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第十章 概率
10.3 频率与概率
新课程标准解读 学科核心素养
在具体情境中，了解随机事件的不确定性和频率的稳定性. 数学抽象
会用频率估计概率，会用频率的稳定性解释生活中的实际问题. 数学抽象、逻辑推理，数学建模
了解随机数，会利用随机数估计概率. 逻辑推理
教材梳理 明要点
?情境导入
问题
你认为频率与概率之间有什么关系？
[提示]
[提示]
频率本身是随机变量，当试验次数n很大时，频率总是在一个稳定值附近摆动，这个稳定值就是概率．
知识点一 频率的稳定性
大量试验表明，在任何确定次数的随机试验中，一个随机事件A发生的频率具有_________.一般地，随着试验次数n的_______，频率偏离概率的幅度会_______，即事件A发生的____________会逐渐稳定于事件A发生的___________.我们称频率的这个性质为频率的_________.因此，我们可以用频率fn(A)估计____________.
?新知初探
随机性
增大
缩小
频率fn(A)
概率P(A)
稳定性
概率P(A)
想一想
频率和概率可以相等吗？
提示：可以相等．但因为每次试验的频率为多少是不固定的，而概率是固定的，故一般是不相等的，但有可能是相等的．
知识点二 随机模拟
产生随机数的方法
(1)利用计算器或计算机软件产生随机数；
(2)构建模拟试验产生随机数．
1．气象台预测“本市明天降雨的概率是90%”，对预测的正确理解是( )
A．本市明天将有90%的地区降雨
B．本市明天将有90%的时间降雨
C．明天出行不带雨具肯定会淋雨
D．明天出行不带雨具可能会淋雨
【答案】 D
【解析】 “本市明天降雨的概率是90%”也即为“本市明天降雨的可能性为90%”．故选D．
?预习自测
2．某家具厂为足球比赛场馆生产观众座椅．质检人员对该厂所生产的2 500套座椅进行抽检，共抽检了100套，发现有2套次品，则该厂所生产的2 500套座椅中大约有________套次品．
【答案】 50
题型探究 提技能
题型一
用频率估计概率
(2)由(1)可知乒乓球抽取的优等品频率逐渐稳定在0.95附近，故估计“抽取的是优等品”的概率是0.95.
[方法总结1]
[方法总结1]
1．频率是事件A发生的次数m与试验总次数n的比值．频率本身是随机变量，当n很大时，频率总是在一个稳定值附近摆动，这个稳定值就是概率；
2．解此类题目的步骤：先利用频率的计算公式依次计算频率，然后用频率估计概率．
１
某射手在同一条件下进行射击，结果如表所示：
(1)填写表中击中靶心的频率；
(2)这个射手射击一次，击中靶心的概率约是多少？
射击次数n 10 20 50 100 200 500
击中靶心次数m 8 19 44 92 178 455
击中靶心的频率
【解析】 (1)表中从左到右依次填入的数据为0.80，0.95，0.88，0.92，0.89，0.91.
(2)由于频率稳定在常数0.9附近，所以这个射手射击一次，击中靶心的概率约是0.9.
2.有两个不透明的箱子，每个箱子都装有4个完全相同的小球，球上分别标有数字1，2，3，4.
(1)甲从其中一个箱子中摸出一个球，乙从另一个箱子中摸出一个球，谁摸出的球上标的数字大谁就获胜(若数字相同则为平局)，求甲获胜的概率；
(2)(变条件)摸球方法与(1)相同，若规定：两人摸到的球上所标数字相同甲获胜，所标数字不相同则乙获胜，这样规定公平吗？请说明理由．
题型二
游戏的公平性
[方法总结2]
[方法总结2]
游戏公平性的标准及判断方法
(1)游戏规则是否公平，要看对游戏的双方来说，获胜的可能性或概率是否相同．若相同，则规则公平，否则就是不公平的；
(2)具体判断时，可以求出按所给规则双方的获胜概率，再进行比较.
