉花茶”
B．“取出不发酵茶”和“取出龙井”
C．“取出乌龙茶”和“取出铁观音”
D．“取出不发酵茶”和“取出发酵茶”
【答案】 D
【解析】 事件“取出碧螺春”和事件“取出茉莉花茶”不可能同时发生，也有可能都不发生，所以是互斥事件而不是对立事件，故A错误；事件“取出不发酵茶”和事件“取出龙井”不是互斥事件，因为“取出龙井”时，事件“取出不发酵茶”也发生了，故B错误；事件“取出乌龙茶”和事件“取出铁观音”不可能同时发生，也有可能都不发生，所以是互斥事件而不是对立事件，故C错误；事件“取出不发酵茶”和事件“取出发酵茶”不可能同时发生，但必有一个发生，所以既是互斥事件又是对立事件，故D正确．
6．长时间玩手机可能影响视力．据调查，某校学生大约有45%的人近视，而该校大约有20%的学生每天玩手机超过1小时，这些人的近视率约为50%.现从每天玩手机不超过1小时的学生中任意抽查一名学生，则他近视的概率为( )
A． B．
C． D．
【答案】 D
【解析】 设该校有x个同学，则约有0.45x的学生近视，∵0.2x的学生每天玩手机超过1小时且玩手机超过1小时的学生中有0.1x的学生近视，∴有0.8x的学生每天玩手机不超过1小时且其中有0.35x的学生近视，∴从每天玩手机不超过1小时的学生中任意抽查一名学生，则他近视的概率为P＝＝.
7．4×100米接力赛是田径运动中的集体项目．一根小小的木棒，要四个人共同打造一个信念，一起拼搏，每次交接都是信任的传递．甲、乙、丙、丁四位同学将代表高一年级参加校运会4×100米接力赛，教练组根据训练情况，安排了四人的交接棒组合．已知该组合三次交接棒失误的概率分别是p1，p2，p3，假设三次交接棒相互独立，则此次比赛中该组合交接棒没有失误的概率是( )
A．p1p2p3
B．1－p1p2p3
C．(1－p1)(1－p2)(1－p3)
D．1－(1－p1)(1－p2)(1－p3)
【答案】 C
【解析】 由题意，三次交接棒不失误的概率分别为1－p1，1－p2，1－p3，则该组合交接棒没有失误的概率为(1－p1)(1－p2)(1－p3)．故选C．
8．在如图所示的电路中，5只箱子表示保险匣，箱中所示数值表示通电时保险丝被切断的概率，当开关合上时，电路畅通的概率是( )
A． B．
C． D．
【答案】 A
【解析】 当开关合上时，电路畅通，即A至B畅通，且B至C畅通，可求得A至B畅通的概率为1－×＝，B至C畅通的概率为1－×＝，所以电路畅通的概率为×＝.