2
某校高一年级(1)(2)班准备联合举行晚会，组织者欲使晚会气氛热烈、有趣，策划整场晚会以转盘游戏的方式进行，每个节目开始时，两班各派一人先进行转盘游戏，胜者获得一件奖品，负者表演一个节目．(1)班的文娱委员利用分别标有数字1，2，3，4，5，6，7的两个转盘(如图所示)，设计了一种游戏方案：两人同时各转动一个转盘一次，将转到的数字相加，和为偶数时(1)班代表获胜，否则(2)班代表获胜．该方案对双方是否公平？为什么？
【解析】 该方案是公平的，理由如下：
各种情况如下表所示：
和 4 5 6 7
1 5 6 7 8
2 6 7 8 9
3 7 8 9 10
题型三
用随机模拟估计概率
[方法总结3]
[方法总结3]
1．利用随机模拟试验估计概率可适用的事件类型特点
(1)对于满足“有限性”但不满足“等可能性”的概率问题；
(2)对于一些基本事件的总数比较大而导致很难把它列举得不重复、不遗漏的概率问题，或对于基本事件的等可能性难以验证的概率问题．
2．利用随机模拟试验估计概率的两个关注点
(1)当试验的样本点等可能时，样本点总数即为产生随机数的范围，每个随机数代表一个样本点；
(2)当每次试验结果需要n个随机数表示时，要把n个随机数作为一组来处理，此时一定要注意每组中的随机数字能否重复．
3
天气预报说，今后三天中，每一天下雨的概率均为40%，现采用随机模拟方法估计这三天中恰有两天下雨的概率：先由计算器算出0到9之间取整数值的随机数，指定1，2，3，4表示下雨，5，6，7，8，9，0表示不下雨．经随机模拟产生了如下20组随机数：907 966 195 925 271 932 812 458 569 683 431 257 393 027 556 488 730 113 537 989.据此估计今后三天中恰有两天下雨的概率为( )
A．0.40 B．0.30
C．0.25 D．0.20
【答案】 D
随堂检测 重反馈
【答案】 A
2．某位同学进行投球练习，连投了10次，恰好投进了8次．若用A表示“投进球”这一事件，则事件A发生的( )
C．频率为8 D．概率接近0.8
【答案】 B
3．(多选)甲、乙两人做游戏，下列游戏中公平的是( )
A．抛一枚骰子，向上的点数为奇数则甲胜，向上的点数为偶数则乙胜
B．同时抛两枚相同的骰子，向上的点数之和大于7则甲胜，否则乙胜
C．从一副不含大、小王的扑克牌中抽一张，扑克牌是红色则甲胜，是黑色则乙胜
D．甲、乙两人各写一个数字，若是同奇或同偶则甲胜，否则乙胜
【答案】 ACD
4．袋子中有四个小球，分别写有“中、华、民、族”四个字，有放回地从中任取一个小球，直到“中”“华”两个字都取到才停止．用随机模拟的方法估计恰好抽取三次停止的概率，利用电脑随机产生0到3之间取整数值的随机数，分别用0，1，2，3代表“中、华、民、族”这四个字，以每三个随机数为一组，表示取球三次的结果，经随机模拟产生了以下18组随机数：
232 321 230 023 123 021 132 220 001
231 130 133 231 031 320 122 301 233
由此可以估计，恰好抽取三次就停止的概率为________.第十章 10.3
课时跟踪检测
A组·基础巩固
1．“不怕一万，就怕万一”这句民间谚语说明( )
A．小概率事件很少发生，但也可能发生，需提防
B．小概率事件很少发生，不用怕
C．小概率事件就是不可能事件，不会发生
D．大概率事件就是必然事件，一定发生
【答案】 A
【解析】 “不怕一万，就怕万一”表示小概率事件很少发生，但也可能发生，需提防．故选A．
2．一个容量为20的样本数据，分组与频数如下表：
分组 [10，20) [20，30) [30，40) [40，50) [50，60) [60，70]
频数 2 3 4 5 4 2
则样本在[10，50)内的频率为( )
A．0.5 B．0.24
C．0.6 D．0.7
【答案】 D
【解析】 因为样本在[10，50)内的频数为2＋3＋4＋5＝14，样本容量为20，所以在[10，50)内的频率为＝0.7.故选D．
3．某同学做立定投篮训练，共两场，第一场投篮20次的命中率为80%，第二场投篮30次的命中率为70%，则该同学这两场投篮的命中率为( )
A．72% B．74%
C．75% D．76%
【答案】 B
【解析】 该同学这两场投篮的命中率为＝74%.故选B．
4．某水产试验厂实行某种鱼的人工孵化，10 000个鱼卵能孵出8 513尾鱼苗，根据概率的统计定义，这种鱼卵的孵化概率( )
A．约为0.851 3
B．必为0.851 3
C．再孵一次仍为0.851 3
D．不确定
【答案】 A
【解析】 利用频率估计概率，这种鱼卵的孵化频率为＝0.851 3，它近似的为孵化的概率．故选A．
5．某种心脏手术成功率为0.9，现采用随机模拟方法估计“3例心脏手术全部成功”的概率．先利用计算器或计算机产生0～9之间取整数值的随机数，由于成功率是0.9，故我们用0表示手术不成功，1，2，3，4，5，6，7，8，9表示手术成功，再以每3个随机数为一组，作为3例手术的结果．经随机模拟产生如下10组随机数：812，832，569，683，271，989，730，537，925，907，由此估计“3例心脏手术全部成功”的概率为( )
A．0.9 B．0.8
C．0.7 D．0.6
【答案】 B
【解析】 由题意，表示“3例心脏手术全部成功”的有：812，832，569，683，271，989，537，925，共8个，故估计“3例心脏手术全部成功”的概率为＝0.8.故选B．
6．规定投掷飞镖3次为一轮，若3次中至少两次投中8环及以上为优秀，现采用随机模拟的方法估计某人投掷飞镖的情况：先由计算器产生随机数0或1，用0表示该次投镖在8环以下，用1表示该次投镖在8环及以上，再以每三个随机数作为一组，代表3次投掷的结果，经随机模拟产生了如下20组随机数：
101 100 011 101 010 100 100 011 111 110
000 011 010 001 111 011 100 000 101 101
据此估计该选手投掷一轮飞镖，成绩为优秀的概率为( )
A． B．
C． D．
【答案】 B
【解析】 总的事件有20个，其中3次至少2次投中8环及以上的事件有101，011，101，011，111，110，011，111，011，101，101，共11个，故估计该选手投掷一轮飞镖，成绩为优秀的概率为.故选B．
7．在某一时期内，一条河流某处的年最高水位在各个范围内的频率如下表：
最高水位范围(米) ＜10 [10，12) [12，14) [14，16) ≥16
频率 0.1 0.28 0.38 0.16 0.08
若当最高水位低于14米时为“安全水位”，则出现“安全水位”的频率是________.
【答案】 0.76
【解析】 由表格得，出现“安全水位”的频率是0.1＋0.28＋0.38＝0.76.
8．根据某省教育研究机构的统计资料，今在校中学生近视率约为37.4%.某眼镜商要到某一中学给学生配眼镜，若已知该校学生总数为600人，则该眼镜商应带眼镜不少于________副．
【答案】 225
【解析】 由已知得，该学校需要佩戴眼镜的人数大约为：600×37.4%＝224.4≈225(人)，所以该眼镜商应带眼镜不少于225副．
9．甲、乙两支篮球队进行一局比赛，甲队获胜的概率为0.6，若采用三局两胜制举行一次比赛，现采用随机模拟的方法估计乙队获胜的概率．先利用计算器或计算机生成0到9之间取整数值的随机数，用0，1，2，3，4，5表示甲队获胜；6，7，8，9表示乙队获胜，这样能体现甲队获胜的概率为0.6.因为采用三局两胜制，所以每3个随机数作为一组．经随机模拟产生了30组随机数：
034 743 738 636 964 736 614 698
637 162 332 616 804 560 111 410
959 774 246 762 428 114 572 042
533 237 322 707 360 751
据此估计，采用三局两胜制，乙队获胜的概率为________.