二、多项选择题(本大题共3小题，每小题6分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分)
9．一批产品共有100件，其中5件是次品，95件是合格品．从这批产品中任意抽取5件，给出以下四个事件：
事件A：恰有一件次品；
事件B：至少有两件次品；
事件C：至少有一件次品；
事件D：至多有一件次品．
下列选项正确的是( )
A．A∪B＝C B．B∪D是必然事件
C．A∩B＝C D．A∩D＝C
【答案】 AB
【解析】 事件A∪B指至少有一件次品，即事件C，故A正确；事件B∪D指至少有两件次品或至多有一件次品，次品件数包含0到5，即代表了所有情况，故B正确；事件A和B不可能同时发生，即事件A∩B＝ ，故C错误；事件A∩D指恰有一件次品，即事件A，而事件A和C不同，故D错误．故选AB．
10．某工厂制造一种零件，甲机床的正品率是0.9，乙机床的正品率为0.8，分别从它们制造的产品中任意抽取一件，则( )
A．两件都是次品的概率为0.28
B．至多有一件正品的概率为0.72
C．恰有一件正品的概率为0.26
D．至少有一件正品的概率为0.98
【答案】 CD
【解析】 记事件A为“从甲机床制造的产品中抽到一件正品”，事件B为“从乙机床制造的产品中抽到一件正品”，事件C为“抽取的两件产品中至多有一件正品”，事件D为“抽取的两件产品中恰有一件正品”，事件E为“抽取的两件产品中至少有一件正品”．由题意知A，B是相互独立事件，则P()＝P()P()＝0.1×0.2＝0.02，故A错误；P(C)＝P(A)＋P(B)＋P()＝P(A)P()＋P()P(B)＋P()P()＝0.9×0.2＋0.1×0.8＋0.1×0.2＝0.28，故B错误；P(D)＝P(A)＋P(B)＝P(A)P()＋P()·P(B)＝0.9×0.2＋0.1×0.8＝0.26，故C正确；P(E)＝1－P()＝1－0.02＝0.98，故D正确．故选CD．
11．已知甲罐中有四个相同的小球，标号为1，2，3，4；乙罐中有五个相同的小球，标号为1，2，3，5，6.现从甲罐、乙罐中分别随机抽取1个小球，记事件A＝“抽取的两个小球标号之和大于5”，事件B＝“抽取的两个小球标号之积大于8”，则( )
A．事件A发生的概率为
B．事件A∪B发生的概率为
C．事件A∩B发生的概率为
D．从甲罐中抽到标号为2的小球的概率为
【答案】 BC
【解析】 由题意知从甲罐、乙罐中分别随机抽取1个小球，样本点总数为4×5＝20，且每一个样本点出现的可能性都相等(此处不再一一罗列)．事件A包含的样本点有(1，5)，(1，6)，(2，5)，(2，6)，(3，3)，(3，5)，(3，6)，(4，2)，(4，3)，(4，5)，(4，6)，共11个，∴P(A)＝，故A错误；事件A∪B包含的样本点有(1，5)，(1，6)，(2，5)，(2，6)，(3，3)，(3，5)，(3，6)，(4，2)，(4，3)，(4，5)，(4，6)，共11个，∴P(A∪B)＝，故B正确；事件A∩B包含的样本点有(2，5)，(2，6)，(3，3)，(3，5)，(3，6)，(4，3)，(4，5)，(4，6)，共8个，∴P(A∩B)＝＝，故C正确；从甲罐中抽到标号为2的小球包含的样本点有(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，5)，(2，6)，共5个，故对应概率为＝，故D错误．
三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分．把答案填在题中横线上)
12．某射手在一次射击中，射中10环，9环，8环的概率分别是0.20，0.30，0.10.则此射手在一次射击中不够8环的概率为________.
【答案】 0.40
【解析】 记“此射手在一次射击中大于等于8环”为事件A，由题意可得P(A)＝0.20＋0.30＋0.10＝0.60，所以此射手在一次射击中不够8环的概率为P＝1－P(A)＝0.40.
13．某同学进行投篮训练，在甲、乙、丙三个不同的位置投中的概率分别为，，p，该同学站在这三个不同的位置各投篮一次，至少投中一次的概率为，则p的值为________.
【答案】
【解析】 在甲、乙、丙处投中分别记为事件A，B，C，∴至少投中一次的对立为事件发生，∴至少投中一次的概率P＝1－××(1－p)＝，解得p＝.
14．从1，2，3，4四个数字中，随机地选取两个数字，若数字的选取是不放回的，则两个数字的和为偶数的概率为________；若数字的选取是有放回的，则两个数字的和为偶数的概率为________.
【答案】
【解析】 设事件A为“在数字的选取是不放回的条件下两个数的和为偶数”．事件B为“在数字的选取是有放回的条件下两个数的和为偶数”，则不放回地选取2个数的所有可能情况为(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，3)，(2，4)，(3，4)，(2，1)，(3，1)，(4，1)，(3，2)，(4，2)，(4，3)，共12个样本点，其中和为偶数的有(1，3)，(2，4)，(3，1)，(4，2)，共4个样本点，所以P(A)＝＝；有放回地选取2个数的所有可能情况为(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，4)，共16个样本点，其中和为偶数的有8个样本点，所以P(B)＝＝.