【答案】
【解析】 如果6，7，8，9中恰有2个或3个数出现，就表示乙队获胜，它们分别是738，636，964，736，698，637，616，959，774，762，707，共11组，所以采用三局两胜制，乙队获胜的概率为.
10．某公司在过去几年内使用某种型号的灯管1 000根，该公司对这些灯管的使用寿命(单位：h)进行了统计，统计结果如下表所示：
分组 [700，900) [900，1 100) [1 100，1 300) [1 300，1 500) [1 500，1 700) [1 700，1 900) [1 900，2 100]
频数 48 121 208 223 193 165 42
频率
(1)将各组的频率填入表中；
(2)用频率估计概率，根据上述统计结果，估计该种型号的灯管的使用寿命不足1 500 h的概率．
【解析】 (1)填表如下：
分组 [700，900) [900，1 100) [1 100，1 300) [1 300，1 500) [1 500，1 700) [1 700，1 900) [1 900，2 100]
频数 48 121 208 223 193 165 42
频率 0.048 0.121 0.208 0.223 0.193 0.165 0.042
(2)样本中使用寿命不足1 500 h的频数是48＋121＋208＋223＝600，所以样本中使用寿命不足1 500 h的频率是＝0.6，即估计该种型号灯管的使用寿命不足1 500 h的概率为0.6.
B组·综合运用
11．某家庭准备晚上在餐馆吃饭，他们查看了两个网站关于四家餐馆的好评率，如下表所示，考虑每家餐馆的总好评率，他们应选择( )
网站①评价人数 网站①好评率 网站②评价人数 网站②好评率
餐馆甲 1 000 95% 1 000 85%
餐馆乙 1 000 100% 2 000 80%
餐馆丙 1 000 90% 1 000 90%
餐馆丁 2 000 95% 1 000 85%
A．餐馆甲 B．餐馆乙
C．餐馆丙 D．餐馆丁
【答案】 D
【解析】 餐馆甲的总好评率为：＝90%，餐馆乙的总好评率为：≈86.67%，餐馆丙的好评率为：＝90%，餐馆丁的好评率为：≈91.67%，显然91.67%＞90%＞86.67%，所以餐馆丁的总好评率最高．故选D．
12．某小组做“用频率估计概率”的试验时，绘出的某一结果出现的频率折线图，则符合这一结果的试验可能是( )
A．抛一枚硬币，出现正面朝上
B．掷一个正六面体的骰子，出现3点朝上
C．一副去掉大小王的扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌的花色是红桃
D．从一个装有2个红球、1个黑球的袋子中任取一球，取到的是黑球
【答案】 D
【解析】 由折线图可知，频率在0.3到0.4之间．抛一枚硬币，出现正面朝上的概率为0.5，不符合，故A错误；掷一个正六面体的骰子，出现3点朝上的概率为，不符合，故B错误；一副去掉大小王的扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌的花色是红桃的概率为，不符合，故C错误；从一个装有2个红球、1个黑球的袋子中任取一球，取到的是黑球的概率为，在0.3到0.4之间，符合题意，故D正确．故选D．
13．某购物网站开展一种商品的预约购买，规定每个手机号只能预约一次，预约后通过摇号的方式决定能否成功购买到该商品．规则如下：(1)摇号的初始中签率为0.19；(2)当中签率不超过1时，可借助“好友助力”活动增加中签率，每邀请到一位好友参与“好友助力”活动可使中签率增加0.05.为了使中签率超过0.9，则至少需要邀请________位好友参与“好友助力”活动．
【答案】 15
【解析】 因为摇号的初始中签率为0.19，所以要使中签率超过0.9，需要增加的中签率大于0.9－0.19＝0.71，因为每邀请到一位好友参与“好友助力”活动可使中签率增加0.05，且＝14.2，所以至少需要邀请15位好友参与“好友助力”活动．
14．某市组织了以“停课不停学，成长不停歇”为主题的“空中课堂”教学活动，为了了解一周内学生的线上学习情况，从该市抽取了1 000名学生进行调查，根据所得信息制作了如图所示的频率分布直方图．