四、解答题(本大题共5小题，共77分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
15．(本小题满分13分)某研究性学习小组对春季昼夜温差大小与某花卉种子发芽情况之间的关系进行研究，他们分别记录了3月1日至3月5日的每天昼夜温差与实验室每天每100颗种子浸泡后的发芽数，得到如下资料：
日期 3月1日 3月2日 3月3日 3月4日 3月5日
温差x/℃ 10 11 13 12 8
发芽数y/颗 23 25 30 26 16
(1)求这5天的平均发芽率；
(2)从3月1日至3月5日中任选2天，记发芽的种子数分别为m，n，用(m，n)的形式列出所有的样本点，并求满足“m，n∈[25，30]”的事件A的概率．
【解析】 (1)这5天的平均发芽率为×(23＋25＋30＋26＋16)××100%＝24%.
(2)所有的样本点有10个，分别为(23，25)，(23，30)，(23，26)，(23，16)，(25，30)，(25，26)，(25，16)，(30，26)，(30，16)，(26，16)．
满足“m，n∈[25，30]”的事件A包含的样本点有(25，30)，(25，26)，(30，26)，共3个．
∴满足“m，n∈[25，30]”的事件A的概率P(A)＝.
16．(本小题满分15分)如图所示，在树人中学高一年级学生中抽出40名参加环保知识竞赛，将其成绩(均为整数)整理后画出的频率分布直方图如图，观察图形，回答下列问题：
(1)求成绩在[80，90)这一组的频数；
(2)从成绩是50分以下和90分及以上这两个分数段的学生中选2人，求他们不在同一分数段的概率．
【解析】 (1)依题意成绩在[50，60)这一组的频率为0.015×10＝0.15，成绩在[60，70)这一组的频率为0.025×10＝0.25，
成绩在[70，80)这一组的频率为0.035×10＝0.35，成绩在[90，100]这一组的频率为0.005×10＝0.05，
则成绩在[80，90)这一组的频率为[1－(0.15＋0.25＋0.35＋0.05)]÷2＝0.1，故其频数为40×0.1＝4.
(2)记选出的2人不在同一分数段为事件E，
成绩在[40，50)内有40×0.1＝4人，设为a，b，c，d，成绩在[90，100]内有40×0.05＝2人，设为1，2，从这6人中选出2人，有(a，b)，(a，c)，(a，d)，(a，1)，(a，2)，(b，c)，(b，d)，(b，1)，(b，2)，(c，d)，(c，1)，(c，2)，(d，1)，(d，2)，(1，2)共15个样本点，
其中事件E包括(a，1)，(a，2)，(b，1)，(b，2)，(c，1)，(c，2)，(d，1)，(d，2)，共8个样本点，于是得P(E)＝，所以不在同一分数段的概率为.
17．(本小题满分15分)某市举行职业院校学生技能比赛活动，甲校派出2男1女共3名学生，乙校派出2男2女共4名学生．
(1)若从甲校和乙校学生中各任选1名进行比赛，求选出的2名学生性别不相同的概率；
(2)若从甲校和乙校派出的这7名学生中任选2名进行比赛，求选出的这2名学生来自同一所学校的概率．
【解析】 记甲校派出的2名男学生为A1，A2，1名女学生为a，
乙校派出的2名男学生为B1，B2，2名女学生为b1，b2，
(1)从甲校和乙校派出的学生中各任选1名，不同的结果有(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，b1)，(A1，b2)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，b1)，(A2，b2)，(a，B1)，(a，B2)，(a，b1)，(a，b2)，共12种，
其中选出的2名学生性别不相同的选法有(A1，b1)，(A1，b2)，(A2，b1)，(A2，b2)，(a，B1)，(a，B2)，共6种，
故选出的2名学生性别不相同的概率P＝＝.