(1)为了估计从该市任意抽取的3名学生中恰有2名线上学习时间在[200，300)内的概率P，设计了如下随机模拟试验：先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数，依次用0，1，2，3，…，9的前若干个数字表示线上学习时间在[200，300)内，剩余的数字表示线上学习时间不在[200，300)内，再以每三个随机数为一组，代表线上学习的情况．
假设用上述随机模拟的方法产生了如下30组随机数，请根据这组随机数求概率P；
907 966 191 925 271 569 812
458 932 683 431 257 393 027
556 438 873 730 113 669 206
232 433 474 537 679 138 598
602 231
(2)为了进一步调查，用分层随机抽样的方法从这1 000名学生中抽取20名学生，在抽取的20名学生中，再从线上学习时间在[350，450]内的学生中任意选择2名，求这2名学生来自同一组的概率．
【解析】 (1)由频率分布直方图可知，线上学习时间在[200，300)内的频率为(0.002＋0.006)×50＝0.4，
所以可以用数字0，1，2，3表示线上学习时间在[200，300)内，数字4，5，6，7，8，9表示线上学习时间不在[200，300)内．
观察题中随机数可得，3名学生中恰有2名线上学习时间在[200，300)内的有191，271，812，932，431，393，027，730，206，433，138，602，共12组．
用频率估计概率可得，P＝＝0.4.
(2)抽取的20名学生中，线上学习时间在[350，450]内的学生有20×(0.003＋0.002)×50＝5(名)，
其中线上学习时间在[350，400)内的学生有3名，设为A，B，C，线上学习时间在[400，450]内的学生有2名，设为a，b，
则从5名学生中任取2名的样本空间Ω＝{(A，B)，(A，C)，(A，a)，(A，b)，(B，C)，(B，a)，(B，b)，(C，a)，(C，b)，(a，b)}，共10个样本点，
设事件M＝“2名学生来自同一组”，则M＝{(A，B)，(A，C)，(B，C)，(a，b)}，共4个样本点，所以P(M)＝＝0.4.
C组·拓展提升
15．某超市计划按月订购一种冷饮，根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温(单位：℃)有关．如果最高气温不低于25 ℃，需求量为600瓶；如果最高气温位于区间[20 ℃，25 ℃)，需求量为300瓶；如果最高气温低于20 ℃，需求量为100瓶．为了确定6月份的订购计划，统计了前三年6月份各天的最高气温数据，得到下面的频数分布表：
最高气温 [15，20) [20，25) [25，30) [30，35) [35，40]
天数 4 5 25 38 18
以最高气温位于各区间的频率估计最高气温位于该区间的概率．若6月份这种冷饮一天的需求量不超过x瓶的概率估计值为0.1，则x＝________.
【答案】 300
【解析】 由表可知，最高气温低于25 ℃的频率为：＝0.1，所以6月份这种冷饮一天的需求量不超过300瓶的概率估计值为0.1.
16．某险种的基本保费为a(单位：元)，继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下：
上年度出险次数 0 1 2 3 4 ≥5
保费 0.85a a 1.25a 1.5a 1.75a 2a
随机调查了该险种的200名续保人在一年内的出险情况，得到如下统计表：
出险次数 0 1 2 3 4 ≥5
频数 60 50 30 30 20 10
(1)记事件A＝“一续保人本年度的保费不高于基本保费”．求P(A)的估计值；
(2)记事件B＝“一续保人本年度的保费高于基本保费但不高于基本保费的160%”．求P(B)的估计值；
(3)求续保人本年度的平均保费估计值．
【解析】 (1)事件A的人数为60＋50＝110，P(A)的估计值为＝.
(2)事件B的人数为30＋30＝60，P(B)的估计值为＝.
(3)续保人本年度的平均保费估计值为＝(0.85a×60＋a×50＋1.25a×30＋1.5a×30＋1.75a×20＋2a×10)＝1.192 5a.
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