(2)若从甲校和乙校派出的这7名学生中任选2名，不同的结果有(A1，A2)，(A1，a)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，b1)，(A1，b2)，(A2，a)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，b1)，(A2，b2)，(a，B1)，(a，B2)，(a，b1)，(a，b2)，(B1，B2)，(B1，b1)，(B1，b2)，(B2，b1)，(B2，b2)，(b1，b2)，共21种，
其中选出的2名学生来自同一所学校的选法有(A1，A2)，(A1，a)，(A2，a)，(B1，B2)，(B1，b1)，(B1，b2)，(B2，b1)，(B2，b2)，(b1，b2)，共9种，故选出的2名学生来自同一所学校的概率为P＝＝.
18．(本小题满分17分)甲、乙两同学组成“星队”参加“庆祝中国共产党成立100周年”知识竞赛．现有A，B两类问题，竞赛规则如下：①竞赛开始时，甲、乙两同学各自先从A类问题中随机抽取一个问题进行回答，答错的同学本轮竞赛结束；答对的同学再从B类问题中随机抽取一个问题进行回答，无论答对与否，本轮竞赛结束．②若在本轮竞赛中甲、乙两同学合计答对问题的个数不少于3，则“星队”可进入下一轮．已知甲同学能答对A类中问题的概率为，能答对B类中问题的概率为.乙同学能答对A类中问题的概率为，答对B类中问题的概率为.
(1)设“甲同学答对0个，1个，2个问题”分别记为事件A0，A1，A2，求事件A0，A1，A2的概率；
(2)求“星队”能进入下一轮的概率．
【解析】 (1)∵甲同学能答对A类中问题的概率为，能答对B类中问题的概率为，
∴P(A0)＝1－＝，
P(A1)＝×＝，
P(A2)＝×＝.
(2)设“乙同学答对1个，2个问题”分别记为事件B1，B2，
∵乙同学能答对A类中问题的概率为，答对B类中问题的概率为，
∴P(B1)＝×＝，
P(B2)＝×＝，
设事件C表示“星队能进入下一轮”，P(C)＝P(A1B2)＋P(A2B1)＋P(A2B2)＝P(A1)P(B2)＋P(A2)P(B1)＋P(A2)P(B2)＝×＋×＋×＝，
故“星队”能进入下一轮的概率为.
19．(本小题满分17分)为了估计一批产品的质量状况，现对100个产品的相关数据进行综合评分(满分100分)，并制成如图所示的频率分布直方图．记综合评分为80分及以上的产品为一等品．
(1)求图中a的值，并求综合评分的平均数；
(2)用样本估计总体，以频率作为概率，按分层随机抽样的思想，先在该条生产线中随机抽取5个产品，再从这5个产品中随机抽取2个产品记录有关数据，求这2个产品中最多有1个一等品的概率；
(3)已知落在[50，60)的平均综合评分是54，方差是3，落在[60，70)的平均综合评分为63，方差是3，求落在[50，70)的总平均综合评分和总方差s2.
【解析】 (1)由频率和为1，得(0.005＋0.010＋0.025＋a＋0.020)×10＝1，解得a＝0.040；
设综合评分的平均数为，
则＝10×(55×0.005＋65×0.010＋75×0.025＋85×0.040＋95×0.020)＝81，
所以综合评分的平均数为81.
(2)由题意，抽取5个产品，其中一等品有3个，非一等品有2个，
一等品记为a、b、c，非一等品记为D、E；
从这5个产品中随机抽取2个，试验的样本空间
Ω＝{ab、ac、aD、aE、bc、bD、bE、cD、cE、DE}，n(Ω)＝10；
记事件A＝“抽取的这2个产品中最多有1个一等品”，
则A＝{aD、aE、bD、bE、cD、cE、DE}，n(A)＝7，
所以所求的概率为P＝.
(3)由题意可知：落在[50，60)的频率为0.05，落在[60，70)的频率为0.1，
所以＝×54＋×63＝60，
s2＝[3＋(54－60)2]＋[3＋(63－60)2]＝21.
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
